Exercícios de Planicidade Diferencial em Sistemas Não-Lineares

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Aula 04 - Exercícios
Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas
Não-Lineares (SISO/MIMO)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho
joseoniram@ieee.org
03 de Fevereiro de 2020
mailto:joseoniram@ieee.org
Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Sumário
1 Exercício 01
Sistema SISO
Resolução do Exercício
2 Exercício 02
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 2
Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Sistema SISO
Considere o seguinte Sistema Linear Variante no Tempo
SISO: 
ẋ1 = x2
ẋ2 = −x1 − u sin(t)
ẋ3 = u
, y = x1
O sistema é conhecido por ser controlável independente
do tempo.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 3
Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Sistema SISO
Considere o seguinte Sistema Linear Variante no Tempo
SISO: 
ẋ1 = x2
ẋ2 = −x1 − u sin(t)
ẋ3 = u
, y = x1
O sistema é conhecido por ser controlável independente
do tempo.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 3
Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Sistema SISO
Os Objetivos do Exercício 01 são:
1 Obter a matriz de controlabilidade do sistema.
2 Obter a saída plana do sistema.
3 Obter a parametrização de todas as variáveis a partir da
saída plana e suas derivadas temporais.
4 Obter a expressão final do controlador que estabilize o
sistema na origem.
5 Implementação em ambiente Matlab/Simulink.
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Sistema SISO
Os Objetivos do Exercício 01 são:
1 Obter a matriz de controlabilidade do sistema.
2 Obter a saída plana do sistema.
3 Obter a parametrização de todas as variáveis a partir da
saída plana e suas derivadas temporais.
4 Obter a expressão final do controlador que estabilize o
sistema na origem.
5 Implementação em ambiente Matlab/Simulink.
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Sistema SISO
Os Objetivos do Exercício 01 são:
1 Obter a matriz de controlabilidade do sistema.
2 Obter a saída plana do sistema.
3 Obter a parametrização de todas as variáveis a partir da
saída plana e suas derivadas temporais.
4 Obter a expressão final do controlador que estabilize o
sistema na origem.
5 Implementação em ambiente Matlab/Simulink.
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Sistema SISO
Os Objetivos do Exercício 01 são:
1 Obter a matriz de controlabilidade do sistema.
2 Obter a saída plana do sistema.
3 Obter a parametrização de todas as variáveis a partir da
saída plana e suas derivadas temporais.
4 Obter a expressão final do controlador que estabilize o
sistema na origem.
5 Implementação em ambiente Matlab/Simulink.
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Sistema SISO
Os Objetivos do Exercício 01 são:
1 Obter a matriz de controlabilidade do sistema.
2 Obter a saída plana do sistema.
3 Obter a parametrização de todas as variáveis a partir da
saída plana e suas derivadas temporais.
4 Obter a expressão final do controlador que estabilize o
sistema na origem.
5 Implementação em ambiente Matlab/Simulink.
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 01 - Sistema SISO
A matriz de controlabilidade do sistema é dada por:
CK (t) =
 0 − sin(t) 2 cos(t)− sin(t) cos(t) 2 sin(t)
1 0 0

Observe que det(CK (t)) = −2, logo o sistema é sempre
uniformemente controlável.
Isso implica na existência da saída plana F (t) para o
sistema em questão.
A partir de CK (t), obtém-se então a saída plana F (t):
F (t) = cos(t)x1 + sin(t)x2 + sin2(t)x3
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 5
Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 01 - Sistema SISO
A matriz de controlabilidade do sistema é dada por:
CK (t) =
 0 − sin(t) 2 cos(t)− sin(t) cos(t) 2 sin(t)
1 0 0

Observe que det(CK (t)) = −2, logo o sistema é sempre
uniformemente controlável.
Isso implica na existência da saída plana F (t) para o
sistema em questão.
A partir de CK (t), obtém-se então a saída plana F (t):
F (t) = cos(t)x1 + sin(t)x2 + sin2(t)x3
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 01 - Sistema SISO
A matriz de controlabilidade do sistema é dada por:
CK (t) =
 0 − sin(t) 2 cos(t)− sin(t) cos(t) 2 sin(t)
1 0 0

Observe que det(CK (t)) = −2, logo o sistema é sempre
uniformemente controlável.
Isso implica na existência da saída plana F (t) para o
sistema em questão.
A partir de CK (t), obtém-se então a saída plana F (t):
F (t) = cos(t)x1 + sin(t)x2 + sin2(t)x3
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 01 - Sistema SISO
A matriz de controlabilidade do sistema é dada por:
CK (t) =
 0 − sin(t) 2 cos(t)− sin(t) cos(t) 2 sin(t)
1 0 0

Observe que det(CK (t)) = −2, logo o sistema é sempre
uniformemente controlável.
Isso implica na existência da saída plana F (t) para o
sistema em questão.
A partir de CK (t), obtém-se então a saída plana F (t):
F (t) = cos(t)x1 + sin(t)x2 + sin2(t)x3
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 01 - Sistema SISO
As derivadas temporais de F (t) são então dadas por:
Ḟ (t) = −2 sin(t)x1 + 2 cos(t)x2 + 2 sin(t) cos(t)x3
F̈ (t) = −4 cos(t)x1 − 4 sin(t)x2 + 2 cos(2t)x3
F (3)(t) = 8 sin(t)x1 − 8 cos(t)x2 − 4 sin(2t)x3 + 2u
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 01 - Sistema SISO
Dessa forma, parametriza-se o sistema em função de F e
suas derivadas temporais:
x1 = F (t) cos(t)−
Ḟ (t) sin(t)
2
x2 = −F (t) sin(t) +
Ḟ (t) cos(t)
2
− F̈ (t) sin(t)
2
x3 = 2F (t) +
F̈ (t)
2
u =
F (3)(t)
2
+ 2Ḟ (t)
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 01 - Sistema SISO
O sistema é então equivalente ao seguinte sistema linear
na forma canônica de Brunovsky:
F (3)(t) = υ onde υ = 2u − 2Ḟ (t)
Portanto, para o sistema na forma canônica de Brunovsky,
é suficiente propor a seguinte lei de controle em malha
fechada expressa por:
υ = F ∗(3)(t)− k3(F̈ (t)− F̈ ∗(t))− k2(Ḟ (t)− Ḟ ∗(t))
− k1(F (t)− F ∗(t))
onde os ganhos são escolhidos a partir dos coeficientes
de um polinômio de Hurwitz de 3o grau.
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 01 - Sistema SISO
O sistema é então equivalente ao seguinte sistema linear
na forma canônica de Brunovsky:
F (3)(t) = υ onde υ = 2u − 2Ḟ (t)
Portanto, para o sistema na forma canônica de Brunovsky,
é suficiente propor a seguinte lei de controle em malha
fechada expressa por:
υ = F ∗(3)(t)− k3(F̈ (t)− F̈ ∗(t))− k2(Ḟ (t)− Ḟ ∗(t))
− k1(F (t)− F ∗(t))
onde os ganhos são escolhidos a partir dos coeficientes
de um polinômio de Hurwitz de 3o grau.
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 01 - Sistema SISO
Como se deseja estabilizar o sistema na origem
(F ∗(3)(t) = F̈ ∗(t) = Ḟ ∗(t) = F ∗(t) = 0), tem-se que a
expressão de υ se resume a:
υ = −k3F̈ (t)− k2Ḟ (t)− k1F (t)
Assim, a partir da parametrização diferencial,a expressão
do sinal de controle u é então dada por:
u =
1
2
υ + 2Ḟ (t)
⇓
u = −k3F̈ (t)− k2Ḟ (t)− k1F (t) + 2Ḟ (t)
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 01 - Sistema SISO
Como se deseja estabilizar o sistema na origem
(F ∗(3)(t) = F̈ ∗(t) = Ḟ ∗(t) = F ∗(t) = 0), tem-se que a
expressão de υ se resume a:
υ = −k3F̈ (t)− k2Ḟ (t)− k1F (t)
Assim, a partir da parametrização diferencial, a expressão
do sinal de controle u é então dada por:
u =
1
2
υ + 2Ḟ (t)
⇓
u = −k3F̈ (t)− k2Ḟ (t)− k1F (t) + 2Ḟ (t)
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema SISO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 01 - Sistema SISO
Como se deseja estabilizar o sistema na origem
(F ∗(3)(t) = F̈ ∗(t) = Ḟ ∗(t) = F ∗(t) = 0), tem-se que a
expressão de υ se resume a:
υ = −k3F̈ (t)− k2Ḟ (t)− k1F (t)
Assim, a partir da parametrização diferencial, a expressão
do sinal de controle u é então dada por:
u =
1
2
υ + 2Ḟ (t)
⇓
u = −k3F̈ (t)− k2Ḟ (t)− k1F (t) + 2Ḟ (t)
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Sumário
1 Exercício 01
2 Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Sistema MIMO: Carro Não-Holonômico
Considere o seguinte modelo não-linear do carro
não-holonômico de duas rodas:
ẋ = v cos(θ)
ẏ = v sin(θ)
θ̇ = ω
onde x e y denotam as coordenadas do ponto central do
eixo das rodas, enquanto que θ representa a orientação
angular com respeito ao eixo horizontal X .
O controle é dado pela velocidade v e pela velocidade
angular ω, enquanto que as saídas do sistema são dadas
por x e y .
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 11
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Sistema MIMO: Carro Não-Holonômico
Considere o seguinte modelo não-linear do carro
não-holonômico de duas rodas:
ẋ = v cos(θ)
ẏ = v sin(θ)
θ̇ = ω
onde x e y denotam as coordenadas do ponto central do
eixo das rodas, enquanto que θ representa a orientação
angular com respeito ao eixo horizontal X .
O controle é dado pela velocidade v e pela velocidade
angular ω, enquanto que as saídas do sistema são dadas
por x e y .
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Sistema MIMO: Carro Não-Holonômico
Os Objetivos do Exercício são:
1 Mostrar que o sistema não-linear é diferencialmente plano.
2 Linearizar o sistema em torno das trajetórias nominais.
3 Obter as saídas planas incrementais do sistema
linearizado.
4 Obter a parametrização de todas as variáveis do sistema a
partir das saídas planas incrementais e de suas derivadas
temporais.
5 Obter a expressão final dos controladores para o sistema
não-linear.
6 Implementação em ambiente Matlab/Simulink.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 12
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Sistema MIMO: Carro Não-Holonômico
Os Objetivos do Exercício são:
1 Mostrar que o sistema não-linear é diferencialmente plano.
2 Linearizar o sistema em torno das trajetórias nominais.
3 Obter as saídas planas incrementais do sistema
linearizado.
4 Obter a parametrização de todas as variáveis do sistema a
partir das saídas planas incrementais e de suas derivadas
temporais.
5 Obter a expressão final dos controladores para o sistema
não-linear.
6 Implementação em ambiente Matlab/Simulink.
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Sistema MIMO: Carro Não-Holonômico
Os Objetivos do Exercício são:
1 Mostrar que o sistema não-linear é diferencialmente plano.
2 Linearizar o sistema em torno das trajetórias nominais.
3 Obter as saídas planas incrementais do sistema
linearizado.
4 Obter a parametrização de todas as variáveis do sistema a
partir das saídas planas incrementais e de suas derivadas
temporais.
5 Obter a expressão final dos controladores para o sistema
não-linear.
6 Implementação em ambiente Matlab/Simulink.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 12
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Sistema MIMO: Carro Não-Holonômico
Os Objetivos do Exercício são:
1 Mostrar que o sistema não-linear é diferencialmente plano.
2 Linearizar o sistema em torno das trajetórias nominais.
3 Obter as saídas planas incrementais do sistema
linearizado.
4 Obter a parametrização de todas as variáveis do sistema a
partir das saídas planas incrementais e de suas derivadas
temporais.
5 Obter a expressão final dos controladores para o sistema
não-linear.
6 Implementação em ambiente Matlab/Simulink.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 12
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Sistema MIMO: Carro Não-Holonômico
Os Objetivos do Exercício são:
1 Mostrar que o sistema não-linear é diferencialmente plano.
2 Linearizar o sistema em torno das trajetórias nominais.
3 Obter as saídas planas incrementais do sistema
linearizado.
4 Obter a parametrização de todas as variáveis do sistema a
partir das saídas planas incrementais e de suas derivadas
temporais.
5 Obter a expressão final dos controladores para o sistema
não-linear.
6 Implementação em ambiente Matlab/Simulink.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 12
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Sistema MIMO: Carro Não-Holonômico
Os Objetivos do Exercício são:
1 Mostrar que o sistema não-linear é diferencialmente plano.
2 Linearizar o sistema em torno das trajetórias nominais.
3 Obter as saídas planas incrementais do sistema
linearizado.
4 Obter a parametrização de todas as variáveis do sistema a
partir das saídas planas incrementais e de suas derivadas
temporais.
5 Obter a expressão final dos controladores para o sistema
não-linear.
6 Implementação em ambiente Matlab/Simulink.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 12
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Pode-se mostrar que x e y são as saídas planas do
sistema não-linear.
Isso pode ser observado pelo fato que as outras variáveis
do sistema são parametrizadas da seguinte maneira:
θ = arctan(ẏ/ẋ)
v =
√
ẋ2 + ẏ2
ω =
ÿ ẋ − ẏ ẍ
ẋ2 + ẏ2
Planejamento de Trajetória: Se x∗(t) e y∗(t) são
conhecidas, logo θ∗(t), v∗(t) e ω∗(t) são obtidas a partir
das expressões acima.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 13
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Pode-se mostrar que x e y são as saídas planas do
sistema não-linear.
Isso pode ser observado pelo fato que as outras variáveis
do sistema são parametrizadas da seguinte maneira:
θ = arctan(ẏ/ẋ)
v =
√
ẋ2 + ẏ2
ω =
ÿ ẋ − ẏ ẍ
ẋ2 + ẏ2
Planejamento de Trajetória: Se x∗(t) e y∗(t) são
conhecidas, logo θ∗(t), v∗(t) e ω∗(t) são obtidas a partir
das expressões acima.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 13
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Pode-se mostrar que x e y são as saídas planas do
sistema não-linear.
Isso pode ser observado pelo fato que as outras variáveis
do sistema são parametrizadas da seguinte maneira:
θ = arctan(ẏ/ẋ)
v =
√
ẋ2 + ẏ2
ω =
ÿ ẋ − ẏ ẍ
ẋ2 + ẏ2
Planejamento de Trajetória: Se x∗(t) e y∗(t) são
conhecidas, logo θ∗(t), v∗(t) e ω∗(t) são obtidas a partir
das expressões acima.
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resoluçãodo Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
A representação em espaço de estados do sistema
linearizado em torno das trajetórias nominais é dada por:
Ẋδ = A(t)X δ + B(t)Uδ
onde
A(t) =

0 0 −v∗(t) sin(θ∗(t))
0 0 −v∗(t) cos(θ∗(t))
0 0 0
 , B(t) =

cos(θ∗(t)) 0
sin(θ∗(t)) 0
0 1

com
X δ = [xδ yδ θδ]T Uδ = [vδ ωδ]T
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 14
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
A representação em espaço de estados do sistema
linearizado em torno das trajetórias nominais é dada por:
Ẋδ = A(t)X δ + B(t)Uδ
onde
A(t) =

0 0 −v∗(t) sin(θ∗(t))
0 0 −v∗(t) cos(θ∗(t))
0 0 0
 , B(t) =

cos(θ∗(t)) 0
sin(θ∗(t)) 0
0 1

com
X δ = [xδ yδ θδ]T Uδ = [vδ ωδ]T
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Assumindo CK (t) controlável e observando que os índices
de controlabilidade do sistema linearizado são dados por
κC1 = 2 e κ
C
2 = 1, temos que C I(t) é dado por:
C I(t) = [b1(t) (A(t)−
d
dt
)b1(t) b2(t)]
=⇒ C I(t) =
cos(θ
∗(t)) ω∗(t) sin(θ∗(t)) 0
sin(θ∗(t)) −ω∗(t) cos(θ∗(t)) 0
0 0 1

Ressalta-se que det(C I(t)) = −ω∗(t). O que isso implica?
Resposta: det(C I(t)) = 0 se ω∗(t) = 0.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 15
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Assumindo CK (t) controlável e observando que os índices
de controlabilidade do sistema linearizado são dados por
κC1 = 2 e κ
C
2 = 1, temos que C I(t) é dado por:
C I(t) = [b1(t) (A(t)−
d
dt
)b1(t) b2(t)]
=⇒ C I(t) =
cos(θ
∗(t)) ω∗(t) sin(θ∗(t)) 0
sin(θ∗(t)) −ω∗(t) cos(θ∗(t)) 0
0 0 1

Ressalta-se que det(C I(t)) = −ω∗(t). O que isso implica?
Resposta: det(C I(t)) = 0 se ω∗(t) = 0.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 15
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Assumindo CK (t) controlável e observando que os índices
de controlabilidade do sistema linearizado são dados por
κC1 = 2 e κ
C
2 = 1, temos que C I(t) é dado por:
C I(t) = [b1(t) (A(t)−
d
dt
)b1(t) b2(t)]
=⇒ C I(t) =
cos(θ
∗(t)) ω∗(t) sin(θ∗(t)) 0
sin(θ∗(t)) −ω∗(t) cos(θ∗(t)) 0
0 0 1

Ressalta-se que det(C I(t)) = −ω∗(t). O que isso implica?
Resposta: det(C I(t)) = 0 se ω∗(t) = 0.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 15
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Assumindo CK (t) controlável e observando que os índices
de controlabilidade do sistema linearizado são dados por
κC1 = 2 e κ
C
2 = 1, temos que C I(t) é dado por:
C I(t) = [b1(t) (A(t)−
d
dt
)b1(t) b2(t)]
=⇒ C I(t) =
cos(θ
∗(t)) ω∗(t) sin(θ∗(t)) 0
sin(θ∗(t)) −ω∗(t) cos(θ∗(t)) 0
0 0 1

Ressalta-se que det(C I(t)) = −ω∗(t). O que isso implica?
Resposta: det(C I(t)) = 0 se ω∗(t) = 0.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 04 - Exercícios 15
Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Assumindo ω∗(t) 6= 0, têm-se que as saídas planas são
dadas por:
F1δ = − sin(θ∗(t))xδ + cos(θ∗(t))yδ, F2δ = θδ
Como κC1 = 2 e κ
C
2 = 1, então as derivadas temporais das
saídas planas são dadas por:
Ḟ1δ = − [ω∗(t) cos(θ∗(t))] xδ − [ω∗(t) sin(θ∗(t))] yδ + [v∗(t)] θδ
F̈1δ =
[
ω∗(t)2 sin(θ∗(t))− ω̇∗(t) cos(θ∗(t))
]
xδ + [v̇∗(t)] θδ
−
[
ω∗(t)2 cos(θ∗(t)) + ω̇∗(t) sin(θ∗(t))
]
yδ − [ω∗(t)] vδ + [v∗(t)]ωδ
Ḟ2δ = ωδ
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Assumindo ω∗(t) 6= 0, têm-se que as saídas planas são
dadas por:
F1δ = − sin(θ∗(t))xδ + cos(θ∗(t))yδ, F2δ = θδ
Como κC1 = 2 e κ
C
2 = 1, então as derivadas temporais das
saídas planas são dadas por:
Ḟ1δ = − [ω∗(t) cos(θ∗(t))] xδ − [ω∗(t) sin(θ∗(t))] yδ + [v∗(t)] θδ
F̈1δ =
[
ω∗(t)2 sin(θ∗(t))− ω̇∗(t) cos(θ∗(t))
]
xδ + [v̇∗(t)] θδ
−
[
ω∗(t)2 cos(θ∗(t)) + ω̇∗(t) sin(θ∗(t))
]
yδ − [ω∗(t)] vδ + [v∗(t)]ωδ
Ḟ2δ = ωδ
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Exercício 02
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Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
A parametrização dos estados incrementais é dada por:
xδ = −F1δ sin(θ∗(t))−
cos(θ∗(t))
[
Ḟ1δ − v∗(t)F2δ
]
ω∗(t)
yδ = F1δ cos(θ∗(t))−
sin(θ∗(t))
[
Ḟ1δ − v∗(t)F2δ
]
ω∗(t)
θδ = F2δ
A parametrização dos sinais incrementais de controle é
dada por:
vδ =
v∗(t)Ḟ2δ − F̈1δ + v̇∗(t)F2δ
ω∗(t)
− ω∗(t)F1δ +
ω̇∗(t)(Ḟ1δ − v∗(t)F2δ)
ω∗(t)2
ωδ = Ḟ2δ
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Exercício 01
Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
A parametrização dos estados incrementais é dada por:
xδ = −F1δ sin(θ∗(t))−
cos(θ∗(t))
[
Ḟ1δ − v∗(t)F2δ
]
ω∗(t)
yδ = F1δ cos(θ∗(t))−
sin(θ∗(t))
[
Ḟ1δ − v∗(t)F2δ
]
ω∗(t)
θδ = F2δ
A parametrização dos sinais incrementais de controle é
dada por:
vδ =
v∗(t)Ḟ2δ − F̈1δ + v̇∗(t)F2δ
ω∗(t)
− ω∗(t)F1δ +
ω̇∗(t)(Ḟ1δ − v∗(t)F2δ)
ω∗(t)2
ωδ = Ḟ2δ
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Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Manipulando a parametrização dos sinais de controle
incrementais, pode-se obter a seguinte forma canônica de
Brunovsky: {
F̈1δ = υ1
Ḟ2δ = υ2
Na representação por espaço de estados, tem-se que:{
ż = Abz + Bbυ
y = Cbz
, z =
[
F1δ Ḟ1δ F2δ
]T
Ab =
0 1 00 0 0
0 0 0
 , Bb =
0 01 0
0 1
 , Cb =
1 00 0
0 1

T
, υ =
[
υ1
υ2
]
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Manipulando a parametrização dos sinais de controle
incrementais, pode-se obter a seguinte forma canônica de
Brunovsky: {
F̈1δ = υ1
Ḟ2δ = υ2
Na representação por espaço de estados, tem-se que:{
ż = Abz + Bbυ
y = Cbz
, z =
[
F1δ Ḟ1δ F2δ
]T
Ab =
0 1 00 0 0
0 0 0
 , Bb =
0 01 0
0 1
 , Cb =
1 00 0
0 1

T
, υ =
[
υ1
υ2
]
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Então, como se deseja que as trajetórias nominais para as
saídas planas incrementais sejam nulas, é suficiente
propor, para o sistema na forma canônica de Brunovsky,
as seguintes leis de controle em malha fechada dadas por:
υ1 = −k11Ḟ1δ − k10F1δ
υ2 = −k20F2δ
Devido a parametrização diferencial, isso implica que os
sinais de controle incrementais são então dados por:
vδ =
v∗(t)υ2 − υ1 + v̇∗(t)F2δ
ω∗(t)
− ω∗(t)F1δ +
ω̇∗(t)
[
Ḟ1δ − v∗(t)F2δ
]
ω∗(t)2
ωδ = υ2
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Exercício 02
Sistema MIMO
Resolução do Exercício
Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Então, como se deseja que as trajetórias nominais para as
saídas planas incrementais sejam nulas, é suficiente
propor, para o sistema na forma canônica de Brunovsky,
as seguintes leis de controle em malha fechada dadas por:
υ1 = −k11Ḟ1δ − k10F1δ
υ2 = −k20F2δ
Devido a parametrização diferencial, isso implica que os
sinais de controle incrementais são então dados por:
vδ =
v∗(t)υ2 − υ1 + v̇∗(t)F2δ
ω∗(t)
− ω∗(t)F1δ +
ω̇∗(t)
[
Ḟ1δ − v∗(t)F2δ
]
ω∗(t)2
ωδ = υ2
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Resolução do Exercício 02 - Sistema MIMO
Assim, as expressões finais dos controladores do sistema
não-linear são dadas por:
Sinal de Controle v (t)
v (t) = v∗(t) + v
∗(t)υ2 − υ1 + v̇∗(t)F2δ
ω∗(t)
− ω∗(t)F1δ +ω̇∗(t)
[
Ḟ1δ − v∗(t)F2δ
]
ω∗(t)2
Sinal de Controle w(t)
w(t) = w∗(t) + υ2
onde v∗(t) e w∗(t) são os controles nominais obtidos na
etapa de planejamento de trajetória.
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Exercício 02
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Assim, as expressões finais dos controladores do sistema
não-linear são dadas por:
Sinal de Controle v (t)
v (t) = v∗(t) + v
∗(t)υ2 − υ1 + v̇∗(t)F2δ
ω∗(t)
− ω∗(t)F1δ +
ω̇∗(t)
[
Ḟ1δ − v∗(t)F2δ
]
ω∗(t)2
Sinal de Controle w(t)
w(t) = w∗(t) + υ2
onde v∗(t) e w∗(t) são os controles nominais obtidos na
etapa de planejamento de trajetória.
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Obrigado!
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