LivroApoio - Introdução as Ciências Físicas - InácioRibeiro2009

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Introdução às Ciências Fisicas
Inácio Gilvando Ribeiro
Coautoria
Maria de Fátima Neves Cabral
Ozielma Tôrres da Silva
Semestre 2
Curso Superior de Licenciatura 
em Matemática
Semestre 02
Introdução às Ciências Fisicas
Autoria
Inácio Gilvando Ribeiro
Coautoria
Maria de Fátima Neves Cabral
Ozielma Tôrres da Silva
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Pernambuco
D-EaD - Diretoria de Educação a Distância
2009
Governo Federal
Presidência da República
 Ministério da Educação
 Secretaria de Educação a Distância - SEED
Fundação Coordenação de Aperfeiçoamento
de Pessoal de Nível Superior - CAPES
 Diretoria de Educação a Distância - CAPES
Instituto Federal de Educação,
Ciência e Tecnologia de 
Pernambuco
Reitoria
 Pró-Reitoria de Ensino
 Diretoria de Educação a Distância
 Pró-Reitoria de Extensão
 Pró-Reitoria de Pesquisa e Inovação
 Pró-Reitoria de Administração e Planejamento
Equipe Técnica
Coordenação do Curso
Maria de Fátima Neves Cabral
Supervisão de Tutoria
Sônia Quintela Carneiro
Revisão Linguística e Textual
Leona Maria de Sá
Logística de Conteúdo
Clayson Pereira da Silva
Giselle Tereza Cunha de Araújo
Verônica Emilia Campos Freire
Projeto Gráfi co e Editoração Eletrônica
Eliana Virgínia Vieira de Melo
Tiaggo Correia Cavalcanti de Morais
Capa
Giselle Tereza Cunha de Araújo
Verônica Emilia Campos Freire
Rayana Hanna Verissimo Pereira
Diagramação
Rayana Hanna Verissimo Pereira
Tiaggo Correia Cavalcanti de Morais
Ilustração e Edição de Imagens
Elton Flor da Silva
Sumário
Aula 02
Aula 03
Aula 04 
Aula 05
Aula 06
Aula 01 05
17
37
55
77
99
Aula 01
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KOSMOS
A palavra kosmos ,em português, 
admite duas grafi as: cosmos ou 
cosmo . Para os gregos, cosmos 
não signifi ca apenas “universo”, 
mas sim, “universo com ordem”, 
isto é, o Universo tinha regras e 
cabia ao fi lósofo descobrir quais 
eram essas regras. 
Cosmos se opõe ao caos, que 
era a situação inicial do Universo: 
a matéria em desordem. Depois 
,de algum modo, o caos se 
tornou em cosmos.
Introdução à Ciência Física
Objetivos
Conceituar Física dentro do contexto histórico;1. 
Identifi car a importância da Física no desenvolvimento da humani-2. 
dade;
Estabelecer relações entre as primeiras teorias físicas e sua evolu-3. 
ção histórica;
Utilizar os parâmetros do método científi co.4. 
Introdução
Neste capítulo, faremos uma retrospectiva desde as primeiras teorias da 
física, passando pela sua evolução e importância para o desenvolvimento 
das ciências. Daremos ênfase à utilização e ao desenvolvimento do 
método científi co, utilizados em trabalhos de pesquisas. Citaremos tam-
bém os grandes fi lósofos ligados à evolução do conhecimento humano 
sobre o mundo físico. Fazendo entender que essa evolução não é resul-
tado da ação individual de alguns homens notáveis, e sim, obra coletiva. 
O que é Física
A Física é uma ciência que surgiu com a inquietação e refl exão dos 
primeiros fi lósofos gregos, no século VI a.C. Tais fi lósofos tinham grande 
interesse sobre a natureza do universo, isto é, do que seria feito e como 
aconteciam as transformações. A palavra Physis, signifi ca natureza em 
grego e dela derivou-se a palavra Física. Mas para esses fi lósofos, a 
palavra physis não signifi cava universo. Para universo, eles tinham outra 
palavra chamada kosmos.
 Os fenômenos que ocorrem permanentemente na natureza e estão sem-
pre presentes em todos os momentos da nossa vida, tem a física como 
uma ciência que explica uma grande quantidade desses fenômenos, 
como por exemplo, os dias e as noites, os relâmpagos, os trovões, os 
eclipses, as marés, o arco-íris, os planetas girando em órbitas, etc. 
8
A Física estuda matéria e energia, força e movimento. Ela também dá 
grande contribuição para o desenvolvimento científi co e tecnológico o que 
nos permite entender as questões científi cas do passado, do presente e 
nos faz buscar novos conhecimentos para as incertezas do futuro.
Importância da Física
O desenvolvimento científi co e tecnológico, alcançado pela humanidade, 
até os dias de hoje deve-se muito a essa ciência, uma das mais antigas. 
A Física tem aplicações em praticamente todas as atividades humanas. 
Na Medicina, por exemplo, inicialmente com os raios X, teve um papel 
importantíssimo, evoluindo de tal forma que hoje utilizamos a ultras-so-
nografi a, ressonância magnética, tornando ,desse modo, os diagnósticos 
muito mais precisos e rápidos.
Nos transportes, a física também teve sua importância, permitindo o 
avanço na construção de motores e os modernos trens que levitam mag-
neticamente sobre os trilhos.
Com relação às telecomunicações e à eletrônica, a física contribuiu 
grandemente, desde o surgimento do telégrafo, passando pelo rádio e 
televisão até chegar aos mais sofi sticados chips, utilizados na produção 
de computadores de última geração. 
As primeiras teorias da Física
Tales de Mileto foi o primeiro fi lósofo a estudar profundamente o pro-
blema da physis do cosmos. Tales achava que o princípio de todas as 
coisas era a água; ele considerava que a água de alguma maneira se 
transformava em todas as outras coisas.
A teoria dos quatro elementos
Essa teoria foi formulada por Empedócles de Agrigento. Para ele, todas 
as coisas seriam obtidas através da mistura de quatro substâncias indes-
trutíveis, são elas: ar, fogo, água e terra. Mais tarde, essas substâncias 
foram denominadas quatro elementos. 
TALES DE MILETO
Foi o primeiro fi lósofo ocidental 
de que se tem notícia. Ele 
foi o marco inicial da fi losofi a 
ocidental. De ascendência 
fenícia, nasceu em Mileto, 
antiga colônia grega, na Ásia 
Menor, atual Turquia, por volta 
de 624 ou 625 a.C. e faleceu 
,aproximadamente, em 556 ou 
558 a.C..
EMPÉDOCLES DE AGRIGENTO
(495/490 - 435/430 a.C.) foi 
fi lósofo, médico, legislador, 
professor, místico além de 
profeta, e também defensor da 
democracia e sustentava a ideia 
de que o mundo seria constituído 
por quatro princípios: água, ar, 
fogo e terra.
Tudo seria uma determinada 
mistura desses quatro 
elementos, em maior ou menor 
grau, e seria o que de imutável e 
indestrutível existiria no mundo.
9
Os Atomistas
Leucipo formulou outra teoria chamada Teoria Atômica, a qual foi 
desenvolvida mais detalhadamente pelo seu discípulo Demócrito. 
De acordo com essa teoria, tudo que existe na natureza seria feito de 
um número infi nito de partículas invisíveis e indivisíveis; por essa razão, 
surgiu o nome átomo, que em grego signifi ca “não divisível”. Os átomos 
seriam todos constituídos de uma mesma substância, diferindo apenas 
em forma e tamanho. À medida que esses átomos se juntavam ou se 
separavam, tínhamos a geração ou a destruição dos corpos. 
Aristóteles
Aristóteles foi o grande sistematizador do conhecimento antigo, nasceu 
em Estagira (384-322 a.C). Muitos fi lósofos antigos foram especialistas, 
ou seja, alguns se preocupavam apenas com problemas de physis; 
outros, só com a ética. Aristóteles, no entanto, estudou todas as áreas do 
conhecimento. Entre as teorias da physis propostas na época, Aristóteles 
optou pela teoria dos quatro elementos formulada por Empédocles cujos 
elementos eram indestrutíveis. Aristóteles considerava-os transformáveis 
uns nos outros. Para Aristóteles, tudo que está abaixo da Lua (mundo 
sublunar) seria formado pelos quatro elementos. Porém, a Lua e tudo 
que está acima dela (mundo supralunar), seria formado de um quinto 
elemento, chamado éter. Os corpos sublunares estariam sujeitos a trans-
formações; seriam corruptíveis; enquanto os corpos supralunares seriam 
incorruptíveis, isto é, seriam indestrutíveis, não podendo sofrer qualquer 
transformação.
As teorias de Aristóteles foram aceitas por muitos séculos devido ao 
seu prestígio, só vindo a ser seriamente questionadas no início do 
Renascimento. A partir do século XVII, foi ressuscitada a teoria atômica, 
mas o modelo de átomo que aceitamos até hoje só fi cou defi nitivamente 
estabelecido em 1932, com adescoberta do nêutron. 
Hoje sabemos que a teoria dos quatro elementos estava errada. 
Sabemos também que todos os copos que vemos ao nosso redor são 
formados por átomos.
LEUCIPO DE MILETO
 Filósofo grego, que nasceu 
cerca de 500 anos a.C. 
Tradicionalmente, Leucipo 
é considerado o mestre de 
Demócrito de Abdera e, talvez, o 
verdadeiro criador do atomismo 
(segundo a tese de Aristóteles).
 
DEMÓCRITO DE ABDERA
(460 a.C ,em Abdera ,Grécia – 
370 a.C - local desconhecido)
É certamente mais conhecido 
por sua teoria atômica, mas 
ele também foi um excelente 
geômetra. Pouco se sabe 
sobre sua vida, mas se tem 
conhecimento de que ele foi um 
discípulo de Leucipo. 
Demócrito foi um homem 
viajado. Historiadores apontam 
sua presença no Egito, Pérsia, 
Babilônia e talvez na Índia e 
Etiópia. 
10
ALQUIMIA
O signifi cado da Alquimia pode 
assumir diversas conotações de 
acordo com o contexto em que 
é aplicada e da forma como é 
interpretada. A alquimia pode ser 
considerada uma modalidade 
de ciência, talvez a mais antiga 
da história da humanidade, que 
originou diversas outras, inclusive 
a química contemporânea. 
GALILEU GALILEI
(Em italiano, Galileo Galilei, 
Pisa, 15 de fevereiro de 1564 
— Florença, 8 de janeiro de 
1642) foi físico, matemático, 
astrónomo e fi lósofo italiano que 
teve um papel preponderante na 
chamada revolução científi ca.
Galileu Galilei desenvolveu os 
primeiros estudos sistemáticos 
do movimento uniformemente 
acelerado e do movimento do 
pêndulo. Descobriu a lei dos 
corpos , enunciou o princípio da 
inércia e o conceito de referencial 
inercial, ideias precursoras da 
mecânica newtoniana. 
Alquimia
Diversas teorias sobre a estrutura do Universo foram propostas, porém, 
na antiguidade, não havia como testá-las. Por essa razão, durante muitos 
séculos, não surgiram novas teorias sobre a constituição da matéria. 
Assim, a atenção dos estudiosos voltou-se para o comportamento das 
coisas que formam o cosmos. 
Assim sendo, a princípio estudou-se o movimento; posteriormente, o 
calor, a eletricidade, o magnetismo, o som e a luz. 
Nessa fase, porém, a refl exão sobre a estrutura da matéria não fi cou 
totalmente abandonada, pois surgiram, a partir do século IV a.C., os 
chamados Alquimistas, pessoas que praticavam a alquimia. Partindo de 
algumas técnicas já conhecidas que eram utilizadas para trabalhar com 
metais, vidros e outros, os alquimistas tomaram por base a teoria dos 
quatro elementos, procuraram desenvolver técnicas de transformação da 
matéria. Por essa razão, devemos a eles a descoberta de muitas subs-
tâncias e algumas técnicas de separação de misturas como, por exemplo, 
a destilação.
A evolução da Física
O homem sempre procurou desvendar os fenômenos que aconteciam a 
sua volta, isso foi sempre uma constante na evolução humana. Na luta 
pela sobrevivência, o homem foi aprendendo a conhecer a natureza e 
desvendar seus segredos.
Quando o homem pré-histórico usou uma pedra para abrir o crânio de um 
animal ou fez um arco para atirar uma fl echa, ele estava incorporando 
conhecimentos mesmo que inconsciente de Mecânica.
Os primeiros povos civilizados, na Mesopotâmia e no Egito, aprenderam, 
entre outras coisas, a bombear água para as plantações, a transportar e 
levantar enormes blocos de pedra e construir monumentos. 
Na luta pela sobrevivência ,o homem foi aprendendo a conhecer a natu-
reza e desvendar seus segredos. 
Mais tarde, com os gregos, nasceu a Filosofi a. Herdeiros de um longo 
processo de desenvolvimento cultural ocorrido nas regiões próximas do 
Mediterrâneo, eles tentaram explicar o mundo através unicamente da 
razão. Os conhecimentos anteriores aos gregos foram obtidos na tenta-
11
ISAAC NEWTON
(04/01/1643 — 31/03/1727) 
Foi um cientista inglês, mais 
reconhecido como físico e 
matemático, embora tenha sido 
também astrônomo, alquimista, 
fi lósofo natural e teólogo. Sua 
obra, Philosophiae Naturalis 
Principia Mathematica, é 
considerada uma das mais 
infl uentes em História da ciência. 
Publicada em 1687, esta obra 
descreve a lei da gravitação 
universal e as três leis de 
Newton, que fundamentaram a 
mecânica clássica.
tiva de resolver problemas práticos. Confundiam-se ainda com os mitos e 
a religião.
Os gregos deram um enorme salto ao formular racionalmente os princí-
pios explicativos do movimento, da constituição da matéria, do peso, do 
comportamento da água, etc.
Como na sociedade grega todo trabalho físico era realizado por escra-
vos, os gregos não se preocupavam em resolver problemas práticos. 
Valorizavam as ideias e muito pouco a experimentação.
A decadência do Mundo Antigo e o advento da Idade Média representa-
ram um enorme retrocesso para a ciência. Uma sociedade basicamente 
rural, dominada pela religião, que fazia uso restrito da escrita e de livros, 
oferecia, então, poucas possibilidades ao desenvolvimento científi co.
O renascimento do comércio e da vida urbana, no fi nal da Idade Média, 
criou um ambiente próprio para a renovação cultural que lançou as bases 
da ciência moderna. Foi nesse universo urbano em formação que viveu, 
no século XVI, o personagem símbolo dessa ciência: Galileu Galilei.
Galilei introduziu um procedimento fundamental para o cientista: a neces-
sidade de testar, com experiências concretas, as formulações teóricas. 
Além disso, o genial italiano mostrou, com sua prática, que o cientista 
precisa criar situações favoráveis de observação, eliminando fatores que 
interfi ram ou prejudiquem a análise do fenômeno a ser estudado.
Outro momento importante na constituição do conhecimento ligado à 
Física ocorreu no século XVII com Isaac Newton. Ele realizou a primeira 
grande síntese da história da Física através da formulação de leis gerais. 
Com isso, criou-se a possibilidade de investigações novas em diversos 
campos.
Newton criou, ainda, um sistema matemático para resolver problemas de 
Física para os quais antes não havia solução.
A partir dos fundamentos lançados por Newton, ocorreram importantes 
inovações científi cas e técnicas. Ao longo dos séculos XVIII e XIX, o 
progresso material derivado dessas inovações foi notável.
O fi nal do século XIX foi uma fase de excessivo otimismo. Muitos estu-
diosos da Física achavam que já conheciam os princípios e as leis 
fundamentais do funcionamento do universo.
Quando surgiu ,em 1905, a Teoria da Relatividade, publicada por 
Einstein, que provocou uma verdadeira revolução no campo científi co. 
12
As mais arraigadas certezas, baseadas nas leis mecânicas de Newton, 
passaram a ser revistas.
A partir daí, os avanços foram enormes. A obtenção de energia a partir 
da desintegração atômica, os satélites e as viagens espaciais são alguns 
dos resultados mais conhecidos do progresso recente da Física.
Método científi co
O método científi co é um conjunto de regras básicas para desenvolver 
uma experiência visando aos novos conhecimentos, bem como corrigir e 
integrar conhecimentos pré-existentes. A maioria das disciplinas cien-
tífi cas consiste em juntar evidências observáveis, empíricas (ou seja, 
baseadas apenas na experiência) e mensuráveis e as analisa com o uso 
da lógica. 
O contexto de uma pesquisa
Primeiramente os pesquisadores defi nem proposições lógicas ou supo-
sições (hipóteses) para explicar certos fenômenos e observações só 
,então, desenvolvem experimentos que testam essas hipóteses. Se 
confi rmadas, as hipóteses podem gerar leis e teorias. Integrando-se 
hipóteses de certa área a uma estrutura coerente de conhecimento, 
contribui-se na formulação de novas hipóteses, bem como coloca as 
hipóteses em um conjunto de conhecimento maior que são as leis e 
teorias reconhecidas consensualmente pela comunidade científi ca e/ou o 
paradigma de seu tempo.
Outra característica do método é a de que o processo precisa ser obje-
tivo, e o cientista deve ser imparcial na interpretação dos resultados. 
Tanto a imparcialidade (evidência) como a objetividade foram incluídas 
por René Descartes (1596 – 1649)nas regras lógicas que caracterizam 
o método científi co.
Além disso, o procedimento precisa ser documentado, tanto no que diz 
respeito à fonte de dados como as regras de análise, para que outros 
cientistas possam reanalisar, reproduzir e verifi car a confi abilidade dos 
resultados. 
ALBERT EINSTEIN
Devido à formulação da teoria da 
relatividade ,Einstein tornou-se 
famoso mundialmente. Nos 
seus últimos anos, a sua fama 
excedeu a de qualquer outro 
cientista na cultura popular: 
“Einstein” tornou-se um sinônimo 
de gênio. Foi ,por exemplo, 
eleito pela revista Time como 
a “Pessoa do Século” ,e a sua 
face é uma das mais conhecidas 
em todo o mundo. Em 2005, 
celebrou-se o Ano Internacional 
da Física, em comemoração aos 
100 anos do chamado “Annus 
Mirabilis” (ano miraculoso) de 
Einstein, em que este publicou 
quatro dos mais importantes 
artigos cientifícos da física do 
século XX. Em sua honra, foi 
atribuído o seu nome a uma 
unidade usada na fotoquímica, 
o einstein, bem como a um 
elemento químico, o einstênio.
13
É comum o uso da análise matemática ou estatística, quando possível, 
ou aproximação de modelos abstratos e categorias de classifi cação a 
depender do objetivo da pesquisa. 
Elementos do método científi co
O método científi co é composto dos seguintes elementos:
Caracterização - » Quantifi cações, observações e medidas;
Hipóteses - » Explicações hipotéticas das observações e medidas; 
Previsões - » Deduções lógicas das hipóteses; 
Experimentos - » Testes dos três elementos acima. 
O método científi co consiste dos seguintes aspectos:
Observação - » Uma observação pode ser simples, isto é, feita a olho 
nu, ou pode exigir a utilização de instrumentos apropriados; 
Descrição - » O experimento precisa ser replicável (capaz de ser 
reproduzido); 
Previsão - » As hipóteses precisam ser válidas para observações 
feitas no passado, no presente e no futuro;
Control » e - Para maior segurança nas conclusões, toda experiên-
cia deve ser controlada. Experiência controlada é aquela que é 
realizada com técnicas as quais permitem descartar as variáveis 
passíveis de mascarar o resultado; 
Explicação das Causas - » Na maioria das áreas da Ciência, é 
necessário que haja causalidade. Nessas condiçõe para o enten-
dimento científi co, os requerimentos abaixo são vistos como 
importantes: 
Identifi cação das Causas; »
Correlação dos eventos - » As causas precisam se correlacio-
nar com as observações; 
Ordem dos eventos - » As causas precisam preceder no 
tempo os efeitos observados. 
Apresentamos abaixo a sequência dos elementos do método cientifi co:
Defi nição do problema; »
Recolhimento de » dados ;
Proposição de uma hipótese ; »
Realização de uma experiência controlada, para testar a validade da »
hipótese ;
Análise dos resultados ; »
RENÉ DESCARTES
(31/03/ 1596 -11/02/1650) 
Também conhecido como 
Renatus Cartesius (forma 
latinizada), foi fi lósofo, 
físico e matemático francês. 
Notabilizou-se, sobretudo, por 
seu trabalho revolucionário 
na fi losofi a e na ciência mas 
também obteve reconhecimento 
matemático por sugerir a fusão 
da álgebra com a geometria ,fato 
que gerou a geometria analítica 
e o sistema de coordenadas que 
hoje leva o seu nome. Por fi m, 
ele foi uma das fi guras-chave na 
Revolução Científi ca.
REGRAS
Em metodologia, pode ser 
um conjunto de coordenadas 
de funcionamento de um 
determinado sistema para fi ns 
de organização, ou seja ,para 
manter a ordem do mesmo. 
LÓGICA
Signifi ca palavra, pensamento, 
ideia, argumento, relato, razão 
lógica ou princípio lógico), é uma 
ciência de índole matemática e 
fortemente ligada à Filosofi a.
14
Interpretação dos dados e tirar conclusões, o que serve para a »
formulação de novas hipóteses;
Publicação dos resultados em » monografi as, dissertações, teses, 
artigos ou livros aceitos por universidades e/ou reconhecida pela 
comunidade científi ca. 
Referências
BONJORNO, J. R. & Clinton M. R. – Física História e Cotidiano, Volume 
único, Editora FTD, 2ª edição, São Paulo, 2005.
GASPAR, A. – Física, Volume Único, Editora Ática, São Paulo, 2003.
Ugo Amaldi – Imagens da Física, Editora Scipione, 1ª edição ,São Paulo, 
1997.
ROCHA, J.F.M ET all – Origem e evolução das idéias da Física, Editora 
EDUFBA, Salvador, 2002.
SAMPAIO, J.L. e Calçada, C. S. - Universo da Física, vol. 1 Mecânica, Atual 
Editora, 2ª Edição São Paulo, 2006.
<http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_cient%C3%ADfi co> Acesso em: 
14/03/2009.
DESCARTES, René. Discurso do método. (tradução prefácio e notas de 
João Cruz Costa. SP, Ed de Ouro, 1970 disponível para download em domí-
nio público http://www.dominiopublico... e Booket http://www.eBooket.net
HADDAD, Nagib. Metodologia de estudos em ciências da saúde, como pla-
nejar, analisar e apresentar um trabalho científi co. SP, Roca, 2004
LAKATOS, Eva; Maria Marconi, Marina de A. Metodologia científi ca. SP, 
Atlas, 2007
PARADIGMA
Literalmente modelo, é a 
representação de um padrão a 
ser seguido.
CIENTISTA
Em metodologia, pode ser 
um conjunto de coordenadas 
de funcionamento de um 
determinado sistema para fi ns 
de organização, ou seja ,para 
manter a ordem do mesmo. 
15
Sites para consultas
http://pt.wikipedia.org/wiki/Discurso_sobre_o_M%C3%A9todo
http://www.mundodosfi losofos.com.br/descartes.htm
http://www.ecientifi cocultural.com/ECC2/artigos/metcien1.htm
http://www.molwick.com/pt/metodos-cientifi cos/520-tipos-metodos-cientifi cos.
html
http://scm2000.sites.uol.com.br/algumasdiferencas.html
Aula 02
19
CGPM
A ‘Conférence Générale des 
Poids et Mesures’ (Conferência 
Geral de Pesos e Medidas 
ou CGPM) é uma das três 
organizações criadas para avaliar 
e gerir o Sistema Internacional 
de Unidades (SI) nos termos da 
Convenção do Metro (1875). 
Reúne-se em Paris,a cada 
quatro ou seis anos. Em 2002, a 
CGPM representava 51 estados-
membro e dez observadores.
Unidades das Grandezas
Objetivos
Relembrar alguns conceitos básicos das unidades das grandezas 1. 
no SI;
Utilizar o sistema métrico decimal;2. 
Desenvolver operações com notação científi ca.3. 
Introdução
Sabemos que, a cada instante, um fenômeno acontece ao nosso redor. 
Dentre os fenômenos estudados, existem equações matemáticas que 
foram formuladas para explicar tais fenômenos. 
Uma das características da Física ,a partir do Século XVII ,é a sua “mate-
matização”, isto é, as leis da Física passaram a ser descritas de forma 
matemática, por meio de equações envolvendo grandezas tais como: 
velocidade, força, energia, etc. Dessa forma, o processo de medida das 
grandezas passa a ter uma importância fundamental. 
Neste capítulo, introduziremos as unidades usadas para medir as grande-
zas básicas e a sua representação no Sistema Internacional de Unidade 
como também mostraremos de que forma representar e operar com 
números em notação científi ca. 
Sistema Internacional de Unidade
Até 1862 ,o Brasil utilizava as unidades e medidas de Portugal (vara, 
braça (extensão), quintal (massa), etc.), mas estas medidas nunca 
foram rigorosamente cumpridas. Em 1862 ,o Sistema Métrico francês 
foi adotado em todo o Império, mas somente em 1872, foi aprovado o 
Regulamento do Sistema adotado. Em 1875 ,o Brasil fez-se represen-
tar na Conferência Internacional do Metro, mas como este Ato não foi 
retifi cado no Brasil, logo a partir da I CGPM (1889), deixamos de manter 
ligações com esta entidade. Somente em outubro de 1921, o Brasil ade-
riu novamente à Convenção do Metro iniciando em 1935 a elaboração 
de um projeto de regulamentação do seu sistema de medidas. Com o 
20
ANOTAÇÕES PESSOAIS advento do Estado Novo, foi somente a partir de 1938 que foram fi xadas 
as bases para a adoção defi nitiva do sistema de pesos e medidas, o que 
culminou em 1953 com a adesão do Brasil à CGPM. Em 1960, o Brasil 
participou da 11ª. CGPM, que criou o Sistema Internacional de Unidades. 
Em consequência desses fatos, foi criado ,em 1961, o Instituto Nacional 
de Pesos e Medidas (INPM), hojedesignado como Instituto Nacional de 
Metrologia, Normatização e Qualidade Industrial (INMETRO), ao qual 
cabe a responsabilidade de manter atualizado o quadro geral de unida-
des e resolver as dúvidas que possam surgir quando de sua aplicação ou 
interpretação.
Unidades de Base ou Fundamentais
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento Metro m
Massa Quilograma kg
Tempo Segundo s
Corrente elétrica Ampère A
Temperatura termodinâmica Kelvin K
Quantidade de matéria Mol Mol
Intensidade luminosa Candela Cd
METRO (m) - É o caminho percorrido pela luz no vácuo durante um »
intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo [17ª. CGPM 
(1983)];
QUILOGRAMA (kg) - É igual à massa do protótipo internacional, »
feito com uma liga platina - irídio, dentro dos padrões de precisão e 
confi abilidade que a ciência permite [1ª. CGPM (1889) ; ratifi cada na 
3ª. CGPM (1901)];
SEGUNDO (s) - É a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação »
correspondente à transição entre os dois níveis hiperfi nos do átomo 
de césio-133, no estado fundamental [13ª. CGPM ( 1967)];
AMPÈRE (A) - É uma corrente constante que, se mantida em dois »
condutores retilíneos e paralelos, de comprimento infi nito e secção 
transversal desprezível, colocados a um metro um do outro no 
vácuo, produz entre estes dois condutores uma força igual a 2 x10-7 
Newton, por metro de comprimento [9ª. CGPM (1948)];
KELVIN – (K) - É a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica »
do ponto triplo da água (13ª. CGPM -1967);
MOL (mol) - É a quantidade de matéria de um sistema que contém »
tantas entidades elementares quantos forem os átomos contidos em 
0,012 quilograma de carbono 12 (14ª. CGPM -1971);
21
CANDELA (cd) - É a intensidade luminosa, em uma determinada »
direção, de uma fonte que emite radiação monocromática de frequ-
ência 540x1012 hertz e que tem uma intensidade radiante naquela 
direção de 1/683 watt por esteradiano (16ª. CGPM -1979).
Unidades Derivadas
São formadas pela combinação de unidades de base, unidades suple-
mentares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relações 
algébricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os símbolos 
para as unidades derivadas são obtidos por meio dos sinais matemáticos 
de multiplicação e divisão e o uso de expoentes. Algumas unidades SI 
derivadas têm nomes e símbolos especiais.
Algumas unidades SI derivadas simples em termo das unidades de 
base
Grandeza Unidade Símbolo
Área Metro quadrado m2
Volume Metro cúbico m3
Velocidade Metro por segundo m/s
Aceleração Metro por segundo quadrado m/s2
Força Newton N
Densidade Quilograma por metro cúbico kg/m3
Potência Watt W
Carga elétrica Coulomb C
Sistema Métrico Decimal
Histórico
No início, o próprio corpo humano servia como base para a criação de um 
sistema de mensuração. Os gregos foram os primeiros a inventar uma 
forma sistematizada de medir, com padrões criados com base em partes 
anatômicas.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
22
O início do desenvolvimento do sistema métrico data de 1791, na França, 
com a intenção de criar uma medida padronizada a ser adotada mundial-
mente. Esta medida, o metro padrão, representava a décima milionésima 
parte de um quadrante terrestre, defi nida em 1799.
Um quadrante terrestre, defi nido a partir da linha do Equador. O metro foi 
obtido pela divisão desta distância por 10 milhões.
Esta distância foi calculada e transferida para uma barra de platina com 
secção transversal retangular. O metro padrão passou a ser defi nido 
como a distância entre os dois extremos da barra a uma dada tempe-
ratura, sendo que outros países receberam barras semelhantes para 
disseminar a nova medida.
Em 1889, o padrão do metro foi substituído por uma barra com secção 
transversal em “X”, composta por uma liga de platina e irídio altamente 
estável, mais precisa do que o padrão original de 1799. O comprimento 
desta barra, a 0º C, era equivalente a um metro. Vários países recebe-
ram cópias destes padrões, precisamente calibrados com comparadores 
ópticos desenvolvidos na época.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
23
Duas barras com secção transversal em “X”, compostas por liga de 
platina-irídio, representando o metro padrão de 1889.
Em 1983, chegou-se à atual defi nição do metro, baseada no compri-
mento de onda da luz gerada por um laser de Hélio-Neon no vácuo. Hoje, 
defi ne-se o metro como “a distância linear percorrida pela luz no vácuo, 
durante um intervalo de 1/299.792.458 segundo”. Esta medida é tão pre-
cisa que o seu grau de incerteza situa-se na ordem de ±1 x 2,5x1011.
O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo 
o mundo, visando à padronização das formas de medição.
Desde os tempos mais remotos, os povos criavam seu método próprio de 
unidades de medidas. Cada um, desta forma, tinha seus próprios méto-
dos de medição.
Além da falta de uniformidade, observamos duas outras características 
das unidades antigas: a imprecisão e a difi culdade de reprodução.
Com o comércio crescente e em expansão na época, fi cava, cada vez 
mais complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medi-
das, e a troca de informações entre os povos era confusa.
Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas 
em suas respectivas grandezas.
Então ,no ano de 1791, um grupo de representantes de diversos países 
reuniu-se para discutir a forma de adotar um sistema de medidas único 
que facilitasse a troca de informações entre os povos. Foi desenvolvido o 
sistema métrico decimal.
Unidade de Comprimento 
O termo “metro” é oriundo da palavra grega “métron” e tem como sig-
nifi cado “o que mede”. Estabeleceu-se ,no princípio, que a medida do 
“metro” seria a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte 
e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de 
Paris. O metro padrão foi criado no ano de 1799 e hoje é baseado no 
espaço percorrido pela luz no vácuo em um determinado período de 
tempo.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
24
As primeiras medições
No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que 
permitem ao homem moderno medir comprimentos. Porém nem sempre 
foi desta forma, há 3.000 anos, quando não existiam os recursos atuais, 
como o homem fazia para efetuar medidas de comprimentos?
Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto a necessidade 
de contar. Quando o homem começou a construir suas habitações e 
desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivência e desen-
volvimento econômico, fez-se necessário medir espaços, logo houve a 
necessidade de se medir espaços.
Desta forma, para medir espaços, o homem antigo tinha como base 
seu próprio corpo, por isto o surgimento de polegadas, braça, passo 
e palmo. Algumas destas medidas ainda são usadas, como é o caso da 
polegada.
Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, 
o “cúbito”, que é a distância do cotovelo à ponta do dedo médio.
Como as pessoas, é claro, têm tamanhos diferentes, o “cúbito” variava 
de uma pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergência 
nos resultados fi nais de medidas.
Assim, observando esse problema, o de variação de medidas, o povo 
egípcio resolveu adotar uma outra forma de medir o “cúbito”.Eles, os 
egípcios, passaram ,então, ao invés de usar seu próprio corpo, substi-
tuiram-no por uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim 
deu-se a origem do “cúbito padrão”.
Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo 
egípcio começou, então, a usar cordas, para medir grandes áreas. Havia 
nós que eram igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo 
entre estes nós poderia medir “x” cúbitos fi xos. Com essa forma de medi-
ção com cordas, originou-se o que chamamos hoje de “trena”.
Hoje, o sistema internacional de unidades estabelece que o metro é 
a medida ofi cialmente usada nas atividades científi cas, econômicas e 
industriais. A defi nição dessa grandeza foi reformulada ao longo das 
diversas Conferências Gerais de Pesos e Medidas, reuniões periódicas 
entre representantes devários países para deliberar a respeito dos 
padrões e do seu uso corrente. Segundo a defi nição atual, “o metro 
equivale a 299 792 458 avos da distância percorrida pela luz no 
vácuo durante um segundo”.
POLEGADAS
A polegada é uma unidade de 
comprimento usada no sistema 
imperial de medidas britânico. 
Uma polegada são 2,54 
centímetros ou 25,4 milímetros
A polegada tem sua origem na 
medida realizada com o próprio 
polegar humano (não todo ele, 
mas a distância entre a dobra 
do polegar e a ponta). Uma 
medida rápida do polegar de 
um ser humano adulto fornece 
aproximadamente 2,5 cm de 
comprimento para esta distância.
Hoje em dia, ela é defi nida em 
função da Jarda. Esta ,por sua 
vez, é defi nida em função do 
metro (unidade adotada na 
maioria dos países).
Equivalências
1 polegada é igual a:
0,027777777777778 jardas :
0,083333333333333 pés; 
1 pé = 12 polegadas.
25
Múltiplos e submúltiplos do Metro
Como o metro é a unidade fundamental do comprimento, existem ,evi-
dentemente, os seus respectivos múltiplos e submúltiplos.
Os nomes pré-fi xos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo, hecto, 
deca, centi e mili.
Veja o quadro:
Múltiplos Unidade Principal Submúltiplos
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
km hm dam m dm cm mm
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
2000m 200m 20m 2m 0,2m 0,02m 0,002m
3000m 300m 30m 3m 0,3m 0,03m 0,003m
Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes 
áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar medição em 
pequenas distâncias.
No caso de haver necessidade de fazer medições milimétricas, onde a 
precisão é fundamental, podem-se utilizar as seguintes medições:
Micron (µ) = 10-6m
Angstron (Å) = 10-10m
Nomes e funções de algumas medidas
Nome Função Unidade
Metro Unidade de comprimento m
Metro quadrado Unidade de superfície m2
Metro cúbico Unidade de volume m3
Litro Unidade de capacidade L
Grama Unidade de peso g
Tempo Medir tempo s
Quilograma Medir massa kg
Quilograma por metro cúbico Medir massa específi ca kg/m3
Watt Potência e fl uxo de energia w
Hertz Frequência hz
BRAÇA
É uma antiga medida cujo 
comprimento equivale a 2,2 
metros. Apesar de antiga, 
atualmente ainda é usada 
e compreendida por muitos 
trabalhadores rurais e outras 
pessoas envolvidas com o meio 
rural.
Ao conjunto de 3.000 braças se 
dá o nome de légua (esta não é a 
única defi nição ).
Uma área formada por 30 x 30 
braças recebe o nome de braça 
quadrada (no Brasil) ou tarefa 
baiana (especifi camente na 
Bahia).
26
Leitura das Medidas de comprimento
Podemos efetuar a leitura corretas das medidas de comprimento com 
auxílio de um quadro chamado “quadro de unidades”.
Exemplo: Leia 16,072 m
km hm dam m dm cm mm
kilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centíme-
tro
milímetro
km hm dam m dm cm mm
1 6, 0 7 2
Após ter colocado os respectivos valores dentro das unidades equiva-
lentes, lê-se a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu 
último algarismo ;e a parte decimal; com a unidade de medida o último 
algarismo.
16,072m = Dezesseis metros e setenta e dois milímetros
Veja outros exemplos de leitura:
8,05 km = Lê-se assim: “Oito quilômetros e cinco decâmetros”
72,207 dam = Lê-se assim: “Setenta e dois decâmetros e duzentos e sete 
centímetros”
0,004 m = Lê-se assim: “Quatro milímetros”
Transformar unidades
Quando se deseja transformar quilômetro (km) em hectômetro (hm), 
basta multiplicar por 10; de hectômetro (hm) em decâmetro (dam), 
multiplica-se por 10 e assim sucessivamente. 
Observe a tabela abaixo:
.10 .10 .10 .10 .10
km hm dam m dm cm mm
Quando se deseja transformar milímetro (mm) em centímetro 
(cm), basta dividir por 10; de centímetro (cm) em decímetro (dm), 
divide-se por 10 e assim sucessivamente. 
PALMO
Palmo é uma medida de 
comprimento que se obtém com 
a mão totalmente aberta, em 
torno de 22 centímetros. Além 
disso, palmo também é uma 
unidade de medida inglesa, ainda 
utilizada em alguns países, como 
nos Estados Unidos.
PASSO
Medida de comprimento múltipla 
do pé. O passo singelo podia ter 
2, 2,5 e 3 pés consoantes o uso. 
O passo dobrado era o dobro 
do singelo. O passo geométrico 
tinha 5 pés e era usado pelos 
geógrafos. 
27
Observe a tabela abaixo:
‘
km hm dam m dm cm mm
÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10
Agora observe os exemplos de transformações
1) Transforme 17,475hm em m
km hm dam m dm cm mm
kilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
Para transformar hm (hectômetro) em m (metro) - observe que são duas 
casas à direita- multiplicamos por 100, ou seja, (10 x 10).
17,475 x 100 = 1747,50
Ou seja,
17,475 hm é = 1747,50m
2) Transforme 2,462 dam em cm
km hm dam m dm cm mm
kilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
Para transformar dam (Decâmetro) em cm (Centímetro) – observe que 
são três casas à direita – multiplicamos por 1000, ou seja, (10 x 10 x 10).
2,462 x 1000 = 2462
Ou seja,
2,462dam é = 2462 cm
3) Transforme 186,8m em dam.
km hm dam m dm cm mm
kilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
Para transformar m (metro) em dam (decâmetro) ,observe que é uma 
casa à esquerda – dividimos por 10.
186,8 ÷ 10 = 18,68 ou seja 186,8 m é = 18,68 dam
ANOTAÇÕES PESSOAIS
28
4) Transforme 864m em km.
km hm dam m dm cm mm
kilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
Para transformar m (metro) em km (kilômetro) , observe que são três 
casas à 
esquerda - dividimos por 1000.
864 ÷ 1000 = 0,864
Ou seja,
864m é = 0,864km
Unidade de Tempo 
O tempo é uma unidade vital tanto para o meio cívico como para o meio 
científi co. Todos nós temos que saber as horas para podermos orga-
nizar uma sequência de eventos no intervalo de tempo de um dia. No 
meio científi co, é necessário que saibamos a duração de certo evento, e 
muitas grandezas físicas dependem do tempo, como a velocidade (com-
primento por tempo), aceleração (comprimento por tempo ao quadrado), 
etc. O tempo em si é uma grandeza fundamental da física assim defi nida 
pelo SI. Podemos estabelecer como padrão de tempo qualquer fenômeno 
que se repita periodicamente. O exemplo mais conhecido é o período de 
rotação da Terra, que representa o intervalo de tempo de 24h, ou um dia. 
Porém os desenvolvimentos científi cos exigem que haja mais precisão 
para se estabelecer uma unidade de tempo válida. 
No antigo Egito, utilizava-se, para a medição do tempo, a ampulheta, 
que consistia em um tubo de vidro com um enforcamento em seu centro 
e um dos lados continha areia. A unidade de tempo de cada ampulheta 
era defi nida como sendo o intervalo de tempo necessário para que toda a 
areia escoasse de um lado para outro. Muitos séculos depois, o pêndulo 
era utilizado para a medição do tempo, já que ele tinha a propriedade de 
possuir um período constante, independendo de sua velocidade. Nessa 
época, no entanto, a imprecisão era tremenda. Atualmente se utilizam 
relógios de pulso a quartzo, que tem a propriedade de gerar um pulso 
elétrico periódico quando sob certas condições. Em laboratórios, são 
utilizados ,hoje em dia, os relógios atômicos, baseados na frequência 
característica do isótopo do césio 133. Em 1967, estabeleceu-se ,então, 
AMPULHETA
A ampulheta é, com o quadrante 
solar e a clepsidra, um dos meios 
mais antigos para se medir o 
tempo. É constituída por duas 
âmbulas (recipientes cônicos ou 
cilíndricos) transparentes que 
se comunicam por um pequeno 
orifício que deixa passar uma 
quantidade determinada de 
areia de uma para a outra - o 
tempo decorrido a passar 
de uma âmbula para a outra 
corresponde, em princípio, 
sempre ao mesmo período de 
tempo . 
29
que a unidade de tempo do segundo é defi nida como 9. 192. 631. 770 
vibrações de luz em um dado comprimento de onda emitido pelo césio 
133. Estes relógios de césio têm uma precisão de 1 segundo para cada 
6000 anos. 
É comum ,em nosso dia-a-dia ,perguntas do tipo:
Qual a duração dessa partida de futebol? »
Qualo tempo dessa viagem? »
Qual a duração desse curso? »
Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? »
Todas essas perguntas serão respondidas tomando-se por base uma 
unidade padrão de medida de tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) 
é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural 
decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meri-
diano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a 1/86.400 do dia solar médio.
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60 s 60 min = 3600 s 24h =1440 min = 86400s
São submúltiplos do segundo:
Décimo de segundo »
Centésimo de segundo »
Milésimo de segundo »
Outras importantes unidades de medida:
Mês (comercial) = 30 dias »
Ano (comercial) = 360 dias »
Ano (normal) = 365 dias e 6 horas »
Ano (bissexto) = 366 dias »
Semana = 7 dias »
Quinzena = 15 dias »
PÊNDULO
A fi gura, um relógio de pêndulo, 
era antigamente um adorno 
muito comum em algumas 
residências.
RELÓGIO
 
30
Bimestre = 2 meses »
Trimestre = 3 meses »
Quadrimestre = 4 meses »
Semestre = 6 meses »
Biênio = 2 anos »
Lustro ou quinquênio = 5 anos »
Década = 10 anos »
Século = 100 anos »
Milênio = 1.000 anos »
Unidade de Massa
Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa.
Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, 
constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.
 Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) 
para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se 
encontra. Por exemplo:
A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no 
entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.
Explica-se esse fenômeno pelo fato de a gravidade terrestre ser 6 vezes 
superior à gravidade lunar.
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma. O quilograma 
(kg) é a massa de 1 dm3 de água destilada à temperatura de 4°C.
Múltiplos e Submúltiplos do grama
quilo-
grama
hecto-
grama
deca-
grama
grama deci-
grama
centi-
grama
mili-
grama
kg hg dag g dg cg mg
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade 
imediatamente inferior. 
INSTRUMENTOS PARA MEDIR 
MASSA
31
Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e 
capacidade.
Assim, para a água pura (destilada) ,a uma temperatura de 4ºC, é válida 
a seguinte equivalência:
1 kg <=> 1dm3 <=> 1L
São válidas também as relações:
1cm3 <=> 1ml <=> 1g
Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes 
unidades especiais: 
 1 arroba = 15 kg
 1 tonelada (t) = 1.000 kg
 1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg
Leitura das Medidas de Massa
A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado 
às medidas lineares. 
Exemplos:
Leia a seguinte medida: 83,731 hg 
kg hg dag g dg cg mg
Lê-se:”83 hectogramas e 731 decigramas”.
Leia a medida: 0,043g 
kg hg dag g dg cg mg
 0, 0 4 3
Lê-se: “43 miligramas”.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
32
Transformação de Unidades
Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente 
inferior.
Observe as seguintes transformações:
Transforme 4,627 kg em dag. 
kg hg dag g dg cg mg
Para transformar kg em dag (duas posições à direita), devemos multipli-
car por 100 (10 x 10).
4,627 x 100 = 462,7 ou seja 4,627 kg = 462,7 dag
Notação Científi ca
A notação científi ca é uma forma concisa de representar números, 
em especial, muito grandes (100000000000) ou muito pequenos 
(0,00000000001). É baseado no uso de potências de 10 (os casos acima, 
em notação científi ca, fi cariam: 1 · 1011 e 1 · 10-11, respectivamente).
Observe os números abaixo:
700 000 
40 000 000 
800 000 000 000 000 
2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 
0,0008 
0,00000001 
0,0000000000000009 
0,0000000000000000000000000000000000000000000000006
ANOTAÇÕES PESSOAIS
33
A representação desses números na forma convencional torna-se difícil. 
O principal fator de difi culdade é a quantidade de zeros extremamente 
alta para a velocidade normal de leitura dos números.
Em áreas como a Física e a Química ,esses valores são frequentes. Por 
exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 
000 000 000 000 000 000 000 000 metros, e a massa de um próton é 
aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 gramas.
Para valores como esses, a notação científi ca é mais compacta. Outra 
vantagem da notação científi ca é que ela sempre pode representar ade-
quadamente a quantidade de algarismos signifi cativos.
Descrição
Um número escrito em notação científi ca segue o seguinte modelo:
m · 10e 
O número m é denominado mantissa, e e denomina-se a ordem de 
grandeza.
Notação científi ca padronizada
A defi nição básica de notação científi ca permite uma infi nidade de repre-
sentações para cada valor. Mas a notação científi ca padronizada inclui 
uma restrição: a mantissa deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. 
Para transformar um número qualquer para a notação científi ca padroni-
zada, devemos deslocar a vírgula obedecendo ao princípio de equlíbrio.
Vejamos o exemplo abaixo:
253 756,42
A notação científi ca padronizada exige que a mantissa esteja entre 1 
e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 (observe que 
a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição 
da vírgula). Para o exponente, vale o princípio de equilíbrio: “Cada casa 
decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma 
unidade, e vice-versa”.
Nesse caso, o expoente é 5.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
34
Observe a transformação passo a passo:
253 756,42 
25 375,642 · 101 = 2 537,5642 · 102 = 253,75642 · 103 = 25,375642 · 104 
=2,5375642 · 105
Um outro exemplo, com valor menor que 1:
0,0000000475
0,000000475 · 10-1 = 0,00000475 · 10-2 = 0,0000475 · 10-3 = 0,000475 · 
10-4 = 0,00475 · 10-5 = 0,0475 · 10-6 = 0,475 · 10-7 = 4,75 · 10-8
Operações
Adição e subtração
Para somar dois números em notação científi ca, é necessário que o 
expoente seja o mesmo.
Isto é, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja 
igual ao do outro. A transformação segue o mesmo princípio de equilí-
brio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, sendo 
convertido posteriormente.
Exemplos:
4,2 · 107 + 3,5 · 105 = 4,2 · 107 + 0,035 · 107 = 4,235 · 107
6,32 · 109 - 6,25 · 109 = 0,07 · 109 (não padronizado) = 7 · 107 (padroni-
zado)
Multiplicação
Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. O 
resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:
ANOTAÇÕES PESSOAIS
35
Exemplos:
(6,5 · 108) . (3,2 · 105) = (6,5 · 3,2) · 10(8+5) = 20,8 · 1013 (não padronizado) 
= 2,08 · 1014 (convertido para a notação padronizada)
(4 · 106) · (1,6 · 10-15) = (4 · 1,6) · 106+(-15) = 6,4 · 10-9 
(já padronizado sem necessidade de conversão)
Divisão
Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. O 
resultado possivelmente não será padronizado,no entanto pode ser 
convertido:
Exemplos:
(8 · 1017) / (2 · 109) = (8/2) . 1017-9 = 4 · 108 (padronizado)
(2,4 · 10-7) / (6,2 · 10-11) = (2,4 /6,2) · 10-7-(-11) ≈ 0,3871 · 104 (não padroni-
zado) = 3,871 · 103 (padronizado).
Exponenciação
A mantissa é elevada ao expoente externo, e o expoente da base dez é 
multiplicado pelo expoente externo.
Exemplo:
(2 · 106)4 = (24) · 106.4 = 16 · 1024 = 1,6 · 1025 (padronizado)
Radiciação
Antes de fazer a radiciação, é preciso transformar um expoente para um 
valor múltiplo do índice. Feito isso, o resultado será a radiciação da man-
tissa multiplicada por dez elevado à razão entre o expoente e o índice do 
radical.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
36
Exemplo:
Referências
SAMPAIO, J.L. e Calçada, C. S. - Universo da Física, vol. 1 Mecânica, Atual 
Editora, 2ª Edição São Paulo, 2006.
BONJORNO, J. R. & Clinton M. R. – Física História e Cotidiano, Volume 
único, EditoraFTD, 2ª edição, São Paulo, 2005.
ROCHA, J.F.M ET all – Origem e evolução das idéias da Física, Editora 
EDUFBA, Salvador, 2002.
GASPAR, A. – Física, Volume Único, Editora ática, São Paulo, 2003.
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível em:
 <http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_cient%C3%ADfi co> Acesso 
em: 14/03/2009.
 DESCARTES, René. Discurso do método. (tradução prefácio e notas de 
João Cruz Costa. SP, Ed de Ouro, 1970 disponível para download em domí-
nio público http://www.dominiopublico... e Booket http://www.eBooket.net
HADDAD, Nagib. Metodologia de estudos em ciências da saúde, como pla-
nejar, analisar e apresentar um trabalho científi co. SP, Roca, 2004
LAKATOS, Eva; Maria Marconi, Marina de A. Metodologia científi ca. SP, 
Atlas, 2007.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
Aula 03
39
Introdução à Mecânica
Objetivos
Relembrar conceitos básicos de cinemática escalar;1. 
Aplicar fórmula de velocidade média em problemas propostos;2. 
Identifi car tipos de movimentos;3. 
Identifi car as funções horárias do movimento uniforme;4. 
Traçar gráfi cos do movimento uniforme5. 
Introdução
Iniciaremos este capítulo na perspectiva de abordar um assunto intro-
dutório muito importante para compreensão teórica de fenômenos que 
ocorrem ao nosso redor como é o caso dos movimentos, dos desloca-
mentos, das trajetórias etc. Vale que servirão também de pré-requisitos 
para o entendimento sobre o estudo dos movimentos, portanto iremos 
iniciar estudo da cinemática, abordando conceitos e defi nições de algu-
mas grandezas utilizadas nesse capítulo. Em seguida, estudaremos o 
Movimento Uniforme. 
Cinemática
Na cinemática, estudaremos os movimentos sem levar em considera-
ção as suas causas. Isso quer dizer que vamos determinar a posição, 
a velocidade e a aceleração de um corpo em cada instante, sem nos 
preocuparmos com as suas causas.
Ponto material e corpo extenso
É comum no estudo da cinemática denominarmos os corpos, objetos do 
estudo, de modo genérico como móvel. Quando as dimensões de um 
móvel são desprezíveis em comparação com as dimensões dos outros 
corpos que participam do fenômeno em estudo, podemos tratá-lo como 
uma partícula ou ponto material. Se as dimensões do corpo não podem 
ser desprezadas, chama-se corpo extenso. Um mesmo corpo pode ser 
FENÔMENO
Um fenômeno natural é um 
acontecimento não artifi cial, 
ou seja, que ocorre sem a 
intervenção humana.
PONTO MATERIAL 
Uma abstração feita para 
representar qualquer objeto que 
,em virtude do fenômeno, tem 
dimensões desprezíveis, ou seja, 
dimensões que não afetam o 
estudo do fenômeno. 
Por exemplo, no estudo dos 
movimentos dos planetas, dada 
a distância que separa esses 
corpos, suas dimensões são 
desprezíveis e eles podem ser 
considerados pontos materiais.
40
um ponto material ou corpo extenso, dependendo da ocasião. Por exem-
plo: se uma bola de sinuca for lançada no buraco da Figura 01, as suas 
dimensões não têm a menor importância no estudo do seu movimento, 
trata-se de um ponto material; no entanto, a mesma bola de sinuca Figura 
02, ao ser encaçapada pelo jogador, tem dimensões comparáveis com o 
diâmetro da caçapa da sinuca e as bolas envolvidas no jogo e, por isso, 
não podem ser desprezadas, trata-se de um corpo extenso. 
Figura 01 – Fonte: www.tudolink.com Figura02–Fonte:us3.desafi ando.com.br
Referencial
Imagine que você esteja parado numa plataforma de uma estação de 
trem e, neste instante, passe um trem com vários passageiros, conforme 
Figura 3. Eles, sem dúvida, estão em movimento. Se estivermos, porém, 
dentro do trem e olharmos para os outros passageiros, diremos que eles 
estão parados ou em movimento? Nós os vemos parados, mas eles 
podem afi rmar que estão em movimento. Para resolver essa questão sem 
risco de engano, podemos dizer: em relação ao trem, eles estão parados, 
mas em relação à plataforma estão em movimento.Suponha que um 
avião, voando horizontalmente, solte uma bomba. Se você observar a 
queda da bomba de dentro do avião, você verá que ela cai ao longo de 
uma reta vertical. Entretanto, se você estivesse parado sobre a super-
fície da Terra, observando a queda da bomba, você veria que ela, ao 
cair, descreveria uma trajetória curva. No primeiro caso, dizemos que o 
movimento da bomba estava sendo observado com o referencial no avião 
e, no segundo caso, com o referencial na Terra. Este exemplo nos mostra 
que o movimento de um corpo, visto por um observador, depende do 
referencial no qual o observador está situado. Outro exemplo importante 
da dependência do movimento em relação ao referencial é o caso de se 
dizer que a Terra gira em torno do Sol. Isto é verdade se o referencial 
estiver no Sol, isto é, se o observador se imaginar situado no Sol, vendo 
a Terra se movimentar. Entretanto, para um observador na Terra (refe-
rencial na Terra), o Sol é que gira em torno dela. Assim, tanto faz dizer 
que a Terra gira em torno do Sol, ou que o Sol gira em torno da Terra, 
desde que se indique corretamente qual o referencial de observação. O 
ANOTAÇÕES PESSOAIS
41
movimento de qualquer objeto sempre é observado em relação a algum 
ponto de referência. A escolha de um referencial é fundamental para a 
compreensão de qualquer tipo de movimento. Esse referencial pode ser 
um objeto, uma estrela, uma pessoa etc. 
Figura 3 – Fonte: www.usabilidoido.com.br Figura 4 – Fonte: www.passeiweb.com
Trajetória
O conceito de trajetória está ligado ao conceito de ponto material e 
referencial. Por exemplo, um pacote caindo de um avião, em rela-
ção a um observador no solo, a trajetória é parabólica, porém em 
relação a um passageiro nesse mesmo avião, a trajetória é pratica-
mente retilínea e vertical. O deslocamento independe da trajetória, 
porém a distância percorrida pelo móvel durante o deslocamento 
depende da trajetória descrita pelo corpo no decorrer de seu movi-
mento, ou seja, trajetória é o conjunto das sucessivas posições 
ocupadas por um corpo em movimento.
Figura 5 – Fonte:www. tell.my1blog.com Figura 6 – Fonte:www.iGshopping.iG.com.br 
Posição Escalar
É o lugar da trajetória em que se encontra o móvel, em dado instante, 
em relação à origem, ou seja, é a medida algébrica da distância do ponto 
onde se encontra o móvel ao ponto de referência adotado como origem.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
42
Figura 7
Para localizarmos esse móvel num determinado instante, adotamos 
arbitrariamente um ponto 0 sobre a trajetória, ao qual chamamos origem 
das posições, e orientamos a trajetória, neste caso, positivamente para a 
direita a partir de 0. 
Figura 8
Deslocamento
O deslocamento de um móvel é determinado pela diferença entre sua 
posição fi nal e sua posição inicial.
Figura 9
Se o movimento for no sentido positivo da trajetória, S será positivo.
S = S2 – S1
Figura 10
S = S2 – S1 S = 50 – 20
S = 30 km
ANOTAÇÕES PESSOAIS
43
Se o movimento for contrário ao sentido positivo da trajetória, S será 
negativo.
Figura 11
S = S2 – S1 S = 20 – 50
S = -30 km
Velocidade escalar média
Vimos que, quando um objeto está em movimento, ele muda de posição 
ao longo de sua trajetória. A cada posição do objeto, associamos um 
espaço (s), e a variação de espaço representa o deslocamento escalar (
s).
 A tal variação de espaço ocorre num intervalo de tempo ( t), defi nido 
pela diferença entre o instante fi nal e o inicial do percurso.
 Quando relacionamos o deslocamento escalar S e o correspondente 
intervalo de tempo t, obtemos a velocidade escalar média (vm). 
Figura 12
Exemplo
Imagine que ,numa viagem de Recife a Caruaru, um carro se deslocasse 
100 km em 2 horas. Qual seria a velocidade escalar média durante esse 
percurso?
ANOTAÇÕES PESSOAIS
44
A velocidade escalar média também pode ser defi nida num intervalo de 
tempo. 
Exemplo
Vamos considerar um carro percorrendo a trajetória conforme mostra a 
fi gura 13.
Figura 13
Quando o móvel caminha no sentido da orientação da trajetória, seus 
espaços (s) são crescentesno decorrer do tempo. Denominamos este 
sentido de movimento progressivo.
Figura 14
Quando o móvel retrocede, caminhando contra a orientação da trajetó-
ria, seus espaços (s) são decrescentes. Este sentido de movimento é 
classifi cado como retrógrado.
Figura 15
Movimento Progressivo
45
Exemplo
Um motorista de uma transportadora recebeu seu caminhão e sua res-
pectiva carga no km 340 de uma rodovia às 13 horas, entregou a carga 
no km 120 da mesma rodovia às 16 horas. Qual a velocidade média 
desenvolvida pelo caminhão?
Aplicando a fórmula acima, temos: 
Observe que, no Sistema Internacional (SI), a unidade para a velocidade 
é o metro por segundo (m/s). Outras unidades, tais como cm/s e km/h 
são muito utilizadas. 
As relações entre elas são as seguintes: 
1 m/s = 100 cm/s
1000 11 / / /
3600 3,6
km h m s m s⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Regra Prática: 
Para transformar km/h para m/s, basta dividirmos por 3,6; para trans-
forma m/s em km/h, multiplicamos por 3,6.
Aplicações:
1. Um móvel, que se movimenta em relação a um determinado referen-
cial e sobre uma trajetória retilínea, tem posições em função do tempo 
constante na tabela abaixo: 
t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
s(m) 5 8 11 14 17 20 23 26 29
a) Classifi que o movimento em progressivo ou retrógrado;
b) Dê sua posição inicial;
c) Dê o deslocamento do móvel no intervalo de tempo 1s a 5s;
d) Calcule a velocidade escalar média no intervalo de tempo de 2s a 
6s.
Solução:
a) O movimento é progressivo (V>0), pois as posições na tabela acima 
crescem algebricamente com tempo. 
b) A posição inicial é determinada quando t0 = 0, portanto S0 = 5 m.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
46
c) Quando t0 = 1 s → S0 = 8 m 
 Quando t = 5 s → S = 20 m 
 ΔS = S – S0 ∴ ΔS = 20 – 8 ∴ S = 12 m
d) A velocidade média é dada por:
0
0
20 8 12 3 /
5 1 4
S SVm Vm Vm Vm m s
t t
− −
= → = ∴ = ∴ =
− −
2. Faça as seguintes transformações:
a) 90 km/h em metros por segundo;
b) 10 m/s em quilômetros por hora.
Solução:
Sabemos que 1 km = 1 000 m e 1 h = 60 min = 3600 s.
1000 9090 / 90 25
3600 3,6
mkm h m
s
= = =
Sabemos que 1 m = 1
1000
km e 1 s = 1
3600
h.
Aplicando a Regra Prática,
90 km/h dividindo por 3,6 = 25 m/s
10 m/s multiplicado por 3,6 = 36 km/h
Movimento Uniforme
Defi nição
Imagine um carro se deslocando em uma estrada, mantendo o ponteiro 
ANOTAÇÕES PESSOAIS
47
do velocímetro sempre na mesma marca, por exemplo, a 60 km/h. Isso 
quer dizer que ,se o carro mantiver sempre essa velocidade, ele irá 
percorrer 60 km a cada 1 hora. A situação descrita acima é uma exempli-
fi cação do que chamamos de movimento uniforme. 
Defi nimos movimento uniforme como sendo aquele movimento que tem 
velocidade escalar constante em qualquer instante ou intervalo de tempo. 
Podemos dizer ainda que o móvel percorre distâncias iguais em interva-
los de tempos iguais. 
Função Horária do Movimento Uniforme
No movimento uniforme ,temos que a velocidade escalar é constante e 
coincide com a velocidade escalar média em qualquer instante ou inter-
valo de tempo. Matematicamente a velocidade escalar média pode ser 
expressa da seguinte forma:
Onde: 
ΔS é a variação de posição do móvel, ΔS = S – So »
Δt é a variação de posição do móvel, Δt = t – to »
Substituído ΔS e Δt na equação da velocidade descrita acima, temos:
Fazendo tempo inicial igual a zero, to= 0, temos a função horária do 
movimento uniforme.
S = So + Vt
Onde:
S = Posição fi nal
S0 = Posição inicial
V = Velocidade
t = tempo
Velocímetro
Movimento uniforme
Carro em movimento uniforme
48
Essa é uma função do primeiro grau e é chamada de função horária da 
posição. Através dela podemos determinar a posição de um móvel num 
determinado instante.
Como vimos inicialmente, o movimento uniforme é o movimento que pos-
sui velocidade constante, ou seja, ela não varia com o passar do tempo. 
Entretanto essa velocidade, apesar de ser constante, é diferente de zero, 
ou seja, pode assumir qualquer outro valor que não seja o zero. 
Gráfi cos - Movimento Uniforme 
Sendo S = f(t) uma função do 1o grau, o gráfi co S versus t é uma reta 
que pode passar ou não pela origem.
Na equação S = S0 + V t, 
S0: coefi ciente linear da reta 
V: coefi ciente angular da reta ou inclinação da reta 
Para obter S0, basta fazer t = 0 na equação horária S = S0 
Vamos analisar os gráfi cos:
Posição em função do tempo - S=f(t) 
1º caso – Velocidade Positiva ( V > 0)
Quando a velocidade é positiva, o móvel caminha no sentido positivo da 
trajetória, suas posições crescem algebricamente no decorrer do tempo e 
seu movimento é dito progressivo.
Figura 16
2º caso – Velocidade Negativa ( V < 0)
ANOTAÇÕES PESSOAIS
49
Quando a velocidade é negativa, o móvel caminha no sentido contrário 
ao positivo da trajetória, suas posições decrescem algebricamente no 
decorrer do tempo e seu movimento é dito retrógrado.
Figura 17
Velocidade em função do tempo - V=f(t) 
A velocidade escalar é obtida a partir do gráfi co S versus t, calculando a 
inclinação da reta: 
2 1
2 1
S SSV inclinação da reta
t t t
−Δ
= = =
Δ −
Sendo a velocidade constante em qualquer instante e intervalo de tempo, 
a função V = f(t) é uma função constante ,e o gráfi co V versus t é uma 
reta paralela ao eixo do tempo. 
1º caso – Velocidade Positiva ( V > 0)
Figura 18
2º caso – Velocidade Negativa ( V < 0)
ANOTAÇÕES PESSOAIS
50
Figura 19
Observe que, no gráfi co da velocidade em função do tempo, abaixo, a 
área A entre a reta e o eixo das abscissas representa numericamente o 
espaço percorrido pelo móvel entre os instantes t1 e t2. A fi gura 20 repre-
senta um retângulo e sua área é: 
A = v(t2 – t1)
Como, 
Figura 20
Portanto, a área A é numericamente igual ao espaço percorrido.
O espaço percorrido ΔS pode ser positivo ou negativo conforme a área 
esteja acima ou abaixo do eixo do tempo.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
51
Figura 21
Aplicações
1. Um carro movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a fun-
ção horária S = 20+ 4t. 
Determine:
a) A posição inicial;
b) A velocidade;
c) A posição no instante 2 s;
d) O espaço percorrido após 4 s;
e) O instante em que o carro passa pela posição 38 m;
f) Esboce os gráfi cos S = f(t) 
Solução:
A função horária do UM é dada por S = S0 + V0t
Onde: S0 = posição inicial e V0 = velocidade inicial.
Portanto, de acordo com a função horária da questão, temos:
a) 20 m
b) 4 m/s
c) No instante t = 2 s, a posição do carro é:
 S = 20 + 4 . 2 S = 20 + 8 S = 28 m
d) No instante t = 4 s, o espaço percorrido foi:
 S = 20 + 4 . 4 S = 20 + 16 S = 36 m 
Espaço percorrido será: 
S = S – S0 S = 36 – 20 S = 16 m
ANOTAÇÕES PESSOAIS
52
e) Quando S = 38 m temos:
S = 20 + 4t 38 = 20 + 4t 38 – 20 = 4t 18 = 4t t = 4,5 s
f) S = f(t)
Atribuindo valores aleatórios para t, temos:
Para t = 0s S = 20 m (0, 20)
 t = 1s S = 24 m (1, 24)
 t = 2s S = 28 m (2, 28)
 t = 3s S = 32 m (3, 32)
2) Um barco parte de um porto A, rumo a um porto B, viajando em linha 
reta com velocidade constante de 10 m/s. Neste mesmo instante, parte 
de B rumo a A ,outro barco que segue o mesmo trajeto viajando em linha 
reta com velocidade constante de 5 m/s. Sendo 3300 m a distância AB. 
Em que instante e a que distância do porto A os barcos vão se cruzar?
Solução:
Inicialmente devemos defi nir as funções horárias que envolvem a ques-
tão:
Para o barco que parte de A rumo a B, temos:
ANOTAÇÕES PESSOAIS
53
S = S0 + vt
S0 = 0 m
V = 10 m/s
SA = 0 + 10t 
SA = 10t
Para o barco que parte de B rumo a A temos a velocidade negativa, pois 
o barco está navegando em sentido contrário trajetória.
S = S0 - vt
S0 = 3300 m
V = 5 m/s
SB = 3300 - 5t 
O instante do encontro é comum aos dois barcos, portanto podemos 
fazer:
SA = SB assim, temos:
10 t = 3300 – 5t .: 10t + 5t = 3300 .: 15t = 3300 .: 
3300
15
t = .: t = 
220 s
O instante do encontro foi t = 220 s
SA = 10t
SA = 10 .220 .: SA = 2200 m
O encontro ocorreu a uma distância do porto A de 2200 m
Bibliografi a
SAMPAIO, J.L. e Calçada, C. S. - Universo da Física, vol 1 Mecânica, Atual 
Editora, 2ª Edição São Paulo, 2006.
BONJORNO J. R. & Clinton M. R. – Física História e Cotidiano, Volume 
único, Editora FTD, 2ª edição, São Paulo, 2005.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
54
ROCHA, J.F.M ET all – Origem e evolução das idéias da Física, Editora 
EDUFBA, Salvador, 2002.
GASPAR, A. – Física, Volume Único, Editora ática, São Paulo, 2003.
Ugo Amaldi – Imagens da Física, Editora Scipione, 1ª edição São Paulo, 
1997.
Sites indicados:
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_cient%C3%ADfi co
http://www.feiradeciencias.com.br/sala04/index4.asp
http://www.vestibulandoweb.com.br/fi sica/teoria/movimento-uniforme-1.asp
http://educar.sc.usp.br/fi sica/muvteo.html
http://www.feiradeciencias.com.br/sala04/04_RE_03.asp
http://www.feiradeciencias.com.br/sala04/04_RE_04.asp
http://br.geocities.com/galileon/1/queda/queda_livre.htm
Aula 04
57
Movimento Uniformemente Variado e
Queda Livre
Objetivos
Relembrar conceitos básicos de cinemática escalar;1. 
Aplicar fórmulas de posição, velocidade e Torricelli em problemas 2. 
propostos;
Classifi car os movimentos;3. 
Identifi car as funções horárias do movimento uniformemente 4. 
variado;
Traçar gráfi cos do movimento uniformemente variado;5. 
Identifi car e aplicar as equações do lançamento vertical para cima e 6. 
para baixo;
Identifi car o valor de gravidade (g) em diferentes localidades.7. 
Introdução
Iniciaremos este capítulo na perspectiva de abordar um assunto intro-
dutório muito importante para compreensão teórica de fenômenos que 
ocorrem em nosso redor como é o caso dos movimentos variados.
Nos movimentos que observamos no dia-a-dia, as velocidades não 
permanecem constantes variam, portanto, no decorrer do tempo. São os 
movimentos variados.
Se num movimento a velocidade variar uniformemente no decorrer do 
tempo, isto é, se ocorrer variação da velocidade em intervalos de tempos 
iguais, o movimento é chamado uniformemente variado. 
Para que isso ocorra em qualquer intervalo de tempo, a aceleração 
escalar média deve ser constante, diferente de zero e igual à aceleração 
escalar instantânea.
am = a = cte ≠ 0
Vamos analisar a seguinte tabela:
MOVIMENTO 
UNIFORMEMENTE VARIADO
A maior parte dos movimentos 
que observamos não é uniforme. 
Uma folha que cai de uma árvore 
e é levada pelo vento; um gato 
pulando do chão para o muro 
e do muro para o telhado; ou a 
água de um rio despencando 
por uma corredeira. Todos esses 
são movimentos não uniformes. 
Neles, a velocidade de corpos 
como a folha, o gato ou a água 
muda constantemente. Dizemos, 
então, que esses movimentos 
apresentam velocidade variável. 
A velocidade é uma grandeza 
que mostra a rapidez com 
que um corpo se desloca. 
Existe também uma grandeza 
que mostra a rapidez com 
que a velocidade varia. Essa 
grandeza é a aceleração. 
Podemos observar a variação 
de velocidade de carros, 
ônibus, caminhões e aviões no 
velocímetro desses veículos. 
Não existe aceleração quando 
o ponteiro do velocímetro 
não se move, isto é, quando 
o velocímetro marca sempre 
a mesma velocidade. Se o 
ponteiro do velocímetro está se 
movendo lentamente, é porque 
a velocidade está variando 
lentamente. 
Nesse caso, a aceleração é 
pequena. Quando o ponteiro se 
move rapidamente, a velocidade 
está variando rapidamente. 
58
t(s) v(m/s)
0 8
1 12
2 16
3 20
4 24
Podemos observar que,em qualquer intervalo de tempo Δt = t – t0, a 
aceleração é a mesma, ou seja: 
0
0
2
24 8
4 0
4 /
V VV
a a a
t t t
a m s
−Δ −
= → = ∴ = ∴
Δ − −
=
22 0 1 2 8 4 /
3 1 2
a a a m s−= ∴ = ∴ =
−
Dessa forma ,podemos dizer que o Movimento Uniformemente Variado 
é o movimento efetuado por um corpo, cuja velocidade é variável, e a 
aceleração é constante e diferente de zero.
Funções Horárias
 Velocidade em função de tempo V = f(t)
A função da velocidade em relação ao tempo de um corpo em MUV é 
a expressão matemática que fornece a velocidade v desse corpo em 
qualquer instante t. Para obter essa função, é necessário inicialmente 
estabelecer o referencial adequado. 
Figura 22
Aí a aceleração é grande. Assim, 
para conhecer a aceleração, 
temos de conhecer a variação 
de velocidade, e o intervalo de 
tempo em que ela ocorreu. 
A variação de velocidade nos 
diz o quanto ela mudou; e o 
intervalo de tempo nos diz 
se essa mudança foi rápida 
ou lenta. Consideremos um 
automóvel, cujo velocímetro 
esteja indicando, em certo 
instante, uma velocidade de 30 
km/h. Se, 1 s após, a indicação 
do velocímetro passar para 
35 km/h, podemos dizer que a 
velocidade do carro variou de 5 
km/h em 1 s. Em outras palavras, 
dizemos que este carro recebeu 
uma aceleração. O conceito 
de aceleração está sempre 
relacionado com uma mudança 
na velocidade.
ACELERAÇÃO ESCALAR
A aceleração escalar é a 
grandeza física que nos indica 
o ritmo com que a velocidade 
escalar de um móvel varia. 
A aceleração é uma grandeza 
causada pelo agente físico força. 
Quando um móvel receber a 
ação de uma força, ou de um 
sistema de forças, pode fi car 
sujeito a uma aceleração e, 
consequentemente, sofrerá 
variação de velocidade. 
59
Como a aceleração é constante, o módulo da aceleração a
→
 do corpo, 
em qualquer instante, é igual ao módulo da sua aceleração média ma
→
 
em qualquer intervalo de tempo. O módulo:
o
m
o
V Va
t t
−
=
−
 Então podemos escrever: o
o
V Va
t t
−
=
−
Desmembrando essa expressão, obtemos:
( )o oV V a t t= + −
Admitindo-se t0 = 0, a expressão se reduz a:
oV V at= +
Equação 1
Equações das velocidades
Onde:
V = Velocidade fi nal
Vo = Velocidade inicial
a = aceleração
t = tempo
Aplicações
1. Um ponto material em movimento adquire velocidade que obedece à 
seguinte expressão V = 20 + 5t . Pede-se:
a) A velocidade inicial;
b) A aceleração;
c) A velocidade no instante 8 s;
d) O instante em que o ponto material muda de sentido;
Solução
A função dada é V = 20 + 5t, é uma função do 1º grau. 
Como a função da velocidade no MUV é V = V0 + at, substituindo os 
valores propostos na questão acima, temos: 
ANOTAÇÕES PESSOAIS
60
a) Velocidade inicial = 20 m/s
b) Aceleração = 5 m/s2
c) V = V0 + 5t .: V = 20 + 5 . 8 .: V = 60 m/s
d) O ponto material muda de sentido, quando a velocidade é igual a 
zero, neste caso, temos:
V = 20 + 5t . : 0 = 20 + 5t .: 20 4
5
t t s= ∴ =
2. Um móvel desloca-se numa trajetória retilínea segundo a expressão 
V = 40 – 8t. Determine:
a) A velocidade inicial;
b) A aceleração;
c) A velocidade no instante 8 s;
d) O instante em que o ponto material muda de sentido;
Solução
Pela equação dada, podemos identifi car claramente:
a) A velocidade inicial = 40 m/s;
b) A aceleração -8 m/s2;
c) Quando t = 8 s, temos: V = 40 – 8. 8 .: V = -24 m/s
d) Para que o móvel mude de sentido, V = 0, então: 0 = 40 – 8t .:
t = 5 s.
Posição em função do tempo S = f(t)
Sabemos que o gráfi co da velocidade é representado por uma reta, que é 
uma equação do 1º grau.
Figura 23
Sabemos que a área do trapézio Figura 23, fornece a variação do 
espaço.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
61
ΔS = S – So
Equação 2
Para calcular a área do trapézio temos, 
2
B bS h+=
Onde: V = B Vo = b t = h
2
ov vS t+Δ =
Equação 3
Substituindo as equações 1 e 2 na 3, temos,
2
2o o
aS S v t t= + +
Equação das Posições
Onde:
 S = Posição fi nal
So = Posição inicial
Vo = Velocidade inicial
t = tempo
 a = aceleração
Aplicação
Uma partícula move-se ao longo de uma reta orientada e sua posição 
varia com o tempo conforme a equação: S = 6 – 8t + 2t2.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
62
a) Determine o(s) instante(s) em que a partícula passa pela origem dos 
espaços;
b) Determine o instante e a posição correspondente à inversão do 
sentido do movimento;
c) Determine a velocidade da partícula em t = 4 s e a posição em que 
ela se encontra;Solução
a) A partícula movimenta-se em uma reta orientada, então quando ela 
passa pela origem dos espaços, o S = 0, devemos,então, substituir 
na equação dada S por 0 e assim resolver a equação do 2º grau.
 Ou seja, 
b) Na inversão do sentido V = 0 e pelos dados da questão, temos que 
V = -8 + 4t, então: 0 = -8 + 4t .: 4t = 8 .: t = 2 s. 
Quanto à posição da inversão, basta substituir 2s em t na função 
horária, assim temos: 
S = 6 – 8t + 2t2 .: S = 6 – 8 . 2 + 2 . 22
S = 6 – 16 + 2 . 4 .: S = 6 – 16 + 8 .: S = -2 m
A inversão do movimento aconteceu a 2 metros ,à esquerda da 
origem dos espaços.
c) Para t = 4 s, temos: V = - 8 + 4. 4 .: - 8 + 16 .: V = 8 m/s
 A posição para t = 4 s, temos: S = 6 – 8 . 4 + 2 . 42
 S = 6 – 32 + 32 .: S = 6 m 
ANOTAÇÕES PESSOAIS
63
Equação de Torricelli
A Equação de Torricelli foi descoberta por Evangelista Torricelli para 
encontrar a velocidade fi nal de um corpo em movimento sem conhecer o 
intervalo de tempo em que o mesmo permaneceu em movimento.
A equação tem a forma:
2 2 2oV V a S= + Δ
Onde:
V – velocidade fi nal
Vo – velocidade inicial
a - aceração
ΔS – variação de espaços
Esta equação pode ser deduzida a partir das seguintes equações:
2
2o o
aS S V t t= + + (Equação 1) e
oV V at= + (Equação 2)
Isolando t na equação 2:
oV V at= + ∴ oV V at− =
( )oV Vt
a
−
=
E substituindo t na primeira equação, temos:
2
2
1
2
1
o o
o o
o o
o
V V V VS S V a
a a
V V V aS S
a
− −⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠
−
− = +
2 2
2
2.
2
o oV VV V
a
− +
2 2 22
1 2
o o o o oS S V V V V VV V
a a
− − − +
= +
EVANGELISTA TORRICELLI
Evangelista Torricelli (Faenza, 15 
de outubro de 1608 — Florença, 
1647) foi um físico e matemático 
italiano. Torricelli perdeu o pai 
muito cedo e foi educado pelo 
tio, um monge que o enviou para 
Roma, em 1627, a fi m de estudar 
ciências com o beneditino 
Benedetto Castelli (1577-1644), 
professor de matemática no 
Collegio di Sapienza. O estudo 
de Duas Novas Ciências, de 
Galileu (1638), inspirou-lhe 
muitos desenvolvimentos 
dos princípios mecânicos aí 
apresentados, que ele publicou 
no tratado De motu (incluído na 
sua Ópera geométrica, 1644). 
O envio desta obra por Castelli 
a Galileu, em 1641, com uma 
proposta para que Torricelli fosse 
residir com o sábio fl orentino, 
fez com que Torricelli partisse 
para Florença, onde conheceu 
Galileu, e onde o serviu como 
amanuense durante os últimos 
três meses da sua vida. Depois 
da morte de Galileu, Torricelli 
foi nomeado matemático do grão-
duque e professor de matemática 
na academia fl orentina. A 
descoberta do princípio do 
barômetro que perpetuou a sua 
fama (“tubo de Torricelli”, “vácuo 
de Torricelli”) aconteceu em 
1643. O torricelli (símbolo torr), 
uma unidade de pressão.
64
Reduzindo-se ao mesmo denominador, temos:
2 ( ) 2o oa S S v V− =
2 22 2o oV V VV− + −
2
2 2
2 2
2 ( )
2 ( )
o
o o
o o
V
a S S V V
V V a S S
+
− =− +
= + −
2 2 2oV V a S= + Δ
Equação de Torricelli
Onde:
V – velocidade fi nal
Vo – velocidade inicial
a – aceleração
ΔS – variação de espaço
Aplicações
1. Um automóvel com velocidade de 40 m/s passa a ser freado a razão 
de 10 m/s2. Que distância percorre até parar ?
Solução
Sabemos que a velocidade inicial desse automóvel é 40 m/s e após a 
frenagem sua tendência é mesmo parar, então a velocidade fi nal é zero. 
Desse modo podemos aplicar a equação de Torriceli e encontrar ΔS.
2 2 2 22 0 40 2 ( 10)
1600
0 1600 20 80
20
oV V a S S
S S S m
= + Δ ∴ = + ⋅ − ⋅ Δ
= − Δ ∴ Δ = ∴ Δ =
2. Um trem está animado de uma velocidade de 20 m/s, quando é acele-
rado uniformemente a 5 m/s2 durante 50 m. Determine a velocidade após 
esse percurso.
2 2 2 2
0
2 2
2 20 2 5 50
400 500 900 900
30
V V a S V
V V V
V m
= + Δ ∴ = + ⋅ ⋅
= + ∴ = ∴ =
=
ANOTAÇÕES PESSOAIS
65
Gráfi cos do Movimento Uniformemente Variado
Velocidade em função do tempo v = f(t)
1º caso - aceleração positivo (a > 0)
Figura 24 Figura 25 Figura 26 
Neste caso, a função é crescente, e o movimento é progressivo.
2º caso - aceleração negativa (a < 0)
Figura 27 Figura 28 Figura 29 
Neste caso, a função é decrescente ,e o movimento é retrógrado.
Posição em função do tempo s = f(t)
1º caso - aceleração positivo (a > 0)
 Figura 30 Figura 31 Figura 32 
 
ANOTAÇÕES PESSOAIS
66
2º caso - aceleração negativa (a<0)
Figura 33 Figura 34 Figura 35 
Aceleração em função do tempo a = f(t)
1º caso - aceleração positivo (a > 0)
Figura 36
2º caso - aceleração negativa (a < 0)
Figura 37
Classifi cação do Movimento
Quando V > 0 – Movimento é dito Progressivo
Quando V < 0 – Movimento é dito Retrógrado
ANOTAÇÕES PESSOAIS
67
Quando os sinais da Velocidade e Aceleração forem iguais – Movimento 
é dito Acelerado.
Quando os sinais da Velocidade e Aceleração forem diferentes – 
Movimento é dito Retardado.
Aplicações
1. A função da posição de um ponto material em MUV é dada por
S = 30t – 5t2. Determine:
a) A posição do ponto material no instante t = 3 s;
b) O instante em que a posição do ponto material é S = 40 m;
c) O gráfi co posição x tempo;
d) O gráfi co velocidade x tempo;
e) Classifi que o movimento.
Solução
a) Substituindo t = 3s na equação S = 30 t – 5t2, temos:
S = 30 . 3 – 5 . 32 .: S = 90 – 45 .: S = 45 m
b) Substituindo S = 40m na equação S = 30 t – 5t2, temos:
40 = 30t – 5t2 .: 5t2 – 30t + 40 = 0 (÷ 5) temos,
t2 - 6t + 8 = 0
2
1 2
4 6 36 32
2 2
6 4 6 2
2 2
4 2
b b act t
a
t t
t s e t s
− ± − ± −
= ∴ =
± ±
= ∴ =
= =
c) Vamos atribuir valores para t:
Para t = 0 → S = 0 (0,0)
t = 1 → S = 25 (1,25)
ANOTAÇÕES PESSOAIS
68
t = 2 → S = 40 (2,40)
t = 3 → S = 45 (3,45)
t = 4 → S = 40 (4,40)
S
50
40
30
20
10
0 1 2 3 4 t
d) Sabemos que a equação da velocidade é dada por:
 V = 30 – 10 t
 Vamos atribuir valores para t:
 Para t = 0 → V = 30 (0, 30)
 t = 1→ V = 20 (1, 20)
 t = 2→ V = 10 (2, 10) 
V
30
20
10
0 1 2 t
e) Como o sinal da velocidade é positivo e da aceleração negativo, o 
movimento é dito retardado.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
69
Queda Livre
Denomina-se queda livre o movimento de subida e descida realizado 
pelos corpos no vácuo. Na verdade, a queda livre é um caso particular do 
movimento uniformemente variado (MUV),por isso podemos aplicar aqui 
tudo o que aprendemos no MUV, ou seja, estes movimentos estão descri-
tos pelas mesmas equações do MUV cuja aceleração do movimento é a 
gravidade.
2
2o o
a
S S V t t= + +
oV V at= +
2 2 2oV V a S= + Δ
Você já sabe que todos os corpos caem quando abandonados a certa 
altura do solo. E sabe também que caem devido à força aplicada sobre 
eles pelo campo gravitacional da Terra. Chamamos esta força de força 
gravitacional.
Outra coisa importante e que você deve guardar:
Quando desprezamos a resistência do ar, ou seja, quando desprezamos 
a força de atrito causada pelo ar nos objetos em queda, todos os corpos, 
independente da sua massa ou forma, realizam o movimento de queda 
com a mesma aceleração. O valor desta aceleração é de aproximada-
mente 9,8m/s2.
Localização g aproximado (m/s2)
Equador 9,78
Pólos 9,83
100 km de altitude 9,57
1000 km de altitude 7,75
10 000 km de altitude 1,94
Lançamento vertical para cima
Quando um corpo é lançado verticalmente para cima, ele descreve um 
movimento uniformemente retardado, pois o módulo de sua velocidade 
diminui com o decorrer do tempo.
QUEDA LIVRE
Em Física, queda livre é 
o movimento resultante 
unicamente da aceleração 
provocada pela gravidade.
Movimento de queda livre
Movimento de queda livre
Queda livre
70
Vamos adotar positiva trajetória