MATEMÁTIA 9 ANO

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APRESENTAÇÃO
Para onde quer que a gente olhe, veremos algo relacionado à matemática. Seja nos alimentos que comemos, nas roupas que compramos, na natureza, onde nosso olho percorrer haverá matemática. Entender um pouco de matemática é ampliar o desenvolvimento e a compreensão que temos sobre o mundo.
No nosso dia a dia nos deparamos com diversas situações em que precisamos ser capazes de tomar decisões, de interpretar e analisar informações de forma crítica e de resolver problemas. A matemática tem um papel importante, visto que, ela contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico e de estratégias, ela estimula a criatividade, a iniciativa pessoal e o trabalho coletivo, nos fornece ferramentas que nos ajudam a enfrentar os desafios. Sendo assim, quem usa a matemática no seu dia a dia tem oportunidade de ser tornar uma pessoa mais criativa e crítica em relação ao mundo em sua volta.
Este livro apresenta o resumo e a orientação dos principais assuntos da série do 9º ano do ensino fundamental de uma forma mais direta e resumida. Este livro é composto por assuntos resumidos e exemplos com questões resolvidas.
SUMÁRIO
1. Equações do 2º grau ---------------------------------------------------------------------------- 
2. Sistemas de equação do 2º grau ------------------------------------------------------------ 
3. Introdução a função ----------------------------------------------------------------------------- 
4. Semelhança ----------------------------------------------------------------------------------------- 
5. Relações métricas no triângulo retângulo ----------------------------------------------- 
6. Circunferência ------------------------------------------------------------------------------------- 
7. Introdução a trigonometria -------------------------------------------------------------------- 
8. Probabilidade -------------------------------------------------------------------------------------- 
9. Análise combinatória ---------------------------------------------------------------------------- 
10. Estatística ------------------------------------------------------------------------------------------ 
1. CONTEXTO DE EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Babilônios, egípcios e gregos já utilizavam técnicas capazes de resolver equações do segundo grau esse tipo de equação anos antes de Cristo. Babilônios e egípcios utilizavam-se de textos e símbolos como ferramenta auxiliar na resolução. Os gregos conseguiam concluir suas resoluções realizando associações com a geometria, pois eles possuíam uma forma geométrica para solucionar problemas ligados a equações do 2º grau.
Foi com o francês Viète que o método resolutivo das equações do 2º grau ganharam como símbolos, as letras. Viète é o responsável pela modernização da álgebra. Seus trabalhos foram desenvolvidos por outro francês, denominado René Descartes.
Podemos observar que a expressão matemática utilizada atualmente para a resolução de uma equação do 2º grau não deve ser atribuída somente a uma pessoa, mas a vários pesquisadores que através de inúmeros trabalhos, desenvolveram a seguinte expressão:
1.1 EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada por:
Numa equação do 2º grau, o  é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as letras  e  são chamadas de coeficientes da equação. 
Os coeficientes são números reais e o coeficiente  tem que ser diferente de zero, pois do contrário passa a ser uma equação do 1º grau. 
Resolver uma equação de segundo grau significa buscar valores reais de , que tornam a equação verdadeira. Esses valores são denominados raízes da equação.
Uma equação quadrática possui no máximo duas raízes reais.
1.2 FÓRMULAS DE BHASKARA
A fórmula de Bhaskara é o método mais fácil para encontrarmos as raízes da equação.
	
	
, onde
1.3 EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS E INCOMPLETAS
As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam todos os coeficientes, ou seja são diferentes de zero ().
	 Equações do 2º grau completas
	
	Equações do 2º grau incompletas
	, com 
, com ,
1.4 EXEMPLOS
1) Determine os valores de  que tornam a equação verdadeira.
Solução:
A equação dada é uma equação incompleta do 2º grau, com . Para equações deste tipo, podemos resolver, isolando o . Assim:
Note que a raiz quadrada de 4 pode ser 2 e - 2, pois esses dois números elevados ao quadrado resultam em 4. 
Assim, as raízes da equação são  e  
2) Encontre o valor do x para que a área do retângulo abaixo seja igual a 2
Solução: 
A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura. Assim, devemos multiplicar os valores dados e igualar a 2.
Agora vamos multiplicar todos os termos:
Após resolver as multiplicações e simplificações, encontramos uma equação incompleta do segundo grau, com 
Esse tipo de equação pode ser resolvida através da fatoração, pois o  se repete em ambos os termos. Assim, iremos colocá-lo em evidência.
Para o produto ser igual a zero, ou ou . Contudo, substituindo  por zero, as medidas dos lados ficam negativas, portanto, esse valor não será resposta da questão. 
Então, temos que o único resultado possível é . Resolvendo essa equação:
Desta forma, o valor do  para que a área do retângulo seja igual a 2 é 
2. SISTEMA DE EQUAÇÕES
	
Os sistemas de equações nada mais são do que estratégias que nos permitem resolver problemas e situações que envolvem mais de uma variável e pelo menos duas equações. Se as equações presentes no sistema envolverem apenas a adição e a subtração das incógnitas, dizemos que se trata de um sistema de equações do 1° grau. Podemos resolver esse sistema de duas formas, através da representação gráfica ou algebricamente. Na forma algébrica, dispomos de duas alternativas, o método da adição ou da substituição. 
No caso de uma multiplicação entre as incógnitas ou, simplesmente, de uma delas aparecer como uma potência de expoente 2, dizemos que o sistema envolve também equações de 2° grau. Para resolver um sistema desse tipo, as estratégias são as mesmas citadas anteriormente, mas podem haver mais soluções nesse caso.
Vejamos alguns exemplos de resolução de sistemas de equações do 1° e do 2° grau:
Os sistemas a seguir envolvem equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem uma reta (1º grau) e uma cônica (2º grau), respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir: 
2.1 EXEMPLOS
Exemplo 1
Isolando ou na 2ª equação do sistema: 
 
Substituindo o valor de na 1ª equação: 
 
 
 (dividir todos os membros da equação por 2) 
 
 
 
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 
Para , temos:
 
 
Par ordenado
 Para , temos:
 
 
 
 Par ordenado 
 
Exemplo 2 :Método da adição 
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3. 
Agora, o sistema fica assim: 
Adicionando as duas equações: 
       
                
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: 
 
 
 
 
Portanto, a solução desse sistema é: . 
2.3 QUESTÕES PROVA BRASIL
(PROVA BRASIL 2011) Lucas comprou 3 canetas e 2 lápis pagando R$ 7,20. Danilo comprou 2 canetas e 1 lápis pagando R$ 4,40. O sistema de equações do 1º grau que melhor representa a situação é:
Solução:
Preço do lápis =
Preço da caneta =
3 canetas + 2 lápis =
2 canetas + 1 lápis = 4,40
(PROVA BRASIL) João e Pedro foram a um restaurante almoçar e a conta deles foi de R$ 28,00. A conta de Pedro foi o triplo do valor de seu amigo. O sistema de equações do 1º grau que melhor traduz o problema é:
SOLUÇÃO:
João=
Pedro= 
A soma das duas contas foi igual a 28 então
Pedro foi o triplo de João então
2.4QUESTÃO DA PROVA OBMEP
(OBMEP 2015) Nas balanças há sacos de areia de mesmo peso e tijolos idênticos. Quanto deve marcar a última balança?
A) 22
B) 23
C) 24
D) 25
E) 26
SOLUÇÃO:
Chamando 1 Tijolo de 
Chamando 1 Saco de Areia de 
Isola o para poder substituir na primeira equação... Logo 
Substituindo...
 (Multiplica por -1 e o resultado inverterá os sinais de ambos os termos).
Saco de areia pesa 18KG, agora substituímos na outra equação para achar o peso do tijolo
X = 41- 2Y
X = 41- 2(18)
X = 41 - 36
X = 5 Tijolo pesa 5 KG 
 Substituindo os valores encontrados na terceira equação teremos que:
 -------> 
3. INTRODUÇÃO A FUNÇÃO
Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função de A em B é uma relação que associa a cada elemento x∈A , um único elemento y∈B . Assim, uma função liga um elemento do domínio (conjunto A de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio (conjunto B de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela a algum x do domínio é o conjunto imagem, denotado por Im().
Vejamos um exemplo através da representação por diagramas, onde podemos observar a definição descrita.
Representação por diagramas:
Cada elemento do conjunto A (domínio da função) está relacionado a um, e somente um, elemento do conjunto B (contradomínio da função). Todos os elementos do conjunto B que receberam flechas de A são imagens dos elementos de A, ou seja, a imagem de -3 é 9, imagem de -2 é 4, imagem de -1 é 1 e imagem de 0 é 0. Podemos perceber, nesse caso, que a imagem de cada elemento do conjunto A equivale ao quadrado do seu valor. Logo, podemos concluir que a lei de formação dessa função pode ser definida por (x) = x². 
            
Dom () = {-3,-2,-1,0} 
            
CD () = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
            
IM () = {0,1,4,9}
Exemplo: Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B?
É uma função:
Não é uma função:
  	
Classificação de uma função:
As funções podem ser classificadas em injetora ou injetiva, sobrejetora ou sobrejetiva e bijetora ou bijetiva. Uma função é:
	
Injetora ou injetiva quando, para quaisquer elementos x1 ≠ x2 , temos f(x1) ≠ f(x2);
	
	Sobrejetora ou sobrejetiva quando o conjunto imagem for igual ao conjunto do contradomínio, ou seja, possuem os mesmos elementos;
	
	Bijetora ou bijetiva quando ela for injetora e sobrejetora simultaneamente. 
	
4. SEMELHANÇA
Conceito: Duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma (não importa o tamanho)
Exemplo:
Dizemos que: 
· Duas circunferências são sempre semelhantes.
· Dois quadrados são sempre semelhantes.
Triângulos Semelhantes
Observe que:
· Os ângulos correspondentes são congruentes.
· Os lados correspondentes são proporcionais.
Os triângulos ABC e A’B’C são semelhantes
Indicamos ABC ~ A’B’C (Significa que ⃤ ABC é semelhante ao ⃤ A’B’C’)
Então: Dois triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais.
Em símbolos: 
Observação: A constante K é chamada razão de semelhança.
5. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
O triângulo é o polígono com menor número de lados, mas é uma das formas geométricas mais importantes no estudo da geometria. Sempre intrigou matemáticos desde a Antiguidade. Triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno medindo . Esse tipo de triângulo apresenta propriedades e características muito relevantes. Faremos o estudo das relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo.
Todo triângulo retângulo é composto por dois catetos e uma hipotenusa. hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo e está oposto ao ângulo reto.
Observe a figura abaixo.
	
	
Temos que:
a → é a hipotenusa
b e c → são os catetos.
A perpendicular a , traçada por , é a altura , relativa à hipotenusa do triângulo.
 e são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
 Os três triângulos são semelhantes
Da semelhança de triângulos obtemos as seguintes relações:
Daí segue que:
 e 
Temos, também, as seguintes relações:
E a mais famosa das relações métricas no triângulo retângulo:
Que é o teorema de Pitágoras.
Observe que temos cinco relações métricas no triângulo retângulo:
Todas elas são de grande utilidade na resolução de problemas que envolvem triângulos retângulos.
Exemplo. Determine as medidas da altura relativa à hipotenusa e dos dois catetos do triângulo abaixo.
Solução: Temos que
a quarta relação descrita anteriormente, obtemos:
Segue que:
Daí, utilizando a primeira relação, obtemos:
Da terceira relação, obtemos:
Questão:
05. (ENEM 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto , mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual . A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo e, ao chegar ao ponto , verificou que o barco havia percorrido a distância . Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo será:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
A distância d é a menor distância entre o barco e o ponto p. Assim, temos:
Gabarito:B
6. CIRCUNFERÊNCIA
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência.
Algumas definições:
Raio – Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.
Arco – é uma parte da circunferência limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco.
Corda – é um segmento de infinitos pontos alinhados, cujos pontos extremos com um ponto da circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da circunferência, temos o que chamamos de diâmetro.
Tangente – é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato.
Secante – é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos, se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.
Comprimento de uma circunferência
Quando medimos os lados de uma região, estamos determinando o valor do seu perímetro. No caso das regiões circulares não podemos adotar tal metodologia, pois não podemos definir a medida dos lados desse tipo de região. Para determinar a medida do comprimento de uma região circular, utilizamos a medida de seu raio, mas somente isso não é suficiente.
Devido à relação comprimento/diâmetro nas regiões circulares, conseguimos descobrir um valor constante, aproximadamente igual a Esse número irracional ficou conhecido por “pi”, o qual é representado pelo símbolo . Em qualquer região circular basta dividirmos o comprimento da mesma, pela medida do diâmetro, que encontraremos o valor correspondente a aproximadamente.
Com base nessa descoberta, o comprimento de uma região limitada por uma circunferência é calculada através da expressão matemática:
 ou ou 
 Por exemplo, com o raio do círculo central da quadra mede 3m, podemos calcular o comprimento de sua circunferência deste modo:
 
Portanto, o comprimento da circunferência do círculo central da quadra é, aproximadamente, .
Exemplo:
A) Vamos calcular a medida do raio de uma circunferência de de comprimento, considerando 
Temos: e 
Assim: 
Logo, a medida do raio da circunferência é de 
Questão: 
(UESPI) Um trabalhador gasta horas para limpar um terreno circular de metros de raio. Se o terreno tivesse metros de raio, quanto tempo o trabalhador gastaria para limpar tal terreno?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resolução:
Primeiramente, vamos calcular a área dos dois terrenos, 1 e 2:
	1
11
	2
2
2
Portanto, podemos afirmar que o trabalhador gasta três horas para limpar um terreno de e horas para limpar um terreno de . Por meio de uma regra de três simples, temos:
Podemos concluir que o trabalhador gastará para limpar um terreno de metros de raio. A alternativa correta é a letra c.
7. INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA
É a matemática no campo da geometria de triângulos retângulos, ou melhor dizendo, é o estudo das relações métricas em particular a triângulos retângulos.
Ao estudarmos a trigonometria, um nome vem à tona, em função da fórmula matemática que define e relaciona os lados de um triângulo retângulo. Em outras palavras "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos." Pitágoras filósofo e matemático grego 570-495 a.C.
Em um triângulo retângulo sempre teremos dois dos seus lados formando um ângulo reto 90. A estes dois lados damos o nome de catetos, logo, a chamada hipotenusa será sempre o lado maior, e consecutivamente oposto ao ângulo reto.
Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados, por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente.
Com a finalidade de facilitar os estudos e visualização das relações e proporções entre os lados dos triângulos retângulos, foi idealizado o círculo trigonométrico, que nada mais é do que uma circunferência de raio unitário com centro na origem de dois eixos de um plano cartesiano ortogonal.
 
Definição de Seno:
Dado um triângulo retângulo, no qual um dos catetos esteja sobreposto ao eixo horizontal, e cuja hipotenusa seja o raio de um círculo de valor igual a 1, temos que, o cosseno é a medida obtida através da projeção deste cateto sobre o eixo horizontal. A este desenho geométrico, chamamos de círculo trigonométrico.
Definição de Cosseno:
Dado um triângulo retângulo, no qual um dos catetos esteja sobreposto ao eixo horizontal, e cuja hipotenusa seja o raio de um circulo de valor igual a 1, temos que, o cosseno é a medida obtida através da projeção deste cateto sobre o eixo horizontal.
Definição de Tangente:
No círculo trigonométrico, o valor da tangente de um ângulo qualquer é obtido através da reta vertical que tangencia o circulo trigonométrico, exatamente no ponto em que ele corta o eixo horizontal do lado direito. Nesta reta, o valor da tangente trigonométrica de qualquer ângulo é representado pelo segmento que vai do ponto em que ela corta o eixo horizontal até o ponto em que ela corta a reta suporte, que contém o raio do círculo trigonométrico e sobreposto pela hipotenusa do triângulo retângulo, cujos catetos estejam sobrepostos aos eixos vertical e horizontal, circunscritos em um círculo de raio igual a 1.
Exemplo:
Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo um ângulo de 30° (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1.000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é:
Resolução: 
Interpretando a situação descrita no problema, temos a seguinte imagem que ilustra a situação em que a altura atingida pelo avião é dada por x:
Utilizando a fórmula para o cálculo do seno, temos:
Portanto, o avião atingiu de altura.
8. PROBABILIDADE
A probabilidade e o ramo da Matemática que visa a formulação de modelos teóricos, abstratos, para o tratamento matemático da ocorrência (ou não ocorrência) de fenómenos aleatórios.
As definições básicas de probabilidade são: experimento aleatório, espaço amostral e o evento.
 
Experimento aleatório
Um experimento é considerado aleatório quando suas ocorrências podem apresentar resultados diferentes. 
 Exemplo, você e seu irmão tiram a sorte com cara ou coroa para saber quem vai comprar o lanche hoje. Você escolhe cara. Qual é a probabilidade de você ser escolhido para compra o lanche? A chance seria de 50%, mas como chegamos a esse resultado?
R= Considerando que p é o resultado da probabilidade, na é o número de casos favoráveis, ou de elementos de uma amostra procurada, e n é o número de elementos totais, a fórmula usada para calcular a probabilidade e:
 P = Na / N
 P = 1/2 = 0,5 = 50%
Espaço amostral
O espaço amostral (S) determina as possibilidades possíveis de resultados. 
 Exemplo: três moedas são lançadas simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter duas caras ?
 espaço amostral;
 S= {(ccc),(cck),(ckc),(kcc),(ckk),(kck),(kkc),(kkk)}
Evento
Na probabilidade a ocorrência de um fato ou situação é chamado de evento. 
 Exemplo: três moedas são lançadas simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter duas caras ?
 Espaço amostral: S= {(ccc),(cck),(ckc),(kcc),(ckk),(kck),(kkc),(kkk)}
 Evento: S={(kkc),(kck),(ckk)}
 
9. ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é a área da Matemática responsável pela análise das possibilidades e das combinações. É um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos, formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.Os três principais tipos de agrupamentos são arranjos, permutações e combinações. 
Arranjo 
Utilizamos o arranjo simples para obter a quantidade de agrupamentos possíveis de serem realizados com os elementos de um conjunto finito. No arranjo os elementos trocam de posição, ou seja, ordem. Com isso os agrupamentos tornam-se distintos, por possuírem seus elementos organizados em uma ordem diferente. Veja a seguir um exemplo de arranjo simples.Formula:
 Exemplo: Mostre os agrupamentos possíveis de serem realizados com o conjunto A ={5,6,7,8}; cada agrupamento deve possuir 3 elementos distintos.
 R= 
Permutação:
É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.
Combinação:
É o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
Exemplo:
 De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinhos
· Total de bolinhas: n = 10
· Quantidade de bolinhas por saquinho: p = 2
Cn,p=n!p!⋅(n−p)!
C10,2=10!2!⋅(10−2)!
C10,2=36288002⋅(8)!
C10,2=36288002⋅(40320)
C10,2=362880080640=45
Com 10 bolinhas distintas colocando duas em cada saquinho, é possível fazer 45 combinações.
10. ESTATÍSTICAS
Estatística é uma ciência exata que estuda a coleta, a organização, a análise e registro de dados por amostras.
Utilizada desde a Antiguidade, quando se registravam os nascimentos e as mortes das pessoas, é um método de pesquisa fundamental para tomar decisões. Isso porque fundamenta suas conclusões nos estudos realizados.
Para tanto, as fases do método estatístico são:
1. Definição do problema: determinar como a recolha de dados pode solucionar um problema
2. Planejamento: elaborar como fazer o levantamento dos dados
3. Coleta de dados: reunir dados após o planeamento do trabalho pretendido, bem como definição da periodicidade da coleta (contínua, periódica, ocasional ou indireta)
4. Correção dos dados coletados: conferir dados para afastar algum erro por parte da pessoa que os coletou
5. Apuração dos dados: organização e contagem dos dados
6. Apresentação dos dados: montagem de suportes que demonstrem o resultado da coleta dos dados (gráficos e tabelas)
7. Análise dos dados: exame detalhado e interpretação dos dados
Aliada à probabilidade, pode ser aplicada nas mais diversas áreas. São exemplos a análise dos dados sociais, econômicos e demográficos. É o que faz o IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.
O IBGE é o órgão que fornece ao nosso país os dados necessários para a definição do modelo de planejamento mais adequado nas políticas públicas.
A palavraestatística, do latim status + pseudo prefixo latino -isticum, relaciona-e com “estado”.
No início, a palavra era usada para se referir ao "cidadão político". Posteriormente, passou a ser utilizada em alemão com o sentido de "conjunto de dados do Estado", de onde decorre o seu significado desde o século XIX.