eletromag cap 3

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Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 1 
 1
Lei de Gauss 
 A Lei de Gauss: 
 
 Para compreendermos a Lei de Gauss, 
precisamos entender o significado de fluxo elétrico. 
 A Lei de Gauss está centralizada no que 
chamamos hipoteticamente de superfície gaussiana. 
Esta superfície pode ser formada com a forma que 
quisermos, porém é adequada aquela que apresentar as 
devidas simetrias que o problema se apresenta. Por 
exemplo, uma carga pontual possui linhas de força 
distribuídas esfericamente; então a superfície 
gaussiana mais adequada é uma esférica. 
 
™ Fluxo: 
 
 Definimos como fluxo de um vetor v através 
de uma superfície de área A o produto: 
θcos. vAAv ==Ψ GG 
 Ou seja, se pega a componente paralela do 
vetor v ao vetor normal à superfície A e multiplica-se 
pela área A. Para definirmos o fluxo de um campo 
elétrico, consideramos uma área A que representa uma 
superfície gaussiana, sendo atravessada pelas linhas de 
campo elétrico. Definimos por: 
i
S
QSdD =⋅= ∫∫ GGψ 
 
Ou 
0ε
i
S
QSdE =⋅∫∫ GG 
ED
GG
0ε= 
(Para o espaço livre). 
 Figura 1 – Fluxo através de uma superfície Gaussiana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O círculo na integração representa que a 
integral deve ser feita sobre a superfície gaussiana 
fechada. 
 A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo 
elétrico por uma superfície fechada com uma 
distribuição de cargas que estão envolvidas por essa 
superfície: 
∫ = 0. εqAdE GG 
 Note que a carga q é a soma de todas as cargas, 
positivas e negativas, interiores à superfície gaussiana. 
 A Lei de Gauss permite provar um importante 
teorema sobre condutores isolados: 
 Se um excesso de carga é colocado em um 
condutor isolado, a carga irá se mover inteiramente 
sobre a superfície do condutor, nenhuma carga irá se 
encontrar no interior do corpo de um condutor. 
 
™ Teorema da Divergência 
(Teorema Gauss): 
 Seja 
zzyyxx azyxFazyxFazyxFF ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( ++=
G
Seja 
S uma superfície contida numa região B, na qual as 
derivadas parciais de Fx, Fy e Fz são contínuas e V uma 
região limitada por B. Se a é um vetor normal exterior 
à S, então: 
nˆ
dVFdSaF
VS
n ∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅ GGG ˆ 
ou 
dVFSdF
VS
∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅ GGGG 
 Aplicando o Teorema de Gauss: 
 
dVDSdD
VS
∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅ GGGG 
Como, da Lei de Gauss: 
i
S
QSdD =⋅= ∫∫ GGψ 
E para uma distribuição volumétrica de carga: 
dVQ
V
vi ∫∫∫= ρ 
 Observe que: 
 
dVdVDSdD
v
v
VS
∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅∇=⋅ ρGGGG 
vD ρ=⋅∇
GG
 
 Exemplo 1 - Campo elétrico de uma carga 
puntiforme: Imagine um superfície esférica que englobe 
uma carga pontual q. Então: 
24
12
0
00
4.
r
qErEQSdE qi
S
πεεπε =→=⇒=⋅∫∫
GG
 
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 2
Lei de Gauss 
Figura 2 – Superfície Gaussiana esférica para calcular o 
campo elétrico de uma carga puntiforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 2 - Campo de um condutor plano 
infinito de densidade de carga superficial rs: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Superfície Gaussiana cilíndrica para o cálculo 
do campo de um plano carregado. 
 
 Escolhendo uma superfície gaussiana 
cilíndrica, a carga q está na superfície do condutor: 
Note que o campo elétrico possui sentido divergente. 
Então, aplicando a Lei de Gauss: 
 
0
)).((. ε
q
S
AEAESdE =−−+=⋅∫∫ GG 
02ε
ρ SE = 
 Exemplo 3 - Campo elétrico de um fio 
infinito de densidade de carga linear Lρ . 
 Nesse caso, a superfície gaussiana adequada é 
um cilindro de raio r qualquer: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Superfície Gaussiana cilíndrica envolvendo o 
fio com densidade de carga linear.λ=rL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 r 
 
 
 
 
 
 
 
 L 
 
 
 
ρ
ρ
πεε
ρπρε
LL ELEQSdE Li
S
00 2
1
0
2 =⇒=⇒=⋅∫∫ GG 
 
 Exemplo 4 - Esfera condutora de raio R 
carregada com carga elétrica Q na superfície: 
 No seu interior o campo é nulo; para r > R 
podemos imaginar que a superfície esférica gaussiana 
engloba uma carga elétrica puntiforme Q: 
Figura 5 – Superfície Gaussiana esférica envolvendo uma 
casca esférica de raio R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E
r R
Q
r
r R=
<
≥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
0
1
4 20
, se 
 se πε
 
 Exemplo 5 - Distribuição esférica de raio R de 
carga elétrica Q com densidade volumétrica rv: 
 Devemos imaginar duas superfícies 
gaussianas, de raios r > R e r < R: 
 
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 3
Lei de Gauss 
Se r R E dA E r r E rq< ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ G G. . /ε ρεπ ρ π ε0 04 2 43 3 0 3
Se r R E dA E r E
R
r
q R> ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ G G. .ε ρ ε ρεπ π0 43 30 04 2 3 32 
Figura 6 – Superfícies Gaussianas esférica envolvendo 
uma distribuição volumétrica de carga de raios r > R (a) e r < R (b): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7 – Superfícies Gaussianas para diferentes 
situações: 
 
 (a) Fio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Plano carregado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (c) Plano carregado de um lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 4
Lei de Gauss 
 
(d) Capacitor de placas paralelas com 
densidades iguais e diferentes nas placas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6 – (e 3.1 – Hayt pg. 34) 
 Dada uma carga pontual de 60µC, localizada 
na origem, determine o fluxo elétrico total que passa 
através: 
(a) da porção de uma esfera limitada de r = 
26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2. 
(b) a superfície fechada definida por ρ = 26 
cm e z = ± 26 cm. 
 (c) do plano z = 26 cm. 
 
 Solução: 
i
S
QSdD =⋅= ∫∫ GGψ 
Ou 
0ε
i
S
QSdE =⋅∫∫ GG 
(a) da porção de uma esfera limitada de r = 
26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2. 
 
2 2
2
2
0 0
ˆ
4 r rS
QD dS a r sen d d a
r
π π
ψ θ θ φπ= ⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫
GG �w 
2 2
0 04
Q sen d d
π π
ψ θ θ φπ= ∫ ∫ 
2 2
0 0[ cos ] [ ]4
Q π πψ θ φπ= − 
2 2[ cos ( cos 0)][ 0]4
Q π πψ π= − − − − 
2
60 7,5
4 8 8
Q Q Cπψ µ µπ= = = = 
 
(b) a superfície fechada definida por 
ρ = 26 cm e z = ± 26 cm. 
 
i s
L T Ti s
L T T
S S S S
D dS D dS D dS D dSψ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫G G G GG G G Gw w w w
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ˆLdS d dzaρρ φ=
G
 
ˆ
sT z
dS d d aρ ρ φ=G 
( )ˆ
iT z
dS d d aρ ρ φ= −G 
2
ˆ
4 r
QD a
rπ=
G
 
2
2
2
2
0
ˆ ˆ
4
L
L
L
L r
S
QD dS a d dza
r
π
ρρ φπ
+
−
⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫GGw 
2
2
2
2
0
ˆ ˆ
4
L
L
L
L r
S
QD dS a a d dz
r
π
ρ
ρ φπ
+
−
⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫GGw 
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 5
ˆa sen a sen sen a a
Lei de Gauss 
ˆ ˆ ˆcos cosr x y z [ ] ( )
2
2 2
3 20 2 2 2
sec
4
L
L
L
S L
QD dS d
tg
π ρφ ρ θ θπ ρ θ ρ
+
−
⋅ =
+∫∫ ∫
GGwθ φ θ φ θ= + +
aˆ
 
 
ˆ ˆcos x ya a senρ φ φ= + 
2 2ˆ ˆ cosra a sen sen senρ θ φ θ⋅ = + φ 
( )2 2ˆ ˆ cosra a sen senρ θ φ φ⋅ = + 
ˆ ˆra a senρ θ⋅ = 
 Observeda figura que: 
 
 
 z ρ 
 
 
 
 z θ r G
 
 r 
 
 
 y 
 φ ρ 
 
 x 
sen
r
ρθ = 
2 2r x y z= + + 2 
2 2x yρ = + 
2 2r zρ= + 
Então: 
ˆ ˆra a rρ
ρ⋅ = 
Substituindo, teremos: 
2
2
2
2
04
L
L
L
L
S
QD dS d dz
r r
π ρ ρ φπ
+
−
⋅ =∫∫ ∫ ∫GGw 
2
2
2 2
3
04
L
L
L
L
S
QD dS d dz
r
π ρ φπ
+
−
⋅ =∫∫ ∫ ∫GGw 
2 2
3
04L
L
L
S L
QD dS d dz
r
π ρφπ
+
−
⋅ =∫∫ ∫ ∫GGw 
( )
2 2
3 22 2
04L
L
L
S L
QD dS d dz
z
π ρφπ ρ
+
−
⋅ =
+∫∫ ∫ ∫
GGw 
Chamando: 
2secz tg dz dρ θ ρ= ⇔ = θ θ 
( )
3
2
3 23 2
2 s
4 1L
L
L
S L
QD dS d
tg
ρ ecπ θ θπ ρ θ
+
−
⋅ =
+∫∫ ∫
GGw
2
3
12 sec
4 sec
L
L
L
S L
QD dS dπ θ θπ θ
+
−
⋅ =∫∫ ∫GGw 
1
2 sec
L
L
L
S L
QD dS dθθ
+
−
⋅ =∫∫ ∫GGw 
cos
2
L
L
L
S L
QD dS dθ θ
+
−
⋅ =∫∫ ∫GGw 
4
L
L
S
QD dS senθπ⋅ =∫∫
GGw 
Como: 
2 21
tg zsen
tg z 2
θθ θ ρ= =+ + 
0.26
2 2
0.26
2
L
z
L
S z
Q zD dS
z ρ
=
=−
⋅ = +∫∫
GGw 
2 2 2 2
0.26 0.26
2 0.26 0.26 0.26 0.26L
L
S
QD dS
⎛ ⎞−⋅ = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫∫
GGw
 
0.26 0.26
2 0.26 2 0.26 2
L
L
S
QD dS ⎛ ⎞⋅ = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫
GGw 
2
2 2
L
L
S
QD dS⋅ =∫∫ GGw 
2
L
L
S
QD dS⋅ =∫∫ GGw 
2
2
0 0
1 ˆ ˆ
4s
Ts
R
T r z
S
QD dS a a d d
r
π
ρ ρ φπ⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫
GGw 
Observe da figura que: 
ˆ ˆ cosr z
za a
r
θ⋅ = = 
2
2
0 0
1
4s
Ts
R
T
S
Q zD dS d d
r r
π
ρ ρ φπ⋅ =∫∫ ∫ ∫
GGw 
( )
2
3 22 2
0 04
s
Ts
R
T
S
Q zD dS d d
z
π ρ ρ φπ ρ⋅ = +∫∫ ∫ ∫
GGw 
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 6
Lei de Gauss 
( )
2
3 22 2
0 04
s
Ts
R
T
S
Q zD dS d d
z
π ρφ ρπ ρ⋅ = +∫∫ ∫ ∫
GGw 
Chamando de 
2 2 2
2
u z du
dud
dρ ρ ρ
ρ ρ
= + ⇔ =
= 
 
( )23 22024sTs
R du
T
S
zQD dS
u
ππ⋅ =∫∫ ∫
GGw 
3
2
04
s
Ts
R
T
S
QD dS z u du−⋅ =∫∫ ∫GGw 
3 1
2
34 1
2
s
Ts
T
S
Q uD dS z
− +
⋅ =
− +∫∫
GGw 
1
2
14
2
s
Ts
T
S
Q uD dS z
−
⋅ =
−∫∫
GGw 
12
4s
Ts
T
S
QD dS z
u
−⋅ =∫∫ GGw 
0.26
2 2
0
1
2s
Ts
T
S
QD dS z
z
ρ
ρρ
=
=
⎡ ⎤⋅ = − ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
GGw 
2 2 2
1 10.26
2 0.26 0.26 0.26 0sTs
T
S
QD dS
⎡ ⎤⋅ =− −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦∫∫
GGw 2
1 10.26
2 0.260.26 2s
Ts
T
S
QD dS ⎡ ⎤⋅ =− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
GGw 
0.26 1 1
2 0.26 2s
Ts
T
S
QD dS ⎡ ⎤⋅ =− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
GGw 
11
2 2s
Ts
T
S
QD dS ⎡ ⎤⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
GGw 
11
2 2s
Ts
T
S
QD dS ⎡ ⎤⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
GGw 
 
O fluxo na tampa inferior é calculado de 
maneira análoga, fornecendo o resultado: 
11
2 2i
Ti
T
S
QD dS ⎡ ⎤⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
GGw 
i s
L T Ti s
L T T
S S S S
D dS D dS D dS D dSψ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫G G G GG G G Gw w w w
12 1
22 2S
Q QD dSψ ⎡ ⎤= ⋅ = + −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
GGw 
2 2S
Q QD dS Qψ = ⋅ = + −∫∫ GGw 
S
D dS Qψ = ⋅ =∫∫ GGw 
 
60
S
D dS Cψ µ= ⋅ =∫∫ GGw 
(c) do plano z = 26 cm. 
 
Pela simetria do problema: 
 
2S
QD dSψ = ⋅ =∫∫ GGw 
 
30
S
D dS Cψ µ= ⋅ =∫∫ GGw 
Ou: 
 
2
ˆ ˆ
4 r zS
QD dS a a dxdy
r
ψ π
+∞ +∞
−∞ −∞
= ⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫GGw 
24S
Q zD dS dxdy
r r
ψ π
+∞ +∞
−∞ −∞
= ⋅ =∫∫ ∫ ∫GGw 
 
( )3 22 2 2
1
4S
QzD dS dxdy
x y z
ψ π
+∞ +∞
−∞ −∞
= ⋅ =
+ +∫∫ ∫ ∫
GGw
 
Exemplo 7 – (e 3.2 – Hayt pg. 34) 
 
Calcule D em coordenadas retangulares no 
ponto P (2, -3, 6) produzido por: 
(a) uma carga pontual QA = 55 mC em Q(-2, 3, 
-6). 
(b) uma linha de cargas uniforme de ρLB = 20 
mC/m no eixo x. 
(c) uma densidade superficial de carga de ρSC 
= 120 µC/m2 no plano z = -5m. 
 
Solução: 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 7 
 7
Lei de Gauss 
(a) uma carga pontual QA = 55 mC em Q(-2, 
3, -6). 
2
ˆ
4
A R
P A
Q aD
r rπ= ′−
G
G G 
 
ˆ ˆ2 3 6 ˆA x yr a a′ = − + −G za
ˆza
 
ˆ ˆ2 3 6P x yr a a= − +G 
ˆ PR
P P
r ra
r r
′−= ′−
G G
G G 
ˆ ˆ ˆ4 6 12 4 6 12ˆ ˆ
14 14 14ˆ ˆ ˆ4 6 12
x y z
R x
x y z
a a a
a a
a a a
− += = −− + ˆ ˆy za a+
2
55 4 6 12ˆ ˆ ˆ
4 14 14 14 14x y z
mD a a aπ
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
G
 
( )2ˆ ˆ ˆ6.38 9.57 19.14 Cx y z mD a a a µ= − +G 
(b) uma linha de cargas uniforme de ρLB = 20 
mC/m no eixo x. 
ˆ
2
L aD ρρπ ρ=
G
 
( )2 23 6 4ρ = − + = 5 
3 6ˆ ˆ
3 5 3 5y z
a aρ = − + aˆ 
3 6ˆ ˆ
20 3 5 3 5
2 3 5
y za amD π
⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦=G 
20 3 6ˆ ˆ
2 45 45y z
mD aπ
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
G
a 
2ˆ ˆ212 424y z
CD a a
m
µ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟⎝ ⎠
G
 
(c) uma densidade superficial de carga de ρSC 
= 120 µC/m2 no plano z = -5m. 
 
ˆ
2
S
ND a
ρ=G 
120 ˆ
2 Z
D aµ=G 
( )2ˆ60 CZ mD a µ=G 
 
Exemplo 8 – (e 3.3 – Hayt pg. 36) 
 
Dada a densidade de fluxo elétrico D =0,3r2ar 
nC/m2 no espaço livre: 
(a) determine E no ponto 
P(r = 2, θ =25°,φ = 90°). 
(b) determine a carga total dentro da esfera r = 
3. 
(c) determine o fluxo elétrico total que deixa a 
esfera r = 4. 
 
Solução: 
 
(a) 
0
1E Dε=
G G
 
 2
0
1 ˆ0.3 rE nr aε=
G
 
9 2
12
1 ˆ0.3 10 2
8.85 10 r
E a−−= ⋅⋅ ⋅
G
 
( )ˆ135,5 Vr mE a=G 
(b) 
S
Q D dS= Ψ = ⋅∫∫ GGw 
2 2ˆ0.3 r
S
Q nr a r sen d dθ θ φ= Ψ = ⋅∫∫w 
2
4
0 0
0.3Q nr sen d d
π π
θ θ φ= ∫ ∫ 
40.3 3 4Q n π= 
305Q n= C 
(c) 
S
D dSΨ = ⋅∫∫ GGw 
2 2ˆ0.3 r
S
nr a r sen d dθ θ φΨ = ⋅∫∫w 
40.3 4 4n πΨ = 
965.09nCΨ = 
 
Exemplo 9 – (e 3.3 – Hayt pg. 36) 
 
Calcule o fluxo elétrico total deixando uma 
superfície cúbica formada por seis planos x, y, z = ±5, 
se a distribuição de cargas é: 
(a) duas cargas pontuais, uma de 0,1 µC em 
(1,-2,3) e outra de 17 Cµ em (-1, 2, -2); 
(b) uma linha de cargas uniforme de πµC/m 
em x = -2, y = 3; 
(c) uma superfície de cargas uniforme de 
0,1µC/m2 no plano y = 3x. 
 
Solução: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 8 
 8
Lei de Gauss 
(a) 1 2
S
D dS Q QΨ = ⋅ = +∫∫ GGw
1
7
1,70,1
7
µ µ µΨ = + = 
0, 243 CµΨ = 
 
(b) i
S
D dS QΨ = ⋅ =∫∫ GGw
 
 z 
 
 
 
 
 
 -2 
 
 
 d 
 
 3 
 y 
 
 
x 
O comprimento da linha que está dentro do 
cubo possui uma carga de: 
L
S
D dS dρΨ = ⋅ =∫∫ GGw 
10πµΨ = 
31, 4 CµΨ = 
 
(c) uma superfície de cargas uniforme de 
0,1µC/m2 no plano y = 3x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A interseção do cubo de lado 10 com o plano 
dá um retângulo, de dimensões: 
 
 
 d/2 
 y=5 
 
 x=5/3 
 5 
 
 
 
 
 5/3 x 
 
 
 
2 2
2 5 25 25
2 3
d⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5
9
 
2 225 25 250
4 9
d += =
9
 
4 250
9
d ⋅= 
10 10
3
d = 
A Carga interna ao cubo será: 
2i s sQ S d lρ ρ= = ⋅ ⋅ 
10 10 10 100,1 2 5
3 3i
Q µ µ= ⋅ ⋅ ⋅ = 
 
10,54iQ CµΨ = = 
 
Exemplo 10 – (e 3.5 – Hayt pg. 39) 
Uma cargapontual de 0,25µC está localizada 
em r=0, e duas densidades superficiais de cargas 
uniformes estão localizadas como se segue: uma de 
2mC/m2 em r = 1cm e outra de -0,6 mC/m2 em r = 1,8 
cm. Calcule D em: 
(a) r = 0,5 cm. 
(b) r = 1,5 cm. 
(c) r = 2,5 cm. 
(d) Que densidade superficial de carga 
uniforme deve ser estabelecida em r = 3 cm para causar 
D = 0 em r = 3,5 cm? 
 
Solução: 
 
(a) r = 0,5 cm 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 9 
 9
Lei de Gauss 
2
ˆ
4 r
QD a
rπ=
G
 
( )22
0, 25 ˆ
4 0,5 10
rD a
µ
π −= ⋅
G
 
( )2ˆ796 Cr mD a µ=G 
(b) r = 1,5 cm 
 
2 2ˆ ˆ4 4
s
r r
s
QQD a
r rπ π= +
G
a 
1
2
1
2 2
4
ˆ ˆ
4 4
s
r r
rQD a a
r r
ρ π
π π= +
G
 
( )
( )
( )
22
2 22 2
2 4 1,0 100,25 ˆ ˆ
4 1,5 10 4 1,5 10
r r
m
D a
πµ
π π
−
− −
⋅ ⋅= +
⋅ ⋅
G
6 6ˆ ˆ88, 4 10 888,88 10r r
a
D a a− −= ⋅ + ⋅G 
( )2ˆ977,3 Cr mD a µ=G 
(c) r = 2,5 cm. 
1 1
2 2
1 2
2 2 2
4 4
ˆ ˆ ˆ
4 4 4
s s
r r
r rQ
rD a a ar r r
ρ π ρ π
π π π= + +
G
( )
( )
( )
( )
( )
2 22 2
2 22 2
2 4 1,0 10 0,6 4 1,8 100, 25 ˆ ˆ
4 2,5 10 4 2,5 10 4 2,5 10
r r
m m
D a a
π πµ
π π π
− −
− − −
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= + +
⋅ ⋅ ⋅
G
22
ˆra
ˆra
 
ˆ ˆ31,83 320 311,04r rD a aµ µ µ= + −
G
 
( )2ˆ40,79 Cr mD a µ=G 
(d) Que densidade superficial de carga 
uniforme deve ser estabelecida em r = 3 cm para 
causar D = 0 em r = 3,5 cm? 
 
1 1
2 2 2
1 2
2 2 2
4 4 4ˆ ˆ ˆ
4 4 4 4
s s s s
r r r
r r rQ
2 ˆrD a a ar r r r
ρ π ρ π ρ π aπ π π π= + + +
G
3 2 2
2 2 2 2
2 10 4 (1,0 10 )ˆ ˆ
4 (3,5 10 ) 4 (3,5 10 )r r
QD a aππ π
− −
− −
⋅ ⋅ ⋅= +⋅ ⋅
G
2 23 2 2
2 2 2 2
4 (3 10 )0,6 10 4 (1,8 10 ) ˆ ˆ 0
4 (3,5 10 ) 4 (3,5 10 )
s
r ra a
ρ ππ
π π
−− −
− −
⋅− ⋅ ⋅ ⋅+ + =⋅ ⋅
G
ˆ ˆ16,24 163,265r rD a aµ µ= +
G
ˆ ˆ158,69 0,7346 0r sa aµ ρ− +
G
r = ( )228,33 Cs mµρ = − 
 
Exemplo 11 – (e 3.6 – Hayt pg. 41) 
No espaço livre, ( )24 2 4 2 3ˆ ˆ ˆ8 4 16 pCx y z mD xyz a x z a x yz a= + +G . 
(a) Determine o fluxo elétrico total que 
atravessa a superfície retangular 
 z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 na direção az; 
(b) Determine E em P(2, -1, 3); 
(c) Determine um valor aproximado para a 
carga total contida em uma esfera incremental 
localizada em P(2, -1, 3) e tendo um volume de 10-12 
m3. 
 
Solução: 
 
(a) Fluxo elétrico total que atravessa a 
superfície retangular 
 z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 na direção az; 
 
ˆzdS dxdya=
G
 
S
D dSΨ = ⋅∫∫ GGw 
2 316D dS x yz dxdy⋅ =GG 
2 3
2 3 2 3
0 1
16 16
S
x yz dxdy x yz dydxΨ = =∫∫ ∫ ∫w 
2 3
3 2
0 1
16z x dx ydyΨ = ∫ ∫ 
2 33 2
3
2
0 1
16
3 2z
x yz =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
3 2 22 3 116 8
3 2 2
⎡ ⎤Ψ = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
32 9 1128
3 2 2
⎡ ⎤Ψ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ 
1365,33pCΨ = 
 
(b) Determine E em P(2, -1, 3); 
 
( )24 2 4 2 3
0 0
ˆ ˆ ˆ8 4 16x y z pC
m
xyz a x z a x yz aDE ε ε
+ += =
GG
 
( ) ( )2 34 2 4
0
16 2 1 38 2 ( 1)3 4 2 3ˆ ˆ ˆ
8,85 8,85 8,85
N
x y C
DE a aε
⋅ −⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= = + + za
GG 
( )ˆ ˆ ˆ146,44 146, 44 195, 25 Nx y z CE a a a= − + −G 
 
(c) Determine um valor aproximado para a 
carga total contida em uma esfera incremental 
localizada em P(2, -1, 3) e tendo um volume de 10-12 
m3. 
 
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 10
Lei de Gauss 
v v
V
QQ dV D
V
ρ ρ= ⇔∇⋅ = ≅ ∆∫∫∫
G G
 
 
Q V= ∆ ⋅∇ ⋅G GD 
 ( )24 2 4 2 3ˆ ˆ ˆ8 4 16 pCx y z mD xyz a x z a x yz a= + +G 
( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 2 38 4 16D xyz x z x yz px y z⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ ⋅ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
G G 
4 28 0 48D yz p x yz p∇⋅ = + +G G 2 
( )( )4 2 28( 1)3 0 48 2 ( 1)3 10D −∇ ⋅ = − + + ⋅ −G G
( )
12
( )4 2 28( 1)3 0 48 2 ( 1)3 10D −∇ ⋅ = − + + ⋅ −G G 12
212,376 10Q V D C−= ∆ ⋅∇ ⋅ = − ⋅G G 
 
Exemplo 12 – (e 3.7 – Hayt pg. 42) 
 
Para cada um dos seguintes itens, determine 
um valor numérico para div D no ponto especificado: 
(a) ( ) ( ) ( )22 2 2ˆ ˆ2 2 Cx y mD xyz y a x z xy a x ya= − + − +G ˆz em 
PA(2, 3, -1). 
(b) ( )22 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ2 2 2 Cz mD z sen a z sen a zsen aρ φρ φ ρ φ ρ φ= + +G 
em PB(ρ = 2, φ = 110°, z =-1). 
(c) ( )2ˆ ˆ2 cos cos cos Cr mD rsen a r a rsen aθ φθ φ θ φ φ= + −G ˆ em 
PB(r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°). 
 
Solução: 
 
(a) ( ) ( ) ( )22 2 2ˆ ˆ2 2 Cx y mD xyz y a x z xy a x ya= − + − +G ˆz em 
PA(2, 3, -1). Em coordenadas cartesianas: 
yx zDD DD
x y z
∂∂ ∂∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
G G
 
( ) ( ) ( )2 2 22 2xyz y x z xy x y
D
x y z
∂ − ∂ − ∂∇⋅ = + +∂ ∂
G G
2 2 0D yz x∇⋅ = − +G G
∂
 
( )(2, 3, -1) 2 3 1 2 2D∇ ⋅ = ⋅ ⋅ − − ⋅G G 
( )3(2, 3, -1) 10 CmD∇⋅ = −G G 
(b) ( )22 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ2 2 2 Cz mD z sen a z sen a zsen aρ φρ φ ρ φ ρ φ= + +G 
em PB(ρ = 2, φ = 110°, z =-1). 
( )
z
DDDD z∂
∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇ φρρρρ
φ
ρ
11GG
 
( ) ( ) ( )2 22 2 2 21 12 z sen zsenD z sen z
2ρ φ ρρ ρ φρ ρ ρ φ
∂ ∂∂∇⋅ = + +∂ ∂
G G φ
∂ 
( ) ( ) ( )2 2 22 222 2 2sen zz sen zD sen zφφ ρρ ρρ ρ ρ φ∂ ∂∂∇⋅ = + + φ∂ ∂ ∂
G G
2 2
2 2 22 2 2cos2 2 1z senD z senφ ρ φ ρ φρ∇⋅ = + + ⋅
G G
 
2 2 2 2 24 2 cos2 2D z sen z senφ φ ρ φ∇⋅ = + +G G 
( )2 2( 2, 110 , -1) 4 1 110ºD z senρ φ∇⋅ = = ° = = − +G G 
( ) ( )2 2 22 1 cos 2 110 2 2 110sen− ⋅ ° + ⋅ ° 
( )2 2( 2, 110 , -1) 4 1 110ºD z senρ φ∇⋅ = = ° = = − +G G 
( ) ( )2 2 22 1 cos 2 110 2 2 110sen− ⋅ ° + ⋅ ° 
( )3( 2, 110 , -1) 9.06 CmD zρ φ∇⋅ = = ° = =G G 
 (c) ( )2ˆ ˆ ˆ2 cos cos cos Cr mrsen a r a rsen aθ φθ φ θ φ φ= + −DG em 
PB(r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°). 
( ) ( )221 1 1r Dsen DD r Dr r rsen rsen φθθθ θ θ φ∂∂∂∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
G G
 
( ) ( )22 cos cos1 12 cos sen rD r rsenr r rsen θ θ φθ φ θ θ∂∂∇⋅ = + +∂ ∂
G G
( )1 rsen
rsen
φ
θ φ
∂ −
∂ 
( )32
2
2 cos cos 2
sen
sen rD r
r r rsen
θ
θ φ φ
θ θ
⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∇⋅ = + +∂ ∂
G G
 
( )senr
rsen
φ
θ φ
∂−
∂ 
2
2
2 cos cos 2cos23
2
sen rD r
r rsen
θ φ φ θ
θ
⎛ ⎞∇⋅ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
G G
 
1 cos
sen
φθ
− 
cos cos2 cos6 cosD sen
sen sen
φ θ φθ φ θ θ∇⋅ = + −
G G
 
26 cos cos2 cos cossenD
sen
θ φ θ φ
θ
+ −∇⋅ = φG G 
( )2 2 26 cos cos cos cossen sen
D
sen
θ φ θ θ φ
θ
+ − −∇⋅ =G G φ 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 11 
 11
Lei de Gauss 
2 2 26 cos cos cos cos cossen senD
sen
θ φ θ φ θ φ
θ
+ − −∇⋅ =G G
(
φ
)2 2 26 cos 1 cos cos cossen sen sen
D
sen
θ φ θ φ θ φ
θ
+ − − −∇⋅ =G G φ
2 2 26 cos cos cos cos cossen sen senD
sen
θ φ φ θ φ θ φ
θ
+ − − −∇⋅ =G G φ
24 cossenD
sen
θ φ
θ∇⋅ =
G G
 
4 cosD senθ φ∇⋅ =G G 
4 30 cos50D sen∇⋅ = ° °G G 
14 0.6427
2
D∇⋅ =G G 
( )31,28 CmD∇⋅ =G G 
 
Exemplo 13– (e 3.8 – Hayt pg. 41) 
Determine a expressão para a densidade 
volumétrica de carga associada com cada campo D a 
seguir: 
(a) ( )22 224 4 2ˆ ˆ ˆ Cx y z mxy x x yD a a az z z= + +G . 
(b) ( )2ˆ ˆ ˆcos Cz mD zsen a z a sen aρ φφ φ ρ φ= + +G 
(c) ( )2ˆ ˆ ˆcos cos Cr mD sen sen a sen a aθ φθ φ θ φ φ= + +G 
Solução: 
 
(a) ( )22 224 4 2ˆ ˆ ˆ Cx y z mxy x x yD a a az z z= + +G . 
 Em coordenadas cartesianas: 
yx z
v
DD DD
x y z
ρ ∂∂ ∂= ∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
G G
 
2 2
2
4 4 2xy x xD
x z y z z z
⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇ ⋅ = + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
G G y ⎞⎟⎠
2
3
4 40y x yD
z z
∇⋅ = + −G G 
2 2
3
4 4
v
yz x yD
z
ρ −= ∇⋅ =G G 
( )( )32 234(2, 3, -1) CmyD z xz∇⋅ = −G G 
(b) ( )2ˆ ˆ ˆcos Cz mD zsen a z a sen aρ φφ φ ρ φ= + +G . 
( )1 1 zv D DD D zφρρ ρρ ρ ρ φ∂ ∂∂= ∇⋅ = + +∂ ∂
G G
∂ 
( ) ( ) ( )cos1 1 z senDzsen
z
φ ρ φρ φρ ρ ρ φ
∂ ∂∂∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
G G
 
( ) ( )cos 0zsen zD φφ ρρ ρ ρ φ
∂∂∇⋅ = + +∂ ∂
G G
zsen zsenD φ φρ ρ∇⋅ = −
G G
 
( )30 Cv mDρ =∇⋅ =G G 
 (c) ( )2ˆ ˆ ˆcos cos Cr mD sen sen a sen a aθ φθ φ θ φ φ= + +G . 
( ) ( )221 1 1r Dsen DD r Dr r rsen rsen φθθθ θ θ φ∂∂∂∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
G G
 
( ) ( )22 cos1 1 sen senD r sen senr r rsen θ θ φθ φ θ θ∂∂∇⋅ = + +∂ ∂
G G
( )cos1
rsen
φ
θ φ
∂
∂ 
( )22
2
2
sen
sen sen senD r
r r rsen
θ
θ φ φ
θ θ
⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∇⋅ = + +∂ ∂
G G
 
( )cos1
rsen
φ
θ φ
∂
∂ 
2
2cos22
2
sen sen senD r
r rsen
θ φ φ θ
θ
⎛ ⎞∇⋅ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
G G
 
( )1 sen
rsen
φθ − 
2 cos2sen sen sen senD
r rsen rsen
θ φ φ θ φ
θ θ∇⋅ = + −
G G
 
( )2 22 cos2 sen sensen sen senD
rsen rsen rsen
φ θ θθ φ φ
θ θ θ
−∇⋅ = + −G G 
( )22 1 22 sen sensen sen senD
rsen rsen rsen
φ θθ φ φ
θ θ θ
−∇⋅ = + −G G 
2 22 2sen sen sen sen sen senD
rsen rsen rsen
θ φ φ θ φ φ
θ θ θ
−∇⋅ = + −G G 
( )30 Cv mDρ =∇⋅ =G G 
Exemplo 13– (e 3.9 – Hayt pg. 45) 
Dado o campo: 
 ( )21 12 2ˆ ˆ6 1,5 cos CmD sen a aρ φρ φ ρ φ= +G 
calcule ambos os lados do teorema da 
divergência para a região limitada por: 
2, 0, , 0zρ φ φ π= = = = e z = 5. 
Solução: 
i
S V
D dS Q DdVΨ = ⋅ = = ∇⋅∫∫ ∫∫∫GG G Gw 
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 12
Lei de Gauss 
A região formada é composta por quatro 
superfícies SL, STs, STi e Sp, como ilustramos abaixo, 
juntamente com os vetores para cada superfície: dS
G
¾ Superfície lateral SL: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ˆ ˆNa aρ= 
 
 
 
 
 
 
 
ˆ ˆL LdS dS a d dzaρ ρρ φ= =
G
 
ˆ ˆ
LN
a aρ= 
¾ Superfícies inferior e superior (STs, STi): 
 
ˆ ˆ
sT T z
dS dS a d d azρ ρ φ= =
G
 
ˆ ˆ
TsN z
a a= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )ˆ ˆ
iT T z
dS dS a d d azρ ρ φ= − = −
G
 
ˆ ˆ
TiN z
a a= − 
 
 
 
¾ Superfície plana lateral Sp: 
 ( )ˆ ˆp pdS dS a d dzaφ φρ= − = −G 
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ; 
p pN N
a a a aφ φφ φ π= − = = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¾ Superfície fechada S: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 13 
 13
Lei de Gauss 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
L T T pi s iS S S S S
D dS D dS D dS D dS D dS⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫G G G G GG G G G Gw 
( ) (5 1 12 2
0 0
ˆ ˆ ˆ6 1,5 cos
L
L
S
)D dS sen a a d dzaπ ρ φ ρρ φ ρ φ ρ φ⋅ = + ⋅∫∫ ∫ ∫GG
Como: ˆ ˆ ˆ ˆ1 0a a a aρ ρ ρ φ⋅ = ∴ ⋅ =
5
2 1
2
0 0
6
L
L
S
D dS sen d dz
π
ρ φ φ⋅ =∫∫ ∫ ∫GG 
5
2 1
2
0 0
6
L
L
S
D dS dz sen d
π
ρ φ φ⋅ =∫∫ ∫ ∫GG 
[ ] [ ]52 120 06 2 2cos
L
z
L z
S
D dS z φ πφφ === =⋅ = ⋅ −∫∫ GG 
[ ] ( ) ( )( )1 12 224 5 0 2cos 2cos 0
L
L
S
D dS π⎡ ⎤⋅ = − − − −⎣ ⎦∫∫ GG
[ ]24 5 2
L
L
S
D dS⋅ = ⋅∫∫ GG 
240
LS
D dS C⋅ =∫∫ GG 
( ) ( )2 1 12 2
0 0
ˆ ˆ ˆ6 1,5 cos
i
Ti
T z
S
D dS sen a a d d a
π
ρ φρ φ ρ φ ρ ρ φ⋅ = + ⋅ −∫∫ ∫ ∫GG
Como: ˆ ˆ ˆ ˆ0 0z za a a aρ φ⋅ = ∴ ⋅ =
 
0
TiS
D dS C⋅ =∫∫ GG 
 
( ) ( )2 1 12 2
0 0
ˆ ˆ6 1,5 cos
i
Ts
T z
S
ˆD dS sen a a d d a
π
ρ φρ φ ρ φ ρ ρ φ⋅ = + ⋅∫∫ ∫ ∫GG
Como: ˆ ˆ ˆ ˆ0 0z za a a aρ φ⋅ = ∴ ⋅ = 
 
0
TsS
D dS C⋅ =∫∫ GG 
( )5 2 1 12 2
0 0
ˆ ˆ6 1,5 cos
pS
D dS sen a a d dza( )ˆρ φ φρ φ ρ φ ρ⋅ = + ⋅ −∫∫ ∫ ∫GG
 Como: ˆ ˆ ˆ ˆ1 0a a a aφ φ ρ φ⋅ = ∴ ⋅ = 
5 2
1
2
0 0
1,5 cos
pS
D dS d dzρ φ ρ⋅ = −∫∫ ∫∫GG 
5 2
1
2
0 0
1,5cos
pS
D dS dz dφ ρ ρ⋅ = −∫∫ ∫ ∫GG 
( )[ ]
22
51
2 0
0
1,5cos 0
2
p
z
z
S
D dS z
ρ
ρ
ρ ==
=
=
⎡ ⎤⋅ = − ⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
GG
 
( )[ ] 2 22 01,5cos 0 5 0
2 2
pS
D dS
⎡ ⎤⋅ = − − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫
GG
 
[ ][ ]1,5 1 5 2
pS
D dS⋅ = − ⋅∫∫ GG 
15
pS
D dS C⋅ = −∫∫ GG 
L T T pi s iS S S S S
D dS D dS D dS D dS D dS⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫G G G G GG G G G Gw 
240 0 0 15
S
D dS⋅ = + + −∫∫ GGw 
225
S
D dS C⋅ =∫∫ GGw 
 
¾ Integral de volume: 
V
DdVΨ = ∇⋅∫∫∫ G G 
( )1 1 zD DD D zφρρρ ρ ρ φ∂ ∂∂∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
G G
( )21 12 2ˆ ˆ6 1,5 cos CmD sen a aρ φρ φ ρ φ= +G 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 14 
 14
Lei de Gauss 
( ) ( )1 12 21 16 1,5 cosD sen zρ ρ φ ρ φρ ρ ρ φ
∂ ∂∇⋅ = + +∂ ∂
G G 0∂
∂
 
( ) ( )1 22 126 1,5 cossenD φ ρρ φρ ρ ρ φ∂ ∂∇⋅ = +∂ ∂
G G 
1
2 1
2
6 1,5 12
2
senD sφ ρ enρ φρ ρ
⎛ ⎞∇⋅ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
G G 
1 1
2 2
1,512
2
D sen senφ φ∇ ⋅ = −G G 
1
2
22,5
2
D sen φ∇ ⋅ =G G 
5 2
1
2
0 0 0
22,5
2V
DdV sen d d dz
π
φρ ρ φ∇ ⋅ =∫∫∫ ∫ ∫ ∫G G 
5 2
1
2
0 0 0
22,5
2V
DdV dz d sen d
π
ρ ρ φ∇ ⋅ =∫∫∫ ∫ ∫ ∫G G φ 
[ ] [ ]
22
5 1
20 0
0
22,5 2cos
2 2
z
z
V
DdV z
ρ
φ π
φ
ρ
ρ φ
=
==
= =
=
⎡ ⎤∇ ⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫
G G
[ ] ( ) ( )( )2 2 1 12 222,5 2 05 0 2cos 2cos 02 2 2V DdV π
⎡ ⎤⎡ ⎤∇⋅ = − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∫∫∫
G G
[ ][ ][ ]22,5 5 2 2
2V
DdV∇⋅ =∫∫∫ G G 
225
V
DdV C∇⋅ =∫∫∫ G G 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 15 
 15
Lei de Gauss 
 
 
 
 
™ Exercícios – Capítulo 3 - Hayt 
 
1. Uma lata de pintura de metal vazia é 
colocada em uma mesa de mármore, sua tampa é 
retirada, e ambas as partes são descarregadas 
conectando-as à terra. Um fio isolante de náilon é 
colado no centro da tampa e três moedas, de 5, 10 e 50 
centavos são coladas ao fio de forma que não se 
toquem. A moeda de 50 centavos é aplicada uma carga 
de +5 nC e as moedas de 5 e 10 centavos permanecem 
descarregadas. A montagem é descida até a lata de 
forma que as moedas fiquem suspensas e longe das 
paredes, estando a tampa presa. O lado de fora da lata 
é temporariamente conectado de novo a terra. O 
dispositivo é cuidadosamente desmontado com luvas e 
ferramentas isolantes. 
(a) Que cargas são encontradas em cada uma 
das cinco peças metálicas? 
(b) Se fosse aplicada à moeda de 50 centavos 
uma carga de + 5 nC, à de l0 centavos uma carga de - 
2 nC e à de 5 centavos uma carga de - l nC, qual seria 
a distribuição final de cargas? 
 
2. Uma carga pontual de 12 nC está 
localizada na origem. Quatro linhas de cargas 
uniformes estão localizadas no plano x = O como se 
segue: 80 nC/m em y = - l e -5 m, -50nC/m e y = -2e -
4m. 
(a) Determine D em P(0, -3, 2); 
(b) Quanto fluxo elétrico atravessa o plano x 
= -3 e em que direção? 
(c) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície da 
esfera de 4 m de raio centrada em C(0, -3, 0) ? 
 
3. A superfície cilíndrica r = 8 cm contém 
uma densidade superficial de carga zS e
205 −=ρ 
nC/m2. 
(a) Qual a quantidade de carga total presente? 
(b) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície 
r = 8 cm, 
l cm < z < 5 cm, 
30° < f < 90°? 
 
Solução: 
 
dSQ
S
S∫∫= ρ 
dzdeQ z φρ
π∫ ∫+∞
∞−
−−⋅=
2
0
209105 
dzedQ z∫∫ +∞
∞−
−−⋅= 209
2
0
105ρφ
π
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅⋅⋅= ∫∫ +∞ −
∞−
−−− dzedzeQ zz
0
20
0
)(202
0
9105 ρφ π
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−+⋅⋅⋅⋅=
+∞→
=
−
−∞→
−−
z
z
z
z
z eeQ0
20020
29
2020
1081010π
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅⋅= −
20
1
20
11080 11πQ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⋅= −
20
21080 11πQ 
11108 −⋅= πQ 
nCQ 25,0102513,0 9 =⋅= − 
(b) – Cálculo do fluxo: 
 
 z 
 
 
 
 5 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
dSQ
R
S∫∫= ρ 
dzdQ S φρρ
π
π
∫ ∫= 2
6
05,0
01,0
 
∫∫ −−⋅=
05,0
01,0
209105
2
6
dzedQ z
π
π
φρ 
05,0
01,0
20
9
20
10508,0 2
6 −⋅⋅⋅=
−
−
zeQ
π
πφ 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅=
⋅−⋅−
−
202062
104
01,02005,020
10 eeQ ππ 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 16 
 16
Lei de Gauss 
( )12,010
3
10
20
4 −−− −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⋅= eeQ π 
CQ 12104384,9 −⋅= 
pCQ 4384,9= 
 4. As superfícies cilíndricas r = l, 2 e 3 cm 
possuem densidades superficiais de carga uniformes 
de 20, - 8 e 5 nC/m2, respectivamente, (a) Quanto 
fluxo elétrico passa através da superfície fechada r = 5 
cm, 0 < z < l m? 
(b) Determine D em P(l cm, 2 cm, 3 cm). 
 
5. Seja: 
222 ˆ4ˆ)(2ˆ4 mCayzazxaxyD zyx +++=
G
 Calcule as integrais de superfície para 
determinar a carga total contida no paralelepípedo 
retângulo 0 < .x: < 2. 0 < y < 3, 0 < z < 5 m. 
 
 Solução: 
 
 Observando a figura: 
 
 z Sxy
 5 
 
 
 
 Sxz 
 Syz 
 0 3 y 
 2 
 
 
 x 
( )∫∫∫∫∫∫
==
−⋅+⋅=⋅=
50
ˆˆ
z
xy
z
xy S
z
S
z
S
i aDaDSdDQ
GGGG
 
( )∫∫∫∫
==
−⋅+⋅+
03
ˆˆ
y
xz
y
xz S
y
S
y aDaD
GG
 
( )∫∫∫∫
==
−⋅+⋅+
02
ˆˆ
x
zy
x
zy S
x
S
x aDaD
GG
 
dydxzydydxzyQ
zzi ∫ ∫∫ ∫ == +−=
2
0
3
0
5
2
0
3
0
0
44 
dzdxzxdzdxzx ∫ ∫∫ ∫ +−++ 2
0
5
0
22
2
0
5
0
22 )(2)(2 
dzdyxydzdyyx
xx ∫ ∫∫ ∫ == −++
3
0
5
0
0
3
0
5
0
2 44 
 
dyydxQi ∫∫−= 3
0
2
0
200 08
5
0
3
0
++ ∫∫ dzdyy 
( ) 5
0
3
0
23
0
2
2
8
2
0220 zyyQi ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−= 
5
2
98
2
940 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⋅=iQ 
180180+=iQ 
CQi 360= 
 
6. Duas linhas de cargas uniformes de 20 nC/m 
cada estão localizadas em y = l., z = ± l m. Determine o 
fluxo elétrico total deixando a superfície da esfera de 
raio 2 m, se ela está centrada em: (a) A(3. l. 0); B(3, 2, 
0). 
 
7. Uma densidade volumétrica de carga está 
localizada no espaço livre com: 
r
v e
10002 −=ρ nC/m3 para 0< r < l mm e rv= 
O em qualquer outra parte, 
(a) Determine a carga total contida na 
superfície esférica r = l mm. 
(b) Usando a lei de Gauss, calcule o valor de 
D, na superfície r = l mm. 
 
 Solução: 
 
(a) A carga total será dada por: 
θφθρρ ddrdsenrQdVQ
V
vi
v
vi
2∫∫∫∫∫∫ =⇒= 
 ∫∫∫ −−⋅= ππ φθθ 2
00
001.0
0
100029102 ddsendrerQ ri
[ ] [ ] ππ φθ 200
001.0
0
2
10009 cos
500000000
50000010001102 −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−⋅= −− rreQ ri
 
π2210606,1102 109 ⋅⋅⋅= −−iQ 
CQi
191036,40 −⋅= 
nCQi
910036,4 −⋅= 
(b) Usando a lei de Gauss: 
 i
S
S QSdD =⋅= ∫ GGψ 
 ir QddsenrD =∫ ∫ φθθππ 22
0 0
24 r
QD ir π= 
( ) 1223
18
1032117,0
104
10036,4 −
−
−
⋅=⋅= πrD
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 17 
 17
Lei de Gauss 
213102117,3 mCDr
−⋅= 
24102117,3 mnCDr
−⋅= 
 
8. Duas linhas de cargas uniformes de 5 nC/m 
estão localizadas no espaço livre em x =1, y = 1 e z = 
l. 
(a) Obtenha a expressão para D em 
coordenadas cartesianas em P(0, O, z); 
(b) Esboce |D| versus z em -3< z < 10. 
 
9. Uma densidade volumétrica de carga 
uniforme de 80 mC/rn3 está presente na região 8 mm < 
r < 10 mm. Seja rv = 0 para 0 < r < 8 mm. 
(a) Determine a carga total dentro da 
superfície esférica r = 10 mm; 
(b) Determine D, em r = 10 mm; (c) Se não 
há carga para r > 10 mm, determine D, em r = 20 mm. 
 
 Solução: 
 
(a) A carga total será dada por: 
θφθρρ ddrdsenrQdVQ
V
vi
v
vi
2∫∫∫∫∫∫ =⇒=
θφθ ddrdsenrQ
V
i
261080∫∫∫ −⋅= 
 θθφ
ππ
dsenddrrQi ∫∫∫−⋅=
0
2
0
01.0
0
261080
 ( )ππ θφ
0
2
0
01.0
008.0
3
6 cos
3
1080 −⋅= − rQi 
 22
3
008.001,01080
33
6 ⋅−⋅= − πiQ 
π41062667,11080 76 ⋅⋅⋅⋅= −−iQ 
π41062667,11080 76 ⋅⋅⋅⋅= −−iQ 
CQi
1310307,1635 −⋅= 
pCQi 5307,163= 
(b) D, em r = 10 mm 
i
S
S QSdD =⋅= ∫ GGψ 
 ir QddsenrD =∫ ∫ φθθππ 22
0 0
2
12
2 01,04
1053,163
4 ⋅
⋅==
−
ππr
QD ir 
81001,13 −⋅=rD 
9101,130 −⋅=rD 
21,130 mnCDr = 
 
10. Seja rs = 8 mC/m2 na região onde x = 0, -4 < z 
< 4 m e rs = 0 em qualquer outra parte. Determine D 
em P(x, 0, z), onde x > 0. 
 
11. Em coordenadas cilíndricas, seja rs = 0 para 
r < l mm, πρρ 20002senv = (nC/m3) para l mm < r 
< l ,5 mm e rs = 0 para r > 1,5 mm. Determine D em 
toda parte. 
 
Solução: 
 
VD ρ=⋅∇
GG
 
 
 Em coordenadas cilíndricas: 
 
 
( )
z
DDDD z∂
∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇ φρρρρ
φ
ρ
11GG
 
( ) ( )πρρρρ ρ 200021 nsenD =∂∂ 
( ) ( )πρρρρ ρ 20002 sennD =∂∂ 
( ) ( ) ρπρρρ ρ dsennD ∫= 20002 
 ( ) ( ) CsennD ++−=
24000000
20002000cos20002 π
πρπρπρρ ρ 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++−= CsennD π
πρπρρπρρ 2000
)2000()2000cos(
2000
2 
( ) [ ]ππρπρπρπρρ 2000)2000()2000cos(20002000
2
2 Csen
nD ++−= 
[ ])2000())2000cos((2000
104
102
62
9
πρπρρπρπρ senCD +−⋅
⋅=
−
[ ])2000())2000cos(1010(2
2
10 33
2
15
πρπρρπρπρ senCD +−=
−
 
 
 
 
 
12. Uma densidade volumétrica de carga não - 
uniforme de rv = 120r C/m3 está situada dentro de uma 
superfície esférica de r = l m e rv = 0 em qualquer 
outra parte, (a) Determine D, em toda parte; (b) Qual 
densidade superficial de carga rs2 deve estar presente na 
superfície r= 2 m de modo que Dr’r= Drr’+? (c.) Esboce 
Dr versus r para 0 < r < 5 com ambas as distribuições 
presentes. 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 18 
 18
D
Lei de Gauss 
13. Três superfícies esféricas em r =2. 4 e 6 m 
possuem densidades superficiais de carga de 20 
nC/m2, -4nC/m2 e rs0,. Respectivamente. 
(a) Determine D em r = 1, 3 e 5 m: 
(b) Determine rs0, de modo que D = 0 em r = 
7m. 
 
Solução: 
 
(a) a Lei de Gauss: 
i
S
QSdD =⋅∫∫ GG 
r = 1ï Como não há carga internamente à essa 
superfície: 
Dr = 0. 
r = 3 ï Escolhendo uma superfície Gaussiana 
de raio r > 3 
22 244
1
⋅= πρπ SrD 
22
1
1
44
4
4
rr
D SS
ρ
π
πρ =⋅= 
29
2
9
10889.8
3
10204)3( mCrD −
−
⋅=⋅===
 r = 5 ï Escolhendo uma superfície 
Gaussiana de raio r > 5 
i
S
QSdD =⋅∫∫ GG 
222 44244
21
πρπρπ SSrD +⋅= 
164444204 2 πππ nnrD −⋅= 
 
πππ nnrD 2563204 2 −= 
 
24
64
r
nD π
π= 
210
2
9
104,6
54
6410 mCDD −
−
⋅=⇒= π
π
 
(b) Escolhendo uma superfície de raio > 7, 
teremos envolvido três cargas: 
321 QQQSdD
S
++=⋅∫∫ GG 
321 321
24 sssr AAADr ρρρπ ++= 
064644
0
22 =+= sr nDr ρπππ 
2
910
9
464364
00 m
Cn ss
−⋅−=⇒−= ρπρπ 
14. Se rv = 5 nC/rn3 para 0 < r < l mm e não há 
outras cargas presentes: 
(a) determine D, para r < l mm: 
(b) determine Dr para r > l mm: 
(c) Que densidade linear de carga rL em r = 0 
daria o mesmo resultado que o do item b? 
 
15 Duas densidades volumétricas de carga estão 
localizadas como se segue: rv = 0 para r < l mm e para 
r > 2 mm e rv = 4rmC/m2 para l <r < 2 mm. 
(a) Calcule a carga total na região 0 < r < r1; 0 < 
z < L, onde l < r1 < 2 mm; 
(b) Use a lei de Gauss para determinar Dr em r = 
r1; 
(c) Calcule Dr em r = 0,8mm; 1.6 mm e 2.4 mm. 
 
Solução: { mm 21 4 3 <<⇒= ρρρ µmCv 
⎩⎨
⎧
>
<⇒=
mm 2
mm 1
 0 3 ρ
ρρ µ
m
C
v 
(a) Carga para: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<
<<
<<
21
0
0
1
1
ρ
ρρ
Lz 
 
∫ ∫ ∫∫∫∫ == L
V
v dzdddVQ
0 001.0
2
0
1
4
ρ π
ρφρρµρ 
∫∫∫= L dzddQ
0001.0
2
2
0
1
4 ρρφµ
ρπ
 
LzQ
0
001.0
3
2
0
1
3
4
ρ
π ρφπ= 
( ) LQ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
−
3
1024
333
1ρπµ 
( ) CLQ µρπ 931 1038 −−= 
 
(b) Lei de Gauss par determinar Da r em r = r1; 
QSdD
S
=⋅∫∫ GG 
( )µρπφρπ ρ 931
0
2
0
10
3
8 −−=∫ ∫ LdzdDL 
 
( )( )CLLD µρπρπ ρ 9311 10382 −−= 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 19 
 19
Lei de Gauss 
( )( )2931
1
1
10
32
8 mC
L
LD µρρπ
π
ρ
−−= 
( )( )2931
1
1
10
3
4 mCD µρρρ
−−= 
(c) Calculo de: 
Dr em r = 0,8mm=8.10-4m 
0)8( 1 == mmD ρρ 
Pois não há carga interna a uma superfície 
Gaussiana cilíndrica de raio r1 = 0,8mm. A 
distribuição de carga é nula para r1 < 1mm. 
 
Dr em r = 1.6 mm 
 
 
Dr em r = 2.4 mm. 
 
QSdD
S
=⋅∫∫ GG 
( )( )( )CLdzdDL µπφρπ ρ 933
0
2
0
10102
3
8 −− −⋅=∫ ∫
 ( )( )2910)18(
32
8 mC
L
LD µρπ
π
ρ
−−= 
( )( )2910)18(
3
4 mCD µρρ
−−= 
Substituindo: r = 2.4 mm=2.4.10-3m 
( )( )293 10)18(104,23 4 mCD µρ −− −⋅⋅= ( )261088.3 mCD µρ −⋅= 
 
16. Dada a densidade de fluxo elétrico 
(C/mzyx azaxaxyD
32 6ˆˆ2 ++=G 2) use a lei de 
Gauss para calcular a carga total contida no volume 0 
< x,y,z < a; 
(b) Use Eq. 8 para determinar um valor 
aproximado para a carga acima. Calcule as derivadas 
em P(a, a/2, a/2); 
(c) Mostre que os resultados dos itens a e b são 
equivalentes no limite aö0. 
 
17. Um cubo é definido por l < x,y,z < 1.2. Se 
(C/myx ayxayxD ˆ3ˆ2
222 +=G 2): 
(a) aplique a lei de Gauss para determinar o 
Fluxo total deixando a superfície fechada do cubo. 
(b) calcule 
x
D
x
D
x
D zyx
∂
∂+∂
∂+∂
∂
 no centro do 
cubo. 
(c) Estime a carga total contida dentro do cubo 
usando a Eq. 8. 
 
 Solução: 
 
 z 
 
 
 
 S 
 
 
 
 
 y 
 
 
x 
 
 
(a) Fluxo total no cubo de superfície S de 
superfícies S1, S2, S3, S4, S5 e S6 especificadas por: 
 
⎩⎨
⎧ ==⇔=⇒=
−=⇒=
dydzdSdS
aaxS
aaxS
xn
xn
21
2
1
ˆˆ2.1:
ˆˆ1:
2
1 
⎩⎨
⎧ ==⇔=⇒=
−=⇒=
dxdzdSdS
aayS
aayS
yn
yn
43
4
3
ˆˆ2.1:
ˆˆ1:
4
3 
⎩⎨
⎧ ==⇔=⇒=
−=⇒=
dxdydSdS
aazS
aazS
zn
zn
65
6
5
ˆˆ2.1:
ˆˆ1:
6
5 
 
 Escrevendo a integral fechada sobre a 
superfície S na soma de todas as 6 faces: 
+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫ 21
2
2
1
1
ˆˆ dSaDdSaDSdD
S
n
S
n
S
GGGG
543
5
5
4
4
3
3
ˆˆˆ dSaDdSaDdSaD
S
n
S
n
S
n ∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅ GGG
6
6
6
ˆ dSaD
S
n∫∫ ⋅+ G 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 20 
 20
Lei de Gauss 
 
 
 
Como: , ilustramos esse 
campo vetorial na região abaixo: 
yx ayxayxD ˆ3ˆ2
222 +=G
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazemos os produtos escalares: 
( ) yxaDaD xn 22ˆˆ 1 −=−⋅=⋅ GG 
yxaDaD xn
22ˆˆ
2
=⋅=⋅ GG 
( ) 223ˆˆ
3
yxaDaD yn −=−⋅=⋅
GG
 
223ˆˆ
4
yxaDaD yn =⋅=⋅
GG
 
( ) 0ˆˆ
5
=−⋅=⋅ zn aDaD
GG
 
0ˆˆ
6
=⋅=⋅ zn aDaD
GG
 
 
dydzydydzySdD
S
∫ ∫∫ ∫∫∫ ⋅⋅+⋅⋅−=⋅ 2.1
1
2.1
1
2
2.1
1
2.1
1
2 2.1212
GG
dxdzxdxdzx ∫ ∫∫ ∫ ⋅++⋅⋅−+
2.1
1
2.1
1
22
2.1
1
2.1
1
22 2.1313 
∫∫∫∫∫∫ +−=⋅ 2.1
1
2.1
1
2.1
1
2.1
1
82 dzdyydzydySdD
S
GG 
∫∫∫∫ +− 2.1
1
2.1
1
2
2.1
1
2.1
1
2 32.43 dzdxxdzdxx 
2.1
1
2.1
1
2
2.1
1
2.1
1
2
2
44.12
2
2 zyzySdD
S
⋅+−=⋅∫∫ GG 
2.1
1
2.1
1
3
2.1
1
2.1
1
3
3
32.4
3
3 zxzx +− 
( )( ) ( )( )12.112.144.112.112.1 222 −−+−−−=⋅∫∫
S
SdD
GG
( )( ) ( )( )12.112.1
3
32.412.112.1 3333 −−+−−− 
( )( ) ( )( )2.0728.044.02.044.044.0 +=⋅∫∫
S
SdD
GG 
( )( ) ( )( )2.0728.044.02.044.044.0 +−=⋅∫∫
S
SdD
GG 
( )( ) ( )( 2.01728.1
3
32.42.01728.1 −+−− ) 
( )( ) )2.0)(728.0(44.02.044.044.0 +=⋅∫∫
S
SdD
GG 
064064.003872.0 +=⋅∫∫
S
SdD
GG 
2102784.0 mCSdD
S
=⋅∫∫ GG 
 (b) 
y
D
x
DD =⋅∇ yx ∂
∂+∂
∂GG
 
 ( ) ( )
y
yx
x
yxD ∂
∂+∂
∂=⋅∇
222 32GG
 
2264 yxxyD +=⋅∇ GG 
( ) 22 1.11.161.11.141.1,1.1,1.1 ⋅+⋅⋅=⋅∇ DGG 
( ) 826.121.1,1.1,1.1 =⋅∇ DGG 
 
(c) DVQ
V
QD v
GGGG ⋅∇⋅=⇔==⋅∇ ρ
CQQ 1026.0826.122.0 3 =⇒⋅= 
 
18. Seja um campo vetorial dado por 
yazyxG ˆ5
444=G .Calcule ambos os lados da Eq. 8 para 
este campo G o volume definido por x = 3 e 3,1, y = 1 e 
1,1 e z = 2 e 2.1. Calcule as derivadas parciais no centro 
do volume. 
 
 
19. Uma superfície esférica de raio 3 mm está 
centrada em P(4, l, 5) no espaço livre. Seja 
xaxD ˆ=
G
C/m2. Use os resultados da Seção 3.4 para 
estimar o fluxo elétrico líquido que deixa a superfície 
esférica. 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 21 
 21
Lei de Gauss 
 
 
 
 
Solução: 
 
-4.002
-4
-3.998
-1.002
-1
-0.998
-5.002
-5
-4.998
1.002
-1
-0.998
Esfera: raio r = 3mm centrada em P(4, 1, 5): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Campo vetorial: xaxD ˆ=
G
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fluxo que deixa a seção: 
 
QSdD
S
=⋅=Ψ ∫∫ GG 
vD ρ=⋅∇
GG
 
11 =⇒=∂
∂=⋅∇ vx
xD ρGG 
3
3
4 RQ
V
Q
vv πρρ ⋅=⇒= 
( ) nCQ 09.1131009.113103
3
41 933 =⋅=⋅⋅= −−π 
 
20. Um cubo de volume a3 possui suas faces 
paralelas às superfícies do sistema de coordenadas 
cartesianas e está centrado cm P(3, - 2, 4). Dado o 
campo xaxD ˆ2
3=G C/ m2 
(a) calcule div D cm P; 
(b) calcule a fração mais à direita da Eq. 13 para 
a = l m. 0.1 m e l mm. 
 
21. Calcule a divergência de D no ponto 
especificado se 
(a) ( )[ ]zyx ayxzazxaxyzzD ˆ52ˆ5ˆ101 2322 −++=G 
em P(-2, 3, 5); 
(b) zazazD ˆ10ˆ5
2 ρρ +=
G
em P(3, -450, 5); 
(c) 
φθ φφθφθ arasenrasenrsenD r ˆcosˆcosˆ2 ++=
G
e
m P(3, 450, -45°). 
 
 Solução: 
 
(a) Nas coordenadas cartesianas: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=⋅∇ 2
23
2
2
2
52510
z
yxz
zz
zx
yz
xyz
x
D
GG
( )222 52510 −−∂∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=⋅∇ yzxz
zz
x
yz
xy
x
D
GG 
( )222 52510 −−∂∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=⋅∇ yzxz
zz
x
yz
xy
x
D
GG 
3
2102010
z
yx
z
yD +++=⋅∇ GG 
3
2
5
3)2(102
5
310)5,3,2( −++⋅=−⋅∇ DGG 
25
242
5
30)5,3,2( ++=−⋅∇ DGG 
25
224
25
2450150)5,3,2( =++=−⋅∇ DGG 
96.8)5,3,2( =−⋅∇ DGG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 22 
 22
Lei de Gauss 
 
Ilustração do vetor D num cubo -4 ≤ x,y,z ≤4. 
 
(b) Nas coordenadas cilíndricas: 
 
( )
z
DDDD z∂
∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇ φρρρρ
φ
ρ
11GG
 
⎩⎨
⎧
=
=⇔+=
zD
zD
azazDz
z ρρ
ρ
ρ 10
5ˆ10ˆ5
2
2
G 
( )
z
zzD ∂
∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇ )10()0(1)5(1 2 ρφρρρρ
GG
ρρ 100
5 2 ++=⋅∇ zDGG 
)3(100
3
)5(5)5,45,3(
2
0 ++=−⋅∇ DGG 
3
215
3
90125)5,45,3( 0 =+=−⋅∇ DGG 
67.71)5,45,3( 0 =−⋅∇ DGG 
 
(c) Nas coordenadas esféricas: 
 
( ) ( ) φθθθθ φθ ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ DrsensenDrsenDrrrD r 111 22
GG
 
φθ φφθφθ arasenrasenrsenD r ˆcosˆcosˆ2 ++=
G
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
φ
φθ
φθ
φ
θ
cos
cos
2
rD
senrD
senrsenDr
 
 
( +∂∂=⋅∇ )2(1 22 φθsenrsenr )rrD
GG
 
( ) φ
φ
θθφθθθ ∂
∂+∂
∂ )cos(1)cos(1 r
rsen
sensenr
rsen
 
 
( )+∂∂=⋅∇ φθsensenrrrD 32 21
GG
 
( ) )(1cos1 φθφθθθθ rsenrsensensenrrsen −+∂
∂ 
+=⋅∇ φθsensenr
r
D 22 6
1GG
 
)coscos(1 θθθθφθ +− sensenrsenrsen 
θ
φ
sen
sen− 
 
 
+=⋅∇ φθsensenD 6GG 
)cos( 22 θθθ
φ +−sen
sen
sen 
θ
φ
sen
sen− 
( ) +−=−⋅∇ )45(45645,45,3 0000 sensenDGG 
)45cos45(
45
)45( 0202
0
0
+−− sen
sen
sen 
0
0
45
)45(
sen
sen −− 
 
( ) +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅=−⋅∇
2
2
2
2645,45,3 00D
GG
 
)
2
1
2
1(1 +−−
22
22−− 
( ) 10345,45,3 00 ++−=−⋅∇ DGG ( ) 245,45,3 00 −=−⋅∇ DGG 
 
22. Seja φρ φρφρ aasenD ˆcos4ˆ8 +=
G
. C/m2. 
(a) Determine div D. 
(b) Determine a densidade volumétrica de carga 
cm P(2,6, 380; -6,1); 
(c) Quanta carga esta localizada dentro da região 
definida por 0 < r < 1,8; 200 < f < 700 e 2,4 < z < 3, l? 
 
23 (a) Uma carga pontual Q está situada na 
origem. Mostre que div D = 0 por toda parte, exceto na 
origem. (b) Substitua a carga pontual por uma 
densidade volumétrica de carga uniforme rv0 para 0 ≤ r 
≤ a. Relacione rv0 a Q e a de modo que a carga total 
seja a mesma. Determine div D por toda a parte. 
 
 Solução: 
 
( ) ( ) φθθθθ φθ ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ DrsensenDrsenDrrrD r 111 22
GG
 24 r
QDr π= 
( ) φθθθθπ ∂
∂+∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=⋅∇ 0101
4
1
2
2
2 rsen
sen
rsenr
Qr
rr
D
GG
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=⋅∇ π4
1
2
Q
rr
D
GG
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 23 
 23
Lei de Gauss 
012r
D=⋅∇ GG 
0=⋅∇ DGG 
(b) Densidade de carga uniforme: 
 
00
3
3
4
3
3
4 vv
aQ
a
Q
V
Q ρππρ =⇒== 
⎪⎩
⎪⎨⎧ >
<=⋅∫∫ ara arrSdD vvS se 
 se 
0
0
3
3
4
3
3
4
ρπ
ρπGG
 
 
⎪⎩
⎪⎨⎧ >
<=
ara
arr
rD
v
v
r se 
 se 
4
0
0
3
3
4
3
3
4
2
ρπ
ρππ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
<
=
ar
r
a
arr
D
v
v
r se 
 se 
0
0
2
3
3
1
3
1
ρ
ρ
 
( ) ( ) φθθθθ φθ ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ DrsensenDrsenDrrrD r 111 22
GG
 
arD >=⋅∇ se 0GG 
ar
r
r
r
D v >⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂=⋅∇ se 
3r
 1 022
ρGG
 
( ) arr
r
D v >∂
∂=⋅∇ se 
r
 
3
3
2
0
ρGG
 
arr
r
D v >=⋅∇ se 3 
3
2
2
0
ρGG
 
arD v >=⋅∇ se 0ρ
GG
 
 
24. Dentro da casca cilíndrica 3 < r < 4 m. a 
densidade de fluxo elétrico é dada por: 
C/m( ) ρρ aD ˆ35 3−=G 2. Qual e a densidade 
volumétrica de carga em r = 4? 
(b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r = r 
=m? 
(c) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície 
fechada: 3 < r < 4, 0 < f < 2π, -2,5 < z < 2,5? 
(d) Quanta carga está contida dentro do volume 
3 < r < 4, 0 < f < 2π, -2,5 < z < 2,5 ? 
 
25. Dentro da casca esférica 3 < r < 4 m. a 
densidade de fluxo elétrico é dada por 
C/m( ) rarD ˆ35 3−=G 2. 
(a) Qual é a densidade volumétrica de carga em 
r = 4? 
(b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r =- 
4 m? 
(c) Quanto fluxo elétrico deixa a esfera de r =- 4 
m? 
(d) Quanta carga está contida dentro da esfera r 
=- 4 m? 
 
 Solução: 
 
(a) Densidade em r = 4m: 
 
( ) rarD ˆ35 3−=G 
 ( )335 −= rDr 
( )+−∂∂=⋅∇ ))3(5(1 322 rrrrD
GG
 
( ) φθθθθ ∂
∂+∂
∂ )0(1)0(1
rsen
sen
rsen
 
( )( )2232 )3(3325 −+−=⋅∇ rrrrrDGG 
 
( ))65()3(5 222 rrrrD −−=⋅∇
GG
 
( ))65()3(5 2 −−=⋅∇ rr
r
D
GG
 
 
( ))645()34(
4
5)4( 2 −⋅−==⋅∇ rDGG 
( )
2
3514
4
5)4( ===⋅∇ rDGG 
25,17)4( mCrD ==⋅∇ GG 
 
(b) Densidade do fluxo elétrico: 
r = 4m: 
 ( ) rarD ˆ35 3−=G 
 ( ) rarD ˆ345)4( 3−==G 
 ( )2ˆ5)4( mCarD r==G 
 
(c) Fluxo elétrico que deixa a esfera: 
 
QSdD
S
=⋅=Ψ ∫∫ GG 
 ( )32 354 −= rrQ π 
 ( )32 34544)4( −== πrQ
π320)4( ==rQ (C) 
 
(d) Carga contida na esfera r = 4m? 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 24 
 24
Lei de Gauss 
dVQ
v
v∫∫∫= ρ 
( ))65()3(5 2 −−=⋅∇ rr
r
D
GG
 
 ( ))65()3(5 2 −−=⋅∇= rr
r
Dv
GGρ 
 
drddsenr
r
rrQ θφθ
π π
2
4
3 0
2
0
2 )65()3(5∫ ∫ ∫ −−= 
drrrrQ ∫ −−= 4
3
2 )65()3(54π 
 
drrrrQ ∫ −−= 4
3
2 )65()3(20π 
 ( )[ ] 4332 320 ==−= rrrrQ π
 
 ( )[ ]3232 )33(334420 −−−= πQ 
 
1620 ⋅= πQ 
 
)(320 CQ π= 
26. Dado o campo rar
senD ˆcos5 φθ=G 
C/m2, determine: 
(a) a densidade volumétrica de carga rv. 
(b) a carga total contida na região r < 2 m; 
(c) o valor de D na superfície r = 2. 
(d) o fluxo elétrico total que deixa a superfície r 
= 2. 
 
27. Seja mC/mrarD ˆ5
2=G 2 para r < 0,08 m e ( ) rarD ˆ1,0 2=G C/m2 para r > 0.08 m. 
(a) Determine rv, para r = 0.06 m; 
(b) Determine rv para r = 0.1 m. 
(c) Que densidade superficial de carga deve ser 
colocada em r = 0.08 m para que D = 0 para r > 
0,08m? 
 
 Solução: 
 
(a) Cálculo de rv, para r = 0.06 m: 
 
vD ρ=⋅∇
GG
 
rarD ˆ5
2=G 
( ))5(1 222 mrrrrD ∂∂=⋅∇
GG
 
( ) mrr
r
mr
rr
mD 20455 32
4
2 =⋅=∂
∂=⋅∇ GG 
mrv 6.020)06.0( ⋅==ρ 
32.1)06.0( mmCrv ==ρ 
 
(b) Cálculo de rv, para r = 0.1 m: 
 ( ) rarD ˆ1,0 2=G 
( ))1.0(1 222 rrrrD ∂∂=⋅∇
GG
 
( ) 01.05 2 =∂
∂=⋅∇
rr
mD
GG
 
0)1.0( ==rvρ 
3/0)1.0( mCrv ==ρ 
 
(c) Densidade superficial em r = 0,08 
para que D =0 para r > 0,08m? 
 
i
S
QSdD =⋅∫∫ GG 
dSdVQ
S
s
v
vi ∫∫∫∫∫ += ρρ 
mrDv 20=⋅∇=
GGρ 
φθθ
ππ
ddrdsenrmrQi
2
2
0 0
08.0
0
20∫ ∫ ∫= 
φθθρ
π π
ddsenrs∫ ∫+ 2
0 0
2 
2
08.0
0
3 08.04420 ⋅+⋅= ∫ πρπ si drrmQ 
2
08.0
0
4
08.04
4
420 ⋅+⋅= πρπ si rmQ 
πρπ 0256.00008192.0 si mQ += 
 
0==⋅∫∫ i
S
QSdD
GG
 
00256.00008192.0 =+= πρπ si mQ
2032.0
0256.0
0008192.0 mmCms −=−= π
πρ 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 25 
 25
Lei de Gauss 
232 mCs µρ −= 
 
28. A densidade de fluxo elétrico é dada por 
 C/mρρ aD ˆ20 3=
G
2, para r < 100 mm e 
para r > 100 mm. ρakD ˆ=
G
(a) Determine k de modo que D seja contínua 
em r = 100 mm; 
(b) Determine e esboce rv, como uma função 
de r. 
 
 29. Em uma região do espaço livre que inclui 
o volume:2 < x,y,z < 3, 
[ ] 2
2
ˆ2ˆˆ2 mCaxyaxzayz
z
D zyx −+=
G
. 
(a) Calcule a integral de volume do teorema 
da divergência para o volume definido por: 2 < x,y,z < 
3; 
(b) Calcule a integral de superfície para a 
superfície fechada correspondente. 
 
 
Solução: 
(a) – Integral de volume: 
dVD
V
∫∫∫ ⋅∇ GG 
 
z
D
y
D
x
DD zyx ∂
∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇ GG 
[ ] 2
2
ˆ2ˆˆ2 mCaxyaxzayz
z
D zyx −+=
G
 
2
422
z
xyD
z
xD
z
yD zyx −=⇔=⇔=⇔ 
( ) ( ) ( )
zyx
D z
xy
z
x
z
y
∂
−∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇ 2
422GG
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−+=⋅∇ 32400 z
xyD
GG
 
3
8
z
xyD =⋅∇ GG 
 
dV
z
xydVD
VV
∫∫∫∫∫∫ =⋅∇ 38GG 
 
dxdydz
z
xydVD
V
∫ ∫ ∫∫∫∫ =⋅∇ 3
2
3
2
3
2
3
8GG
 
dzzdyydxxdVD
V
∫∫∫∫∫∫ −=⋅∇ 3
2
3
3
2
3
2
8
GG
 
3
2
2
3
2
232
2
2
1
22
8 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅∇∫∫∫ zyxdVDV
GG
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅
−−⋅
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⋅∇∫∫∫ 222222 22 132 12 232 238dVDV
GG
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅=⋅∇∫∫∫ 91415588dVDV
GG
 
94
525
⋅
⋅=⋅∇∫∫∫ dVD
V
GG
 
36
125=⋅∇∫∫∫ dVD
V
GG
C 
(b) Integral de superfície para a superfície 
fechada correspondente. 
Escrevendo a integral sobre a superfície fechada S 
na soma de to as as 6 faces: d 
+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫ 21
2
2
1
1
ˆˆ dSaDdSaDSdD
S
n
S
n
S
GGGG
543
5
5
4
4
3
3
ˆˆˆ dSaDdSaDdSaD
S
n
S
n
S
n ∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅ GGG
6
6
6
ˆ dSaD
S
n∫∫ ⋅+ G 
Como: [ ] 2
2
ˆ2ˆˆ2 mCaxyaxzayz
z
D zyx −+=
G
, 
ilustramos esse campo vetorial na região abaixo: 
Fazemos os produtos escalares: 
Definindo as tampas do cubo: 
⎩⎨
⎧ ==⇔=⇒=
−=⇒=
dydzdSdS
aaxS
aaxS
xn
xn
21
2
1
ˆˆ3:
ˆˆ2:
2
1 
⎩⎨
⎧ ==⇔=⇒=
−=⇒=
dxdzdSdS
aayS
aayS
yn
yn
43
4
3
ˆˆ3:
ˆˆ2:
4
3 
⎩⎨
⎧ ==⇔=⇒=
−=⇒=
dxdydSdS
aazS
aazS
zn
zn
65
6
5
ˆˆ3:
ˆˆ2:
6
5 
 
 
( )
z
yaDaD xn 2ˆˆ 1 −=−⋅=⋅
GG
 
z
yaDaD xn 2ˆˆ 2 =⋅=⋅
GG
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 26 
 26
Lei de Gauss 
( )
z
xaDaD yn 2ˆˆ 3 −=−⋅=⋅
GG
 
z
xaDaD yn 2ˆˆ 4 =⋅=⋅
GG
 
( ) 24ˆˆ 5 z
xyaDaD zn =−⋅=⋅
GG
 
24ˆˆ 6 z
xyaDaD zn −=⋅=⋅
GG
 
 
dydz
z
ydydz
z
ySdD
S
∫ ∫∫ ∫∫∫ +⋅−=⋅ 3
2
3
2
2
2
3
2
22
GG
dxdz
z
xdxdz
z
x ∫ ∫∫ ∫ +−+
3
2
3
2
3
2
3
2
22 
dxdy
z
xydxdy
z
xy ∫ ∫∫ ∫ −++
3
2
3
2
3
2
3
2
2 44 
dyyxdxdyyxdxSdD
S
∫ ∫∫ ∫∫∫ −=⋅ 3
2
3
2
2
3
2
3
2
2 3
4
2
4GG
 
3
2
23
2
23
2
23
2
2
229
4
224
4 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅∫∫ yxyxSdD
S
GG
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⋅∫∫ 2 232 231
2222
S
SdD
GG
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
2
23
2
23
9
4 2222
 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅∫∫ 2525942525S SdD
GG
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⋅∫∫ 941425S SdD
GG
 
9
5
4
25=⋅∫∫
S
SdD
GG
 
36
125=⋅∫∫
S
SdD
GG
C 
 30. Se: 
φρ φρφρ aasenD ˆ2cos10ˆ15 22 +=
G
 
calcule ambos os lados do teorema da divergência para 
a região 1 < r < 2m, 1 <f < 2 rad, 1 < z < 2 m. 
 
 31. Dada a densidade de fluxo: 
 
θθarD ˆ2cos
16=G (C/m2) 
, use dois métodos diferentes para determinar a carga 
dentro da região: 
1 < r < 2m, 1 < θ < 2 rad, 1 < f < 2 rad. 
 
 Solução: 
 
 Determinação por :
vD ρ=⋅∇
GG
 
( ) ( ) φθθθθ φθ ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ DrsensenDrsenDrrrD r 111 22
GG
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0
2cos16
0
φ
θ θ
D
r
D
Dr
 
( ) φθθθθθ ∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂=⋅∇ 012cos16101 22 rsensenrrsenrrrD
GG
( )θθθθ sensenrD 2cos
16
2 ∂
∂=⋅∇ GG 
( )θθθθθ cos2cos22
16
2 +−=⋅∇ sensensenrD
GG
 
( )θθθ ctgsen
r
D 2cos22162 +−=⋅∇
GG
 
( )θθθρ ctgsen
rv
2cos22162 +−= 
 Cálculo da carga: 
 
dVQ
v
v∫∫∫= ρ 
 ( )dVctgsen
r
Q
v
∫∫∫ +−= θθθ 2cos22162 
( ) φθθθθθ ddrdsenrctgsen
r
Q
v
2
2 2cos22
16∫∫∫ +−= 
( ) θθθθθφ dsensenddrQ ∫∫∫ +−= 2
1
2
1
2
1
cos2cos2216 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−⋅= ∫∫ θθθθθθφ ddsensenrQ cos2cos2216 2
1
2
1
2
1
2
1
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−⋅= ∫∫ θθθθθθ ddsensenQ cos2cos2216 2
1
2
1
 
θθθθθθ ddsensenQ ∫∫ +−= 2
1
2
1
cos2cos16232 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 27 
 27
Lei de Gauss 
2
1
2
1
3
6
3
2
216
3
232 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−= θθθ sensensenQ 
 
CQ 9069.3−= 
 
 32. Se: (C/mrarD ˆ2=
G
2), determine o fluxo 
elétrico total deixando a superfície do cubo 0 ≤ x,y,z ≤ 
0,4;