estruturas algébricas

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22/05/2020 UNIASSELVI - Centro Universitário Leonardo Da Vinci - Portal do Aluno - Portal do Aluno - Grupo UNIASSELVI
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Acadêmico: Vicente Tomé do Nascimento Filho (1791112)
Disciplina: Estruturas Algébricas (MAD17)
Avaliação: Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:455155) ( peso.:1,50)
Prova: 14038693
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada Questão Cancelada
De acordo com Nathan C. Carter (matemático inglês), a Teoria dos Grupos é o ramo da matemática que responde
à questão "O que é simetria?". Em especial, existe um famoso tipo de grupo chamado de "grupo abeliano". Os
grupos abelianos receberam esse nome devido a Niels Henrik Abel, grande matemático do século XIX. Sobre as
propriedades que são condição para que um grupo seja abeliano, classifique V para as sentenças verdadeiras e F
para as falsas:
( ) Fechamento.
( ) Comutatividade.
( ) Elemento oposto.
( ) Elemento inverso.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - V - F - V.
 b) V - F - V - V.
 c) V - V - V - F.
 d) F - F - V - V.
 * Observação: A questão número 1 foi Cancelada.
2. Albert Girard (1590-1633) foi um matemático belga que estabeleceu relações de soma e produto entre as raízes de
uma equação do 2º grau. Também criou uma estrutura que relacionava os coeficientes numéricos de uma equação
de grau 3 com suas raízes. Baseado nisto, considerando as relações de Girard, analise as sentenças a seguir
quanto à soma e ao produto das raízes da equação 5x³ + 10x² + 20x - 15 = 0:
I) -2 e 3.
II) 2 e -3.
III) -2 e -3.
IV) 2 e 3.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção II está correta.
 b) Somente a opção IV está correta.
 c) Somente a opção I está correta.
 d) Somente a opção III está correta.
3. A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante depois de um
processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do dividendo. Considerando o
Teorema do Resto, quanto aos possíveis restos da divisão de P(x) por D(x), analise as sentenças a seguir e
assinale a alternativa CORRETA:
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 a) Somente a sentença IV está correta.
 b) Somente a sentença III está correta.
 c) Somente a sentença I está correta.
 d) Somente a sentença II está correta.
4. O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas operações binárias definidas
sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste contexto, analise as sentenças a seguir e assinale a
alternativa que corresponde a P(x) + Q(x), onde:
 a) Somente a opção II está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção III está correta.
5. Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra Clássica. As primeiras
contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com importantes conclusões sobre a
resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as soluções de uma equação algébrica nem
sempre se encontra totalmente dentro do conjunto dos números reais. Sendo assim, o conjunto solução da
equação algébrica x³ + x = 0 é:
 a) S = {-i, i, 1}.
 b) S = {0, -i, i}.
 c) S = {0, 1, i}.
 d) S = {1, -1, i}.
6. A determinação de todas, ou de algumas raízes de um polinômio é um problema importante, o qual tem sido
estudado nos últimos quatro séculos. Além disso, podemos recair no uso de aritmética complexa, pois mesmo um
polinômio com coeficientes reais, por exemplo, z² + 1 , pode ter apenas raízes complexas. Assinale a alternativa
CORRETA que apresenta uma das raízes do polinômio complexo P(x) = - i·x³ + 2·x² - 2 + i ?
 a) O número inteiro -1.
 b) O número complexo i.
 c) O número complexo 2·i.
 d) O número inteiro 1.
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7. No estudo acerca das estruturas algébricas, perpassamos pelo conceito de Grupo Abeliano. Os grupos abelianos
são assim chamados em honra ao matemático noruego Niels Henrik Abel que trouxe grandes contribuições à
Álgebra no início do século XIX. Analise as sentenças a seguir sobre a caracterização de um grupo (G, *) como
abeliano:
I- Se, além das propriedades que o caracterizam como grupo, é verificada em (G, *) a propriedade comutativa.
II- Se (G, *) apresentar a propriedade de fechamento.
III- Se (G, *) possuir ao menos um subgrupo no qual se verifique a comutatividade.
IV- Se a propriedade associativa for verificada para todas as possíveis combinações dos elementos de (G, *).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a sentença IV está correta.
 b) Somente a sentença I está correta.
 c) Somente a sentença II está correta.
 d) Somente a sentença III está correta.
8. Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração em equações de graus
menores do que o grau da equação original. Aplicando este conceito na equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos que
o conjunto de suas raízes é:
 a) S = {-3, 0, 1}.
 b) S = {0, 1, 3}.
 c) S = {-1, 0, 1}.
 d) S = {-3, -1, 0}.
9. Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de
operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x. Por exemplo,
tomando a equação algébrica 2x³ + x² - 6x - 3 = 0, quanto às características de suas raízes, classifique V para as
sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Inteiras e positivas.
( ) Inteiras e de sinais contrários.
( ) Irracionais e positivas.
( ) Irracionais e de sinais contrários.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - V - F - F.
 b) F - F - V - F.
 c) V - V - V - F.
 d) F - F - F - V.
10. Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 3. Uma das formas
de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por meio de divisões de polinômios. Baseado nisto, dividindo x³
- 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 2x - 1. Quanto ao valor do
polinômio D(x), analise as opções a seguir:
I) 2x² - 3x + 2
II) x² - 3x + 2
III) x² - x + 1
IV) 3x² - 4x + 1
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção I está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção III está correta.
 d) Somente a opção IV está correta.
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Prova finalizada com 10 acertos e 0 questões erradas.