Módulo 3 - Respostas da atividade 3 - Respostas da atividade 3 Funções do segundo grau

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MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
239239239239239AAAAA N E X O SN E X O SN E X O SN E X O SN E X O S
UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 8 - F 8 - F 8 - F 8 - F 8 - FUNÇÕESUNÇÕESUNÇÕESUNÇÕESUNÇÕES DODODODODO SEGUNDOSEGUNDOSEGUNDOSEGUNDOSEGUNDO GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU
1) Um fabricante pode produzir mouse ao custo de R$ 10,00 por
unidade. Estima-se que, se cada mouse for vendido por x reais, os
consumidores comprarão, aproximadamente, 80 - x mouses por mês.
A seguir:
(a) expresse o lucro do fabricante como função do preço de venda
dos mouses;
(b) analise o gráfico da função;
(c) calcule o preço com o qual o lucro do fabricante será maior.
(a) O lucro do fabricante será dado por
L = (80 - x) (x - 10)
(b) A função lucro é do segundo grau e tem como gráfico uma
parábola. Para representar graficamente a função lucro, você
pode determinar o vértice da parábola e seus zeros ou raízes:
como a função está representada em sua forma fatorada,
se pode realizar as multiplicações para identificar os
coeficientes a, b e c que são utilizados no cálculo do vértice.
Assim tem:
L = - x2 + 90x - 800
Nesta função
a = - 1, b = 90 e c = -800.
Portanto,
para o cálculo dos zeros ou raízes da função, pode-se
utilizar a sua forma fatorada e dizer que as raizes são
80 e 10.
240240240240240
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Então o gráfico da função será dado por:
Analisando o gráfico encontrado, pode-se dizer que:
a função lucro possui intervalos de crescimento e
decrescimento. O lucro cresce quando o preço do mouse (variável x)
está no intervalo entre 0 e 45. Após o valor 45 e até o preço de 80
o lucro decresce. Esta informação é importante para o fabricante
determinar qual será o preço de venda do mouse;
a parte negativa da parábola não interessa neste momento pois
indica valores de lucro negativo. Assim, a representação de
interesse é apenas para valores em que o lucro é maior do que
zero;
o lucro é igual a zero quando o preço é igual a dez e também
quando o preço é igual a 80. É importante perceber que o aumento
de preço acarretará num menor interesse de compra por parte dos
consumidores, conforme o que foi estimado no enunciado do
problema;
(c) para calcular o preço com o qual o lucro do fabricante será
maior, basta analisar o gráfico da função apresentado em b). Como
a parábola possui concavidade para baixo, o ponto máximo será
dado pelo vértice da parábola. Assim o lucro máximo acontece
quando L=1225. Neste ponto x=45, que representa o preço de
maior lucro.
2) Determine o preço de equilíbrio e a quantidade para as funções de
demanda e oferta, sendo p o preço e q a quantidade.
048
0102
2 =−−
=−+
qp
pq
Para você resolver o sistema de equações isole a variável q na
primeira equação e substitua na segunda:
pq −=102
2
10 pq −=
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
241241241241241
( )
( )
0444
04440
04104
04
2
108
04
2
108
2
2
2
2
2
=−+
=−+−
=−−−
=−−−
=−



 −−
pp
pp
pp
pp
pp
Resolvendo esta equação do segundo grau tem:
2
1924
2
176164
12
441444 2 ±−=+±−=
⋅
−⋅⋅−±−=p
Usando uma calculadora 86,13192 ≅ .
93,4
2
86,134
1 =
+−=p
93,8
2
86,134
2 −=
−−=p
Como não faz sentido falar em preço negativo, considere que 93,4=p .
Substituindo na primeira equação encontra-se o valor de q:
535,2
2
07,5
2
93,410
2
10
==−=
−=
q
pq
Portanto tem-se o preço de equilíbrio 93,4=p e a quantidade
aproximadamente igual a 2.
3) Analise as características e propriedades e trace o gráfico das
funções:
(a) 232 ++= xxy
Para esta função tem-se 1=a , 3=b e 2=c .
 ConcavidadeConcavidadeConcavidadeConcavidadeConcavidade: o sinal do coeficiente 1=a é positivo. Assim
a parábola que representa a função possui concavidade para
cima.
 Vértice da parábola:Vértice da parábola:Vértice da parábola:Vértice da parábola:Vértice da parábola:
( )




⋅
⋅⋅−−
⋅
−=


 −−−
14
2143,
12
3
4
)4(,
2
22
V
a
acb
a
bV
( ) ( )25,0;5,1
4
1,
2
3
4
89,
2
3 −−=



 −−=



 −−− VVV
242242242242242
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Como a concavidade da parábola é para cima, o ponto do vértice
encontrado ( )25,0;5,1 −−V é o ponto de mínimo da função analisada.
Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:
( )
2
13
2
893
12
21433 2 ±−=−±−=
⋅
⋅⋅−±−
=x
1
2
2
2
13
1 −=
−=+−=x
2
2
4
2
13
2 −=
−=−−=x
Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:
Representação gráfica:Representação gráfica:Representação gráfica:Representação gráfica:Representação gráfica:
(b) 210 xxy −=
Para esta função se tem 1−=a , 10=b e 0=c .
ConcavidadeConcavidadeConcavidadeConcavidadeConcavidade: o sinal do coeficiente 1−=a é negativo.
Assim a parábola que representa a função possui
concavidade para baixo.
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
243243243243243AAAAA N E X O SN E X O SN E X O SN E X O SN E X O S
Vértice da parábolaVértice da parábolaVértice da parábolaVértice da parábolaVértice da parábola:
( )( )




−⋅
⋅−⋅−−
−⋅
−=


 −−−
14
01410,
12
10
4
)4(,
2
22
V
a
acb
a
bV
( ) ( )25,5
4
100,
2
10
4
0100,
2
10 VVV =




−
−=




−
+−
−
−
Como a concavidade da parábola é para baixo, o ponto do
vértice encontrado ( )25,5V é o ponto de máximo da função
analisada.
Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:
( )( )
2
1010
2
10010
12
0141010 2
−
±−=
−
±−=
−⋅
⋅−⋅−±−
=x
0
2
1010
1 =−
+−=x
10
2
20
2
1010
2 =−
−=
−
−−=x
Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:
Representação gráfica:Representação gráfica:Representação gráfica:Representação gráfica:Representação gráfica:
244244244244244
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
(c) 12 2 −−= xxy
Para esta função se tem 2=a , 1−=b e 1−=c .
• ConcavidadeConcavidadeConcavidadeConcavidadeConcavidade: o sinal do coeficiente 2=a é positivo.
Assim a parábola que representa a função possui
concavidade para cima.
• Vértice da parábola:Vértice da parábola:Vértice da parábola:Vértice da parábola:Vértice da parábola:
( ) ( )( )




⋅
−⋅⋅−−−
⋅
−−=


 −−−
24
1241,
22
1
4
)4(,
2
22
V
a
acb
a
bV
( ) ( )125,1;25,0
8
9,
4
1
8
81,
4
1 −=



 −=



 +− VVV
Como a concavidade da parábola é para cima, o ponto do vértice
encontrado ( )125,1;25,0 −V é o ponto de mínimo da função
analisada.
• Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:Zeros ou raízes:
( ) ( )( )
4
91
4
811
22
12411 2 ±=+±=
⋅
−⋅⋅−−±−−
=x
1
4
4
4
31
1 ==
+=x
5,0
2
1
4
2
4
31
2 −=
−=−=−=x
• Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:Crescimento e decrescimento:
• Representação gráf ica:Representação gráf ica:Representação gráf ica:Representação gráf ica:Representação gráf ica:
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
245245245245245AAAAA N E X O SN E X O SN E X O SN E X O SN E X O S
4) Uma senhora tinha 30 anos quando seu filho nasceu. Se você
multiplicar as idades que possuem hoje, terá um produto que é três
vezes o quadrado da idade do filho. Quais são as suas idades?
Se você chamar de x a idade do filho, a senhora terá ( )30+x anos.
Multiplicando as idades que possuem hoje ( ) xx ⋅+ 30 e igualando
ao produto de três vezes o quadrado da idade do filho ( )23x :
( ) 2330 xxx =⋅+
Resolvendo esta equação,
( ) 2330 xxx =⋅+22 330 xxx =+
0302
0303
2
22
=−
=−−
xx
xxx
( ) ( )
4
90030
4
090030
22
0243030 2 ±=−±=
⋅
⋅⋅−−±−−
=x
15
4
60
4
3030
1 ==
+=x
0
4
3030
2 =
−=x
O resultado de x=0 não faz sentido. Então o filho possui 15 anos e
a mãe 45301530 =+=+x anos.
5) Se você tiver uma função demanda xP 250 −= , sendo x a
quantidade demandada quando o preço é P, como será o gráfico da
receita total?
A receita total será dada por
( )
2250
250
xxR
xxR
T
T
−=
⋅−=
Nesta função 2−=a , 50=b e 0=c . Portanto,
( )




−⋅
⋅−⋅−−
−⋅
−=


 −−−
24
02450,
22
50
4
)4(,
2
22
V
a
acb
a
bV
( ) ( )5.312;5,12
4
2500,
4
50
8
2500,
4
50 VVV =



=




−
−
−
−
( )
4
5050
4
250050
22
0245050 2
−
±−=
−
±−=
−⋅
⋅−⋅−±−
=x
246246246246246
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
0
4
5050
1 =−
+−=x
25
4
100
4
5050
2 =−
−=
−
−−=x
Então o gráfico será dado por: