Unidade 4 Descontos Compostos

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Aulas 14-16
DESCONTOS COMPOSTOS
Prof. Josester Teixeira 
Conceito 
	O desconto composto, utilizado basicamente em operações de longo prazo, pode ser identificado, igualmente ao desconto simples, em dois tipos: o desconto “por dentro” (racional) e o desconto “por fora”.
	O desconto composto “por fora” (ou comercial) é raramente empregado no Brasil, não apresentando uso prático. O desconto “por dentro” (racional) envolve valor atual e valor nominal de um título capitalizado segundo o regime de juros compostos, apresentando, portanto, larga utilização prática.
Desconto composto “por fora”
 
O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores.
Nessa conceituação, o desconto composto “por fora” apresenta os seguintes resultados numa sucessão de períodos:
1o Período:
VF1 = N – D
Como:
DF = N × d
tem-se:
VF1 = N – N × d
VF1 = N (1 – d)
O valor N (1 – d) é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de desconto no período seguinte.
2o Período:
DF2 = N (1 – d) × d
Logo:
VF2 = VF1 – DF2
VF2 = N (1 – d) – N (1 – d) × d
VF2 = N – Nd – (N + Nd) × d
VF2 = N – Nd – Nd + Nd2
VF2 = N – 2Nd + Nd2
Colocando N em evidência:
VF2 = N (1 – 2d + d2)
VF2 = N (1 – d)2
3o Período:
DF3 = N (1 – d)2 × d
Logo:
VF3 = VF2 – DF3
VF3 = N(1 – d)2 – N (1 – d)2 × d
VF3 = N (1 – 2d + d2) – N (1 – 2d + d2) × d
VF3 = N – 2dN + Nd2 – Nd + 2d2N – Nd3
VF3 = N (1 – 2d + d2 – d + 2d2 – d3)
VF3 = N (1 – 3d + 3d2 – d3)
VF3 = N (1 – d)3
e assim sucessivamente até o enésimo período.
Enésimo Período
Generalizando o desenvolvimento do desconto composto “por fora”, obtém-se a seguinte expressão de cálculo:
VF = N (1 – d)n
Como:
DF = N – VF
tem-se:
DF = N – N (1 – d)n
DF = N [1 – (1 – d)n]
Por apresentar raríssimas aplicações práticas, os exercícios deste tipo de desconto composto ficam restritos aos exemplos abaixo desenvolvidos.
Exemplo 1
	Um título de valor nominal de $ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto composto “por fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se determinar o valor descontado, o desconto e a taxa de juros efetiva da operação.
	Solução:
	N = 35.000,00     VF = ?
	n = 3 meses        DF = ?
	d = 5% ao mês    i   = ?
	Desconto
DF = N × [1 – (1 – d)n]
DF = 35.000,00 × [1 – (1 – 0,05)3]
DF = 35.000,00 × 0,142625
DF = $ 4.991,88
	Valor Descontado
	VF = N (1 – d)n
	VF = 35.000,00 (1 – 0,05)3
	VF = $ 30.008,12
	ou:   VF = N – DF
	VF = 35.000,00 – 4.991,88
	VF = $ 30.008,12
Taxa Efetiva de Juros
 
35.000,00 = 30.008,12 (1 + i)3
1,0526 = 1 + i
i = 0,0526 ou: 5,26% a.m.
Exemplo 2 
	Solução:
	1o mês
	•DF1 = N × d
	DF1 = 35.000,00 × 0,05 = $ 1.750,00
	•VF1 = N (1 – d)
	VF1 = 35.000,00 (1 – 0,05) = $ 33.250,00
2o mês
DF2 = N (1 – d) × d
DF2 = 35.000,00 (1 – 0,05) × 0,05
      = $ 1.662,50
VF2 = N (1 – d)2
VF2 = 35.000,00 (1 – 0,05)2 = $ 31.587,50
ou:
VF2 = 35.000,00 – (1.750,00 + 1.662,50)
     = $ 31.587,50
3o mês
DF3 = N (1 – d)2 × d
DF3 = 35.000,00 × (1 – 0,05)2 × 0,05
      = $ 1.579,38
VF3 = N (1 – d)3
VF3 = 35.000,00 × (1 – 0,05)3 = $ 30.008,12
ou:
VF3 = 35.000,00 – (1.750,00 + 1.662,50 + 1.579,38) = $ 30.008,12
Exemplo 3 
Uma empresa deve $ 80.000,00 a um banco cujo vencimento se dará daqui a 10 meses. No entanto, 4 meses antes do vencimento da dívida resolve quitar antecipadamente o empréstimo e solicita ao banco um desconto.
O banco informa que opera de acordo com o conceito de desconto composto “por fora”, sendo sua taxa de desconto para esse tipo de operação de 3,5% ao mês.
Pede-se calcular o valor líquido que a empresa deve pagar ao banco quando da liquidação antecipada do empréstimo.
Solução:
N = $ 80.000,00     VF = ?
n = 4 meses
d = 3,5% a.m.
VF = N (1 – d)n
VF = 80.000,00 × (1 – 0,035)4 = $ 69.374,40
Um título foi descontado à taxa de 3% a.m. 5 meses antes de seu vencimento. Sabe-se que esta operação produziu um desconto de $ 39.000,00. Admitindo o conceito de desconto composto “por fora”, calcular o valor nominal do título.
Solução:
DF = N [1 – (1 – d)n]
39.000,00 = N [1 – (1 – 0,03)5]
39.000,00 = N × 0,141266
Exemplo 4 
Desconto composto “por dentro”
 
	Conforme comentado, o desconto composto “por dentro” (ou racional) é aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos.
	Assim sendo, o valor descontado racional (Vr) equivale ao valor presente de juros compostos, conforme apresentado anteriormente, ou seja:
	Por outro lado, sabe-se que o desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal (resgate) e o valor descontado (valor presente). Logo, o desconto racional (Dr) tem a seguinte expressão de cálculo:
	Colocando-se N em evidência:
	Por exemplo, suponha que uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes de seu vencimento. O valor nominal deste título é de $ 50.000,00. Sendo de 4,5% ao mês a taxa de desconto racional, o valor líquido recebido (valor descontado) pela pessoa na operação atinge:
	O valor do desconto racional, por seu lado, soma a:
	Dr = 50.000,00 – 43.814,83 = $ 6.185,17
	Por se tratar de desconto racional (“por dentro”), a taxa efetiva de juros é a própria taxa de desconto considerada, isto é:
	Sabe-se que um título, para ser pago daqui a 12 meses, foi descontado 5 meses antes de seu vencimento. O valor nominal do título é de $ 42.000,00 e a taxa de desconto, de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido liberado nesta operação sabendo-se que foi utilizado o desconto composto “por dentro”.
Exemplo 1 
	Solução:
Exemplo 2
	Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de $ 12.000,00 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês.
	Solução:
	Dr = 12.000,00 × 0,094049 = $ 1.128,59
Exemplo 3
	Um banco libera a um cliente $ 6.800,00 provenientes do desconto de um título de valor nominal de $ 9.000,00 descontado à taxa de 4% a.m. Calcular o prazo de antecipação que foi descontado este título.
	Solução:
LOG NA HP 12C 
Atividade de fixação