DESCONTOS SIMPLES E COMPOSTOS

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DESCONTOS 
SIMPLES E COMPOSTOS
DESCONTO 
É a diferença entre o Valor Nominal (valor de resgate, montante) de um título e o seu Valor Atualizado apurado n períodos antes do seu vencimento.
	Desconto = Valor Nominal – Valor Atual 
			(D = N – A)
Por outro lado, Valor Descontado de um título é o seu Valor Atual na data do desconto, sendo este a diferença entre o Valor Nominal e o desconto, ou seja:
Valor Descontado (Valor Atual) = Valor Nominal – Desconto
			(A = N - D)
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no juros compostos.
Tipos de Descontos:
Tanto no regime linear como no composto são identificados dois tipos de descontos:
Desconto Racional (ou por dentro);
Desconto Comercial (ou bancário, ou por fora).
DESCONTOS SIMPLES
Desconto Racional:
	Também denominado de desconto verdadeiro ou desconto por dentro, é o desconto aplicado sobre o valor atual do título utilizando-se para o cálculo a taxa efetiva. O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juro simples. 
Assim, sendo - o valor do desconto racional, - o capital (ou valor atual), i – a taxa periódica de juros e n o prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de seu vencimento), tem-se a conhecida expressão de juros simples:
Pela própria definição de desconto e valor descontado, tem-se:
 
O Valor Descontado ou Valor Atual é obtido pela seguinte expressão:
Ou
 
EXEMPLOS
Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor atual (valor descontado) desta operação:
Solução:
i = 42% a.a. = 3,5% a.m.
N = R$ 4.000,00
n = 3 meses
A=? 
=?
Valor Atual:
Desconto Racional:
 
2) Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e o valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10.
Solução: i=?, n = 2 meses (60 dias),N = R$ 26.000,00
= R$ 24.436,10
 ou ou 
 = 
DESCONTOS SIMPLES
Desconto Comercial (ou Bancário, ou “por fora”):
É o desconto aplicado sobre o valor nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições financeiras e no comércio em geral.
O Desconto Comercial (ou Bancário, ou “por fora”)é calculado pela seguinte fórmula: 
O Valor Descontado “por fora” () – Valor Atual é dado por:
 ou 
Obs: é o desconto comercial por fora; i é a taxa de desconto e n é o prazo de antecipação para o desconto.
EXEMPLOS
Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado desta operação:
Solução:
O valor do desconto comercial é:
O valor atual é:
A taxa de juros efetiva desta operação não equivale a taxa de desconto utilizada. Note que, se são pagos R$ 420,00 de juros sobre um valor atual de R$3.580,00, a taxa de juros assume o seguinte percentual:
Logo, no desconto “por fora” é fundamental separar a taxa de desconto (d) e a taxa efetiva (i) da operação. Em toda operação de desconto “por fora” há uma taxa implícita(efetiva) de juro superior à taxa declarada.
2) Determinar a taxa mensal de desconto “por fora” de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e o valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10.
Solução:
, seja , assim:
Temos:
DESPESAS BANCÁRIAS
Em operações de desconto com bancos comerciais são geralmente cobradas taxas adicionais de desconto, sendo estas caracterizadas como despesas administrativas e operacionais incorridas pelas instituições financeiras. 
Estas taxas são geralmente prefixadas e incidem sobre o valor nominal uma única vez no momento do desconto, sendo dada pela fórmula:
Desconto:
Valor Atual (valor descontado):
EXEMPLO:
1) Uma duplicata de valor nominal de R$ 60.000,00 é descontada num banco dois meses antes de seu vencimento. Sendo de 2,8% ao mês a taxa de desconto usada na operação, calcular o desconto e o valor descontado. Sabe-se ainda que o banco cobra 1,5% sobre o valor nominal do título, descontados integralmente no momento da liberação dos recursos, como despesa administrativa.
Solução:
N = 60.000
d = 2,8% a.m.
n = 2 meses
t = 1,5% sobre o valor nominal
Desconto:
Valor Atual (valor descontado):
TAXA IMPLÍCITA DE JUROS DO DESCONTO SIMPLES “POR FORA”
O desconto “por fora”, ao ser apurado sobre o valor nominal (resgate) do título, admite implicitamente uma taxa de juros superior àquela declarada para a operação
Por exemplo, suponha um título de valor nominal de R$ 50.000,00 descontado num banco um mês antes de seu vencimento à taxa de 5% ao mês.
Aplicando-se o critério de desconto “por fora”, tem-se:
Gerando um valor descontado de: 
Observe que a taxa de juros adotada de 5% ao mês não iguala e N em nenhum momento do tempo. Ou seja: 5% aplicados em R$ 47.500 não gera R$ 50.000 mas R$ 49.875,00. 
Logo, há uma taxa implícita de juros na operação, superior a taxa declarada.
A taxa de juro implícita é obtida pelo critério de desconto racional (juros “por dentro”):
 
Do exemplo anterior, tem-se que: 
 
O resultado indica que há uma taxa implícita de juro de 5,26% numa operação de desconto de 5% a.m. pelo período de um mês.
Admitindo, em sequência, uma antecipação de dois meses: 
À base de juros simples, esta taxa equivale a:
Em termos de juros compostos, critérios tecnicamente mais correto, a taxa de todo o período (bimestre) atinge a 11,1%. No entanto, a mensal efetiva é a equivalente composta:
Os cálculos de apuração da taxa racional de juros podem se substituídos pelo emprego direto da seguinte fórmula:
Assim, para se obter a taxa implícita (i) da operação, basta conhecer apenas a taxa de desconto “por fora” e o prazo do desconto. 
Aplicando esta fórmula nos exemplos anteriores:
n = 1 mês 	
n = 2 meses	 
Obs: nas operações com mais de um período, é necessário sempre trabalhar com juros compostos, ou seja: 
Taxa mensal implícita: 
(i) = 
Exercícios:
1 - Calcule o desconto por antecipar um capital de 
500 000,00 pesetas por 4 meses a uma taxa de desconto de 12% ao ano; a) aplicando o desconto racional, b) aplicando o desconto comercial.
 
2 - Foi descontado um capital de 1 000 000,00 pesetas por 3 meses, e o desconto foi de 40 000,00 pesetas. Calcular a taxa de juros aplicada (desconto racional).
 
3 - Descontaram-se 200 000,00 pesetas a um 12% ao ano, e os juros de desconto são de 15 000,00 pesetas. Calcular o prazo de desconto (desconto racional).
4 – O desconto para antecipar um capital por 8 meses a 10% ao ano, totalizam 120 000,00. Calcular o montante do capital inicial (desconto racional).
 
5 - Descontam-se de 2 000 000,00 pesetas por um prazo de 4 meses a uma taxa de 10% ao ano (desconto racional). Calcular que taxa deveria se aplicar se usarmos o desconto comercial, para que o resultado fosse o mesmo.
DESCONTO COMPOSTO
DESCONTO COMPOSTO
É utilizado basicamente em operações de longo prazo, pode ser identificado, igualmente ao desconto simples, em dois tipos; o desconto “por dentro”(racional) e o desconto “por fora”(comercial).
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL “POR FORA”
É caracterizado pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores. Tem-se a seguintes expressões de cálculo:
Exemplos:
Um título no valor de R$ 36.000,00, com 90 dias para o seu vencimento, é descontado a uma taxa de 1,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido.
Exemplos:
2. Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto composto “por fora” 3 meses antes do seu vencimento. Ataxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se determinar o valor descontado, o desconto e a taxa de juros efetiva da operação.
Valor Descontado:
Desconto:
Taxa Efetiva de Juros: (usando a fórmula composta do montante):
Taxa Efetiva de Juros: (usando a fórmula simples pelo critério racional):
À base de juros simples , esta taxa equivale a:
Em termos de juros compostos, tem-se a taxa efetiva de juros:
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL “POR DENTRO”
No desconto composto “por dentro” as fórmulas se equivalem as relações de juros compostos, assim:
O valor descontado racional () é: 
O desconto por dentro () é: 
Por exemplo, suponha que uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes do seu vencimento. O valor nominal deste título é de R$ 50.000,00. Sendo de 4,5% ao mês a taxa de desconto racional, o valor líquido recebido (valor descontado) pela operação atinge:
O desconto racional é: 
OBS:
Por se tratar de um desconto racional (“por dentro”), a taxa efetiva de juros é a própria taxa de desconto considerada, isto é: 4,5% a.m.
Exercícios:
1 - Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive um desconto racional composto que foi calculado com base na taxa de 4 % ao mês. Sendo R$ 5.408,00 o valor nominal do título, quanto pagarei por ele?
2 - Um título de valor nominal R$ 25.000,00 é resgatado três meses antes do vencimento pelo critério do desconto racional composto a uma taxa de 24 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor descontado e o desconto.
3 - Um título de R$ 1.000,00 deve ser resgatado três meses antes do seu vencimento, pelo critério do desconto comercial composto a uma taxa de 10 % ao mês. Qual é o valor líquido?
4 - Um título de R$ 2.000,00 será resgatado três anos antes do vencimento pelo critério do desconto comercial composto à taxa de 20 % a.a. com capitalizações semestrais. Qual será o valor liquido?
5 - Um título de valor R$ 10.000,00 foi descontado cinco meses antes do vencimento à taxa de desconto comercial composto de 10 % ao mês. Qual a taxa de juros efetivamente cobrada nessa transação?