TRABALHO DE MATEMATICA 2 MÓDULO - 2 ANO MODELO 2

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Matemática e suas Tecnologias · Matemática 69
Atividade extra
Exercício 1
Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30 percorrendo 16 km em linha reta, tal como ilustra a figura:
Qual a altura do avião, em km, com relação ao solo, ao final da subida?
(a) 8 (b) 9 (c) 10 (d) 12
70
Exercício 2
No triângulo ilustrado na figura são dados a = 4, 3 2b = , e o ângulo AÔB = 45°.
Qual é o valor do lado c do triângulo ABC?
(a) 2 2 (b) 10 (c) 2 3 (d) 14
Exercício 3
Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo e algumas de suas medidas, em metros, estão indicadas 
na figura.
Quanto vale x – y?
(a) 8 (b) 10 (c) 12 (d) 14
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 71
Exercício 4
Na figura mostra um círculo de raio r e uma segmento de reta PA = 24 cm, que é tangente ao círculo no ponto A.
Qual a distância do ponto P ao centro do círculo?
(a) 10 3 (b) 12 3 (c) 14 3 (d) 16 3
Exercício 5
Um poste de 10 m de altura projeta uma sombra que faz um ângulo θ tal que sen θ = 0,6. Conforme ilustra a figura.
Qual o valor, em metros, do comprimento da sombra?
(a) 
10
6
 (b) 
40
3
 (c) 
10
8
 (d) 20
Exercício 6
Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8cm e 12cm e formam um ângulo de 60o entre si.
Qual é o comprimento, em centímetros, da maior diagonal desse paralelogramo?
(a) 10 4 3− (b) 10 (c) 4 7 (d) 4 19
72
Exercício 7
Em um paralelogramo ABCD, os lados AB e AD medem, respectivamente, 2 cmx e xcm e θ é o ângulo ob-
tuso formado por esses lados. A diagonal maior mede 2xcm.
Então, o ângulo θ é tal que cos θ vale:
(a) 2
4
−
 (b) 1
2
−
 (c) 3
2
−
 (d) 14
4
−
Exercício 8
A figura mostra o ângulo de elevação do Sol em relação ao solo quando a sombra de um prédio mede 18m.
Dados: sen65o = 0, 9063, cos 65o = 0, 4226 e tg65oo = 2, 1445.
Qual a altura, em metros, do prédio?
(a) 38,601 (b) 37,313 (c) 36,393 (d) 35, 908
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 73
Exercício 9
Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80m 
do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 55o com o plano horizontal, tal como na figura abaixo.
Dados: sen55o = 0,81, cos 65o = 0,57 e tg65o = 1,42 (desconsidere a altura do alpinista).
Qual a altura, em metros, da encosta?
(a) 116, 6 (b) 115,3 (c) 114,8 (d) 113,6
Exercício 10
Uma árvore está com cupim em sua base e deverá ser derrubada. Com receio que a queda da árvore atinja 
casas vizinhas, os bombeiros decidiram calcular a altura da árvore e anotaram os dados que seguem na figura abaixo:
Dados: sen32o = 0,52, cos 32o = 0,84 e tg32o = 0,62.
74
Qual é a altura, em metros, da árvore?
(a) 9,708 (b) 9,968 (c) 10,008 (d) 11,156
Exercício 11
Um observador está no ponto A e quer saber a distância entre o ponto onde ele está e uma árvore situada do 
outro lado do rio. O observador se locomove do ponto A para o ponto E, de onde avista a mesma árvore (no ponto 
P). A distância de A até E é de 2km, a medida do ângulo EÂP é igual a 120o e a medida do ângulo AÊP é igual a 45o, tal 
como apresenta a na ilustração:
Considere sen15o = 0,258, cos 15o = 0,965 e 2 = 1, 41.
Qual é a distância, em metros, do ponto A ao ponto P?
Exercício 12
Em um triângulo ABC os lados AB e AC medem, respectivamente, 8cm e 6cm e o ângulo A vale 60o.
Calcule a medida do terceiro lado deste triângulo.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 75
Exercício 13
 Dado um triângulo ABC tal como o da figura abaixo.
Calcule o perímetro desse triângulo.
Exercício 14
Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura abaixo. Para cal-
cular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos = 57o e 
 = 59o. A distância BC mede 30m.
(Dados: use as aproximações: sen59o ≈ 0,87 e sen64o ≈ 0,90)
Quanto mede a distância AB , em metros?
76
Exercício 15
A partir de um ponto A, observa-se o topo E deumprédio sob um ângulo de 30o. Caminha-se 23m em direção 
ao prédio e atinge-se outro ponto (ponto B), onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60o, conforme a 
figura abaixo.
Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 113
Atividade extra
Exercício 1
Qual o valor, em radianos, de um ângulo que mede 150o?
(a) 
2
π
 (b) 2
3
π (c) 
5
6
π
 (d) 
3
π
Exercício 2
Qual o valor, em graus, de um ângulo que mede 
7
6
π
 rad?
(a) 210 (b) 230 (c) 270 (d) 290
Exercício 3 (UNIRIO)
Qual a soma de todas as soluções reais da equação sen2x = cos x no intervalo [0, 2 π ]?
(a) π (b) 2 π (c) 3 π (d) 4 π 
Exercício 4
Qual a solução da equação 
1
cos =
2
x no intervalo [0, π ]?
(a) π (b) 
2
3
π
 (c) 
2
π
 (d) 
3
π
114
Exercício 5
Para evitar desperdício deseja-se determinar, aproximadamente, quantos metros de cerca são necessários para 
cercar completamente o jardim ilustrado na figura.
1
Qual o comprimento, em metros, desta cerca? Use π = 3,14.
(a) 6,14 (b) 6,28 (c) 6,41 (d) 6,59
Exercício 6
Um agrimensor enxerga o topo T de um morro sobe um ângulo de 45° a uma distância de 200m do mesmo.
Qual a altura aproximada, em metros, do morro?
a) 191 (b) 200 (c) 205 (d) 210
Exercício 7
Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 30°. Após percorrer 2.000 metros em linha reta.
Qual será a altura atingida, em metros, pelo avião, aproximadamente?
(a) 500 (b) 850 (c) 1.000 (d) 1.250
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 115
Exercício 8
A Rua Tenório Quadros e a Avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30°. O 
posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na Avenida Teófilo Silva a 4km do cruzamento citado.
Qual a distância, em quilômetros, entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?
(a) 1,7 (b) 1,8 (c) 1,9 (d) 2, 0
Exercício 9 (PUC-SP)
Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante. Se ela 
caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°.
Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa 
enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?
(a) 150 (b) 180 (c) 270 (d) 300
116
Exercício 10
Uma escada está apoiada em um muro de 2m de altura, formando um ângulo de 45°.
Qual é o comprimento, em metros, da escada?
(a) 2,72 (b) 2,79 (c) 2,83 (d) 2, 85
Exercício 11
Uma pequena esfera é abandonada no ponto A de uma rampa que está a 80cm do solo e com uma inclinação 
de 60°. Qual a distância, em centímetros, que a esfera deverá percorrer até chegar ao solo?
Exercício 12
Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de 60° em relação à 
horizontal. Qual o comprimento, em metros, da sombra de uma construção de 6m de altura aproximadamente?
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 117
Exercício 13
Um turista vê o topo de uma torre construída em um terreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se da 
torre mais 374m, passa a vê-la sob um ângulo de 60° e a base da torre está no mesmo nível do olho do turista.
Qual a altura, aproximada, da torre?
Exercício 14
A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem dois 
círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal.
Qual a altura, em centímetros, do suporte?
Exercício 15 (UFRS)
Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120° com a 
margem do rio. Sendo a largura do rio 60m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 39
Atividade extra
Exercício 1
Dado log
3
45 3,46. Qual o valor aproximado de log
3
5?
(a) 1,46 (b) 5,46 (c) 6,92 (d) 8,46
Exercício 2
Dados log
3
 (7x−1) = 3e que log
5
 (2y−7) = 1. Qual o valor da expressão x+y?
(a) −10 (b) −2 (c) 2 (d) 10
Exercício 3 (UFMG – 2009 – Adaptada)
Ao se digitar um número positivo e apertar a tecla log de uma calculadora, é mostrado em seu visor o logaritmo 
decimal do número. Nessa calculador a foi digitado o número 100000 e em seguida apertada a tecla log. Qual número 
apareceu no visor?
(a) 1 (b) 5 (c) 6 (d) 10
Exercício 4
Dada a expressão x = (log1) . (log2) . (log3)... (log5). Qual o valor de x?
(a) 0 (b) 30 (c) 60 (d) 120
40
Exercício 5
Sejam log2 = 0,301, log3 = 0,477 e log7 = 0,845, qual o valor de log42?
(a) 0,067 (b) 0,121 (c) 1,021 (d) 1,623
Exercício 6
O valor (em reais) de um imóvel é dado em função do tempo d em décadas contando a partir da data em que 
foi terminada sua construção. O valor do imóvel será calculado através da fórmula V(d) = 90000 · 0,9d. Qual é o valor, 
em reais, da perda do imóvel 20 anos após a construção? 
(a) 9000 (b) 17100 (c) 72000 (d) 72900
Exercício 7
João aplicou R$ 800,00 em um fundo de investimento que rende 1% ao mês. O Montante dessa aplicação de-
pois de t meses é dado por M(t) = 800 · (1,01)t. Qual o valor dos juros obtidos após 6 meses?
(a) R$49,22 (b) R$52,58 (c) R$ 849,22 (d) R$ 5258,00
Exercício 8
Sejam x = log
2
8, y = log
3
27. Qual o valor de log
x
y? 
(a) 0 (b) 1 (c) 3 (d)5
Exercício 9
Dada a equação log
x
 (5x−6) = 2. Calcule seu conjunto solução.
(a) {2,3} (b) {−2,3} (c) {2,−3} (d) {−2,−3}
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 41
Exercício 10
A produção de uma fábrica vem diminuindo ano a ano. No ano de 2010 ela produziu dez mil unidades de seu 
principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y(t) = 10000 . (0,9)t, tem anos. Após quantos anos 
a fábrica produziu 8100 unidades do seu principal produto?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
Exercício 11
Sejam x e y números inteiros positivos tais que
log log 5
log log 7
x y
x y
+ =

− =
Qual o valor de x · y?
Exercício 12
O número de elementos de uma determinada espécie animal diminui à taxa de 10% ao ano, de acordo com 
a fórmula P(t) = P
0
 . 0,9t, onde P
0
 é a população inicial da espécie. Considere log3 = 0,4. Depois de quanto tempo a 
população será um décimo da população inicial?
Exercício 13
Dada a equação logarítmica logx + log (x−5) = log36. Quais são os valores de x que satisfazem tal equação?
Exercício 14
Um líquido com alto índice de evaporação diminui seu volume em 20% a cada hora. Considere log2 = 0,3.
Depois de quanto tempo o volume inicial V
0
 desse líquido será reduzido à metade?
Exercício 15
Considere o log2 = a, log3 = b e as propriedades operatórias de logaritmos. Calcule log108 em função de a e b.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 89
Atividade extra
Exercício 1
Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas 
regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo 
de 1970.
Quantos vertices possui esse poliedro?
(a) 12 (b) 54 (c) 60 (d) 72
Exercício 2
Um poliedro convexo tem 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.
Qual o numero de arestas desse poliedro?
(a) 10 (b) 12 (c) 16 (d) 18
90
Exercício 3
Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais.
Qual o numero de arestas deste poliedro?
(a) 30 (b) 24 (c) 8 (d) 15
Exercício 4
Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 4 faces quadrangulares e 5 pentagonais.
Qual o numero de vertices desse poliedro?
(a) 25 (b) 12 (c) 15 (d) 9
Exercício 5
Um poliedro tem 6 arestas e o número de faces e igual ao seu número de vértices.
Quantas faces possui esse poliedro?
(a) 4 (b) 6 (c) 8 (d) 10
Exercício 6
Quantas arestas tem um poliedro que possui 12 faces e 20 vértices?
(a) 24 (b) 30 (c) 32 (d) 38
Exercício 7
Um poliedro e formado por cinco faces quadrangulares e seis faces triangulares.
Quantas arestas tem esse poliedro? x ∈ A e os elementos y ∈ B?
(a) 15 (b) 16 (c) 19 (d) 22
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 91
Exercício 8
Um poliedro convexo e constitudo por 2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares. Quantos vértices tem o 
poliedro?
(a) 8 (b) 10 (c) 12 (d) 15
Exercício 9
O icosaedro tem 20 faces triangulares.
Quantas arestas tem esse poliedro?
(a) 30 (b) 32 (c) 36 (d) 38
Exercício 10
Quantas arestas tem uma pirâmide de base hexagonal?
(a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 12
Exercício 11
Existe um poliedro convexo constituído por 15 faces, 12 vértices e 18 arestas?
Exercício 12
Quantos vértices tem um poliedro convexo constituído por 10 faces quadrangulares e 2 pentagonais?
Exercício 13
Num poliedro o numero de vértices é igual ao dobro do número de faces.
Quantas faces tem esse poliedro se ele tem 16 arestas?
92
Exercício 14
Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades.
Qual o número de faces desse poliedro?
Exercício 15
Um poliedro tem 6 faces triangulares, 4 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares. Qual o número de arestas desse poliedro?
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 125
Atividade extra
Exercício 1
A figura ilustra a planificação da superfície lateral de um cilindro reto de 10 metros de altura. Considere π = 3,14. 
Qual o valor da área total desse cilindro, em metros quadrados?
6,28 m
10 m
(a) 62,8 (b) 69,08 (c) 75,36 (d) 76,32
Exercício 2
Uma caneta esferográfica possui um tubo de 0,2cm de diâmetro e 12cm de comprimento. A tinta para escrever 
fica acondicionada dentro desse tubo. Considere π = 3,14. Que volume de tinta, em cm3, poderá ser acondicionado 
no tubo?
(a) 0,3768 (b) 1,5072 (c) 3,7680 (d) 7,5360
126
Exercício 3
Um caminhão pipa carrega 9,42 mil litros de água quando está com sua capacidade máxima. Desejamos en-
cher um tanque em formato de paralelepípedo, como ilustrado na figura.
2m
2m
5m
Lembre que 1m3 = 1000 litros. Quantos caminhões, com a capacidade máxima de água, serão necessários para 
encher o tanque?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
Exercício 4
Um profissional de Arquitetura e Urbanismo projetou uma fonte para ser colocada na praça de sua cidade. O 
tanque da fonte é tal como ilustra a figura.
O tanque tem o formato de dois cilindros de mesmo centro, com altura igual a 0,8m e de raios iguais a 2m e 3m, 
respectivamente. Qual a capacidade de água do tanque da fonte em m3?
(a) 2,5120 (b) 10,048 (c) 12,560 (d) 22,608
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 127
Exercício 5
Para fazer uma caixa sem tampa com apenas um pedaço retangular de papelão, de medidas 12cm de largura 
por 25cm de comprimento, foram retirados de cada um dos cantos do retângulo um quadrado de mesma área. Em 
seguida, dobra-se as quatro bordas para cima formando a caixa desejada. A caixa assim produzida utiliza 236cm2 de 
papelão. Quanto deve ser, em cm, o lado do quadrado a ser retirado de cada canto do papelão?
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8
Exercício 6
Um cubo de lado 10 teve a medida da aresta aumentada em uma unidade. Qual o percentual de aumento no 
volume?
(a) 20,1% (b) 26,1% (c) 33,1% (d)37,1% 
Exercício 7 (UFGO – Adaptada)
Um pedaço de cano com 30cm de comprimento e 10cm de diâmetro interno, encontra-se na posição vertical e 
tem a parte inferior vedada. Consideremos que 1dm3 = 1litro. O que acontece com a água ao colocarmos exatamente 
3 litros dessa substância no cano?
(a) transborda
(b) não chega ao meio do cano
(c) enche o cano atéa borda
(d) atinge exatamente o meio do cano
Exercício 8
Considere um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e que tem área total de 54m2. Quanto mede 
(em metros) o lado da base do prisma?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
128
Exercício 9
Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 20cm e 12cm, são derretidos e em seguida 
o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de base quadrada de lado 16cm e altura desconhecida. 
Qual é o valor da altura do paralelepípedo, em centímetros?
(a) 34 (b) 36 (c) 37 (d) 38
Exercício 10
Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma triangular regular. 
A altura da caixa deve ser de 12cm e o lado do triângulo da base deve medir 10cm. Na construção de cada caixa, o 
fabricante perde, em média 10% do material utilizado. Considere 3 = 1,73. Quantos cm2 de papelão são gastos na 
fabricação de cada caixa?
(a) 446,51 (b) 491,15 (c) 519,16 (d) 570,92
Exercício 11
Uma olaria (fábrica de tijolos) recebeu uma encomenda para produzir 5000 tijolos compactos, com dimensões 
de 18cm × 9cm × 6cm. Qual o volume dessa encomenda?
Exercício 12
Um tanque tem a forma de paralelepípedo de lados 0,8m e 1,2m e está parcialmente cheio de água. Um objeto é 
colocado no tanque e fica completamente imerso, fazendo o nível da água subir em 0,09m. Qual o volume desse objeto?
Exercício 13
Um galpão tem a forma de um paralelepípedo com 30m de comprimento, 72m de largura e 6m de altura. 
Deseja-se armazenar neste galpão caixas cúbicas com 3m de lado. Quantas caixas é possível armazenar nesse galpão?
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 129
Exercício 14
Uma caixa d´água tem forma cúbica com 1 metro de aresta. Retira-se dessa caixa d’água 1 litro de água. Quan-
tos centímetros descerá o nível da água?
Exercício15
Uma caixa de papelão será fabricada por uma indústria com as seguintes medidas: 40cm de comprimento, 
20cm de largura e 15cm de altura. Essa caixa irá armazenar doces na forma de um prisma com as dimensões medindo 
8cm de comprimento, 4cm de largura e 3cm de altura. Qual o número de doces necessários para o preenchimento 
total da caixa fabricada?
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 39
Atividade extra
Exercício 1
Uma pirâmide quadrangular regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 6m. Qual o volume dessa 
pirâmide? 
(a) 24m3 (b) 38m3 (c) 42m3 (d) 48m3
Exercício 2
Considere uma pirâmide quadrangular regular tem 8cm de altura e a aresta da base mede 12cm. Qual a área 
total dessa pirâmide? 
(a) 378cm3 (b) 384cm3 (c) 390cm3 (d) 396cm3
Exercício 3
Uma pirâmide triangular regular tem 5cm de altura e seu apótema da base mede 43cm. Qual o volume dessa 
pirâmide?
(a) 803cm3 (b) 903cm3 (c) 1003cm3 (d) 1103cm3
Exercício 4
Uma pirâmide quadrangular regular possui apótema da base 2cm. Qual o valor da área da base dessa pirâmide? 
(a) 12cm2 (b) 14cm2 (c) 16cm2 (d) 18cm2
40
Exercício 5
A figura ilustra uma pirâmide inscrita em um cubo cuja aresta mede 2cm.
A
1
A B
C
C
1
B
1
D
1
D
h
2cm
2cm
Qual o volume da pirâmide ABCD1?
(a) 4/3cm3 (b) 5/2cm3 (c) 2/3cm3 (d) 5/3cm3
Exercício 6
Uma casquinha de sorvete tem formato de cone reto com geratriz 10cm e raio 6cm. Qual volume dessa 
casquinha ?
(a) 46cm3 (b) 54cm3 (c) 96cm3 (d) 104cm3
Exercício 7
Uma árvore de natal em formato de cone reto possui raio da base 8m e tem 10m de geratriz. Qual a área total 
dessa árvore de natal?
(a) 132cm2 (b) 136cm2 (c) 140cm2 (d) 144cm2
Exercício 8
Considere um cone circular reto cuja geratriz mede 25cm e o diâmetro da base mede14cm. Qual a altura 
desse cone?
(a) 12cm (b) 18cm (c) 24cm (d) 32cm
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 41
Exercício 9
Uma criança colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e 
mesma altura h da casquinha.
Qual é o volume do sólido compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?
(a) 
2
32
cm
3
R h
 (b) 
2
3
cm
2
R h
 (c) 
2
34
cm
3
R h
 (d)
2
3
cm
3
R h
Exercício 10
Um copinho de sorvete em forma de cone tem diâmetro igual a 5cm e altura igual a 15cm. A empresa fabrican-
te diminuiu o diâmetro para 4cm, mantendo a mesma altura. Em quantos por cento variou o volume?
(a) 40% (b) 36% (c) 32% (d) 30%
Exercício 11
A base de uma pirâmide regular ABCDE é um quadrado ABCD de lado 6cm. A distância de vértice E da pirâ-mide 
ao plano que contém a base é 4cm. Qual o volume do tetraedro ABDE?
Exercício 12
O suporte de uma bandeira deve ter a forma de uma pirâmide de base quadrada, com altura 4m e aresta da 
base 3m, feita de concreto maciço, como mostra a figura.
R
h
42
Determine o volume de concreto (em m3) necessário para a construção da pirâmide.
Exercício 13
Um cone reto possui diâmetro da base medindo 24cm, geratriz 20cm. Qual a área total desse cone?
Exercício 14
A casquinha de um sorvete tem a forma de um cone reto com raio da base medindo 3cm e a altura de 12cm. 
Qual é o volume da casquinha?
Exercício 15
A planificação da superfície lateral de um cone é um semicírculo de raio 10 3 cm. Qual o volume desse cone?