Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
PRODUTOS DE VETORES Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga 3.1 PRODUTO ESCALAR Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores u=x1i + y1j+z1k e v= x2i + y2j+z2k, e se representa por u.v, ao número real Este produto também é indicado por <u,v> e lê-se “u escalar v” Exemplo: Se , tem-se u . v=x1x2 + y1y2+z1z2 3 5 8 e 4 2u i j k v i j k . 3 4 ( 5) ( 2) 8 ( 1) 12 10 8 14u v 3.2 MÓDULO DE UM VETOR Módulo de um vetor v=(x,y,z), representado por |v|, é o número real não negativo ou, em coordenadas, ou Exemplo: Se , então: .v v v ( , , ).( , , )v x y z x y z 2 2 2( )v x y z (2,1, 2)v 2 2 2= 2 1 ( 2) 4 1 4 9 3v Observações: a)Versor de um vetor Se o versor do vetor v do exemplo dado for designado por u, tem-se: b)Distância entre dois pontos A distância d entre os pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) é assim definida: e, portanto, v u v 2 2 2v x y z d AB B A 2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d x x y y z z 3.3 PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR Para quaisquer que sejam os vetores u=(x1,y1,z1), v=(x2, y2,z2), w=(x2, y2,z2), e m∈ℝ, é fácil verificar que: I) somente se II) III) IV) V) . 0u u 0 (0,0,0)u . .u v v u . . .u v w u v u w . . .mu v m u v u mv 2 .u u u 3.4 ÂNGULO DE DOIS VETORES O produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo por eles formados. Se u≠0 , v≠0 e se θ é o ângulo formado por eles, então: Prova: Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC, temos: (1) . cosu v u v 2 2 2 2 cosu v u v u v 2 2 2 2 cosa b c bc c a b Por outro lado, de acordo com as propriedades II, III e V do produto escalar : (2) Comparando as igualdades (2) e (1): logo: 2 2 2 2 .u v u v u v 2 2 2 2 2 . 2 cosu v u v u v u v . cosu v u v . .u v v u . . .u v w u v u w 2 .u u u Observações: . 0u v 0º 90º agudo ou nulo . 0u v 90º 180º obtuso ou raso . 0u v 90º reto cos 0 cos 0 cos 0 3.4.1 CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES Da fórmula vem: Dois vetores são ortogonais quando: Exemplo: . cosu v u v . cos u v u v 3.4.2 CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES . 0u v 3.5 ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR Ângulos diretores de um vetor v=xi+yj+zk são os ângulos α, β e γ que v forma com os vetores i, j e k, respectivamente. Os cossenos diretores de seus ângulos diretores são dados por: . ( , , ).(1,0,0) cos 1 . ( , , ).(0,1,0) cos 1 . ( , , ).(0,0,1) cos 1 v i x y z x v i v v v j x y z y v j v v v k x y z z v k v v 3.5.1 PROPRIEDADES I) O versor u do vetor v=(x,y,z) ou II) Como o versor de v é um vetor unitário, tem-se: mas: logo: e: ( , , ) , , cos ,cos ,cos v x y z x y z u v v v v v u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos ,cos 1 cos ,cos ,cos cos cos cos cos cos cos 1 cos cos cos 1 3.6 PRODUTO VETORIAL Dados os vetores u=x1i+y1j+z1k e v=x2i+y2j+z2k , tomados nesta ordem chama-se produto vetorial dos vetores u e v, e se representa por u x v (ou ), ao vetor: cada componente desse vetor pode ainda ser expresso na forma de um determinante de 2º ordem: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2u v=(y z - z y )i-(x z ) (x y )z x j y x k 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 y x u v= i- j+ y x i j k u v= x y z x y z z x z y k z x z y u v Lê-se: “u vetorial v” Exemplo: Cálculo do produto vetorial dos vetores v u u v u 5i+4j+3k e =i+k v é ortogonal simultaneamente aos vetores e seu sentido é dado pela regra da mão direita u v u v e 3.7 PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL I) , qualquer que seja o II) anticomutativa u u = 0 u 1 1 1 1 1 1 i j k u u= x y z x y z u v = -v u 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 i j k u v= x y z x y z i j k v u= -x -y -z x y z III) u (v + w) = u v + u w 3 3 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 w x z v + w (x x ) ( ) ( ) i j k u (v + w) = x y z x x y y z z i j k i j k u v + u w = x y z x y z x y z x y z i y j k i y y j z z k IV) V) se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se eles forem colineares. VI) 1 1 1 2 2 2 i j k u v = m x y z x y z m u v = m u v = u mvm u v = 0 2 2 2 i j k u v = 0 0 0 x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u v u x i j k i j k u v = mx my mz x y z m m my mz u v = u v sen i j = k j k = i k = i j Relações entre os vetores canônicos: 3.8 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores e mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores Área = u v u AB e v AC u v vh sen uÁrea h u v = u v sen u vÁrea sen 3.9 PRODUTO MISTO Chama-se produto misto dos vetores , tomados nesta ordem, ao número real . Indica-se o produto misto por . , v wu e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 y x v w i- j+ y x i j k z x z y x y z k z x z y x y z , v, wu . v w u 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 2 2 2 y x . v w = , v, w =x +y +z y x z x z y u u z x z y 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , v, w x y z u x y z x y z Exemplo: Calcular o produto misto dosvetores: 2i +3j+5k, v i +3j+3k e w 4i -3j+2k.u 2 3 5 , v, w 1 3 3 4 3 2 u 2 3 2 -1 3 5 3 3 4 5 3 4 1 3 2 3 3 2 + _ 12 15 36 60 6 18 63 60 6 18 27 3.10 PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO I) a)se um dos vetores for nulo b)se dois deles são colineares c)se três são coplanares ⊥ então produto escalar é nulo. , v, w 0u 2 2 2 3 3 3 0 0 0 , v, w 0u x y z x y z 2 2 2 2 2 2 3 3 3 , v, w 0 mx my mz u x y z x y z v wu . v w u Se forma análoga, dizemos que quatro pontos A, B, C e D pertencem a um mesmo plano, se os vetores são coplanares ou II)O produto misto independe da ordem circula dos vetores: Mas muda de sinal quando trocamos as posições de dois vetores consecutivos: Esta propriedade cíclica, se deve a propriedade dos determinantes referente à troca de duas linhas e circulação de linhas. , AC, AD 0AB , v, w , w, u , u, vu v w , v, w , u, wu v III) IV) , v, w , v, w , v, ru r u u , v, mw , mv, w , v, w , v, wu u mu m u 3.11 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO Geometricamente, o produto misto é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores , v e wu AD AB AC b altura A v w u cos v w u cos u v w cos v w b V área da base V h A h V V a fazendo: comparando (1) com (2) u cos 1 . u cos . u cos 2 . . w = , , w V a u a a u a a V u a u v u v
Compartilhar