ESA - Polinômios - Matemática Passo a Passo

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Teoria/Exercícios 
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 REDUÇÃO DE POLINÔMIOS 
❖ Em muitos casos nos deparamos com representa-
ções polinomiais extensivas que podem ser reduzi-
das por meio das ideias relativas à adição e/ou sub-
tração de monômios. Para que a redução seja possí-
vel é necessária à existência de monômios seme-
lhantes na expressão. 
 
Observações: 
❖ De acordo com a quantidade de termos resultantes 
das reduções polinomiais ou até mesmo da repre-
sentação inicial dos polinômios, podemos classificá-
los das seguintes formas: 
✓ monômio, quando há apenas um 
termo; 
✓ binômio, quando há dois termos; 
✓ trinômio, quando há três termos; 
✓ acima de três termos, não há nome 
particular, sendo chamado apenas 
polinômio. 
 
❖ O procedimento utilizado na adição e subtração de 
polinômios envolve técnicas de redução de termos 
semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo 
sinais iguais e sinais diferentes. 
 
❖ A compreensão dessas operações é fundamental 
para o aprofundamento dos estudos futuros sobre 
polinômios. Vejamos como são realizadas as opera-
ções de adição e subtração com exemplos. 
 
ADIÇÃO DE POLINÔMIOS 
❖ Dados dois polinômios f(x) e g(x). Sendo f(x) = anxn + 
an-1xn-1 + ... a2x2 + a1x + a0 e g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... 
b2x2 + b1x + b0 
❖ Para fazermos f(x) + g(x) deveremos ter como res-
posta: 
f(x) + g(x) = (an + bn )xn + (an-1 + bn-1 )xn-1 + ... (a2 + b2 )x2 + 
(a1 + b1 )x + (a0 + b0) 
 
❖ Ou seja, calculamos a soma adicionando os coefici-
entes dos termos semelhantes. 
 
EXEMPLO 1 
(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o 2º parênteses 
através do jogo de sinal. 
+(–3x2) = –3x2 
+(+8x) = +8x 
+(–6) = –6 
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes. 
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6 
–2x2 + 5x – 7 
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7 
EXEMPLO 2 
Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: 
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses 
utilizando o jogo de sinal. 
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos seme-
lhantes. 
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12 
4x2 – 4x + 7 
Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7 
 
EXEMPLO 3 
❖ Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 
8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² 
+ 9x + 20. Calcule A + B + C. 
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 
7x² + 9x + 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 
9x + 20 
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 
10 + 20 
9x³ + 6x² – 8x + 45 
A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45 
 
PROPRIEDADES 
❖ Para a operação de adição valem as seguin-
tes propriedades: 
✓ Comutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + 
P(x); 
✓ Associativa: [P(x) + Q(x)] + A(x) = 
P(x) + [Q(x) + A(x)]; 
✓ Elemento neutro: P(x) + Q(x) = P(x), 
basta tomar Q(x) = 0; 
✓ Elemento oposto: P(x) + Q(x) = 0, 
basta tomar Q(x) = – P(x). 
 
P1. Comutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) 
Dados os polinômios P(x) = 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 
3x – 9 e Q(x) = x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12. 
 
P(x) + Q(x) 
(8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) + ( x5 + 2x4 – 2x3 + 
8x2 – 6x + 12) 
(8x5 + x5 ) + ( 4x4 + 2x4 ) + ( 7x3 – 2x3 ) + (– 12x2 + 
8x2 ) + (– 3x – 6x) + ( – 9 + 12) 
9x5 + 6x4 + 5x3 – 4x2 – 9x + 3 
 
Q(x) + P(x) 
( x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12) + (8x5 + 4x4 + 7x3 – 
12x2 – 3x – 9) 
(x5 + 8x5) + (2x4 + 4x4) + (– 2x3 + 7x3) + (8x2 – 12x2) + 
(– 6x – 3x ) + (12 – 9) 
9x5 + 6x4 + 5x3 – 4x2 – 9x + 3 
 
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P2. Associativa: [P(x) + Q(x)] + A(x) = P(x) + [Q(x) + A(x)] 
Considere os polinômios P(x) = – 9x3 + 12x2 – 5x + 7, Q(x) = 
8x2 + x – 9 e A(x) = 7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2. 
 
[P(x) + Q(x)] + A(x) 
[(– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + (8x2 + x – 9)] + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 
2) 
[– 9x3 + (12x2 + 8x2) + (– 5x + x) + (7 – 9)] + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x 
+ 2) 
[– 9x3 + 20x2 – 4x – 2] + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2) 
7x4 + (– 9x3 + x3) + (20x2 – 8x2) + (– 4x + 4x) + (– 2 + 2) 
7x4 – 8x3 + 12x2 
 
P(x) + [Q(x) + A(x)] 
(– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + [(8x2 + x – 9) + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 
2)] 
(– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + [7x4 + x3 + (8x2 – 8x2)+ (4x +x) + (– 9 + 
2) 
(– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + [7x4 + x3 + 5x – 7] 
7x4 + (– 9x3 + x3) + 12x2 + (– 5x + 5x) + (7 – 7) 
7x4 – 8x3 + 12x2 
 
P3. Elemento neutro: P(x) + Q(x) = P(x), basta tomar Q(x) = 
0. 
Dados os polinômios P(x) = 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9 e 
Q(x) = 0 
 
P(x) + Q(x) = P(x) 
(8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) + 0 = 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 
3x – 9 
(8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) + (0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 
0) 
(8x5 + 0x5) + (4x4 + 0x4) + (7x3 + 0x3) + (– 12x2 + 0x2) + (– 3x + 
0x) + (– 9 + 0) 
8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9 
 
P4. Elemento oposto: P(x) + Q(x) = 0, basta tomar Q(x) = – 
P(x). 
Considere os polinômios P(x) = 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 
11 e Q(x) = – 7x5 + 9x4 + 6x3 – 13x2 + 4x – 11. 
 
P(x) + Q(x) = 0 
(7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11) + (– 7x5 + 9x4 + 6x3 – 13x2 + 
4x – 11) 
(7x5 – 7x5) + (– 9x4 + 9x4 ) + (– 6x3 + 6x3) + (13x2 – 13x2) + (– 
4x + 4x) + (11 – 11) 
0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 0 
0 
 
SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS 
Dados dois polinômios f(x) e g(x). Sendo f(x) = anxn + an-1xn-1 
+ ... a2x2 + a1x + a0 e g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... b2x2 + b1x + b0 
 
Para fazermos f(x) – g(x) deveremos ter como res-
posta: 
f(x) – g(x) = (an – bn )xn + (an-1 – bn-1 )xn-1 + ... (a2 – 
b2 )x2 + (a1 – b1 )x + (a0 – b0) 
 
Ou seja, calculamos a diferença subtraindo os coefi-
cientes dos termos semelhantes. 
 
EXEMPLO 1 
Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8. 
 
(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parên-
teses utilizando o jogo de sinal. 
– (–3x2) = +3x2 
– (+10x) = –10x 
– (–6) = +6 
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos seme-
lhantes. 
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6 
8x2 – 19x – 2 
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x 
– 2 
 
EXEMPLO 2 
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, 
teremos: 
 
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando 
os parênteses através do jogo de sinais. 
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de 
termos semelhantes. 
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5 
0x³ – 6x² + x + 16 
– 6x² + x + 16 
Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 
6x² + x + 16 
 
EXEMPLO 3 
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, 
B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Cal-
cule A – B – C . 
 
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 
7x² + 9x + 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 
9x – 20 
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 
10 – 20 
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30 
3x³ + 4x² – 8x – 15 
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15 
 
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 POLINÔMIOS 
 
(UFSM/2010) Leia o trecho da música "Goiabada Cascão", de 
Wilson Moreira/Nei Lopes, interpretada por Dudu Nobre. Ou-
vindo esse samba, um pequeno proprietário rural decide 
aproveitar a farta produção de goiabas de seu pomar e pro-
duzir goiabada cascão que será vendida em barras (paralele-
pípedos retangulares) de 800 cm³ cada. Para tanto, constru-
iráuma forma a partir de uma folha metálica retangular me-
dindo 28 cm por 18 cm, cortando um pequeno quadrado de 
cada canto. Essa folha, devidamente dobrada, conforme ilus-
tra a figura a seguir, servirá de molde para as barras de goi-
abada. Sendo x cm a medida dos lados do quadrado cortado 
da folha inicial, a incógnita (variável) x, para que o volume da 
barra obtida desse molde tenha os 800 cm3 desejados, deve 
satisfazer a que equação polinomial? 
 
✓ Vamos calcular o volume da caixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS 
 
Sendo: 
 
 
 
 
A multiplicação é obtida multiplicando-se cada 
termo aixi de A(x) por cada termo bjxj de B(x), ou 
seja, aplicando a propriedade distributiva da multi-
plicação. 
 
Por fim, reduzem-se os termos semelhantes (de 
mesmo grau). 
 
EXEMPLO 
Sendo A(x) = x3 + 2x2 − 3 e B(x) = x2 + x + 1, deter-
mine A(x) . B(x). 
A(x) . B(x) = (x3 + 2x2 – 3) . (x2 + x + 1) 
x5 + x4 + x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 – 3x2 – 3x – 3 
x5 + 3x4 + 3x3 – x2 – 3x – 3 
 
DIVISÃO DE POLINÔMIOS 
Dividir um polinômio P(x) pelo polinômio D(x) é ob-
ter dois polinômios Q(x) e R(x), obedecendo às se-
guintes condições: 
 
P(x) ≡ D(x).Q(x) + R(x); 
Grau de R(x) < grau de D(x) ou R(x) ≡ 0; 
P(x) é o dividendo, D(x) o divisor, Q(x) o quociente 
e R(x) o resto da divisão; 
É importante observar que o grau do quociente é a 
diferença entre os graus do dividendo e do divisor; 
Em geral, se na divisão de P(x) por D(x) o resto é o 
polinômio nulo, dizemos que P(x) é divisível por 
D(x). 
 
ALGORITMO DA DIVISÃO (MÉTODO DE DESCAR-
TES) 
( ) 01
2
2
1
1 axaxaxaxaxA
n
n
n
n +++++=
−
− 
( ) 01
2
2
1
1 bxbxbxbxbxB
n
n
n
n +++++=
−
− 
V = A
B
 . h 
V = (28 – 2x).(18 – 2x).x 
V = (504 – 56x – 36x + 4x
2
).x 
V = (504 – 92x + 4x
2
).x 
V = 504x – 92x
2
 + 4x
3
 
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 Esse método, também conhecido como método dos coefici-
entes a determinar, é aplicado da seguinte forma: 
 
Determina-se os graus do quociente: Q(x), e do resto: r(x); 
Constroem-se os polinômios Q(x) e r(x), deixando incógnitos 
os seus coeficientes (usam-se letras); 
Determinam-se os coeficientes impondo a igualdade 
Q(x).D(x) + r(x) = P(x). 
 
EXEMPLO 
Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x) = 3x3 - 2x2 + 4x -1. 
 
Aplicando a relação fundamental da divisão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DA CHAVE 
❖ Para efetuar a divisão usando o método da chave, 
convém seguir os seguintes passos: 
✓ Escrever os polinômios (dividendo e divisor) 
em ordem decrescente dos seus expoentes 
e completá-los quando necessário, com ter-
mos de coeficiente zero; 
✓ Dividir o termo de maior grau do dividendo 
pelo de maior grau do divisor, o resultado 
será um termo do quociente; 
✓ Multiplicar esse termo obtido no passo 2 
pelo divisor e subtrair esse produto do divi-
dendo; 
✓ Se o grau da diferença for menor 
do que o grau do divisor, a dife-
rença será o resto da divisão e a di-
visão termina aqui; 
✓ Caso contrário, retoma-se o passo 
2, considerando a diferença como 
um novo dividendo. 
 
EXEMPLO 1 
Efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) 
= x2 – 2x + 3. 
 
 
 
 
EXEMPLO 2 
Dividir A(x) = x2 – 5x + 6 por B(x) = x – 2. 
 
 
Nesse caso, o resto é polinômio nulo, R(x) ≡ 0. Dize-
mos, por isso, que A(x) é divisível por B(x). 
 
EXEMPLO 3 
Sabe-se que p(x) = x3 – x2 + ax + b é divisível por 
b(x) = x2 + x – 2. Calcular a e b. 
 
( ) ( ) ( ) ( )xPxrxDxQ =+
( ) ( ) ( ) 27231423 34223 ++−=+++−+−+ xxxedxcxxxxbax
2723423423 34223234 ++−=+++−+−+−+− xxxedxcxbbxbxbxaxaxaxax
33 =a
1=a
3𝑎𝑥4 + (−2𝑎 + 3𝑏)𝑥3 + (4𝑎 − 2𝑏 + 𝑐)𝑥2
+ (−𝑎 + 4𝑏 + 𝑑)𝑥 + (−𝑏 + 𝑒)
= 3𝑥4 − 2𝑥3 + 7𝑥 + 2 
024 =+− cba
00214 =+− c
4−=c
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DIVISÃO POR BINÔMIOS DO 1º GRAU 
Trataremos daqui por diante de divisões em que o dividendo 
é um polinômio P(x), em que gr(P)  1, e o divisor é um poli-
nômio do 1º grau (de grau 1), a princípio de coeficiente do-
minante (do termo de grau 1) igual a 1. 
 
❖ Para começar vamos determinar o seguinte, se o di-
visor é de grau 1, então resto será de grau zero, e 
portanto, independente de x (o resto será um nú-
mero real). 
❖ Vamos estudar: 
 
✓ Teorema do Resto 
✓ Teorema de D’Alembert 
✓ Algoritmo de Briot-Ruffini 
✓ Divisão pelo binômio (ax + b) 
✓ Divisão pelo produto (x – a).(x – b) 
✓ Divisões Sucessivas 
 
TEOREMA DO RESTO 
Na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x 
– a), observamos que o resto, se não for nulo, será sempre 
um número real. Então: 
 
 
 
Observe que Q(x) é o quociente dessa divisão. 
 
Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, te-
mos: 
 
 
 
Verificamos assim que o resto da divisão de P(x) por 
(x - a) é r = P(a). 
 
EXEMPLO 1 
Calcular o resto da divisão de P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 
6 por x + 2. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2 
O resto da divisão de p(x) = x4 – 4x3 – kx – 75 por (x 
– 5) é 10. Calcular o valor de k. 
 
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 5. 
R = p(5) = 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10 
⇒ 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10 (: 5) 
⇒ 53 – 4.52 – k – 15 = 2 
⇒ 125 – 100 – k – 15 = 2 
⇒ 10 – k = 2 = 2 – 10 
k = 8 
 
R = p(5) = 10 
 
TEOREMA DE D’ALEMBERT 
Para que um polinômio P(x) seja divisível por um po-
linômio do tipo (x – a), é preciso que o resto seja 
igual a zero, ou seja, P(a) = 0. 
 
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
2 2 2 2 3 2 6r P= − = − +  − +  − −
( )2 16 16 12 6r P= − = − + −
6r =
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P(x) é divisível por (x – a)  P(a) = 0 
 
EXEMPLO 1 
Determine k para que o polinômio P(x) = kx3 + 2x2 + 4x – 2 
seja divisível por (x + 3). 
 
Se P(x) é divisível por (x + 3), então devemos ter: 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2 
Determinar o valor de m, sabendo-se que o polinômio p(x) 
= 9x2 + mx – m + 3 é divisível por 3x – 1. 
 
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 1/3. Segundo o teorema de 
D’Alembert, devemos ter p(1/3) = 0. 
9.(1/3)2 + m.(1/3) – m + 3 = 0 
⇒ 9.(1/9) + m/3 – m + 3 = 0 
⇒ 1 + m/3 – m + 3 = 0 
⇒ m/3 – m = – 4 (x 3) 
⇒ m – 3m = –12 
– 2m = –12 
m = 6 
 
DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI 
O Dispositivo de Briot-Ruffini nos permite encontrar o quoci-
ente e o r resto de uma divisão de um polinômio P(x) de grau 
n (n≥1) por um binômio x – a, sendo (n – 1) o grau do quoci-
ente. 
 
 
 
Coeficientes do Dividendo 
 
 
 
EXEMPLO 1 
Efetuar a divisão de p(x) = 3x4 – 4x3 – 5x2 + 4x + 9 por x – 2, 
utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. 
 
Os cálculos a serem efetuados tem como ponto de 
partida, a raiz do divisor, no caso, a raiz é 2. 
 
 
 
EXEMPLO 2 
Na divisão de p(x) = x4 + 2x3 – x2 + k por x + 1, o resto 
é 4. Calcular k e o quociente da divisão. 
 
Dividindo p(x) por x + 1, pelo dispositivo de Briot-Ru-
ffini. 
 
 
EXEMPLO 3 
Na equação x3 – 3x2 + x – 3 = 0, uma de suas raízes é 
3. Obter as outras duas raízes. 
Suponhamosp(x) = x3 – 3x2 + x – 3. Se 3 é raiz de p(x), 
p(3) = 0 e p(x) é divisível por x – 3. 
 
 
 
DIVISÃO PELO PRODUTO (X – A).(X – B) 
 
Se um polinômio P(x) é divisível separadamente por 
(x − a) e (x−b), com a ≠ b, então P(x) é divisível por (x 
− a)(x − b). 
 
Consequência: 
Dividindo-se P(x) por (x − a), e depois dividindo-se os 
quocientes que forem sendo obtidos por (x − a), ao 
( )3 0P − =
( ) ( ) ( )
3 2
3 2 3 4 3 2 0k  − +  − +  − − =
4
27
k =
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 fim de r divisões sucessivas, se todos os restos forem nulos, 
P(x) será divisível por (x − a)'. 
 
EXEMPLO 1 
Provar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que p(x) = x3 – 7x + 
6 é divisível por (x + 2).(x – 3). 
 
Primeiro vamos dividir p(x) por x + 2. Depois, o quociente ob-
tido q(x) por x – 3. 
 
 
EXEMPLO 2 
Calcule a e b para que P(x) = x3 + 2x2 + ax - b seja divisível 
por (x -1) e por (x - 2). 
 
Nesse caso devemos ter P(1) = 0 e P(2) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos resolver o sistema obtido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3 
Se um polinômio P(x) dividido por (x - 1) deixa 
resto 2 e dividido por (x - 2) deixa resto 1, qual é o 
resto da divisão de P(x) pelo produto (x - 1).(x - 
2)? 
 
Observe que: 
1) A partir da leitura do enunciado podemos con-
cluir que P(1) = 2 e P(2) = 1. 
2) O resto da divisão de P(x) por (x - 1).(x - 2) é um 
polinômio do tipo R(x) = ax + b, pois se o divisor 
tem grau 2, o resto, no máximo, terá grau 1. 
 
Então: 
 
A partir da informação de que P(1) = 2 e P(2) = 1, 
obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema: 
 
 
Encontramos: 
 
 
 
 
( ) 3 21 1 2 1 1P a b= +  +  +
0 1 2 a b= + + +
3a b+ = −
( ) 3 22 2 2 2 2P a b= +  +  +
0 8 8 2a b= + + +
2 16a b+ = −
3
10
a b
b
+ = −

− = −
( ) ( )( ) ( )1 2P x x x Q x ax b= − −  + +
( ) ( )( ) ( )1 2P x x x Q x ax b= − −  + +
( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 2 1 1P Q a b= − −  +  +
2 a b= +
2a b+ =
( ) ( )( ) ( )2 2 1 2 2 2 2P Q a b= − −  +  +
1 2a b= +
2 1a b+ =
1a = −
3b =
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 Assim: 
 
 
DIVISÕES SUCESSIVAS 
Como P(x) é divisível por (x – 1) e o quociente nesta divisão 
é divisível por (x – 2), concluímos que P(x) é divisível por (x – 
1) · (x – 2). 
 
✓ No caso particular, se b = a, as divisões sucessivas 
permitem verificar se P(x) é divisível por (x – a)2, (x – 
a)3, etc. 
 
EXEMPLO 1 
Calcular a e b para que P(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível 
por (x – 1)2. 
 
 
 
Os restos das duas divisões devem ser nulos. Então, 
 
 
 
EXEMPLO 2 
Para que o polinômio P(x) = x3 - 8x + mx - n seja divisível 
por (x + 1)(x - 2), o produto m.n deve ser igual a: 
 
Se P(x) é divisível por (x + 1)(x - 2), então, P(x) é divisível por 
(x + 1), e também é divisível por (x - 2), e isto significa dizer 
que, 
 
 
 
 
 
 
Obtemos, 
 
 
 
 
 
Agora, podemos responder a proposição inicial do 
problema, 
 
 
EXEMPLO 3 
Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e 
por (x - 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) 
pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b. Obter 
o valor numérico da expressão a + b. 
 
Se P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá 
resto 6, então, 
 
 
 
 
 
Sabemos ainda que o resto da divisão de P(x) pelo 
produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b, então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 3R x x= − +
5m =
2n =
10m n =
( )1 3P − =
( )2 6P =
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1. (Ufrgs 2018) As raízes do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 1 são 
a) {𝑖; −𝑖;  0}. 
b) {1; −1;  0}. 
c) {1; −1;  𝑖; −𝑖}. 
d) {𝑖; −𝑖;  1 + 𝑖;  1 − 𝑖}. 
e) {𝑖; −𝑖; −1 + 𝑖; −1 − 𝑖}. 
 
2. (Ueg 2018) Os restos da divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 −
1
√2
𝑥3 + 2𝑥2 −
1
√2
𝑥 + 1 pelos polinômios 𝑞(𝑥) = 𝑥 − √2 e ℎ(𝑥) =
𝑥 − √8 são 𝑟 e 𝑠, respectivamente. Dessa forma, 𝑟 + 𝑠 é 
a) 0 
b) 10 
c) 127 
d) 137 
e) 161 
 
3. (Upf 2018) Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 − 𝑥2 − (5 +
𝑚)𝑥 + 3. 
 
Sabendo que o resto da divisão de 𝑃 pelo monômio 𝑥 + 2 é 7, de-
termine o valor de 𝑚. 
a) 0 
b) 15 
c) 2 
d) 7 
e) 21 
 
4. (Eear 2017) Considere 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥, tal que 𝑃(1) =
−2 e 𝑃(2) = 6. Assim, os valores de 𝑏 e 𝑐 são, respectivamente, 
a) 1 e 2 
b) 1 e −2 
c) −1 e 3 
d) −1 e −3 
 
5. (Espm 2016) O quociente e o resto da divisão do polinômio 
𝑥2 + 𝑥 − 1 pelo binômio 𝑥 + 3 são, respectivamente: 
a) 𝑥 − 2 e 5 
b) 𝑥 + 2 e 6 
c) 𝑥 − 3 e 2 
d) 𝑥 + 1 e 0 
e) 𝑥 − 1 e −2 
 
6. (Fgv 2016) Um dos fatores do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 −
5𝑥 − 6 é (𝑥 + 3). Outro fator desse polinômio é 
a) (𝑥 + 8) 
b) (𝑥 − 5) 
c) (𝑥 + 4) 
d) (𝑥 − 1) 
e) (𝑥 + 1) 
 
7. (Uece 2016) O resto da divisão de (𝑥2 + 𝑥 + 1)2 por 𝑥2 − 𝑥 +
1 é 
a) 4𝑥. 
b) 4(𝑥 −1). 
c) 4(𝑥−2). 
d) 4(𝑥 −3). 
 
8. (Ueg 2016) Na divisão do polinômio 6𝑥4 − 2𝑥3 −
8𝑥2 + 10𝑥 − 2 pelo divisor 𝑥2 + 3𝑥 − 2, o resto multi-
plicado por 2 é 
a) −222𝑥2 + 252 
b) 444𝑥2 + 252 
c) −444𝑥 + 252 
d) 222𝑥 + 252 
e) −444𝑥2 − 252 
 
9. (Pucrs 2016) O polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥, 
em ℝ é divisível por (𝑥 − 1). Podemos afirmar que 
𝑝(𝑝(1)) é 
a) −1 
b) 0 
c) 1 
d) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
e) −𝑎 + 𝑏 − 𝑐 
 
10. (Espcex (Aman) 2015) O polinômio 𝑓(𝑥) = 𝑥5 −
𝑥3 + 𝑥2 + 1, quando dividido por 𝑞(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2 
deixa resto 𝑟(𝑥). 
Sabendo disso, o valor numérico de 𝑟(−1) é 
a) −10. 
b) −4. 
c) 0. 
d) 4. 
e) 10. 
 
Depoimentos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
As raízes de ( ) 4P x x 1= − são dadas pela equação 
abaixo: 
( )
( ) ( )
4
2
2 2
2 2
2
x 1 0
x 1 0
x 1 x 1 0
x 1 0 x i
− =
− =
+  − =
+ =  = 
 
 
ou 
2x 1 0 x 1− =  =  
 
Assim, as raízes de ( ) 4P x x 1= − formam o conjunto 
 1; 1; i; i .− − 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
De acordo com o Teorema do resto, podemos escrever: 
4 3 21 1
r p( 2) 2 2 2 2 2 2 1
2 2
r 8 2 4 1 1 10
= = − + − +
= − + − + =
 
 
4 3 21 1
s p( 8) 2 8 8 2 8 8 1
2 2
s 128 16 16 2 1 127
= = − + − +
= − + − + =
 
 
 
Portanto, r s 137.+ = 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Como o resto da divisão de P por x 2+ é 7, ( )P 2 7.− = 
Daí, 
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
7 4 2 2 5 m 2 3
7 32 4 10 2m 3
2m 30
m 15
=  − − − − +  − +
= − − + + +
=
=
 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Tem-se que3 22 1 b 1 cP(1 1 22 b c) 4 +  +  = −  +=  = −− 
 
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 e 
 
3 2P(2) 6 2 2 b 2 c 2 6 2b c 5.=   +  +  =  + = − 
 
Portanto, resolvendo o sistema formado por essas equações, en-
contramos b 1= − e c 3.= − 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Desde que 2x x 1 (x 3)(x 2) 5,+ − = + − + segue o resultado. 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
Como um dos fatores de ( )P x é x 3,+ x 3= − é uma raiz de 
( )P x . 
Assim, usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos: 
 
 
 
Dessa forma, 
( ) ( ) ( )2P x x 3 x x 2= +  − − 
 
Calculando as raízes de 2x x 2 0,− − = obtemos 
2x 2= e 3x 1,= − 
 
logo, 
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
x x 2 x 2 x 1
x x 2 x 2 x 1
− − = −  − −
− − = −  +
 
 
Voltando ao polinômio ( )P x , obtemos: 
( ) ( ) ( ) ( )P x x 3 x 2 x 1= +  −  + 
 
Dessa maneira, os fatores de ( )P x são ( )x 3 ,+ ( )x 2− e 
( )x 1 .+ 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Sendo 2 2 4 3 2(x x 1) x 2x 3x 2x 1,+ + = + + + + pelo método da 
chave, encontramos 
 
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
x 2x 3x 2x 1 x x 1
x x x x 3x 5
3x 2x 2x 1
3x 3x 3x
5x x 1
5x 5x 5
4x 4
+ + + + − +
− + − + +
+ + +
− + −
− +
− + −
−
 
 
Portanto, a resposta é 4x 4 4(x 1).− = − 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Efetuando a divisão, temos: 
 
4 3 2 2
4 3 2 2
6x 2x 8x 10x 2 x 3x 2
6x 18x 12x 6x 20x 64
− − + − + −
− − + − +
3 2
3 2
20x 4x 10x
20x 60x 40x
− + +
+ −
2
2
64x 30x 2
64x 192x 128
− −
− − +
222x 126− +
 
 
O dobro do resto será dado por 
2 ( 222x 126) 444x 252. − + = − + 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Se p(x) é divisível por (x 1),− então, p(1) 0.= 
Logo, 
3 2p(p(1)) p(0) a 0 b 0 c 0 0.= =  +  +  = 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
5 4 3 2 3 2
5 4 3 2 2
x 0x x x 0x 1 x 0x 3x 2
x 0x 3x 2x x 2
+ − + + + + − +
− + + − +
3 2
3 2
2x x 0x 1
2x 0x 6x 4
+ − + +
− + + −
2x 6x 3− + −
 
 
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Portanto, 2r(x) x 6x 3=− + − e 
2r( 1) ( 1) 6( 1) 3 10.− =− − + − − = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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