P2 - Estruturas Algebricas

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Estruturas Algébricas - Avaliação II – Individual 
A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante depois de um 
processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do dividendo. Considerando o 
Teorema do Resto, quanto aos possíveis restos da divisão de P(x) = -3x³ + 2x + 1 por Q(x) = x - 5, analise as 
sentenças a seguir: 
 
I- O resto da divisão de P(x) por D(x) é 225. 
II- O resto da divisão de P(x) por D(x) é -364. 
III- O resto da divisão de P(x) por D(x) é 214. 
IV- O resto da divisão de P(x) por D(x) é -312. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
C 
Somente a sentença II está correta. 
 
Albert Girard (1590-1633) foi um matemático belga que estabeleceu relações de soma e produto entre as 
raízes de uma equação do 2º grau. Também criou uma estrutura que relacionava os coeficientes numéricos 
de uma equação de grau 3 com suas raízes. Baseado nisto, considerando as relações de Girard, analise as 
sentenças a seguir quanto à soma e ao produto das raízes da equação 5x³ + 10x² + 20x - 15 = 0: 
 
I) -2 e 3. 
II) 2 e -3. 
III) -2 e -3. 
IV) 2 e 3. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
A 
Somente a opção I está correta. 
 
Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a 
divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os 
expoentes). Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do 
polinômio x^4 - 10x³ + 24x² + 10x - 24 por x² - 6x + 5, analise as opções a seguir que procuram apresentar a 
solução desta equação, e classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) -1 e 5 
( ) -1 e -5 
( ) 1 e -5 
( ) 1 e 5 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
A 
V - F - F - F. 
 
O conhecimento que hoje utilizamos para resolver problemas contendo valores desconhecidos não é 
exclusividade da nossa época. Conta-se que no Egito, desde 1800 a. C. já se utilizava métodos de resolução 
desses problemas. No entanto, nos dias atuais, a prática destas resoluções é muito mais dinâmica do que em 
outras épocas. Portanto, se 2 é raiz da equação x³ + 2x² - 5x + k = 0, então analise as opções a seguir: 
 
I) k = -3. 
II) k = 6. 
III) k = -2. 
IV) k = -6. 
 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor de k: 
 
C 
Somente a opção IV está correta. 
 
O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas operações binárias 
definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste contexto, analise as sentenças a seguir e 
assinale a alternativa que corresponde a P(x) + Q(x), onde: 
 
C 
Somente a opção I está correta. 
 
Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio 
corresponde ao monômio de maior grau. Sendo assim, se dois polinômios P(x) e Q(x) não nulos têm graus m 
e n, respectivamente, então gr(P.Q) será igual a: 
 
D 
m + n. 
 
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um produto de 
polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque. O polinômio P(x) = 2x³ - 6x² + 8x - 
24, possui -2i, 2i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da Decomposição, podemos escrever P(x) como: 
 
B 
2·(x² + 4)·(x - 3). 
 
Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 3. Uma das 
formas de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por meio de divisões de polinômios. Baseado 
nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 
2x - 1. Quanto ao valor do polinômio D(x), analise as opções a seguir: 
 
I) 2x² - 3x + 2 
II) x² - 3x + 2 
III) x² - x + 1 
IV) 3x² - 4x + 1 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
D 
Somente a opção II está correta. 
 
A determinação de todas, ou de algumas raízes de um polinômio é um problema importante, o qual tem sido 
estudado nos últimos quatro séculos. Além disso, podemos recair no uso de aritmética complexa, pois 
mesmo um polinômio com coeficientes reais, por exemplo, z² + 1 , pode ter apenas raízes complexas. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta uma das raízes do polinômio complexo P(x) = - i·x³ + 2·x² - 
2 + i ? 
 
A 
O número inteiro 1. 
 
Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, 
utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e 
divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes). Desta forma, assim como 
com os números reais, podemos dividir dois polinômios quaisquer, encontrando um quociente Q(x) e um 
resto R(x), nulo ou não. Neste contexto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resto da divisão 
de: 
 
P(x) = x³ - 6x² - 5x + 7 
por 
D(x) = x + 2 
 
B 
R(x) = - 15.