Unidade 2 - Múltiplos e Divisores

Prévia do material em texto

Múltiplos e Divisores 
Dados os números naturais 𝑎, 𝑏 e 𝑐, se 𝑎. 𝑏 = 𝑐 dizemos que 𝑐 é múltiplo de 𝑎 e 
múltiplo de 𝑏. 
Dizemos ainda que 𝑎 e 𝑏 são fatores de 𝑐. 
Exemplo: 
 6 = 2.3, então 6 é múltiplo de 2 e múltiplo de 3. Neste caso, 2 e 3 são fatores 
6. 
 
 Divisão Euclidiana 
Considerando 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ∗, dividir 𝑎 por 𝑏 significa encontrar números naturais 
𝑞, 𝑟 ∈ ℕ tais que 𝑎 = 𝑏. 𝑞 + 𝑟 com 𝑟 < 𝑏. 
 
O número 𝑎 é chamado de dividendo, 𝑏 é chamado de divisor, 𝑞 é o quociente 
da divisão e 𝑟 é o resto. 
 
Resto de uma Divisão 
Quando dividimos, um número a por um número natural b sabemos que o 
restos possíveis são menores ou iguais a b – 1. 
Exemplos: 
Dividindo um numero natural por 7, os possíveis restos para essa divisão são: 
0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 
Dividindo um numero natural por 11, os possíveis restos para essa divisão são: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 ou 10. 
 
 
Dado um número inteiro 𝑛 ∈ ℤ qualquer, temos duas possibilidades: 
I. o resto da divisão de n por 2 é 0, isto é, existe 𝑞 ∈ ℤ tal que n = 2q; ou 
II. o resto da divisão de n por 2 é 1, ou seja, existe 𝑞 ∈ ℤ tal que n = 2q +1. 
Portanto, os números inteiros se dividem em duas classes, a dos 
números da forma 2q para algum 𝑞 ∈ ℤ, chamados de números pares, e a dos 
números da forma 2q + 1, chamados de números ímpares. 
 
 
Problemas resolvidos 
Exemplo 1 
Qual o menor número que se deve somar a 4312 para que resulte um número 
divisível por 3? 
 
Exemplo 2 
Determine o menor número que se deve somar a 8746 para se obter um 
múltiplo de 11 aumentado de 4 unidades. 
 
Exemplo 3 
Dividindo um número natural 𝑎 por outro número natural b, encontramos 
quociente 4 e resto 5. Dividindo 𝑎 + 4 por 𝑏 − 1, obtemos quociente 5 e resto 6. 
Determine o valor de 𝑎 + 𝑏. 
Resolução 
De acordo com o teorema da divisão euclidiana, temos: 
𝑎 = 4𝑏 + 5 (I) 
𝑎 + 4 = 5(𝑏 − 1) + 6 (II) 
 
Substituindo (I) em (II): 
4𝑏 + 5 + 4 = 5𝑏 − 5 + 6 ⇒ 4𝑏 + 9 = 5𝑏 + 1 ⇒ 𝑏 = 8 
 
Substituindo em (I), temos: 
𝑎 = 4.8 + 5 ⇒ 𝑎 = 37 
 
Logo: 𝑎 + 𝑏 = 37 + 8 = 45 
 
 
Exemplo 4: 
 
Qual o maior número natural 𝑛 que dividido por 11 deixa quociente igual ao 
resto? 
 
Resolução 
De acordo com o teorema da divisão euclidiana, temos: 
𝑛 = 11𝑞 + 𝑟, mas como 𝑞 = 𝑟 ⇒ 𝑛 = 11𝑟 + 𝑟 ⇒ 𝑛 = 12𝑟 
 
Os possíveis restos da divisão por 11 são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. Mas, 
como procuramos o maior valor de 𝑛, então, 𝑟 = 10, logo: 
𝑛 = 12.10 = 120 
De fato, dividindo 120 por 11, encontramos quociente 10 e resto 10. 
 
 Critérios de Divisibilidade 
Um número natural 𝑎 é divisível por outro número natural 𝑏, se o resto dessa 
divisão for igual a zero. 
●Divisibilidade por 2 
Um número natural é divisível por 2 se for par, ou seja se terminar em 0,2,4,6 e 
8. 
Exemplos: 236; 5798, 1500. 
●Divisibilidade por 3 
Um número natural é divisível por 3 se a soma de seus algarismos também é 
divisível por 3. 
Exemplo: 
21576 é divisível por 3. Observe que: 
2 + 1 + 5 + 7 + 6 = 21 é divisível por 3 
●Divisibilidade por 4 
Um número natural é divisível por 4 se o número formado pelos dois últimos 
algarismos for divisível por 4 ou se o mesmo terminar em dois zeros(00). 
57324 é divisível por 4 pois 24 também é divisível por 4. 
76900 também é divisível por 4 pois termina em 00. 
●Divisibilidade por 5 
Um número natural é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5. 
Exemplos: 245; 7600. 
●Divisibilidade por 6 
Um número natural é divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3 
simultaneamente. 
Exemplo: 84; 21576. 
●Divisibilidade por 8 
Um número natural é divisível por 8 se o número formado pelos três últimos 
algarismos for divisível por 8 ou se o mesmo terminar em três zeros(000). 
Exemplo: 35144, 76000. 
●Divisibilidade por 9 
Um número natural é divisível por 9 se a soma de seus algarismos também é 
divisível por 9. 
28674 é divisível por 9. Observe que: 
2 + 8 + 6 + 7 + 4 = 27 é divisível por 9. 
●Divisibilidade por 10 
Um número natural é divisível por 10 se terminar em 0. 
Exemplos: 640, 7800. 
 
Problemas resolvidos 
Exemplo 1: 
Determine o algarismo 𝑥 tal que o número 934𝑥1𝑥 seja divisível por 2 e por 3. 
 
Exemplo 2: 
Qual o número de dois algarismos que divididos por 25 tem resto 2 e que 
dividido por 9 tem resto 5? 
 
 Representação dos Números Naturais 
 
O método que conhecemos para escrever os números é chamado de sistema 
decimal de numeração 
As características do sistema decimal de numeração permitem a representação 
de infinitos números. 
O sistema de numeração indo-arábico é composto por dez algarismos que 
ordenados de diferentes maneiras, formam números de qualquer classe e 
ordem. Esses algarismos são: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
É um sistema posicional, isto significa que a posição que ocupada por um 
algarismo em um número altera o seu valor. Por exemplo: o valor posicional do 
algarismo 3 nos números 35 e 53 é diferente. Enquanto no número 35 
representa 30 (três dezenas); no número 53, representa, 3 unidades. 
Os sistemas de numeração tem seu nome derivado da sua base, ou seja, 
sistema binário tem base dois, o sistema septimal tem base sete e o decimal 
tem base dez. 
O princípio fundamental do sistema decimal é que dez unidades de uma ordem 
qualquer formam uma de ordem imediatamente superior. Depois das ordens, 
as unidades constitutivas dos números são agrupadas em classes, em que 
cada classe tem três ordens, em que cada ordem tem uma denominação 
especial, sendo idênticas às mesmas ordens de outras classes. 
 
 
 
Assim como as demais regularidades do sistema de numeração decimal as 
operações aditivas e multiplicativas subjacentes à notação numérica também 
estão implícitas na composição e decomposição do número. 
O sistema de numeração decimal é aditivo e multiplicativo. 
O princípio aditivo é percebido à medida que pronunciamos os números de 
forma decomposta. Exemplo: a pronúncia do número 254 é duzentos e 
cinquenta e quatro, ou seja, 200 + 50 + 4. Assim, falamos os nomes dos 
números aditivamente e representamos posicionalmente. 
 
Quando escrevemos o número 374, sabemos que o algarismo 3 representa 
300 unidades, 30 dezenas ou 3 x 102 unidades, o algarismo 7 representa 
70 unidades, 7 dezenas ou 7 x 101 unidades e o 4 representa 4 unidades 
ou 4 x 100 unidades. 
Assim, podemos escrever : 
 
374 = 3 x 102 + 7 x 101 + 4x100 
 
Generalizando, temos: 
 
𝑎𝑛. 10
𝑛 + 𝑎𝑛−1. 10
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2. 10
2 + 𝑎1. 10 + 𝑎0 
 
Problemas resolvidos 
Exemplo 1 
Um número de dois algarismos é tal que o algarismo das unidades excede de 2 
o algarismo das dezenas. Se invertermos os algarismos e somarmos o número 
obtido ao primeiro número, obtemos resultado igual a 110. Determine o número 
inicial. 
 
Exemplo 2 
Mostre que todo número inteiro de três algarismos iguais é divisível por 37.