Resist_Materiais_zzTorção

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Solicitações simples: Torção
Profª. Mscª. Priscila Moreira da Silva Lemos
priscilamoreira_12@hotmail.com
Resistência dos Materiais
Introdução
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Estudaremos peças submetidas a efeito de TORÇÃO, e nos 
limitaremos ao estudo de secções transversais circulares – maciças e 
vazadas – sujeitas à ação de conjugados que tendem a torcer essas 
peças. Analisaremos as tensões e deformações que surgem nas peças 
sujeitas ao MOMENTO TORSOR – ou também chamado TORQUE
Introdução
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Peças submetidas à torção são encontradas em muitas aplicações da 
prática de engenharia. O caso mais comum de aplicação é o de eixos de 
transmissão, como no caso de transmissão de potência do motor de um 
carro ao eixo traseiro. Na construção civil, destaca-se a presença de 
torção em grelha (sistema de vigas, perpendiculares ou não entre si, que 
se interceptam, estando interligadas nos pontos de interseção, submetida 
a carregamentos perpendiculares ao seu plano). 
Tensões em um eixo
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Quando um par de forças é aplicado no plano transversal do eixo de 
uma peça, tendendo a giro, a peça está submetida à torção simples.
Peças submetidas ao Momento Torsor, a exemplo das peças 
submetidas às forças cortantes, também desenvolvem tensões de 
cisalhamento ( ). 𝛕
Tensões em um eixo
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 Sabemos que o momento torçor produz tensões de cisalhamento nas faces 
perpendiculares ao eixo da barra circular. A existência dessas tensões pode 
ser demonstrada ao analisarmos “uma barra” constituída de lâminas finas, 
ligadas às extremidades da barra por pinos presos a discos. Podemos fazer 
várias marcas em duas lâminas contíguas, e aplicar momentos torsores de 
mesma intensidade e sentidos contrários nas extremidades da peça. 
Tensões em um eixo
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 Quando isso é feito, observa-se nitidamente que uma lâmina 
escorrega em relação a outra. Nos materiais coesivos, esse 
deslizamento não ocorre realmente, mas a tendência ao 
deslizamento vai existir, provando a existência de tensões de 
cisalhamento em planos longitudinais simultaneamente. 
Deformações em uma barra de seção circular
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Um eixo circular está fixado a um suporte que não se desloca, 
por uma de suas pontas. Aplicando-se à extremidade livre o 
momento torsor T, o eixo gira, e a secção transversal da 
extremidade apresenta uma rotação representada pelo ângulo 
Φ, chamado ângulo de torção. 
Deformações em uma barra de seção circular
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A experiência mostra que para certa faixa de variação do valor de T, o 
ângulo de torção é proporcional à T. Mostra também que Φ é 
proporcional ao comprimento L do eixo. Isto quer dizer que para um eixo 
de mesma secção e mesmo material, mas com o dobro do comprimento, 
o ângulo de torção será duas vezes maior, para o mesmo momento T. 
Deformações em uma barra de seção circular
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Quando uma barra circular (cheia ou vazada) é submetida à 
torção, toda seção transversal plana permanece plana e 
indeformada. Ou seja, embora as várias seções transversais 
ao longo da barra sofram rotações de diferentes valores, cada 
seção transversal gira como um disco rígido.
Deformações em uma barra de seção circular
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O fato das seções transversais de um eixo circular 
permanecerem planas e indeformadas ocorre porque a barrao 
circular é axissimétrica, isto é, sua aparência se mantém a 
mesma quando o eixo é observado de algum ponto fixo e é 
rodado de um certo ângulo arbitrário. 
Deformações em uma barra de seção circular
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Distribuição de deformações de cisalhamento em uma barra 
circular de comprimento L e raio c que foi torcida através de 
um ângulo: 
γ = ρ φ
L
γ = ρ
c
γ máx
γ =deformação por cisalhamento (rad)
φ=ângulo detorção (rad )
ρ=raiodo cilindro interno
L=comprimento docilindro
Conclusão: deformação de cisalhamento em uma barra circular 
varia linearmente com a distância do eixo da barra
c=raio docilindro externo
Fórmula da Torção
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Considerando o regime elástico e a Lei de Hooke aplicada:
τ =Gγ
τ =ρ
c
τ máx
τ mín=
c1
c2
τ máx
σ =E ε →
G=módulo de elasticidade transversal
γ = ρ
c
γ máx →
Conclusão: tensão de cisalhamento na barra circular variará 
linearmente com a distância r do eixo da barra
Seção circular cheia
Seção circular vazada
c1=raio interno
c2=raio externo
Fórmula da Torção
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Considerando o regime elástico e a Lei de Hooke aplicada:
τ máx=
Tc
J
τ =T ρ
J
Tensão de cisalhamento a qualquer 
distância ρ do eixo da barra circular
Seção circular cheia
Seção circular vazada
Tensão de cisalhamento máxima do 
eixo da barra circular
T=momento torsor
J=momento polar de inércia
Fórmula da Torção
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 momento polar de inércia
Seção circular cheia Seção circular vazada
J=π c
4
2 J=
π (c2
4−c1
4)
2
Fórmula da Torção
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Exemplo 1: Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de 
comprimento e diâmetros interno e externo, respectivamente, iguais a 40 
mm e 60 mm. (a) Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra 
circular se a tensão de cisalhamento não deve exceder 120 MPa? (b) Qual 
é o valor mínimo correspondente da tensão de cisalhamento na barra 
circular?
Fórmula da Torção
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Exemplo 1: 
(a) Maior torque permitido
τ máx=120MPa
τ máx=
Tc
J
T=
τ máx J
c
Momento Polar de Inércia
J=1
2
ϕ (c2
4−c1
4)=1
2
ϕ (0 ,034−0 ,024)=1 ,021 x10−6m4
T=
τ máx J
c
=
(120 x106 Pa)(1 ,021 x10−6m4)
0 ,03m
T=4 ,08 kN .m
Fórmula da Torção
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Exemplo 1: 
(b) Tensão de cisalhamento mínima
τ mín=
c1
c2
τ máx τ mín=
0 ,02m
0 ,03m
120MPa
τ mín=80MPa
Fórmula da Torção
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Exemplo 2: O eixo de seção circular BC é vazado com diâmetros interno e 
externo de 90 mm e 120 mm, respectivamente. Os eixos de seção circular 
AB e CD são cheios e têm diâmetro d. Para o carregamento mostrado na 
figura, determine (a) as tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo 
BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão de 
cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 MPa.
Fórmula da Torção
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Exemplo 2: 
Equações de Equilíbrio
∑ M x=0
(6 kN .m)−T AB=0
T AB=6 kN .m
∑ M x=0
(6 kN .m)+(14 kN .m)−T BC=0
T BC=20 kN .m
Fórmula da Torção
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Exemplo 2: 
(a) Eixo BC
J=
π (c2
4−c1
4)
2
Propriedade Geométricas
J=
π [(0 ,060m)4−(0 ,045m)4]
2
J=13 ,92 x10−6m4
Tensão cisalhante máxima
τ máx=
Tc
J
=
T BC c2
J
τ máx=
(20 kN .m)(0 ,060m)
(13 ,92 x10−6m4)
=86 ,2MPa
Tensão cisalhante mínima
τ mín=
c1
c2
τ máx=
(0 ,045m)
(0 ,060m)
(86 ,2MPa)→τ mín=64 ,7MPa
Fórmula da Torção
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Exemplo 2: 
(a) Eixo AB e CD
Diâmetro
τ =Tc
J
T=6 kN .m
τ adm=65MPa
65MPa=
(6 kN .m)c
π c4
2
c3=58 ,8 x10−6m3
c=38 ,9 x10−3m
d=2c=2 x (38 ,9 x10−3m)
d=77 ,8mm
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