Estruturas anéis e corpos

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Estruturas algébricas – Um breve conceito.
Um manuscrito árabe de cerca de 800 a.C deu origem a palavra Álgebra. Nesse manuscrito eram estabelecidas leis para a resolução de equações que, até a segunda metade do século XIX, a Álgebra era vista apenas como uma teoria de equações. Atualmente, tida como uma das áreas da Matemática, a Álgebra lida com conjuntos munidos de operações e relações formais chamados de estruturas algébricas.
Atualmente, a álgebra é mais do que isto, trata-se da área da Matemática que lida com conjuntos munidos de operações e relações formais chamados de estruturas algébricas. É uma coleção de modelos abstratos provindos até mesmo de outras áreas da Matemática e ciências afins.
Os objetos da Álgebra são classificados de acordo com os tipos de operações que neles podem ser efetuadas e pelas propriedades das quais gozam tais operações. Grupos, aneis, ideais, espaços vetoriais, módulos e corpos são exemplos de um conjunto que pode ser estruturado algebricamente.
Antes de iniciarmos nossos estudos sobre a estrutura algébrica, cabe algumas observações sobre lógica elementar.
 leia-se :
 $\forall$∀ “ para todo”ou “qualquer que seja”.
 $\exists$∃ leia-se “existe (pelo menos) um”.
Estrutura algébrica
É todo par composto por um conjunto não vazio e uma operação interna em A
<A, *> G $\ne$≠ 0
Qualquer * (asterisco) representa uma operação interna em A

Figura: estrutura algébrica
Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/1745863/
 
Propriedades
Comutativa: uma operação * sobre A é comutativa quando quaisquer elementos: x*y = y *x para todo x, y $\in$∈ A.
Associativa: Uma operação * sobre A é associativa quando quaisquer elementos x,e vale: (x*y)*z = x* (y*z)
Neutro: a admissão de um elemento neutro existe quando um elemento e (único) para o qual vale a seguinte igualdade:
X*e = e *x = x, para todo x ϵ G
Elemento inverso: Se uma operação ∗ sobre A possuir elemento neutro e, então um elemento x ∈ A é denominado simetrizado quando existir x--1 ∈ A tal que
x ∗x--1 = x--1 ∗ x = e
 
Grupo
O mais comum para se escrever a composição interna de um grupo é a notação multiplicativa “.” Ou aditiva “+”.
Para grupos de aplicações bijetoras (permutações) usa-se às vezes o círculo da composição “◦”. A notação aditiva usa-se preferencialmente no caso de grupos comutativos.
O elemento é usualmente escrito como ‘1”em notação multiplicativa, como “0” em notação aditiva. O inverso â de um a é denotado por a-1 em notação multiplicativa, por –a em notação aditiva.
Definição
Um grupo é um conjunto G $\ne$≠ 0 no qual está definida uma operação * que satisfaz às seguintes propriedades:
É associativa: para todo x,y e z $\in$∈​ G vale x*(y*z) = (x*y)*z.
Elemento neutro: existe um (único) elemento g E G, denominado elemento neutro, tal que g*e=e*g= g=g, para todo h $\in$∈ G.
Existência do inverso: para cada g E G existe um (único) elemento h $\in$∈​ G tal que g.h=h.g=e . Esse elemento e denominado a inversa de g e denotado por g -1.
Além disso, se * for comutativa, então o grupo G é denominado comutativo ou abeliano.
 
* Em geral, para simplificar notação escrevemos apenas G ao invés de (G,+,.)
Subgrupos
Seja (G*) um grupo. Um subconjunto não vazio H $\subset$⊂ G que seja fechado com relação à operação * é denominado um subgrupo de G quando (H,*) também for um grupo.
H $\ne$≠ 0
x, y $\in$∈​ H para todos os x,y $\in$∈​ H
 
Exemplo
 
a)Sempre existem os subgrupos triviais {1} e G em cada grupo G.
b) $ℤ$ℤ ≤ ( IR; + )
c) Para todo n ∈ IN 0 , o conjunto Un = {n,k | k ∈ $ℤ$ℤ } dos múltiplos de n, é um subgrupo de ( $ℤ$ℤ ; +)
Resumo: conhecemos nesse encontro um breve histórico e conceito sobre a estrutura algébrica e a definição de Grupo
 
Quer aprofundar sobre o assunto?
 
Artigos
Estruturas Algébricas. Uma introdução Breve.
Nesse material o Prof. Carlos R. Paiva explica com detalhes as estruturas algébricas: anel e corpo. 
http://ganuff.weebly.com/uploads/1/9/2/5/19255685/estruturas_algbricas_uma_introduo_breve.pdf
Grupos
Aprofunde seus conhecimentos sobre Grupos
http://pt.slideshare.net/FilipeRibeiro/grupos-algebra-1
Referências
GERSTING, Judith L. . Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Quinta Edição. LTC, 2004
BARATA, João C. A.. Curso de Física Matemática. Livro on-line. Disponível em: <http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Notas_de_aula/notas_de_aula.htmli> Acesso em: 20 dez. 2015.