Truques de Matemática Básica

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TRUQUES DE MATEMÁTICA Prof. Tiago Giovanelli 
 
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Bem vindo ao curso truques de matemática básica! 
Nesse curso faremos a abordagem dos principais 
“macetes” de cálculo rápido e cálculo mental. 
 
Não fique assustado com as abordagens básicas 
iniciais, aqui o objetivo é mostrar que até as coisas 
mais elementares fazem sentido mais adiante. 
 
Estude esse material desde o começo sem pular nem 
uma das etapas – por mais que algumas partes pareçam 
elementares demais – dessa forma será mais proveitoso 
o conteúdo abordado. 
 
Faça o máximo de exercícios que puder, e do mais 
certamente estará preparado para as mais diversas 
situações matemáticas! 
 
Bons estudos! 
____________________________________________ 
 
Para trabalharmos com as poderosas ferramentas de 
cálculo mental, primeiro é necessário rever os mais 
simples conceitos de matemática: a aritmética. 
Vejamos algumas principais ideias. 
 
Operações elementares: 
 
1ª) ADIÇÃO: 
 
Exemplo 01: 
 
 
 
Obs.: Na adição chamamos os elementos a serem 
adicionados de parcelas e o resultado final de soma. 
 
Algumas propriedades da adição merecem atenção 
especial, são elas: 
 
Comutatividade: 
 
 
Exemplo 02: 
 
 
 
 
ANOTAÇÃO: 
A ordem das parcelas não altera a soma. 
 
Associatividade: 
 ( ) ( ) 
 
É importante lembrar que para matemática o sinal de 
“parênteses” indica ordem! Assim quando colocamos 
os parênteses entre “b” e “c” o que queremos dizer 
realmente é que é por ali que devemos começar a 
operação. 
 
Exemplo 03: 
 ( ) ( ) 
 
 
Não julgue essas propriedades como “bobas”, o fato de 
subestimarmos as regras matemáticas pode nos levar a 
não aprender alguns pequenos truques. 
 
Truque nº 01 (somando de dez em dez): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, podemos rearranjar a ordem das parcelas de 
forma que fique mais fácil encontrar a soma. 
 
Na hora de somar números com sinais devemos tomar 
alguns cuidados: 
 
Para adicionar números de mesmo sinal, devemos 
realizar a soma normalmente e repetir o sinal dos 
números. 
 
Exemplo 04: 
( ) ( ) ( ) 
 
 
Para adicionar números de sinal oposto devemos 
SEMPRE subtrair os VALORES e repetir o sinal do 
número de maior valor: 
 
Exemplo 05: 
 
 
 
(*) já vamos relembrar a subtração no próximo tópico. 
 
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2ª) SUBTRAÇÃO: 
 
Exemplo 06: 
 
 
 
No caso da subtração, chamamos o primeiro elemento 
de minuendo e o segundo de subtraendo, o resultado 
final é chamado de diferença. 
 
Observe que na subtração não vale a propriedade 
comutativa, afinal: 
 
 
A subtração nos fornece uma definição importante, a 
de números opostos. 
 
Dizemos que o número “x” possui como número 
oposto o número “- x”, tal que: 
 
 ( ) 
 
Exemplo 07: 
Oposto de “5” é “- 5”, afinal: 
 ( ) 
 
 
É muito importante nesse momento que percebamos 
que: 
 ( ) 
Isso vai descomplicar muitas coisas de cálculo no 
futuro! 
 
Truque nº 02: (Subtraindo fácil) 
Pensar no número 26 é pensar na soma 20 + 6. Assim 
vamos subtrair: 
 ( ) ( ) 
 
 
3ª) MULTIPLICAÇÃO: 
 
Exemplo 08: 
 
 
 
Na multiplicação, os elementos a serem multiplicados 
são chamados de fatores e o resultado será chamado de 
produto. 
 
É importante lembrar que podemos representar a 
multiplicação dos elementos “x” e “y” de três formas 
distintas: 
 
 
 
 
Exemplo 09: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
A multiplicação merece atenção a duas propriedades: 
 
Comutatividade: 
 
 
Exemplo 10: 
 
 
 
Essa propriedade nos da garantia matemática de que 
não importa a ordem dos fatores, o produto será 
sempre o mesmo. 
 
ANOTAÇÃO: 
Dizemos que a ordem dos fatores não altera o produto. 
 
Distributividade 
 ( ) 
 
Exemplo 11: 
 ( ) 
 
 
Por conta dessas propriedades podemos trabalhar com 
um “truque” de cálculo rápido. 
 
Truque nº 03: (multiplicação de números próximos de 
múltiplos de dez) 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Para multiplicar números com sinais, temos algumas 
regras: 
 
( ) ( ) 
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( ) ( ) 
( ) ( ) 
 
 
Exemplo 12: 
 ( ) 
 
( )( ) 
 
 
 
4ª) DIVISÃO: 
 
Exemplo 13: 
 
 
 
O termo a ser dividido nessa operação é chamado de 
dividendo, a quem se deve dividir é chamado de 
divisor o resultado da divisão é chamado de quociente 
e o que sobra da operação recebe o nome de resto. 
 
Podemos simbolizar a divisão de outras formas: 
 
 
 
 
 
 
Será de grande ajuda para o futuro que percebamos 
que a divisão pode ser entendida como um caso 
particular da multiplicação, afinal: 
 
 
 (
 
 
) 
 
Exemplo 14: 
 (
 
 
) 
 
 
Isso pode nos proporcionar alguns “truques”: 
 
Truque nº 04: (dividir multiplicando e vice-versa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) (
 
 
) 
 
Truque nº 05: (Multiplicar por cinco) 
Observe que 5 = 10/2, logo: 
(Para multiplicar qualquer número por “5”, você só 
precisa acrescentar um zero e dividir o resultado por 
“2”): 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Para dividir um número por “5”, você só precisa 
multiplicar por “2” e deslocar a virgula uma vez para 
esquerda): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHANDO COM FRAÇÕES DECIMAIS. 
 
Um dos grandes temores dos não-amantes da 
matemática é trabalhar com as frações, mas essas 
pessoas só demonstram esse medo porque realmente 
não conhecem “o poder das frações”. 
 
Fração é um número escrito na forma: 
 
 
 
Com sendo um número inteiro e sendo um 
número também inteiro, porém diferente de zero. 
 
Exemplo 15: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algumas frações são chamadas de redutíveis, pois 
podem ser simplificadas a uma fração irredutível. 
 
Exemplo 16: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma das mais temidas operações com frações é a 
adição. Muita gente acha que sempre será necessário 
usar o M.M.C. (mínimo múltiplo comum). 
 
Truque nº 06: (fração sem M.M.C.) 
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Para adição e subtração de frações multiplicamos os 
denominadores e depois multiplicamos os 
numeradores cruzado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Frações podem ser convertidas para números decimais, 
basta para isso realizar a divisão do numerador pelo 
denominador 
 
Exemplo 17: 
 
 
 
 
Então para qualquer operação com decimal, podemos 
transformar o número em fração, ou vice-versa, com 
intuito de deixar o cálculo mais “fácil”. 
 
Truque nº 07: (melhorando o truque nº 03) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A multiplicação de fração é uma tarefa simples, basta 
multiplicar numerador com numerador e denominador 
com denominador. 
 
Exemplo 18: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A divisão de fração requer um algoritmo mais 
sofisticado. Devemos repetir a primeira fração e 
multiplicar pela segunda fração invertida. 
 
Exemplo 19: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando as operações de divisão e multiplicação de 
frações, e sabendo que divisão e multiplicação são 
operações inversas, podemos trabalhar com outro 
“truque”. 
 
Truque nº 08: (divisão por decimais)Alguns números decimais são dizimas periódicas, e é 
claro que você já deve ter percebido que dizimas 
periódicas não são nada fáceis de trabalhar. Por isso 
que deixamos os resultados que poderiam ser dizimas 
em forma de fração, afinal toda dizima periódica pode 
ser escrita em forma de fração, chamada de fração 
geratriz. 
 
Exemplo 20: 
 
 
 
 
 
 
 
Truque nº 09: (reconhecendo dizimas periódicas) 
Uma dizima periódica é sempre escrita em forma de 
fração irredutível, cujo denominador é um NÃO 
múltiplo de “2” ou de “5”. 
 
 
 
 
 
 
 
Truque nº 10: (transformando de dizima simples para 
fração geratriz) 
Identifique o número que se repete na dizima, em 
seguida escreva-o como se fosse o numerador da 
fração. No denominador, colocamos o digito “9” tantas 
vezes quantas forem os dígitos que se repetem na 
dizima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Truque nº 11: (transformando de dizima composta para 
fração geratriz) 
Pegamos o anteperíodo com o período para formar um 
número, subtraímos do anteperiodo e usamos esse 
resultado como numerador, e o denominador é 
formado por tantos “9” quantos forem os dígitos do 
período acompanhados de zero quantos forem os 
dígitos do anteperiodo. 
 
 
 
 
 
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RAIZ QUADRADA 
 
Outra operação importante é a radiciação, vamos 
abordar a mais simples de todas as raízes, a raiz 
quadrada. 
 
Exemplo 21: 
√ 
 
Alguns números possuem raiz exata (raiz em forma de 
numero inteiro), outros números não. 
 
Exemplo 22: 
√ 
 
Truque nº 12: (raiz quadrada de números com raiz 
exata) 
Método usado para identificar se o número possui raiz 
exata e qual o valor dessa raiz, caso exista. 
Subtraímos o numero da sequencia de números 
impares, contamos o número de subtrações realizadas. 
√ 
 
 
 
 
 
 
O zero como resto indica que o número possui raiz 
exata. Nesse caso a raiz é “6” (numero de subtrações 
realizadas). 
 
√ 
√ 
 
 
Abaixa a classe “76” compondo agora o número 
“176”. Continuamos a realizar as subtrações agora pelo 
número “41” (4 = 3 + 1 e “1” na casa das unidades) 
 
 
 
 
Juntando os dois resultados, concluímos que: 
√ 
 
Truque nº 13: (raiz quadrada aproximada de qualquer 
número) 
Para encontrar a raiz quadrada aproximada de um 
número “X”, devemos conhecer um número “Y” 
menor que “X” que possua raiz, e aplicar na formula: 
 
 √ 
 
√ 
√ √ 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
√ √ 
√ 
 
 
 
 
 
POTENCIAÇÃO 
 
Elevar um número a um expoente é fazer 
multiplicações sucessivas desse numero por ele mesmo 
tantas vezes quantas forem o valor do expoente: 
 
Exemplo 23: 
 
 
Um problema que sempre surge é o de elevar um 
número de dois dígitos ao quadrado. 
 
Truque nº 14 (Elevar número de dois dígitos ao 
quadrado) 
Separamos o número em dois grupos (unidade e 
dezena) elevamos cada parte ao quadrado 
isoladamente. No meio dos dois colocamos a 
multiplicação desses dois números por 2. 
( ) 
( | ) 
( | ) 
 
 
 
O importante é observar que nosso sistema de 
numeração é chamado de sistema de numeração 
decimal, ou seja, TODO e qualquer número pode ser 
reescrito como múltiplo de uma potencia na base dez. 
 
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Exemplo 24: 
 
 
Com essa simples informação, podemos realizar mais 
alguns truques: 
 
Truque nº 15: (subtrair somando): 
Para realizar esse truque vamos ter que utilizar um 
“pivô”, um número de apoio. Esse numero deve ser um 
valor múltiplo de dez que esteja entre os dois números 
que se deseja subtrair. 
 
 
Vamos usar o pivô 30, por exemplo: 
Quanto de 30 o valor 47 excedeu? 17; 
Quanto de 30 o valor 22 está em falta? 8. 
Então para fazer 47 - 22, basta fazer a soma de 17 com 
18 
 
 
Truque nº 16: (Multiplicar número terminado em zero) 
Para multiplicar qualquer valor por um número 
terminado em zero, basta multiplicar o número sem o 
zero e acrescentar quantos zeros forem necessário ao 
resultado. 
 
 
Truque nº 17: (Dividir por número terminado em zero) 
Basta dividir o número normalmente e deslocar a 
virgula do resultado para a direita. 
 
 
 
 
Truque nº 18: (transformando números em potencias 
de dez) 
Faz-se uma simplificação invertida em divisões para 
concluir os cálculos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Truque nº 19: (multiplicar por 11) 
Para multiplicar qualquer número de dois dígitos por 
11, colocamos os dois dígitos do numero a ser 
multiplicado no lugar do resultado e colocamos um 
espaço entre eles. Nesse espaço colocamos a soma dos 
dois dígitos. 
 
 
Truque nº 20: (Multiplicar qualquer número por 15) 
Pegue o numero a ser multiplicado e some com sua 
metade e depois multiplique por 10. 
 
 
Espero que esses truques ajude você, não importa seu 
nível de escolaridade nem seu objetivo. Pratique o 
máximo que puder, que certamente você terá êxito em 
algumas semanas. 
 
Sucesso! 
 
ANOTAÇÕES: 
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