Dimensionamento Otimizado de Pórticos em Estruturas de Aço via Algoritmos Genéticos

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Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT   
 
 
Recebido: 23/03/2018 
Aprovado: 09/08/2019 
Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 101‐121 ‐ ISSN 2238‐9377 
 
Dimensionamento otimizado de pórticos em 
estruturas de aço via algoritmos genéticos 
 
João Alfredo de Lazzari1*, Élcio Cassimiro Alves2, Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani3 
 
123Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, 
Av. Fernando Ferrari, 514, Goiabeiras, CEP 29075‐910, Vitória – ES, 
1joaoadelazzari@outlook.com.br 
2elcio.calves1@gmail.com 
3afcalenzani@gmail.com 
 
Optimum structural design of spatial steel frames by genetic algorithm 
Resumo 
O  presente  trabalho  tem  o  objetivo  de  apresentar  a  formulação  e  aplicação  do 
dimensionamento  ótimo  para  pórticos  espaciais  em  estruturas  de  aço  com  perfis  I  e  H 
laminados  e  soldados. O  software  desenvolvido  na  plataforma do GUIDE  do MATLAB  utiliza 
uma metodologia  determinística  para  soluções  com  variável  contínua  e  outra  probabilística 
para  soluções  com  variável  discreta.  Toda  a  rotina  de  dimensionamento  será  baseada  na 
norma  Brasileira  ABNT  NBR  8800:2008  e  as  técnicas  de  otimização  utilizadas  são  a 
Programação  Quadrática  Sequencial  e  o  Algoritmo  Genético  para  efeito  de  comparação  da 
eficiênciado método. Para a validação do software desenvolvido será proposto à comparação 
com resutlados na  literatura e soluções sugeridas pelo programa CYPE 3D. Os resultados são 
apresentados em formas de tabelas, gráficos e  figuras do software desenvolvido e concluído 
com comentários sobre os resultados. 
Palavras‐chave:  Dimensionamento  Ótimo,  Estruturas  de  Aço,  Pórtico  Tridimensional, 
Softwares, Análise Estrutural. 
 
Abstract 
The present paper has the objective to present the formulation and application of an optimal 
design for tridimensional steel frames with I and H sections of hot‐rolled and welded steel. The 
software  was  developed  on  the  GUIDE  platform  from  MATLAB,  and  uses  deterministic 
optimization  methodology  for  solution  with  continuous  variable,  and  a  probabilistic 
optimization methodology for solution with discrete variable. All the routine for the design was 
based on the Brazilian standard, ABNT NBR 8800:2008, and the optimization technics used are 
the  Sequential  Quadratic  Programming  and  Genetic  Algorithm.  For  the  validation  of  the 
developed  software,  comparisons  are  done  with  examples  found  on  the  literature  and 
solutions suggested by the CYPE 3D commercial software. The results will be present on tables, 
graphs  and  print  screens  of  the  developed  software.  To  conclude,  it  will  be  provided 
commentaries about the results. 
Keywords: Optimal Design, Steel Structures, Tridimensional Steel Frames, Software, Structural 
Analysis. 
 
* Autor correspondente 
 
 
 
102 
 
1 Introdução 
Como o avanço nos  softwares de  cálculo estrutural,  cada vez mais  se  faz necessário 
obter  projetos  confiáveis  e  com  o  menor  custo  possível.  Para  isso,  técnicas  de 
otimização podem ser aplicadas como podem ser destacados nos trabalhos de Novelli 
et  al.  (2015),  Lubke  et  al.  (2017), Unde  (2016),  Akbari  et  al.  (2016), De  Lazzari  et  al. 
(2017)  entre  outros.  Porém  trabalhos  envolvendo  técnicas  de  otimização  para 
estruturas espaciais começam a ser exploradas para diferentes sistemas estruturais e 
diferentes técnicas de otimização.  
Erdal, Dorgan e Saka (2010) fizeram dois estudos de projeto ótimo de vigas celulares 
utilizando  metodologia  evolutiva;  o  primeiro  baseado  em  pesquisa  harmônica,  já  o 
segundo  em  otimizadores  de  enxame.  Os  pesquisadores  fazem  uma  análise 
comparativa dos dois métodos verificando qual se adapta melhor ao problema. 
Em  Cabas  (2015)  foi  proposto  o  dimensionamento  ótimo  de  pórticos  espaciais, 
utilizando uma técnica baseada na Biogeography Optimization.  
Alves, Lubke e Azevedo (2017) apresentaram trabalho de otimização de vigas celulares. 
Foram usadas três técnicas de otimização computacional, todas tendo como objetivo 
minimizar  o  peso  da  viga,  a  saber:  Método  dos  pontos  interiores,  Programação 
quadrática sequencial e Algoritmos genéticos. 
O  presente  trabalho  tem  o  objetivo  de  apresentar  a  formulação  do  problema  de 
otimização  e  aplicação  para  estruturas  de  pórticos  em  aço.  Para  a  formulação  do 
problema foi implementado o prescrito pela ABNT NBR 8800:2008 no que diz respeito 
aos esforços resistentes e deformações limites. O programa foi desenvolvido utilizado 
a  ferramenta  do  GUIDE  (Graphical  User  Interface  Development  Environment)  do 
MATLAB  2016.a  e  a  solução  do  problema  foi  obtida  via  método  dos  Algoritmos 
Genéticos. 
2 Análise e Dimensionamento de Elementos em Aço 
Na  etapa  de  análise  estrutural,  foi  utilizado  o  Structure3D  (figura  2),  que  é  um 
programa  implementado em MATLAB. O programa  foi desenvolvido na Universidade 
 
 
103 
 
Federal  do  Espírito  Santo  primeiramente  pelos  ex‐alunos  Hélio  Gomes  Filho  e 
Mindszenty  Júnior  Pedroza  Garozi  e  obteve  pequenas  atualizações  por  alunos  de 
projetos  de  graduação  e  iniciação  científica,  sendo  o  Prof.  Dr.  Élcio  Cassimiro  Alves 
como  o  professor  orientador  desse  projeto.  O  Structure3D  fornece  os  diagramas  e 
deformadas  de  estruturas  tridimensionais  com  carregamentos  uniformemente 
distribuídos  e  forças  nodais.  A  análise  estrutural  é  linear  (1ª  ordem),  utilizando  o 
método dos deslocamentos. 
No  que  se  refere  ao  o  dimensionamento  dos  elementos  estruturais  em  aço,  foi 
abordada  a  verificação  à  flexão  assimétrica  com  cargas  axiais  de  uma  estrutura 
formada por pórticos espaciais segundo os critérios da ABNT NBR 8800:2008. 
A  força  axial  resistente  de  cálculo  é  determinada  pela menor  capacidade  resistente 
entre os dois estados‐limites aplicáveis: escoamento da seção bruta e ruptura da seção 
líquida. 
No  dimensionamento  de  elementos  comprimidos,  um  dos  modos  de  colapso  é  a 
instabilidade global da barra, dotada de curvatura inicial. O outro modo de colapso é a 
flambagem local da mesa e da alma do perfil. 
Para flexão, os estados limites últimos a serem verificados em vigas em relação ao eixo 
de  maior  momento  de  inércia  são:  instabilidade  local,  instabilidade  global  e 
plastificação total da seção transversal. Já para as vigas solicitadas à flexão em relação 
ao eixo de menor momento de inércia só é verificado o estado limite de instabilidade 
local da mesa. 
A força cortante resistente é restringida pela  instabilidade da alma, ocasionada pelas 
tensões cisalhantes e pelo escoamento da alma. Dessa forma o elemento resistente à 
força  cortante  será  a  alma.  Entretanto,  quando  o  perfil  é  fletido  no  eixo  de menor 
momento de inercia, o elemento resistente à força cortante será as mesas. 
Para  esse  trabalho,  foi  considerado  o  dimensionamento  de  barras  de  aço  sob 
combinação de esforços solicitantes. Essas combinações são aquelas que estão sujeitas 
simultaneamente à força axial (tanto de tração quanto de compressão) e flexão a um 
ou  aos  dois  eixos  centrais  de  inércia.  Esse  tipo  de  situação  de  projeto  é  bastante 
comum em pilares de pórticos rígidos planos e espaciais. 
 
 
104 
 
Para  essa  atuação  simultânea  dos  esforços,  deve‐se  atender  a  limitação  fornecida 
pelas seguintes expressões de interação: 
 Caso 0,2 
,
,
,
,
1,0 (1) 
 Caso 0,2 
 
,
,
,
,
1,0 (2) 
Onde 𝑁  e 𝑁  são as forças axiais solicitantes e resistentes de tração ou compressão, 
sendo  que  foram  utilizadas  aquelas  aplicáveis.  Os  momentos  resistentes  (𝑀 ,   e  
𝑀 , ) e solicitantes (𝑀 ,  e   𝑀 , ) são referentes aos eixos z e y, sendo o eixo x o 
eixo longitudinal da barra.3 Formulação do Problema 
O  presente  trabalho  utiliza  duas  técnicas  de  otimização.  O  problema  com  variável 
contínua  utiliza  um  modelo  matemático  determinístico,  a  Programação  Quadrática 
Sequencial (PQS). Já o problema com variável discreta, utiliza um modelo probabilístico 
com o auxílio do Algoritmo Genético (AG). 
A Programação Quadrática Sequencial utiliza como base o método de Newton, e parte 
de um ponto inicial, presente na região de pesquisa. A partir de uma solução inicial, o 
método parte para a solução ótima de subproblemas quadráticos, para cada iteração. 
A cada passo, o problema é aproximado da solução ótima global, chegando assim na 
solução ótima do problema. 
Já  o  Algoritmo  Genético  resolve  problemas  com  ou  sem  restrições,  e  se  baseia  no 
processo de seleção natural que  imita a evolução biológica. Basicamente o algoritmo 
modifica a população repetidamente, selecionando indivíduos de forma aleatória para 
serem os pais de futuros filhos para a próxima geração da população. Após sucessivas 
gerações, a população converge para um único indivíduo, que é a solução ótima. 
 
 
105 
 
3.1 Problema com Variável Contínua 
A formulação computacional para o problema com variável contínua foi feita com base 
na  Programação  Quadrática  Sequencial.  O método  do  PQS  pode  ser  obtido  através 
função fmincon do Optimization Toolbox™ do MATLAB 2016a. Dessa forma, para esse 
trabalho foi proposto um modelo de otimização voltado ao utilizado no MATLAB. 
Abaixo, a formulação do problema fica descrita como: função objetivo (3); ponto inicial 
(4); limite inferior e superior (5); função de restrições de inequações não lineares (6); 
função de restrições de igualdades não lineares (7). 
𝐹 𝑿 𝜌 ç ∑ 𝐴 𝑿 𝐿 (3) 
𝑿 𝑋 , 𝑋 , 𝑋 , 𝑋 , 𝑋 , (4) 
 𝑋 , 𝑋 , 𝑋 , 𝑋 , 𝑋 , 𝑿 𝑋 , 𝑋 , 𝑋 , 𝑋 , 𝑋 , (5) 
𝒈 𝑿
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧ 𝑔 𝑿 
𝑔 𝑿 
𝑔 𝑿
𝑔 𝑿 
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧ 𝑔 𝑿
𝑔 𝑿
𝑔 𝑿
𝑔 𝑿
𝑔 𝑿 
𝑔 𝑿 ⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎫
0 (6) 
𝒉 𝑿 ℎ 𝑿 0 (7) 
onde:  
𝜌 ç : é o peso específico do aço (7850 𝑘𝑔𝑓/𝑚 ); 
 
 
106 
 
A  função objetivo  (3)  é  o  peso  total  da  estrutura,  composta  pelo  somatório  da  área 
vezes  o  comprimento  da  viga  e  por  fim  multiplicado  pelo  peso  específico  do  aço. 
Quanto  menor  for  o  peso  de  aço  total  determinado,  menor  será  o  consumo,  e 
consequentemente menor será o custo. 
O ponto inicial (4) foi obtido como um ponto médio dos limites inferiores e superiores 
(5), já que é um ponto que fica mais próximo dos limites de forma equivalente. Esses 
limites  foram  obtidos  como  os  valores  mínimos  e  máximos  de  cada  elemento 
geométrico  descrito  na  Figura  2,  de  acordo  com o  catálogo  da GERDAU,  para  perfis 
laminados, e a ABNT NBR 5884:2005, para perfis soldados. 
As funções de restrições não lineares, equação (6) e equação (7), foram determinadas 
de acordo com as limitações do problema. Elas podem ser divididas em quatro seções: 
restrições aos estados‐limites  (𝑔 𝑿 );  restrição a perfis de alma esbelta  (𝑔 𝑿 ); 
restrição a enrijecedores (𝑔 𝑿 ); restrições geométricas de inequações (𝑔 𝑿 ) 
e igualdades (ℎ 𝑿 ). Dentro da função de restrições geométricas 𝑔 𝑿  tem‐se: 
restrições  ao  índice  de  esbeltez  (𝑔 𝑿 ),  restrições  ao  valor  de  𝑘   (𝑔 𝑿 ), 
restrições  ao  catalogo  de  perfis  laminados  (𝑔 𝑿 ),  soldados  série  CS  (𝑔 𝑿 ), 
soldados  série  CVS  (𝑔 𝑿 )  e  soldados  série  VS  (𝑔 𝑿 ).  Lembrando  que  as 
funções de restrição 𝒈 𝑿  devem ser menores que zero e as 𝒉 𝑿  iguais a zero. As 
variáveis de projeto podem ser observadas na Figura 1.  
 
 
107 
 
 
Figura 1 ‐ Variáveis geométricas em perfil soldado e laminado I e H, e o vetor X (Fonte: 
autor) 
3.2 Problema com Variável Discreta 
O problema que visa uma solução discreta  foi  feito com base no Algoritmo Genético 
(AG). Para transformar o problema de contínuo para discreto, foi necessário criar um 
vetor de codificação para ser utilizado na metodologia do AG. Esse vetor é um binário, 
que  quando  convertido  para  um  número  inteiro,  será  atribuído  como  a  posição  do 
perfil na tabela (equação (8)).  
Para a formulação computacional do problema utilizando o Optimization Toolbox™ do 
MATLAB 2016a, foi necessário: função aptidão (8); limite inferior e superior (9); função 
de restrições de  inequações não  lineares  (10);  função de restrições de  igualdade não 
linear (11). 
𝐹 𝑿
𝑿 → 𝑿
𝜌 ç ∑ 𝐴 𝑿 𝐿 
 (8) 
 0 0 … 0 0 𝑿 1 1 … 1 1  (9) 
 
 
108 
 
𝒈 𝑿
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧ 𝑔 𝑿 
𝑔 𝑿 
𝑔 𝑿
𝑔 𝑿 
⎩
⎨
⎧ 𝑔 𝑿
𝑔 𝑿 ⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎫
0 (10) 
𝒉 𝑿 0 (11) 
Observe que toda a técnica de otimização pelo algoritmo genético será feita com base 
em um vetor com variáveis binárias. Cada vetor com variáveis binárias representa um 
indivíduo que  fornece uma solução para o problema. Esse vetor é composto por um 
conjunto de perfis, que estão representados por valores binários. 
Os  limites  superiores  e  inferiores  (9)  são  os  binários  que  representam  o  inteiro 
convertido mínimo e máximo para um valor limite de células. Note que o valor inteiro 
para o binário do limite inferior é 0 e para o limite superior é variado, dependendo do 
limite de células. Por exemplo, se o valor limite for 7, portanto o valor do inteiro que 
representa o binário do limite superior é 127. 
 
Figura 2 ‐ Interface principal do programa Structure3D 
 
 
109 
 
A  solução  do  problema  de  otimização  será  obtida  via  método  dos  Algoritmos 
Genéticos através de implementações dentro do software desenvolvido Structure 3D, 
cuja  interface  gráfica  pode  ser  vista  na  Figura  2.  O  programa  foi  desenvolvido 
utilizando a ferramenta do GUIDE do MATLAB 2016.a, e além da análise estrutural, o 
programa verifica os perfis estruturais e otimiza a melhor seção. 
4 Exemplos Comparativos e Resultados 
Para validar e mostrar a aplicação do programa alguns exemplos serão apresentados. 
Alguns resultados são comparados com resultados obtidos na literatura e comparados 
aplicando as rotinas de otimização desenvolvidas nesse trabalho. 
4.1 Exemplo 01 – Pilar com carga axial e flexão assimétrica 
Para o primeiro exemplo, foi validado a verificação e a otimização para uma barra com 
flexão assimétrica e carga axial também apresentado por Fakury et. al (2016). 
 
Figura 3 ‐ Verificação de barra flexo‐comprimida em perfil I soldado (fonte: Fakury et. 
al, 2016). 
 
 
 
1 
2 
1
2
 
 
110 
 
A figura 3 mostra os esforços solicitantes na estrutura. Para efeito de comparação, foi 
modelada a estrutura no Structure3D conforme apresentado na Figura 4.  
 
Figura 4 ‐ Pilar com carga axial de compressão e flexão assimétrica 
Para modelar o pilar  no  Structure3D  foi  necessário dividir  o pilar  em duas barras,  já 
que no centro possuía uma condição de contorno especial  (impedimento da  rotação 
em x e translação no eixo z).  
De acordo com a resolução do exercício, que utilizou o método do MAES, prescrito na 
ABNT NBR 8800:2008 Anexo D, não precisou alterar os esforços de análise de segunda 
ordem,  já que o  coeficiente de  amplificação  calculado nas duas  direções do pilar  foi 
menor  que  um.  Assim,  os  esforços  solicitantes  analisados  no  problema  serão  os 
esforços de primeira ordem. 
Na  tabela  1  é  mostrado  os  resultados  de  forma  comparativa  entre  o  programa 
Structure3D e os resultados presentes em Fakury et. al (2016). 
 
 
 
 
 
1
2 
 
 
111 
 
Tabela 1 ‐ Comparação dos resultados dos esforços resistentes de cálculo. 
Esforços Resistentes  Unidade  Structure3D  Fakury et. al (2016) * 
𝑀 , ,   [kN.m]  415,40  415,55 
𝑀 , ,   [kN.m]  404,83  404,87 
𝑀 , ,[kN.m]  415,40  415,55 
𝑀 , , **  [kN.m]  559,74  ‐ 
𝑉 , [kN]  634,77  634,77 
𝑀 , ,   [kN.m]  121,92  121,90 
𝑀 , , **  [kN.m]  124,38  ‐ 
𝑉 , [kN]  1.193,20  1.194,00 
𝑁 , [kN]  2.601,10  2.606,00 
* Foram obtidos dividindo o esforço característico pelo coeficiente de ponderação das 
resistências.  
**  𝑀 ,  é o momento fletor resistente de cálculo que assegura a validade da análise 
elástica. 
 
Ainda,  é  necessário  verificar  os  esforços  solicitantes  com  os  resistentes  calculados. 
Para a combinação de esforços solicitantes, o exercício verificou o efeito combinado da 
mesma forma que foi proposto nesse trabalho, e obteve o seguinte resultado: 
 
.
. , ,
0,69 0,29 0,98 1,0 𝑂𝐾! (12) 
 
Já  os  resultados  da  verificação  do  programa  de  dimensionamento  do  Structure3D, 
podem ser visualizados na figura 5. 
Observe que pelos diagramas (figura 3) que a mais solicitada aos esforços, é a barra 2. 
Assim,  a  combinação  de  efeitos  mais  desfavorável  encontra‐se  na  barra  2. 
Comparando  os  resistentes  com  esses  solicitantes,  é  possível  obter  uma  relação  de 
0,9797 (figura 5), valor muito próximo ao encontrado na literatura (Eq. 12). 
Após  verificar  que  o  dimensionamento  da  barra  pelo  Structure3D  foi  relativamente 
igual à solução da literatura, foi proposto uma otimização do pilar, com a metodologia 
do algoritmo genético. A otimização pelo AG foi feita utilizando o mesmo catalogo do 
perfil (serie CVS) e com um agrupamento de todas as barras.  
 
 
112 
 
 
Figura 5 ‐ Resultados da verificação pelo Structure3D. 
A solução da otimização discreta obteve o mesmo perfil proposto na literatura. Assim, 
o  perfil  ótimo  do  catálogo  CVS,  que  a  metodologia  do  AG  encontrou  para  esse 
problema, foi o CVS 350 x 73.  
O  fato  de  a  otimização  apresentar  o  mesmo  perfil  que  o  proposto  na  literatura, 
garante  a  validade  do  processo  de  otimização  e  verificação.  Apesar  de  não  ter 
encontrado um perfil mais  leve, a  formulação empregada para esse exemplo mostra 
que é válida. Assim, pode‐se partir para problemas mais complexos de otimização. 
 
4.2 Exemplo 02 – Pórtico Plano com vão de 30 metros  
Nesse  exemplo  foi  verificado  e  otimizado  o  dimensionamento  de  um  pórtico  plano, 
com apoios engastados, e carregamento uniformemente distribuído característico de 
30  kN/m  aplicado  na  direção  contraria  a  gravitacional.  Possui  uma  altura  útil  de  9 
metros,  e  altura  máxima  de  14  metros,  com  um  vão  de  30  metros.  O  pórtico  foi 
modelado no programa comercial CYPE 3D e no programa de análise FTOOL 3.00, para 
comparação dos esforços solicitantes.  
Algumas considerações foram determinadas para o dimensionamento. Foi considerado 
fator  de  ponderação  das  ações  igual  a  1,5.  Ainda,  utilizou‐se  como  coeficientes  de 
flambagem por compressão todos iguais a 1,0 e o fator de modificação para diagrama 
de momento fletor não uniforme, igual a 1,0. A flecha máxima definiu‐se como L/300 
 
 
113 
 
para todas as 4 barras, e o peso próprio foi considerado na análise. Para uma melhor 
abordagem  dos  dados,  todas  as  barras  do  pórtico  foram  unificadas  para  o  mesmo 
grupo, e foram utilizados os perfis soldados da série VS. A figura 6  ilustra a estrutura 
modelada no Structure3D, com todas as considerações impostas.  
 
Figura 6 – Pórtico Plano com vão de 30 metros modelado no programa de 
dimensionamento e otimização desenvolvido, Structure3D. 
 
A estrutura foi dimensionada no programa CYPE 3D, utilizando a opção “Quick Section 
Design”,  o  qual  não  é  uma  técnica  de  otimização  ao  dimensionamento.  Como 
resultado,  foi  encontrado  o  perfil  VS  1500x293  como  solução  para  todas  as  barras. 
Com  a  finalidade  de  comparar  os  resultados,  foi  proposto  uma  modelagem  da 
estrutura  no  programa  de  análise  FTOOL,  o  qual  os  resultados  estão  na  tabela  2, 
referente aos esforços solicitantes. 
 
 
 
 
 
 
1 
2 3
4
 
 
114 
 
Tabela 2 – Comparação dos Esforços Solicitantes de Calculo  
 
Note que os esforços solicitantes do programa desenvolvido deram iguais ao programa 
FTOOL,  porém,  houve  pequena  diferença  com  relação  ao  programa  comercial.  Isso 
ocorre,  pois,  o  programa  comercial  inclui  os  efeitos  de  2ª  ordem,  e  o  programa 
Structure3D apresenta somente os esforços de 1ª ordem, assim como o FTOOL.  
Com  relação  aos  esforços  resistentes,  na  tabela  3,  mostra  uma  comparação  do 
programa Structure3D com o CYPE 3D. 
Tabela 3 – Comparação dos Esforços Resistentes de Cálculo 
 
Note  que  os  esforços  resistentes  deram  iguais,  validando  o  cálculo  desses  esforços. 
Assim, validando a verificação estrutural, foi proposto uma otimização pelo Algoritmo 
Genético  (AG).  Para  a  otimização  estrutural  foi  determinado  algumas  considerações. 
Para o Algoritmo Genético, foi utilizado uma população inicial de 200 indivíduos, com 
uma  geração  da  população  padrão  do  próprio  MATLAB.  Para  o  critério  de  parada, 
definiu‐se um máximo de 40 gerações, e 20 gerações sem progresso. 
Para efeito de comparação com os resultados, à estrutura foi otimizada visando uma 
otimização  contínua,  utilizando  a  Programação  Quadrática  Sequencial  (PQS).  Foi 
considerado  como  ponto  inicial  𝑿 800 320 0 8 19 𝑚𝑚  para  todas  as 
barras. O critério de parada ficou definido com um máximo de 10.000 iterações, e uma 
Momento X Cortante y Axial Momento X Cortante y Axial
[kN.m] [kN] [kN] [] [] []
1 2138,96 420,70 666,13 3,49% ‐0,35% 3,52%
2 2138,96 498,90 609,76 3,49% 4,60% 0,96%
1 2066,50 422,10 643,40 ‐0,01% ‐0,01% ‐0,01%
2 2066,50 476,90 603,90 ‐0,01% ‐0,01% ‐0,01%
1 2066,79 422,16 643,46 ‐ ‐ ‐
2 2066,79 476,94 603,98 ‐ ‐ ‐
* Barras 4 e 3 simétricas a 1 e 2, respectivamente.
Programa Barra
Ftool
CYPE 3D
Structure3D
VariaçãoEsforços Solicitantes de Cálculo
Momento X Cortante y Axial (tração) Momento X Cortante y Axial
[kN.m] [kN] [kN] [] [] []
1 4925,92 1121,74 11690,80 0,00% 0,00% 0,00%
2 2253,07 1121,74 11690,80 0,00% 0,00% 0,00%
1 4925,74 1121,74 11690,80 ‐ ‐ ‐
2 2252,99 1121,74 11690,80 ‐ ‐ ‐
* Barras 4 e 3 simétricas a 1 e 2, respectivamente.
Programa Barra
Esforços Resistentes de Cálculo Variação
CYPE 3D
Structure3D
 
 
115 
 
tolerância de 10  para a diferença de solução entre um passo e outro. Ainda, definiu 
uma tolerância de 10  para o cálculo das restrições. 
Tabela 4 – Resultados da Otimização do pórtico. 
 
Na tabela 4, está o resultado da otimização. Observe que o método de otimização pelo 
AG obteve o mesmo perfil que o escolhido pelo dimensionamento do CYPE 3D. Apesar 
do CYPE 3D não executar uma técnica de otimização, foi possível obter o perfil ótimo, 
pelo fato do processo de agrupamento de todas as barras, que tornou o processo mais 
simples.  De  fato,  o  perfil  VS  1500X293  é  o  perfil  ótimo,  para  a  estrutura  descrita. 
Ainda, note que a otimização contínua, PQS, alcançou uma massa total de aço cerca de 
20% mais econômica.  
 
4.3 Exemplo 03 – Pórtico Tridimensional com 16 barras 
A  apresentação  do  exemplo  3,  envolve  a  verificação  e  a  otimização  de  um  pórtico 
tridimensional.  O  pórtico  foi  modelado  no  programa  comercial  CYPE  3D,  e  foi 
dimensionado  utilizando  os  perfis  soldados.  O  pórtico  é  composto  por  16  barras,  e 
todas as bases são engastadas. Ainda, possui 2 pavimentos, com 3 m de pé direito, e 
vão  de  10  x  10 metros. Na  figura  7.b,  é  possível  visualizar  a  estrutura modelada  no 
CYPE 3D, e na figura 7.a no Structure3D.  
O pórtico possui carregamento uniformemente distribuído característico nas vigas, de 
40 kN/m, sendo que o fator de ponderação das ações foi considerado como 1,5. Ainda, 
utilizou‐se  como  coeficientes  de  flambagem  por  compressão  todos  iguais  a  1,0  e  o 
fator de modificaçãopara diagrama de momento  fletor não uniforme,  igual  a 1,0. A 
flecha  máxima  definiu‐se  como  L/300  para  todas  as  barras,  e  o  peso  próprio  foi 
considerado  na  análise.  Toda  a  análise,  tanto  no  programa  comercial,  quanto  no 
Structure3D foram as de primeira ordem. 
Perfil Massa total [t]
VS 1500 x 293 14,52
AG VS 1500 x 293 14,52
PQS PQS ‐ VS x 231 11,49
Structure3D
CYPE 3D
Programa
 
 
116 
 
Primeiramente, todas as vigas foram agrupadas, assim como todos os pilares, de forma 
a unificar o dimensionamento entre os elementos. Foram escolhidos somente os perfis 
da série CVS da ABNT NBR 5884 para dimensionamento no programa CYPE 3D. Dessa 
forma,  o  CYPE  3D  dimensionou  usando  o  “Quick  section  design”  para  a  estrutura  o 
perfil CVS 650 x 234 para as vigas, e o perfil CVS 500 x 194 para os pilares. 
Os resultados das verificações, entre os esforços solicitantes e resistentes calculados, 
para os perfis dimensionados no CYPE 3D, podem ser visualizados por meio da figura 
10.  No  eixo  vertical  encontra‐se  a  capacidade  resistente  efetiva,  caracterizada  pelas 
equações (1) e (2) e no eixo horizontal são ilustrados cada uma das barras. 
 
  (a)  (b) 
Figura 7 – Modelo do Pórtico tridimensional com vigas CVS 650 x 234 e pilares 
CVS 500 x 194: (a) Programa Structure3D; (b) Programa Comercial CYPE 3D. 
Os resultados comparativos ficaram muito próximos, com um desvio médio de 1,0%, e 
todas  as  verificações  atenderam.  Note  que  a  linha  vermelha  pontilhada,  indica  o 
máximo, quando o valor do momento resistente é igual ao solicitante. 
A próxima etapa é a otimização da estrutura. Para o PQS utilizou como ponto inicial o 
ponto 𝑿 550 450 0 11 22 𝑚𝑚 para  todos os grupos. O critério de parada 
ficou definido com um máximo de 10.000 iterações, e uma tolerância de 10  para a 
diferença de solução entre um passo e outro. Ainda, definiu uma tolerância de 10  
para  o  cálculo  das  restrições.  Já  para  o  AG,  utilizou  uma  população  inicial  de  500 
 
 
117 
 
indivíduos,  e  com  uma  geração  da  população  padrão  do  próprio  MATLAB.  Para  o 
critério de parada, definiu um máximo de 100 gerações, e 50 gerações sem progresso.  
Os métodos de otimização obtiveram uma solução mais econômica do que a proposta 
pelo programa comercial CYPE 3D (tabela 5). Ainda, a solução do PQS obteve a solução 
mais  econômica,  com  uma  redução  de  46%  em  comparação  com  o  CYPE  3D.  Já  a 
otimização do AG, obteve uma redução de 37% no peso. 
 
Figura 8 ‐ Gráfico de dispersão com as verificações do CYPE 3D e do Structure3D. 
Os perfis otimizados para o método do AG encontraram uma solução mais econômica 
para  as  vigas,  porém mais  onerosa  para  os  pilares.  Para  as  vigas  o  AG  encontrou  o 
perfil CVS 550 x 123, que é mais leve que o dimensionamento do CYPE 3D. Entretanto, 
para que a estrutura resistisse, teve que utilizar o perfil mais leve para as vigas, e para 
os  pilares  o  AG  teve  que  escolher  um perfil mais  pesado  (CVS  550  x  204).  Como os 
pilares são menores em comprimento que as vigas, a mudança de perfis otimizou no 
peso total da estrutura, oferecendo uma solução mais econômica no geral. 
Tabela 5 ‐ Comparação do peso (kg) da estrutura entre os métodos do CYPE 3D e o 
Structure3D (fonte: Autor). 
 
AG PQS
Pilar 581,69 612,38 567,63
Viga 2.342,69 1.228,21 1.011,52
Peso total* 23.395,04 14.724,69 12.633,20
* O peso total é formado pelo peso do pilar mais o peso da viga multiplicado por 8
Structure3D
CYPE 3DElemento
 
 
118 
 
Esses  resultados melhores  para  as  vigas  e  priores  para  os  pilares  está  relacionada  à 
análise  global  da  estrutura,  já  que  os  perfis  utilizados  nos  processos  de  otimização 
estão  muito  próximos  do  limite  na  verificação.  Assim,  a  escolha  da  um  perfil  mais 
pesado  para  os  pilares,  permitiu  que  um  perfil  mais  leve  pudesse  ser  utilizado  nas 
vigas, que como possuem comprimento maior, a  redução em seu peso permite uma 
economia maior que uma redução no peso dos pilares. 
Tabela 6 ‐ Dimensões dos perfis do pórtico tridimensional otimizados (fonte: Autor). 
 
Já  para  a  metodologia  do  PQS,  os  perfis  encontrados  não  são  catalogados,  dessa 
forma,  utilizando  as  restrições  relativas  aos  perfis  soldados  CVS,  pode‐se  obter 
aproximações  as  dimensões obtidas  no  catálogo. Abaixo  está  à  tabela  com os  perfis 
dos pilares e das vigas otimizadas pelos métodos AG e PQS. 
 
Figura 9 ‐ Comparação do dimensionamento do CYPE 3D com os métodos de 
otimização AG e PQS. 
Em relação aos esforços normalizados, as soluções otimizadas requisitaram uma maior 
parcela da capacidade resistente disponível. No gráfico da Figura 9 é possível visualizar 
kg/m
bf d R tw tf
CVS 500 X 194 193,9 500,0 350,0 0,0 16,0 25,0
AG CVS 550 x 204 204,1 550,0 400,0 0,0 16,0 22,4
PQS - 189,2 513,2 427,7 0,0 11,1 22,1
CVS 650 X 234 234,3 650,0 450,0 0,0 16,0 22,4
AG CVS 500 x 123 122,8 500,0 350,0 0,0 9.5 16,0
PQS - 101,2 456,1 369,5 0,0 7,3 13,2
X
Perfil
CYPE 3D
Structure3D
Método
Structure3D
Vigas
Pilares
Barra
CYPE 3D
0%
100%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
C
ap
ac
id
ad
e 
R
es
is
te
n
te
 
Ef
et
iv
a 
(%
)
Barra
CYPE 3D AG PQS
 
 
119 
 
os esforços normalizados. Note que os resultados pela otimização pelo PQS obtiveram 
os esforços normalizados bem próximos de 100%. 
O método do PQS oferece soluções melhores que o AG e o dimensionamento do CYPE 
3D. Isso ocorre já que o PQS otimiza os perfis com variáveis contínuas, dessa forma, o 
seu método consegue alcançar 100% da capacidade resistente efetiva em grande parte 
das barras, tornando o método que fornece a melhor solução. Entretanto, para efeitos 
práticos,  os  perfis  otimizados  pelo método  do  PQS  não  são  catalogados,  havendo  a 
necessidade  de  uma  fabricação  especifica  para  determinado  perfil.  Já  o método  do 
algoritmo genético, fornece uma solução discreta, com perfis catalogados, e com uma 
solução  melhor  que  a  proposta  pelo  dimensionamento  do  CYPE  3D.  Note  que  em 
algumas barras, o método do AG chegou muito próximo da solução ótima alcançada 
pelo PQS, que apesar de  ser um método discreto, pode alcançar  soluções propostas 
por métodos com variável contínua. 
 
5 Conclusões 
Conforme  pode  ser  observado  nos  exemplos  apresentados,  em  todos  os  casos  uma 
solução melhor  foi obtida em relação ao problema proposto  inicialmente,  exceto no 
segundo exemplo que o perfil ótimo já havia sido definido. 
No  primeiro  exemplo,  com  o  pilar  submetido  a  esforços  cominados  de  flexão 
assimétrica e carga axial, foi possível validar a formulação para a verificação a esforços 
combinados. Todos os esforços resistentes ficaram muito próximos, com uma mínima 
diferença  no  quinto  número  significativo.  Ainda  nesse  exemplo,  foi  utilizado  à 
otimização discreta utilizando o Algoritmo Genético, e mostrou‐se que o perfil CVS 350 
x 73 é o perfil ótimo da tabela de perfis da série CVS.  
Para  o  segundo  exemplo,  com  o  pórtico  plano,  foi  apresentado  os  resultados 
comparativos entre o Structure3D e o CYPE 3D. Foi possível observar que o método de 
otimização pelo AG obteve o mesmo perfil que o escolhido pelo dimensionamento do 
CYPE 3D. De fato, o perfil alcançado pelos dois programas é o perfil ótimo. Ainda, foi 
possível  observar que a otimização  contínua alcançou uma  solução mais  econômica, 
porém, menos viável para fabricação. 
 
 
120 
 
Já  no  terceiro  e  último  exemplo  comparativo,  com  o  pórtico  tridimensional,  foi 
proposta uma comparação entre o dimensionamento do CYPE 3D com o programa. Em 
relação  à  verificação da  estrutura,  a  capacidade  resistente  efetiva  entre  o  programa 
comercial  e  o  desenvolvido  nesse  trabalho  obteve  um  desvio  percentual  de  1%  em 
média.  Em  relaçãoaos  esforços  solicitantes,  houve  uma  diferença  maior  entre  o 
programa CYPE 3D em comparação com o Structure3D. Porém, os esforços resistentes 
ficaram muito próximos entre o CYPE 3D e o Structure3D. Ainda, houve uma pequena 
diferença nas deformações entre os dois programas, entretanto, para esse exemplo, a 
deformação  não  foi  fator  determinante  no  dimensionamento  e  otimização  da 
estrutura. Apesar das diferenças entre os esforços  solicitantes, os  resultados  ficaram 
muito  próximos,  não  afetando  no  resultado  final.  É  importante  destacar  que  o 
programa Structure3D faz análise estrutural somente em 1º ordem, enquanto o CYPE 
3D faz análise de 2º ordem. Com relação à otimização, o Structure3D apresentou uma 
solução mais leve. O AG forneceu uma estrutura mais leve, cerca de 37% mais leve, em 
comparação  com  o  exemplo  dimensionado  no  CYPE  3D.  Já  o  PQS  informou  uma 
redução de 46%.  
 
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