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GRELHAS GRELHAS Grelhas Planas: Chama-se Grelha Plana a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por cargas ortogonais ao plano da estrutura. As grelhas são constituídas por estruturas lineares (vigas), situadas em um mesmo plano, formando uma malha que recebe solicitações não coplanares. As barras se interceptam e trabalham em conjunto para resistir às ações atuantes que são predominantemente perpendiculares ao seu plano. GRELHAS Visando a utilização de vigas nos pavimentos de maneira a obter maiores distâncias entre apoios, as mesmas são lançadas em um sistema reticulado plano, denominado grelha. Esse sistema é gerado pelo cruzamento rígido entre as vigas no plano do pavimento. Os reticulados podem ser ortogonais ou diagonais com relação às vigas periféricas e a disposição diagonal apresenta melhor comportamento, porém é de difícil execução. GRELHAS Para que sejam consideradas grelha, quando feita em concreto armado ou protendido, as vigas devem ter espaçamento maior que 1,10 m entre eixos. A grelha é uma estrutura que distribui as cargas concentrada, aplicadas em uma das vigas, para todos os elementos da estrutura, de tal forma que nenhuma viga trabalhe sozinha quando solicitada. Assim, as vigas constituintes de uma Grelha, distribuem todas as cargas ao Sistema, tornando o Comportamento Estrutural mais eficiente, do que se as vigas fossem calculadas de forma individual. Entretanto, para que isto ocorra devemos garantir a interligação rígida entre todas as vigas. GRELHAS GRELHAS Equações de Equilíbrio das Grelhas: ∑Fz = ∑V=0 → Somatório das Forças Perpendiculares ao Plano; ∑Mx = 0 → Somatório dos Momentos em torno do Eixo x; ∑My = 0 → Somatório dos Momentos em torno do Eixo y. GRELHAS � Na Grelha engastada, as reações serão o Momento Torçor (Ta) , Momento Fletor (Ma) e a Reação Vertical (Va). � Na Grelha com três apoios, as incógnitas serão as Reações Verticais em cada apoio, ou sejam, Va, Vb e Vc. GRELHAS Grelhas com 4 ou mais apoios (sem rótulas) e grelhas engastadas com 1 ou mais apoios são Hiperestáticas. Grelhas com 2 ou menos apoios e grelhas com três apoios colineares são Hipostáticas. Analisando a figura ao lado, verifica-se que não é possível equilibrar a Estrutura. Pois se aplicarmos uma força em d, não há como tornar nulo o momento em trono do eixo b-c GRELHAS PLANAS Reações de Apoio: A principal diferença no cálculo das reações de apoio entre grelhas e pórticos é com relação ao somatório de momentos. Assim, podemos afirmar que as barras de uma grelha, em uma seção genérica qualquer, podem estar sujeitas a três Esforços Simples, a saber: Esforço Cortante (Q); Momento Fletor (M) e Momento Torçor (Mt). Enquanto em Pórticos o somatório dos Momentos é calculado usando a Distância de Cada Força ao Ponto, nas Grelhas, o Somatório dos momentos é Função das Forças e suas Distâncias em relação ao Eixo Considerado. GRELHAS PLANAS O Esforço Cortante é a soma de todas as Cargas que atuam perpendicularmente ao eixo da barras; O Momento Fletor é a soma de todos os Momentos que provocam o giro em torno de eixo contido pela seção transversal da barra; O Momento Torçor, é o momento que provoca o giro da seção em torno do seu eixo longitudinal Esforço Cortante (Q); Momento Fletor (M) e Momento Torçor (Mt). Que Estruturalmente obedecem as seguintes convenções de sinais. M Mt Q Mt M Q GRELHAS PLANAS Assim, com vimos anteriormente, as Equações de Equilíbrio para Grelhas, são as seguintes: ∑V=0 → Somatório das Forças Perpendiculares ao Plano XY; ∑Mx = 0 → Somatório dos Momentos em torno do Eixo x; ∑My = 0 → Somatório dos Momentos em torno do Eixo y. Logo: Para o cálculo dos Momentos Fletores em cada Barras, utiliza-se as forças de um lado ou de outro da Seção, multiplicados pela Distância na Direção paralela a Barra. Para o cálculo dos Momentos Torçores em cada barra utiliza-se as forças de um lado ou de outro da Seção, multiplicadas pela Distância na direção perpendicular a Barra. PÓRTICOS x GRELHAS Pórticos Planos: Equações de Equilíbrio: ∑Fx=0; ∑Fy=0; ∑Mz=0 Esforços Atuantes: Normal, Cortante e Momento Fletor. Calculo da reações : O Somatório dos Momentos é calculado usando a Distância de cada Força ao ponto considerado. Grelhas Planas: Equações de Equilíbrio: ∑Fz=0; ∑Mx=0; ∑My=0 Esforços Atuantes: Cortante, Momento Fletor e Momento Torçor. Calculo da reações : O Somatório dos Momentos é Função das Forças e suas Distâncias em Relação ao Eixo Considerado. GRELHAS Ex1. Equações de equilíbrio: ∑ MBC = 0 → -10x4-30x4-40x2+4xVE=0 → VE= 60KN ∑ MCE = 0 → 2xVB + 30x2 -10x2 – 40x2 = 0 → VB= 20KN ∑ FV = 0 → VC + VB + VE -40 – 10 -30 =0 → VC= 80-VB-VC → VC= 0KN GRELHAS Ex1. GRELHAS Ex2. Equações de equilíbrio: ∑ MAB = 0 → 50 x 2 – VD x 4 = 0 → VD= 25KN ∑ MCD = 0 → 20x4x3 – VA x 5 – VB x 1 = 0 → 5VA + VB= 240KN ∑ FV = 0 → VA + VB + VD -20x4 – 10 – 50 → VA + VB + 25 -140 = 0 VA + VB = 115 → VA= 115-VB 5xVA + VB = 240 → 5x(115-VB) + VB = 240 → 575 – 5xVB + VB = 240 -4VB = - 335→ VB= 83,75KN VA= 115 -83,75 → VA= 31,25KN GRELHAS Ex3. GRELHAS PLANAS Ex3. Equações de equilíbrio: ∑ MAB = 0 → -20x6x3 – 3 x 7 + VF x6 = 0 → VF= 63,50KN ∑ MCD = 0 → -5x4 + VAx5 – VF x 2 + 3X2 =0 5VA -20 – 63,50x2 + 6=0 → VA= 87/5 → VA= 28,20KN ∑ FV = 0 → VA + VB + VF -20x6 – 5 – 3 = 0 VA + VB + VF - 128 = 0 → 28,20 + VB + 63,50 -128 = 0 VB = 36,30KN GRELHAS PLANAS Ex4. A B C E DF VC VA VE GRELHAS PLANAS Ex4. Equações de equilíbrio: ∑ MAB = 0 → VEx3+VCx1,5-40x3 -40x3 = 0 → 3VE+1,5VC=240→ 2,0VE+VC=160 ∑ MAE = 0 → 40x3+40x6+20x6 – 6xVC = 0 → VC = 480/6 → VC= 80KN 2,01,5VE+VC=160 → VE=(160-80)/2,0 →VE=40,00KN ∑ V = 0 → VA + VC + VE – 40 – 40 – 20 → VA + 80 +40 – 100 = 0 → VA=- 20 KN A B C E DF VC VA VE GRELHAS Ex5. A B C E D F VA F G MA MTA GRELHAS Ex5. Equações de equilíbrio: ∑ M = 0 → MA + 20x3 +20x3 +20x6 -20x6 = 0 → MA = -120KNm ∑ MT = 0 → MTA +20x2+20x2-20x2 +20x2=0 → MTA = - 80KNm ∑ V = 0 → VA -20 -20 +20 – 20 = 0 → VA=40 KN A B C E D F VA F G MA MTA GRELHAS Ex6. GRELHAS Ex6. DCL+CARGAS EQUIVALENTES Equações de Equilíbrio: ∑ MAD = 0 → -RBx2+RCx4,0 - 80x2 = 0 → - 2RB+4RC=160 → -RB+2RC=80 (I) ∑ MBC = 0 → -80x2 +27x0,675+RAx4= 0 → 4RA=141,78 → RA=35,44KN ∑ V=0→RA + RB+RC –80 –27 –80-30=0 →35,44 +RB+RC =217 RB+RC =181,56 (II) Da Eq. II → RB = 181,56-RC SUSBT NA EQ. I → -181,56+RC+2RC=80 → RC= 87,19KN SUSBT NA EQ. II RB= 181,56-RC → RB = 94,37KN GRELHAS Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS GRELHAS Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 3 0≤ X < 2 CORTANTE (Q) = 94,37 MOMENTO FLETOR = 94,37X MOMENTO TORÇOR = 0 SEÇÃO Q MF MT X=0 94,37 0 0 X=1 97,37 94,37 0 X=2 94,37 188,74 0 GRELHAS Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 4 0≤ X < 4 CORTANTE (Q) = -87,19 +20X MOMENTO FLETOR = 87,19X-10X² MOMENTO TORÇOR = 0 SEÇÃO Q MF MT X=0 - 87,19 0 0 X=2 -47,19 134,38 0 X=4 -7,19 188,76 0 GRELHAS Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 2 0≤ X < 1,35 CORTANTE (Q) = 20X MOMENTO FLETOR = - 10X² MOMENTO TORÇOR = 0 SEÇÃO Q MF X=0 0 0 X=0,675 13,50 -4,56 X=1,35 27,00 (*30,00) -18,23 GRELHAS Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 1 GRELHAS Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 1 0≤ X < 4 CORTANTE (Q) = -44,56+20X MOMENTO FLETOR = 44,56X-10X²-18,23 MOMENTO TORÇOR = 0 SEÇÃO Q MF MT X=0 - 44,56 -18,23 0 X=2 -4,56 30,89 0 X=4 35,44 0,00 0 GRELHAS Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 1 DEQ DMF GRELHAS Ex7. GRELHAS Ex7. DCL+C.EQUIV Equações de equilíbrio: ∑ MAB = 0 → REx4- 225x2-6x4+RHx2=0 →4RE+2HR=474 →2RE+RH=237 (I) ∑ MGH = 0 →REx6,5-6x6,5+RBx5-225X2,5+6x1,5+6x1,5=0 →6,5RE+5RB=583,5 1,3RE+RB=116,70 (II) ∑ V = 0 → RB + RE+ RH-6-6-6-225=0→ RB+RE+RH=243 (III) Da Eq. (I) → RH=237 -2RE → DA Eq. (II) 1,3RE+RB=116,7 →RB=116,7 -1,3RE Subst.em (III) →116,7-1,3RE+RE+237-2RE=243 →-2,3RE=-110,70→ RE=48,13KN RH=237-2RE → RH=140,74KN RB=116,7-1,3RE → RB=116,70-1,3x48,13→RB=54,13KN GRELHAS Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES GRELHAS Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRAS 1 e 4 BARRA 1 - 0≤X<1,5 Q= -6 MF=-6X MT=0 BARRA 4 - 0≤X<1,5 Q= 48,13 MF=48,13X MT=0 X Q MF MT 0 -6 0 0 0,75 -6 -4,5 0 1,5 -6 (*54,13) -9 0 X Q MF MT 0 48,13 0 0 0,75 48,13 36,10 0 1,5 48,13 72,20 0 GRELHAS Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRAS 2 e 3 BARRA 2 - 0≤X<2 Q= 48,13 MF=48,13X MT=-9 BARRA 3 - 0≤X<2,0 Q= -48,13 MF=48,13X MT=72,20 X Q MF MT 0 48,13 0 9 1 48,13 48,13 9 2 48,13 96,26 9 X Q MF MT 0 -48,13 0 72,20 1 -48,13 48,13 72,20 2 -48,13 96,26 72,20 GRELHAS Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRAS 8 e 9 BARRA 8 - 0≤X<1,5 Q= 6 MF=-6X MT=0 BARRA 9 - 0≤X<1,5 Q= 6 MF=-6X MT=0 X Q MF MT 0 6 0 0 0,75 6 -4,5 0 1,5 6 -9,0 0 X Q MF MT 0 6 0 0 0,75 6 -4,5 0 1,5 6 -9 0 GRELHAS Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRAS 6 e 7 BARRA 6- 0≤X<2,0 Q= -6 MF=-6X MT=-9 BARRA7 - 0≤X<2,0 Q= 6 MF=-6X MT=9 X Q MF MT 0 -6 0 -9 1 -6 -6 -9 2 -6 -12 -9 X Q MF MT 0 -6 0 9 1 -6 -6 9 2 -6 -12 9 GRELHAS Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRA 5 GRELHAS Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRA 5 GRELHAS Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRAS 5 BARRA5 - 0≤X<5,0 Q= 96,26-45X MF=96,26X-22,5X²+63,20 MT=0 X Q MF MT 0 96,26 63,20 0 2,5 -16,24 163,23 0 5 -128,74(*128,74) -18 (*18) 0 GRELHAS D IA G R A M A S D E ES FR O Ç O S IN TR EN O S – C O R TA N TE - D EC GRELHAS D IA G R A M A S D E ES FR O Ç O S IN TR EN O S – M .F LE TO R - D M F GRELHAS D IA G R A M A S D E ES FR O Ç O S IN TR EN O S – M .T O R Ç O R - D M T
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