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GRELHAS
GRELHAS
Grelhas Planas:
Chama-se Grelha Plana a estrutura plana que é solicitada
exclusivamente por cargas ortogonais ao plano da estrutura.
As grelhas são constituídas por estruturas lineares (vigas),
situadas em um mesmo plano, formando uma malha que recebe
solicitações não coplanares. As barras se interceptam e
trabalham em conjunto para resistir às ações atuantes que são
predominantemente perpendiculares ao seu plano.
GRELHAS
Visando a utilização de vigas nos pavimentos de
maneira a obter maiores distâncias entre apoios, as
mesmas são lançadas em um sistema reticulado plano,
denominado grelha.
Esse sistema é gerado pelo cruzamento rígido entre as
vigas no plano do pavimento.
Os reticulados podem ser ortogonais ou diagonais com
relação às vigas periféricas e a disposição diagonal
apresenta melhor comportamento, porém é de difícil
execução.
GRELHAS
Para que sejam consideradas grelha, quando feita em
concreto armado ou protendido, as vigas devem ter
espaçamento maior que 1,10 m entre eixos.
A grelha é uma estrutura que distribui as cargas
concentrada, aplicadas em uma das vigas, para todos os
elementos da estrutura, de tal forma que nenhuma viga
trabalhe sozinha quando solicitada.
Assim, as vigas constituintes de uma Grelha, distribuem
todas as cargas ao Sistema, tornando o Comportamento
Estrutural mais eficiente, do que se as vigas fossem
calculadas de forma individual.
Entretanto, para que isto ocorra devemos garantir a
interligação rígida entre todas as vigas.
GRELHAS
GRELHAS
Equações de Equilíbrio das Grelhas:
∑Fz = ∑V=0 → Somatório das Forças Perpendiculares ao Plano;
∑Mx = 0 → Somatório dos Momentos em torno do Eixo x;
∑My = 0 → Somatório dos Momentos em torno do Eixo y.
GRELHAS
� Na Grelha engastada, as reações serão o Momento
Torçor (Ta) , Momento Fletor (Ma) e a Reação Vertical
(Va).
� Na Grelha com três apoios, as incógnitas serão as
Reações Verticais em cada apoio, ou sejam, Va, Vb e Vc.
GRELHAS
Grelhas com 4 ou mais apoios (sem rótulas) e 
grelhas engastadas com 1 ou mais apoios são 
Hiperestáticas.
Grelhas com 2 ou menos apoios e grelhas com 
três apoios colineares são Hipostáticas.
Analisando a figura ao lado, verifica-se
que não é possível equilibrar a
Estrutura. Pois se aplicarmos uma força
em d, não há como tornar nulo o
momento em trono do eixo b-c
GRELHAS PLANAS
Reações de Apoio:
A principal diferença no cálculo das reações de apoio entre
grelhas e pórticos é com relação ao somatório de momentos.
Assim, podemos afirmar que as barras de uma grelha, em uma 
seção genérica qualquer, podem estar sujeitas a três Esforços 
Simples, a saber:
Esforço Cortante (Q);
Momento Fletor (M) e
Momento Torçor (Mt). 
Enquanto em Pórticos o somatório dos Momentos é calculado
usando a Distância de Cada Força ao Ponto, nas Grelhas, o
Somatório dos momentos é Função das Forças e suas
Distâncias em relação ao Eixo Considerado.
GRELHAS PLANAS
O Esforço Cortante é a soma de todas as Cargas que atuam
perpendicularmente ao eixo da barras;
O Momento Fletor é a soma de todos os Momentos que
provocam o giro em torno de eixo contido pela seção transversal
da barra;
O Momento Torçor, é o momento que provoca o giro da seção em
torno do seu eixo longitudinal
Esforço Cortante (Q);
Momento Fletor (M) e
Momento Torçor (Mt). 
Que Estruturalmente obedecem as 
seguintes convenções de sinais.
M
Mt
Q
Mt
M
Q
GRELHAS PLANAS
Assim, com vimos anteriormente, as Equações de Equilíbrio para
Grelhas, são as seguintes:
∑V=0 → Somatório das Forças Perpendiculares ao Plano XY;
∑Mx = 0 → Somatório dos Momentos em torno do Eixo x;
∑My = 0 → Somatório dos Momentos em torno do Eixo y.
Logo:
Para o cálculo dos Momentos Fletores em cada Barras, utiliza-se as
forças de um lado ou de outro da Seção, multiplicados pela Distância
na Direção paralela a Barra.
Para o cálculo dos Momentos Torçores em cada barra utiliza-se as
forças de um lado ou de outro da Seção, multiplicadas pela Distância na
direção perpendicular a Barra.
PÓRTICOS x GRELHAS 
Pórticos Planos:
Equações de Equilíbrio:
∑Fx=0; ∑Fy=0; ∑Mz=0
Esforços Atuantes:
Normal, Cortante e Momento
Fletor.
Calculo da reações :
O Somatório dos Momentos é
calculado usando a Distância
de cada Força ao ponto
considerado.
Grelhas Planas:
Equações de Equilíbrio:
∑Fz=0; ∑Mx=0; ∑My=0
Esforços Atuantes:
Cortante, Momento Fletor e
Momento Torçor.
Calculo da reações :
O Somatório dos Momentos é
Função das Forças e suas
Distâncias em Relação ao Eixo
Considerado.
GRELHAS
Ex1.
Equações de equilíbrio:
∑ MBC = 0 → -10x4-30x4-40x2+4xVE=0 → VE= 60KN 
∑ MCE = 0 → 2xVB + 30x2 -10x2 – 40x2 = 0 → VB= 20KN
∑ FV = 0 → VC + VB + VE -40 – 10 -30 =0 → VC= 80-VB-VC → VC= 0KN 
GRELHAS
Ex1.
GRELHAS 
Ex2.
Equações de equilíbrio:
∑ MAB = 0 → 50 x 2 – VD x 4 = 0 → VD= 25KN 
∑ MCD = 0 → 20x4x3 – VA x 5 – VB x 1 = 0 → 5VA + VB= 240KN
∑ FV = 0 → VA + VB + VD -20x4 – 10 – 50 → VA + VB + 25 -140 = 0
VA + VB = 115 → VA= 115-VB 
5xVA + VB = 240 → 5x(115-VB) + VB = 240 → 575 – 5xVB + VB = 240 
-4VB = - 335→ VB= 83,75KN 
VA= 115 -83,75 → VA= 31,25KN
GRELHAS
Ex3.
GRELHAS PLANAS
Ex3.
Equações de equilíbrio:
∑ MAB = 0 → -20x6x3 – 3 x 7 + VF x6 = 0 → VF= 63,50KN 
∑ MCD = 0 → -5x4 + VAx5 – VF x 2 + 3X2 =0 
5VA -20 – 63,50x2 + 6=0 → VA= 87/5 → VA= 28,20KN 
∑ FV = 0 → VA + VB + VF -20x6 – 5 – 3 = 0 
VA + VB + VF - 128 = 0 → 28,20 + VB + 63,50 -128 = 0
VB = 36,30KN
GRELHAS PLANAS
Ex4.
A B
C
E
DF
VC
VA
VE
GRELHAS PLANAS
Ex4.
Equações de equilíbrio:
∑ MAB = 0 → VEx3+VCx1,5-40x3 -40x3 = 0 → 3VE+1,5VC=240→ 2,0VE+VC=160
∑ MAE = 0 → 40x3+40x6+20x6 – 6xVC = 0 → VC = 480/6 → VC= 80KN
2,01,5VE+VC=160 → VE=(160-80)/2,0 →VE=40,00KN
∑ V = 0 → VA + VC + VE – 40 – 40 – 20 → VA + 80 +40 – 100 = 0 → VA=- 20 KN
A B
C
E
DF
VC
VA
VE
GRELHAS
Ex5. A
B C
E
D
F
VA
F G
MA
MTA
GRELHAS
Ex5.
Equações de equilíbrio:
∑ M = 0 → MA + 20x3 +20x3 +20x6 -20x6 = 0 → MA = -120KNm 
∑ MT = 0 → MTA +20x2+20x2-20x2 +20x2=0 → MTA = - 80KNm
∑ V = 0 → VA -20 -20 +20 – 20 = 0 → VA=40 KN
A
B C
E
D
F
VA
F G
MA
MTA
GRELHAS
Ex6.
GRELHAS
Ex6. DCL+CARGAS EQUIVALENTES
Equações de Equilíbrio:
∑ MAD = 0 → -RBx2+RCx4,0 - 80x2 = 0 → -
2RB+4RC=160 → -RB+2RC=80 (I)
∑ MBC = 0 → -80x2 +27x0,675+RAx4= 0 → 
4RA=141,78 → RA=35,44KN
∑ V=0→RA + RB+RC –80 –27 –80-30=0
→35,44 +RB+RC =217
RB+RC =181,56 (II) 
Da Eq. II → RB = 181,56-RC 
SUSBT NA EQ. I → -181,56+RC+2RC=80 → 
RC= 87,19KN 
SUSBT NA EQ. II 
RB= 181,56-RC → RB = 94,37KN
GRELHAS
Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS
GRELHAS
Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 3
0≤ X < 2
CORTANTE (Q) = 94,37
MOMENTO FLETOR = 94,37X
MOMENTO TORÇOR = 0
SEÇÃO Q MF MT
X=0 94,37 0 0
X=1 97,37 94,37 0
X=2 94,37 188,74 0
GRELHAS
Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 4
0≤ X < 4
CORTANTE (Q) = -87,19 +20X
MOMENTO FLETOR = 87,19X-10X²
MOMENTO TORÇOR = 0
SEÇÃO Q MF MT
X=0 - 87,19 0 0
X=2 -47,19 134,38 0
X=4 -7,19 188,76 0
GRELHAS
Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 2
0≤ X < 1,35
CORTANTE (Q) = 20X
MOMENTO FLETOR = - 10X²
MOMENTO TORÇOR = 0
SEÇÃO Q MF
X=0 0 0
X=0,675 13,50 -4,56
X=1,35 27,00 (*30,00) -18,23
GRELHAS
Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 1
GRELHAS
Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 1
0≤ X < 4
CORTANTE (Q) = -44,56+20X
MOMENTO FLETOR = 44,56X-10X²-18,23
MOMENTO TORÇOR = 0
SEÇÃO Q MF MT
X=0 - 44,56 -18,23 0
X=2 -4,56 30,89 0
X=4 35,44 0,00 0
GRELHAS
Ex6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS – BARRA 1
DEQ
DMF
GRELHAS
Ex7.
GRELHAS
Ex7. DCL+C.EQUIV
Equações de equilíbrio:
∑ MAB = 0 → REx4- 225x2-6x4+RHx2=0 →4RE+2HR=474 →2RE+RH=237 (I)
∑ MGH = 0 →REx6,5-6x6,5+RBx5-225X2,5+6x1,5+6x1,5=0 →6,5RE+5RB=583,5
1,3RE+RB=116,70 (II)
∑ V = 0 → RB + RE+ RH-6-6-6-225=0→ RB+RE+RH=243 (III)
Da Eq. (I) → RH=237 -2RE → DA Eq. (II) 1,3RE+RB=116,7 →RB=116,7 -1,3RE
Subst.em (III) →116,7-1,3RE+RE+237-2RE=243 →-2,3RE=-110,70→ RE=48,13KN
RH=237-2RE → RH=140,74KN
RB=116,7-1,3RE → RB=116,70-1,3x48,13→RB=54,13KN
GRELHAS
Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES
GRELHAS
Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRAS 1 e 4
BARRA 1 - 0≤X<1,5
Q= -6
MF=-6X
MT=0
BARRA 4 - 0≤X<1,5
Q= 48,13
MF=48,13X
MT=0
X Q MF MT
0 -6 0 0
0,75 -6 -4,5 0
1,5 -6 (*54,13) -9 0
X Q MF MT
0 48,13 0 0
0,75 48,13 36,10 0
1,5 48,13 72,20 0
GRELHAS
Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRAS 2 e 3
BARRA 2 - 0≤X<2
Q= 48,13
MF=48,13X
MT=-9
BARRA 3 - 0≤X<2,0
Q= -48,13
MF=48,13X
MT=72,20
X Q MF MT
0 48,13 0 9
1 48,13 48,13 9
2 48,13 96,26 9
X Q MF MT
0 -48,13 0 72,20
1 -48,13 48,13 72,20
2 -48,13 96,26 72,20
GRELHAS
Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRAS 8 e 9
BARRA 8 - 0≤X<1,5
Q= 6
MF=-6X
MT=0
BARRA 9 - 0≤X<1,5
Q= 6
MF=-6X
MT=0
X Q MF MT
0 6 0 0
0,75 6 -4,5 0
1,5 6 -9,0 0
X Q MF MT
0 6 0 0
0,75 6 -4,5 0
1,5 6 -9 0
GRELHAS
Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRAS 6 e 7
BARRA 6- 0≤X<2,0
Q= -6
MF=-6X
MT=-9
BARRA7 - 0≤X<2,0
Q= 6
MF=-6X
MT=9
X Q MF MT
0 -6 0 -9
1 -6 -6 -9
2 -6 -12 -9
X Q MF MT
0 -6 0 9
1 -6 -6 9
2 -6 -12 9
GRELHAS
Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRA 5
GRELHAS
Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRA 5
GRELHAS
Ex7: ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – BARRAS 5
BARRA5 - 0≤X<5,0
Q= 96,26-45X
MF=96,26X-22,5X²+63,20
MT=0
X Q MF MT
0 96,26 63,20 0
2,5 -16,24 163,23 0
5 -128,74(*128,74) -18 (*18) 0
GRELHAS
D
IA
G
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