FUNDAMENTOS DE ANÁLISE

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1a Questão 
 
 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas 
de Peano. 
Considere o terceiro axioma de Peano abaixo. 
P3: N-s(N) consta de um só elemento. 
É somente correto afirmar que 
(I) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n) para todo n∈N. 
(III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N. 
 
 
 
(II) e (III) 
 (III) 
 (I) e (II) 
 
(I) e (III) 
 
(II) 
 
 2a Questão 
 
 
Considerando o conjunto dos números naturais como N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 
quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma. 
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
 
 
 Todo número natural é sucessor de algum numero natural. 
 
Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural. 
 
Todo número natural possui um sucessor que não é natural. 
 
Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural. 
 Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. 
 
 3a Questão 
 
 
Decida se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas: 
 
(1) 
Se limn→∞an=∞limn→∞an=∞ e bn=n2+3bn=n2+3 então limn→∞anbnlimn→
∞anbn= ∞∞ 
(2) Se an→0an→0 e bn→∞bn→∞ então anbn→0anbn→0 
(3) Se anan e bnbn são ambas seqüências não convergentes, então a 
seqüência an+bnan+bn não converge. 
(4) Se limn→∞an=−∞limn→∞an=-
∞ e limn→∞bn=∞limn→∞bn=∞ então limn→∞anbnlimn→∞anbn= −1-1. 
(5) Se anan converge então ∑∑anan também converge. 
 
 
 As proposições (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (1), (4) e (5) são falsas. 
 
Todas são verdadeiras. 
 
As proposições (1), (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (4) e (5) são falsas. 
 Todas são falsas 
 
As proposições (1), (4) e (5) são verdadeiras e as prosições (2) e (3) são falsas. 
 
 4a Questão 
 
 
Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu nome, obtemos respectivamente, 
(I) m+(n+p)=(m+n)+pm+(n+p)=(m+n)+p 
(II) n+m=m+nn+m=m+n 
(III) Dados m,n∈Nm,n∈N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: 
 m=nm=n ou 
 ∃p∈N∃p∈N tal que m=n+pm=n+p ou 
 ∃p∈N∃p∈N tal que n=m+pn=m+p . 
(IV) m+n=m+p⇒n=pm+n=m+p⇒n=p 
 
 
 (I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. 
 (I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa. 
 (I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. 
 (I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte 
 (I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa. 
 
 
 5a Questão 
 
 
Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, obtemos respectivamente, 
(I) se m 
(II) Dados m,n pertencentes a N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: ou m=n ou mn 
(III) se m<="" n+p 
 
 
<="" m+p="" tem-se="" n*,="" a="" pertencente="" p="" todo="" para="" então,=""> 
<="" m+p="" tem-se="" a="" pertencente="" p="" todo="" para="" n*=""> 
 
 
 (I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia. 
 
(I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa. 
 
(I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia. 
 
(I) Monotonicidade da Adição, (II) Tricotomia e (III) Transitividade. 
 (I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição. 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere o resultado: Se m < n e n < p então m < p. Marque a alternativa que apresenta a 
demonstração correta dele. 
 
 
 Se m < n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), 
portanto m < p. 
 Se m > n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), 
portanto m > p. 
 Se m < n e n < p então, temos que: n = k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto 
m < p. 
 Se n < p então, temos que: n = m + k e p = n. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p. 
 Se m < n então, temos que: n = m + k e p = n + r . Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto 
m < p. 
 
 7a Questão 
 
 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas 
de Peano. 
O segundo dos axiomas de Peano é P2. 
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que s(m)=s(n)⟹m=n 
 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais. 
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. 
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor. 
 
 
 (II) e (III) 
 (I) e (II) 
 
(III) 
 
(I) e (III) 
 
(II) 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Considerando o conjunto dos números naturais como N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 
quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma. 
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
 
 
 
Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural. 
 
Todo número natural possui um sucessor que não é natural. 
 
Todo número natural é sucessor de algum numero natural. 
 Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. 
 
Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural. 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. 
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, 
dito sucessor de n. 
 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem 
sucessores diferentes. 
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um 
de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N. 
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto 
 
 
 
 
II e III somente. 
 I e II somente. 
 I, II e III. 
 
I e III somente. 
 
I somente. 
 
 2a Questão 
 
 
Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, obtemos respectivamente, 
(I) se m 
(II) Dados m,n pertencentes a N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: ou m=n ou mn 
(III) se m<="" n+p 
 
 
<="" m+p="" tem-se="" n*,="" a="" pertencente="" p="" todo="" para="" então,=""> 
<="" m+p="" tem-se="" a="" pertencente="" p="" todo="" para="" n*=""> 
 
 
 (I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia. 
 
(I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia. 
 
(I) Monotonicidade da Adição, (II) Tricotomia e (III) Transitividade. 
 
(I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa. 
 (I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição. 
 
 3a Questão 
 
 
Considerando o conjunto dos números naturais como N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 
quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma. 
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
 
 
Todo número natural possui um sucessor que não é natural. 
 
Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural. 
 
Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. 
 
Todo número natural é sucessor de algum numero natural. 
 
 
 4a Questão 
 
 
Considere o resultado: Se m < n e n < p então m < p. Marque a alternativa que apresenta a 
demonstração correta dele. 
 
 
 Se m > n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), 
portanto m > p. 
 Se m < n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), 
portanto m < p. 
 Se m < n então, temos que: n = m + k e p = n + r . Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto 
m < p. 
 Se m < n e n < p então, temos que: n = k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto 
m < p. 
 Se n < p então, temos que: n = m + k e p = n. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p. 
 
 5a Questão 
 
 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas 
de Peano. 
Considere o terceiro axioma de Peano abaixo. 
P3: N-s(N) consta de um só elemento. 
É somente correto afirmar que 
(I) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n) para todo n∈N. 
(III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N. 
 
 
 
(II) e (III) 
 (I) e (II) 
 
(I) e (III) 
 
(III) 
 
(II) 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considerando o conjunto dos números naturais como N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 
quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma. 
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
 
 
 Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. 
 
Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural. 
 
Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural. 
 
Todo número natural possui um sucessor que não é natural. 
 
Todo número natural é sucessor de algum numero natural. 
Respondido em 22/05/2020 19:22:16 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas 
de Peano. 
O segundo dos axiomas de Peano é P2. 
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que s(m)=s(n)⟹m=n 
 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais. 
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. 
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor. 
 
 
 
(I) e (III) 
 
(II) 
 
(II) e (III) 
 
(III) 
 (I) e (II) 
 
 8a Questão 
 
 
Decida se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas: 
 
(1) 
Se limn→∞an=∞limn→∞an=∞ e bn=n2+3bn=n2+3 então limn→∞anbnlimn→
∞anbn= ∞∞ 
(2) Se an→0an→0 e bn→∞bn→∞ então anbn→0anbn→0 
(3) Se anan e bnbn são ambas seqüências não convergentes, então a 
seqüência an+bnan+bn não converge. 
(4) Se limn→∞an=−∞limn→∞an=-
∞ e limn→∞bn=∞limn→∞bn=∞ então limn→∞anbnlimn→∞anbn= −1-1. 
(5) Se anan converge então ∑∑anan também converge. 
 
 
 
As proposições (1), (4) e (5) são verdadeiras e as prosições (2) e (3) são falsas. 
 
As proposições (1), (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (4) e (5) são falsas. 
 
As proposições (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (1), (4) e (5) são falsas. 
 
Todas são verdadeiras. 
 Todas são falsas 
 
 
 1a Questão 
 
 
Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu nome, obtemos respectivamente, 
(I) m+(n+p)=(m+n)+pm+(n+p)=(m+n)+p 
(II) n+m=m+nn+m=m+n 
(III) Dados m,n∈Nm,n∈N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: 
 m=nm=n ou 
 ∃p∈N∃p∈N tal que m=n+pm=n+p ou 
 ∃p∈N∃p∈N tal que n=m+pn=m+p . 
(IV) m+n=m+p⇒n=pm+n=m+p⇒n=p 
 
 
 (I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. 
 (I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte 
 (I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. 
 (I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa. 
 (I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa. 
 
 
 2a Questão 
 
 
Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. 
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, 
dito sucessor de n. 
 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem 
sucessores diferentes. 
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um 
de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N. 
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto 
 
 
 
 I, II e III. 
 
I somente. 
 
I e II somente. 
 
II e III somente. 
 
I e III somente. 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas 
de Peano. 
O segundo dos axiomas de Peano é P2. 
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que s(m)=s(n)⟹m=n 
 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais. 
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. 
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor. 
 
 
 (I) e (II) 
 
(I) e (III) 
 
(II) e (III) 
 
(II) 
 
(III) 
 
 
 4a Questão 
 
 
Considere o resultado: Se m < n e n < p então m < p. Marque a alternativa que apresenta a 
demonstração correta dele. 
 
 
 Se n < p então, temos que: n = m + k e p = n. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p. 
 Se m < n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), 
portanto m < p. 
 Se m > n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), 
portanto m > p. 
 Se m < n então, temos que: n = m + k e p = n + r . Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto 
m < p. 
 Se m < n e n < p então, temos que: n = k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto 
m < p. 
 
 
 5a Questão 
 
 
Decida se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas: 
 
(1) 
Se limn→∞an=∞limn→∞an=∞ e bn=n2+3bn=n2+3 então limn→∞anbnlimn→
∞anbn= ∞∞ 
(2) Se an→0an→0 e bn→∞bn→∞ então anbn→0anbn→0 
(3) Se anan e bnbn são ambas seqüências não convergentes, então a 
seqüência an+bnan+bn não converge. 
(4) Se limn→∞an=−∞limn→∞an=-
∞ e limn→∞bn=∞limn→∞bn=∞ então limn→∞anbnlimn→∞anbn= −1-1. 
(5) Se anan converge então ∑∑anan também converge. 
 
 
 Todas são falsas 
 
Todas são verdadeiras. 
 
As proposições (1), (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (4) e (5) são falsas. 
 
As proposições (1), (4) e (5) são verdadeiras e as prosições (2) e (3) são falsas. 
 
As proposições (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (1), (4) e (5) são falsas. 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considerando o conjunto dos números naturais como N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 
quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma. 
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
 
 
 Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. 
 
Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural. 
 
Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um númeronatural. 
 
Todo número natural é sucessor de algum numero natural. 
 
Todo número natural possui um sucessor que não é natural. 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considerando o conjunto dos números naturais como N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 
quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma. 
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
 
 
 
Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural. 
 
Todo número natural é sucessor de algum numero natural. 
 Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. 
 
Todo número natural possui um sucessor que não é natural. 
 
Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural. 
 
 8a Questão 
 
 
Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, obtemos respectivamente, 
(I) se m 
(II) Dados m,n pertencentes a N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: ou m=n ou mn 
(III) se m<="" n+p 
 
 
<="" m+p="" tem-se="" n*,="" a="" pertencente="" p="" todo="" para="" então,=""> 
<="" m+p="" tem-se="" a="" pertencente="" p="" todo="" para="" n*=""> 
 
 
 
(I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia. 
 (I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição. 
 
(I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa. 
 
(I) Monotonicidade da Adição, (II) Tricotomia e (III) Transitividade. 
 
(I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia.