Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
I DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS ESTRUTURA CONTÍNUA ISOSTÁTICA ISABEL ALVIM TELES A 50 kN/m 10 kN C D B 60 kN 2.0 m T = +25 °C T = -10 °C 0.30 0.40 5mm 0.30 0.50 0.30 0.40 I TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES versão 0 1/8 TTV – Estrutura continua isostática DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIO PROPOSTO Considere a estrutura de betão (E=30 GPa; α=1,2x10-5 /°C) constituída por dois pilares e uma viga com secções rectangulares conforme representado na figura. Para além do carregamento, a estrutura está submetida à seguinte variação de temperatura: -10 °C no exterior e +25°C no interior. O apoio A sofreu um assentamento de 5 mm. Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso. a) Determine o deslocamento do apoio A; b) Determine a rotação do pilar no apoio B; c) Determine que força horizontal deverá ser aplicada em D para que o apoio A não sofra qualquer deslocamento horizontal. RESOLUÇÃO • Cálculo das reacções – sistema real 0 M 0 Fy 0 Fx B = = = ∑ ∑ ∑ 0 V 51,5602,5550310 0 550 V V 0 60 10 H A BA B =+×−××−× =×−+ =−+ kN 137 V kN 113 V kN 50 H A B B ↑= ↑= →= 5.0 m A 50 kN/m 1.5 m 1.5 m 10 kN C D B 60 kN 2.0 m T = +25 °C T = -10 °C 0.30 0.40 5mm 0.30 0.50 0.30 0.40 5 m A 50 kN/m 1.5 m 1.5 m 10 kN C D B 60 kN 2 m VA HB VB I TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES versão 0 2/8 TTV – Estrutura continua isostática DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL • Diagramas de Esforços – sistema real Esforço axial N (kN) Momento flector M (kNm) Barra CD – expressão do momento flector: 25137 M(z) 2ZZ ×−×= Alínea a) - Deslocamento do apoio A O deslocamento vertical do apoio A corresponde ao seu assentamento, ou seja: mm 5 vA =δ Passemos ao cálculo do deslocamento horizontal do apoio A. • Deslocamento horizontal de A – sistema virtual 0 M 0 Fy 0 Fx = = = ∑ ∑ ∑ kN 0,2 V kN 0,2 V kN 1 H A B B ↓= ↑= ←= 5 m A 50 kN/m 1.5 m 1.5 m 10 kN C D B 60 kN 2 m 137 kN 113 kN 50 kN 5 m A 3 m C D B 2 m -1 3 7 -1 1 3 -10 5 m A C D B 2 m 1.5 m 1.5 m -7 5 -6 0 60 E Z ⇴ 1 kN 3 m 0,2kN 1kN 5 m A C D B 2 m 0,2kN I TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES versão 0 3/8 TTV – Estrutura continua isostática DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL • Diagramas de Esforços – sistema virtual Esforço axial N (kN) Momento flector M (kNm) Barra CD – expressão do momento flector: 0,2 2 (z)M Z×+= TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS (desprezando a contribuição do esforço transverso): ( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+ dz.h T T . M dz.T . . N dz E MM dz A E NN apoio assent. R δ x 1 sup inf m h A Σ I [ ] [ ] 6- 66 D C D B C A 1014,722 510)(1)( 104,5 1 3113)(0,2)( 2)137(0,2 103,6 1 dz A E NN dz A E NN dz A E NN dz A E NN ×=×−×− × +×−×−+×−× × = = ×+×+×=× ∫∫∫∫ -3-3-3 VigaPilares 1021,6712 108,15561 103,5156 dz E MM dz E MM dz E MM ×−=×−×−= ×+ × = × ∫∫∫ III 3- 4 4 Pilares 103,5156 225)(56,25 104,8 1 )60(32)75(3)60(5,1)75(1,5(2 6 1,5 3 ,5175)(1,5 104,8 1 dz E MM ×−=− × = = −××+−×+−×+−××+ ×−× × = ×∫ I PILARES Barras AC e BD (bxh) = 0,30x0,40 m2 266 mkPa 103,6 40,0 30,0 1030 A E ××=×××= 44 3 6 mkPa 104,8 12 0,400,30 1030 E ××= × ××=I VIGA Barra CD (bxh) = 0,30x0,5 m2 266 mkPa 104,5 50,0 30,0 1030 A E ××=×××= 44 3 6 mkPa 109,375 12 0,500,30 1030 E ××= × ××=I 5 m A 3 m C D B 2 m 0 ,2 -1 5 m A C D B 2 m 1.5 m 1.5 m -3 3 E Z -0 ,2 1 ,5 -2 -2 I TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES versão 0 4/8 TTV – Estrutura continua isostática DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 3- 5 0 234 4 6 0 23 4 6 0 2 4 Viga 108,15561 Z 2 274 Z 3 22,6 Z 4 5 109,375 1 dz Z)274Z22,6 Z5( 109,375 1 dz )Z25Z137(Z)0,2 (2 109,375 1 dz E MM ×−= −+ × = =×−×+× × = =×−×××+ × = × ∫ ∫∫ I C7,5 2 25 10 T m o = +− = 4-5- -5 mm 1068,4 )32,0512(0,25,7101,2 dz . N5,7101,2 dz . N .T . dz .T . . N ×−=×−×−××××= =×××=α=α ∫∫∫ Barra AC (h=0,40 m) 87,5 40,0 10)( 25 h T T C 10 T C 25 T sup inf sup inf = −− = − ⇒ −= = o o Barra CD (h=0,50 m) 70 50,0 10)( 25 h T T C10 T C25 T sup inf sup inf = −− = − ⇒ −= = o o Barra BD (h=0,40 m) 87,5 40,0 2510)( h T T C25 T C10 T sup inf sup inf −= −− = − ⇒ = −= o o [ ] [ ] [ ] 10 17,325 10 )725,45,101,2( 2 33101,05 5 2 )3(2 100,84 2 22101,05 dz M )5,87(10 1,2 dz M 7010 1,2 dz M 5,8710 1,2 dz. h T T . M 3-3- 3-3-3- D B -5D C -5C A -5sup inf ×−=×−−−= = ×××−× −+− ××+×−××= =×−××+×××+×××= − α ∫∫∫∫ ( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+ dz.h T T . M dz.T . . N dz E MM dz A E NN apoio assent. R δ x 1 sup inf m h A Σ I -3-4-3-6h A 10 17,325 1068,4 1021,6712 1014,722 0,005 0,2 δ ×−×−×−×=×+ mm 4,40 mc 04,4 m104,04 δ -2h A −=−=×−= mm 5 δ v A = mc 40,7 50,44( )(δ)(δ δ 222v A 2h AA =+=+= ⇴ ⇴ δvA δhA δA I TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES versão 0 5/8 TTV – Estrutura continua isostática DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Alínea b) - Rotação do apoio B • Rotação de B – sistema virtual 0 M 0 Fy 0 Fx = = = ∑ ∑ ∑ kN 0,2 V kN 0,2 V 0 H A B B ↓= ↑= = • Diagramas de Esforços – sistema virtual Esforço axial N (kN) Momento flector M (kNm) Barra CD – expressão do momento flector: 0,2 (z)M Z×−= TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS (desprezando a contribuição do esforço transverso): ( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+θ dz.h T T . M dz.T . . N dz E MM dz A E NN apoio assent. R x 1 sup inf mB Σ I [ ] 6- 6 D C D B C A 103,611 0 3113)(0,2)( 2)137(0,2 103,6 1 dz A E NN dz A E NN dz A E NN dz A E NN ×=+×−×−+×−× × = = ×+×+×=× ∫∫∫∫ 5 m A C D B 2 m 0,2kN 1 kNm 3 m 0,2kN 5 m A 3 m C D B 2 m 0 ,2 5 m A C D B 2 m -1 Z -0 ,2 1 3 m I TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES versão 0 6/8 TTV – Estrutura continua isostática DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 3-3-3- VigaPilares 10,712354 10,43111 103,28125 dz E MM dz E MM dz E MM ×−=×−×−= ×+ × = × ∫∫∫ III 3- 44 Pilares 10,281253 104,8 157,5 11,5 2 6075 2 5,175)(1 104,8 1 dz E MM ×−= × − = ××−−+ ×−× × = ×∫ I 3- 5 0 23 4 6 0 2 4 6 0 2 4 Viga 10,43111 Z 2 4,27 Z 3 5 109,375 1 dz Z)4,27Z5( 109,375 1 dz )Z25Z137(Z)0,2 ( 109,375 1 dz E MM ×−= − × = =×−× × = =×−×××− × = × ∫ ∫∫ I C 7,5 2 25 10 Tm o = +− = 5-5- -5 mm 108,1 )32,02(0,25,7101,2 dz . N5,7101,2 dz . N .T . dz .T . . N ×−=×−××××= =×××=α=α ∫∫∫ Barra AC (h=0,40 m) 87,5 40,0 10)( 25 h T T C 10 T C 25 T sup inf sup inf = −− = − ⇒ −= = o o Barra CD (h=0,50 m) 70 50,0 10)( 25 h T T C10 T C25 T sup inf sup inf = −− = − ⇒ −= = o o Barra BD (h=0,40 m) 87,5 40,0 2510)( h T T C25 T C10 T sup inf sup inf −= −− = − ⇒ = −= o o [ ] [ ] [ ] 10 ,255 )31(101,05 2 51100,84 0 dz M )5,87(10 1,2 dz M 7010 1,2 dz M 5,8710 1,2 dz. h T T . M 3-3-3- D B 5-D C 5-C A 5-sup inf ×−=×××−×−××+= =×−××+×××+×××= − α ∫∫∫∫ ( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+θ dz.h T T . M dz.T . . N dz E MM dz A E NN apoio assent. R x 1 sup inf mB Σ I -3-5-3-6 B 10 5,25 108,1 10,712354 103,611 0,005 0,2 ×−×−×−×=×+θ o 629,0 rad 101,098 -2 B −=×−=θ � I TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES versão 0 7/8 TTV – Estrutura continua isostática DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Alínea c) Na alínea a) foi determinado o deslocamento horizontal do apoio A: mm 40,4 m104,04 δ -2hA =×= Pretende-se calcular a força horizontal a actuar em D que anule esse deslocamento. Ou seja, quando na estrutura actua uma força horizontal F, o deslocamento do ponto A deverá ser: m m 40,4 δhA = Sistema real Sistema virtual • Diagramas de Esforços – sistema real Esforço axial N (kN) Momento flector M (kNm) • Diagramas de Esforços – sistema virtual Esforço axial N (kN) Momento flector M (kNm) ⇴ A C D B F 40,4mm 5 m A 3 m C D B 2 m 0 ,2 5 m A C D B 2 m -1 Z -0 ,2 1 3 m 5 m A 3 m C D B 2 m 0, 6 F 5 m A C D B 2 m Z 3 m -0 ,6 F -3 F 3 F 5 m A C D B 2 m 3 m F 0,6F 0,6F F 40,4mm 5 m A C D B 2 m 0,2kN 1 kN 3 m 0,2kN 1kN ⇴ I TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES versão 0 8/8 TTV – Estrutura continua isostática DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS (desprezando a contribuição do esforço transverso): ( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+δ dz.h T T . M dz.T . . N dz E MM dz A E NN apoio assent. R x 1 sup inf mA Σ I [ ] 6- 6 D C D B C A 10 6 F 0 3F) 6,0(0,2)( 2F 6,00,2 103,6 1 dz A E NN dz A E NN dz A E NN dz A E NN ×=+×−×−+×× × = = ×+×+×=× ∫∫∫∫ 4-4-4- VigaPilares 10 F ,00834 01 9,375 F 20 10 F 875,1 dz E MM dz E MM dz E MM ×=×+×= ×+ × = × ∫∫∫ III 4- 44 Pilares 10 F 875,1 101,6 F 3 3 3F 33 104,8 1 dz E MM ×= × = ××× × = ×∫ I 4- 4 Viga 10 9,375 F 20 3)22( 6 53F 109,375 1 dz E MM ×=×−−××+× × = ×∫ I ( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+ dz.h T T . M dz.T . . N dz E MM dz A E NN apoio assent. R δ x 1 sup inf m h A Σ I -4-6-3 10 F ,00834 10 6 F 1040,41 ×+×=×× →= kN 100,75 F
Compartilhar