Função Exponencial Respostas

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Encontro 3- Funções Exponenciais 
A função exponencial é toda função de ℝ em ℝ*+ , definida por f(x) = a
x, onde a 
é um número real, maior que zero e diferente de 1. 
Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é 
sempre maior que zero e diferente de um. 
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. 
Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante. 
Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns 
expoentes a função não estaria definida. 
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos 
números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da 
função para esse valor. 
Exemplos: 
f(x) = 4
x
 
f(x) = (0,1)
x
 
f(x) = (⅔)
x
 
 
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente. 
 
Gráfico da função exponencial 
 
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é 
igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x. 
Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá 
sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV 
(imagem negativa). 
Abaixo representamos o gráfico da função exponencial. 
 
Função Crescente ou Decrescente 
 
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente. 
Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2
x 
é 
uma função crescente. 
Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no 
expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na 
tabela abaixo. 
 
Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua 
imagem também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função. 
 
 
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 
1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)
x
 é uma função decrescente. 
Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela abaixo. 
 
Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores 
das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = 
(1/2)
x
 é uma função decrescente. 
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note 
que quanto maior o x, mais perto do zero a curva exponencial fica. 
 
Atividades 
1- Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu 
valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 . 2 
-0,2t
, em que v0 é uma 
constante real. 
Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor 
que ela foi comprada. 
 
2- (PUCC-SP) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r km a partir do 
seu centro é dado por P(r) = k . 2
3r
, em que k é constante e r > 0. 
Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num 
raio de 3 km do centro? 
3- Um grupo de biólogos está estudando o desenvolvimento de uma determinada 
colônia de bactérias e descobriu que sob condições ideais, o número de bactérias pode 
ser encontrado através da expressão N(t) = 2000 . 2
0,5t
, sendo t em horas. 
Considerando essas condições, quanto tempo após o início da observação, o 
número de bactérias será igual a 8192000? 
4- Os materiais radioativos possuem uma tendência natural, ao longo do tempo, de 
desintegrar sua massa radioativa. O tempo necessário para que metade da sua massa 
radioativa se desintegre é chamado de meia-vida. 
A quantidade de material radioativo de um determinado elemento é dado por: 
N(t) = 𝑁0 . (
1
2
)
𝑡
𝑇 
 
Sendo, 
N(t): a quantidade de material radioativo (em gramas), em um determinado tempo. 
N0: a quantidade inicial de material (em gramas) 
T: o tempo da meia vida (em anos) 
t: tempo (em anos) 
Considerando que a meia-vida deste elemento é igual a 28 anos, determine o tempo 
necessário para que o material radioativo se reduza a 25% da sua quantidade inicial. 
5- Em meio a essa pandemia do COVID 19 é feita uma estimativa, por especialista, que 
para cada pessoa que se contamina pelo Corona Vírus ela contaminará 3 outras pessoas. 
Para cada uma dessas novas pessoas contaminadas repassará o vírus para outras 3 novas 
pessoas. Considerando esse quadro e que a primeira pessoa se contaminou no primeiro 
dia do mês, as outras 3 pessoas se contaminaram no segundo dia, e assim por diante, 
responda: 
a) Escreva a sequência numérica de pessoas contaminadas a partir da primeira 
pessoa contaminada no primeiro dia (supostamente). Qual será a quantidade de 
pessoas contaminadas em 1 mês e em 2 meses ? 
b) Por meio dessa sequência, escreva a função exponencial associada. 
c) Esboce o gráfico dessa função.