Aula VII - Conjuntos

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MATEMÁTICA EMPRESARIAL
Aula VII – CONJUNTOS
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CONJUNTOS
	Chamamos de conjuntos a toda aglomeração de coisas (pessoas, objetos, etc) que possuam alguma característica em comum.
Ex:
Conjunto de mulheres;
Conjunto das vogais;
Conjunto dos alunos da turma.
 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS
O conceito de conjunto é intuitivo; um conjunto é constituído de elementos, e costumam ser indicados pelas letras maiúsculas latinas: A, B, C... 
Para indicarmos que um certo elemento pertence a um conjunto, usamos o símbolo , e para indicarmos que o elemento não pertence ao conjunto, usamos o símbolo . 
Um conjunto que não apresenta nenhum elemento é chamado vazio e indicado por ou { }.
Conjunto Unitário: é formado por um único elemento. Exemplo: C= {5}.
Conjunto Finito: é aquele que conseguimos chegar ao fim da contagem de seus elementos. Exemplo: B = {1, 2, 3, 4}.
Conjunto Infinito: é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao fim da contagem. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, ....}.
Conjunto Iguais: Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Exemplo: A = {a, r, t, e} e B = {r, t, a, e}.
ELEMENTOS
	Tudo que está dentro de um conjunto.
OBS:
Elementos são representados por letras minúsculas;
Conjuntos são representados por letras maiúsculas.
REPRESENTAÇÃO
A
a
b
c
d
e
A = {a, b, c, d, e}
REPRESENTAÇÃO
A
a
b
c
d
e
A = {a, b, c, d, e}
Tudo que está dentro das chaves é considerado elemento!
Conjunto vazio = { }
ou também podemos usar o símbolo . 
SÍMBOLOS
  Pertence 
  Contido
  Contém
n(A) = número de elementos 
do conjunto A
OBS: Usamos os símbolos de pertence quando estamos relacionando elemento e conjunto.
Já os símbolos de contido e contém, usamos quando relacionamos dois conjuntos.
EXEMPLOS
B
a
i
u
o
e
A = {a, b, c, d, e}
c ___ A
b ___ B
u ___ A
a ___ A
a ___ B
EXEMPLOS
B
a
i
u
o
e
A = {a, b, c, d, e}
c ___ A
b ___ B
u ___ A
a ___ A
a ___ B





OBS: Usamos os símbolos de pertence quando estamos relacionando 
elemento e conjunto.
Já os símbolos de contido e contém, usamos quando relacionamos dois conjuntos.
Ex:
A = {a, b, c, d, e}
B = {a, b, e}
C = {a, c, e, g}
B ___ A
A ___ B
C ___ A
A ___ C
C ___ B
E agora?
Como saber se uso o
contido () ou o contém ()?
VAMOS AO EXEMPLO DA PISCINA!
VAMOS AO EXEMPLO DA PISCINA!
Quando ela entra na piscina, ela passa a ESTAR CONTIDA na piscina ou ela passa a CONTER a piscina?
Quando ela entra na piscina, a piscina passa a ESTAR CONTIDA dentro da R$@%& ou a piscina passa a CONTER a R$@%& dentro dela??
VAMOS AO EXEMPLO DA PISCINA!
Quando ela entra na piscina, ela passa a ESTAR CONTIDA na piscina ou ela passa a CONTER a piscina?
Quando ela entra na piscina, a piscina passa a ESTAR CONTIDA dentro da R$@%& ou a piscina passa a CONTER a R$@%& dentro dela??
CONTIDA
CONTÉM
Ex:
A = {a, b, c, d, e}
B = {a, b, e}
C = {a, c, e, g}
B ___ A
A ___ B
C ___ A
A ___ C
C ___ B
Ex:
A = {a, b, c, d, e}
B = {a, b, e}
C = {a, c, e, g}
B ___ A
A ___ B
C ___ A
A ___ C
C ___ B





SUBCONJUNTOS
Conjunto formado por parte de outro conjunto.
Ex:
A = {a, b, c}
Subconjuntos de A:
{a}, {b}, {c} – com 1 elemento
{a, b}, {a, c}, {b, c} – com 2 elementos
{a, b, c} – com 3 elementos
{ } – com zero elementos (o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
NÚMERO DE SUBCONJUNTOS
Calculamos o número de subconjuntos de um conjunto por 2n, onde n é o número de elementos do conjunto.
No exemplo anterior:
{a}, {b}, {c} – com 1 elemento
{a, b}, {a, c}, {b, c} – com 2 elementos
{a, b, c} – com 3 elementos
{ } – com zero elementos (o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
Temos 8 subconjuntos, isso pode ser calculado como:
23 = 8
OPERAÇÕES
B
a
i
u
o
e
A = {a, b, c, d, e}
União
Interseção
Diferença
UNIÃO ()
Agrupamento de todos os elementos dos conjuntos, independente se são iguais ou não.
B
a
i
u
o
e
A = {a, b, c, d, e}
A  B = {
UNIÃO ()
Agrupamento de todos os elementos dos conjuntos, independente se são iguais ou não.
B
a
i
u
o
e
A = {a, b, c, d, e}
A  B = {a, b, c, d, e, i, o, u}
Prof. Michael de Lima
INTERSEÇÃO ()
Agrupamento de todos os elementos comuns aos conjuntos. Em outras palavras, os elementos que pertencem a ambos os conjuntos. Em outras palavras, os elementos que são iguais nos diferentes conjuntos.
B
a
i
u
o
e
A = {a, b, c, d, e}
A  B = {
Prof. Michael de Lima
INTERSEÇÃO ()
Agrupamento de todos os elementos comuns aos conjuntos. Em outras palavras, os elementos que pertencem a ambos os conjuntos. Em outras palavras, os elementos que são iguais nos diferentes conjuntos.
B
a
i
u
o
e
A = {a, b, c, d, e}
A  B = {a, e}
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A
B
A
B
A
B
UNIÃO
INTERSEÇÃO
DIFERENÇA (A – B)
O primeiro conjunto será sempre a referência e, dele, iremos apagar todos os elementos que pertencem ao segundo conjunto.
Ex:
A
B
A
B
A – B 
B – A 
A = {a, b, c, d, e}
B = {a, e, i, o, u}
A – B = {
B – A = {
DIFERENÇA (A – B)
O primeiro conjunto será sempre a referência e, dele, iremos apagar todos os elementos que pertencem ao segundo conjunto.
Ex:
A
B
A
B
A – B 
B – A 
A = {a, b, c, d, e}
B = {a, e, i, o, u}
A – B = {b, c, d}
B – A = {i, o, u}
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
01- Uma grande fábrica de sapatos possui 1000 funcionários e é organizada em 10 setores, como o setor de Manutenção, Recursos Humanos, Almoxarifado, etc, se enquadrando nas normas internacionais, sendo uma das mais organizadas do país.
Com base nesse cenário, associe as colunas:
(1) Conjunto			( ) Funcionários
(2) Subconjunto		( ) Fábrica
(3) Elementos			( ) Setor de Recursos Humanos
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
01- Uma grande fábrica de sapatos possui 1000 funcionários e é organizada em 10 setores, como o setor de Manutenção, Recursos Humanos, Almoxarifado, etc, se enquadrando nas normas internacionais, sendo uma das mais organizadas do país.
Com base nesse cenário, associe as colunas:
(1) Conjunto			( 3 ) Funcionários
(2) Subconjunto		( 1 ) Fábrica
(3) Elementos			( 2 ) Setor de Recursos Humanos
02- Calcule os conjuntos pedidos, baseando-se nos conjuntos abaixo:
A = {1, 2, 4, 6, b, c} e B = {a, b, c, d, e} e C = {b, c, d}
 
a) A – B =
b) B  C = 
c) C – B =
d) B – A = 
02- Calcule os conjuntos pedidos, baseando-se nos conjuntos abaixo:
A = {1, 2, 4, 6, b, c} e B = {a, b, c, d, e} e C = {b, c, d}
 
a) A – B = {1, 2, 4, 6}
b) B  C = {a, b, c, d, e} 
c) C – B =  ou { }
d) B – A = {a, d, e}
03- Utilize o símbolo correspondente (, , ) e suas negações, baseando-se nos conjuntos abaixo:
A = {1, 2, 4, 6, b, c} e B = {a, b, c, d, e} e C = {b, c, d}
a) c ___ A		b) 2 ___ B		c) c ___ C		d) c ___ A  C
e) c ___ A  C		f) c ___ A – B 		g) A ___ C		h) C ___ B
i) B ___ A		j) A ___ B
03- Utilize o símbolo correspondente (, , ) e suas negações, baseando-se nos conjuntos abaixo:
A = {1, 2, 4, 6, b, c} e B = {a, b, c, d, e} e C = {b, c, d}
a) c ___ A		b) 2 ___ B		c) c ___ C		d) c ___ A  C
e) c ___ A  C		f) c ___ A – B 		g) A ___ C		h) C ___ B
i) B ___ A		j) A ___ B










CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS INTEIROS (Z)
Números inteiros positivos: N*= {1,2,3,4,5,6,...}
Números naturais (N): Necessidade de contagem dos objetos.		N = {0,1,2,3,4,5,6,...}
Da impossibilidade de efetuarmos a subtração a-b para todos os valores a e b de N, introduzimos os números inteiros negativos. 
Assim, o conjunto dos números inteiros é:
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Observe que qualquer inteiro a também é racional, pois
Todo número racional pode ser representado sob a forma decimal ou fração, bastando para isso dividirmos a por b. 
A representação decimal pode ser finita, ou infinita e periódica (caso onde a divisão resulta em uma dízima periódica). 
Q = {2/5; 2,3; – 0,05; – 2; 18; 5; 2,25} 
CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
 Um número irracional usado em Geometria é o número pi ( π ), dado por 3,141592...
 Números decimais infinitos.
 Se calcularmoso valor de algumas raízes na calculadora, perceberemos que o seu valor é um número irracional, como:
			√2 = 1, 414221...
			√3 = 1, 73205...
I = {√8; –√6; 2,36521452 ...}
CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS REAIS (R)
Chama-se conjunto dos números reais (R) aquele formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais. 
Ï
Î
f
.
1
a
a
=
þ
ý
ü
î
í
ì
¹
Î
Î
=
0
,
,
|
b
Z
b
Z
a
b
a
Q