MQE_2ps

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1 
Seção 2 
Álgebra Linear 
Métodos Quantitativos em Economia 
Prof. Gerson Lachtermacher 
Prof. Paulo Sérgio Coelho 
 
1 
Seção 2 
Modelo de Mercado de Duas 
Mercadorias 
2 
1 1
1 0 1 1 2 2
1 0 1 1 2 2
2 2
2 0 1 1 2 2
2 0 1 1 2 2
d s
d
s
d s
d
s
Q Q
Q a a P a P
Q b b P b P
Q Q
Q P P
Q P P
  
  

  
  

  
  
     
     
0 0 1 1 1 2 2 2
0 0 1 1 1 2 2 2
0
0
a b a b P a b P
P P     
     
     
1 1 2 2 0
1 1 2 2 0
c P c P c
P P  
  
  
Modelo Eliminando as variáveis de quantidade 
Visão simplificada 
2 
Seção 2 
Sistema de duas equações e duas 
variáveis 
3 
1 2
1 2
2 4
1
P P
P P
 
  
Seção 2 
Sistema de três equações e três 
variáveis 
4 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 5
2 1
4
P P P
P P P
P P P
  
  
  
3 
Seção 2 
Notação Matricial 
 Matrizes como arranjos 
5 
1 1 2 2 0
1 1 2 2 0
c P c P c
P P  
  
  
01 2 1
01 2 2
cc c P
P  
   
    
    
1 2
1 2
c c
A
 
 
  
 
1
2
P
x
P
 
  
 
0
0
c
d

 
  
 
Se Então podemos 
escrever: 
Ax d
Seção 2 
Generalizando 
6 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
.............................................
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x d
a x a x a x d
a x a x a x d
   
   
   
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
  
 
1
2
...
n
x
x
x
x
 
 
 
 
  
 
1
2
...
m
d
d
d
d
 
 
 
 
  
 
Se 
Então também 
Podemos escrever: 
Ax d
Dado um sistema com n 
variáveis e m equações: 
, e 
4 
Seção 2 
Matrizes 
 Uma matriz é um arranjo retangular (ou quadrado) de 
elementos, delimitado por parênteses ou colchetes; 
 Os elementos são variáveis, constantes ou parâmetros; 
 Os elementos estão dispostos em linhas e colunas e não 
precisam ser separados por vírgulas ou ponto e vírgula; 
 O conjunto é ordenado e índices podem ser usados para 
definir os elementos e até a matriz: 
7 
 
1,2,...,
1,2,...,
ij
i m
A a
j n



Seção 2 
Álgebra Matricial 
 Modo compacto de escrever um sistema de equações, 
mesmo que seja muito grande; 
 Possibilidade de avaliar soluções através de 
determinantes; 
 Método para achar a solução (se existir); 
 Aplicações: 
 Análise estática 
 Análise comparativa 
 Otimização 
8 
5 
Seção 2 
Álgebra Matricial como método para 
resolver sistemas de equações 
 Limitação: sistema que representa é linear; 
 
 Alternativas: 
 Se a natureza não for linear, pode ser simplificada? 
 Ou ainda, pode ser transformada? 
9 
by ax
log log logy a b x 
Seção 2 
Matriz 
A
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a m n
n
n
n
m m m mn

















11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
...
...
...
: : : :
... x 
aij - é o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna 
10 
6 
Seção 2 
Vetor Linha 
Vetor Coluna 
 Matrizes especiais que contêm apenas uma linha ou 
apenas uma coluna são chamados de vetores: 
11 
1
2
:
 1n
b
b
B
b n
 
 
 
 
 
  
  naaaA n 1 ...21 
Seção 2 
Igualdade 
 Uma matriz é igual a outra se: 
 tiverem as mesmas dimensões e 
 elementos correspondentes iguais 
12 
4 3 4 3 4 3 4
2 5 2 5 2 0 2
       
         
       
3
3 1 1
2 0 2
0
a
a b b
c d c
d


    
     
    
 
2 2 13
2 0
x x b
c d
   
    
  
7 
Seção 2 
Adição / Subtração de Matrizes 
A
a a a a
a a
a a a a
B
b b b b
b b
b b b b
A B
a b a b a b a b
a b
n
n
m m m mn
n
n
m m m mn
n n


























 
   

11 12 13 1
21 2
1 2 3
11 12 13 1
21 2
1 2 3
11 11 12 12 13 13 1 1
21
...
... ... ...
: : : : :
...
,
...
... ... ...
: : : : :
...
...
21 2 2
1 1 2 2 3 3
... ... ...
: : : : :
...
a b
a b a b a b a b
n n
m m m m m m mn mn

   












13 
Seção 2 
Adição / Subtração de Matrizes 
 Propriedade Comutativa 
 
 
 
 Propriedade Associativa 
 
 
ABBA 
   CBACBA 
14 
8 
Seção 2 
? 
Multiplicação por um escalar 
15 
Seção 2 
Multiplicação de Matrizes 
 Nem sempre é possível fazer a multiplicação de duas 
matrizes! 
 A quantidade de colunas da primeira matriz precisa ser igual à 
quantidade de linhas da segunda 
16 
4 3
2 5
A
 
  
 
1 4 2
5 2 3
B
 
  
 
Podemos calcular A.B 
mas não podemos 
calcular B.A 
9 
Seção 2 
Multiplicação de Matrizes 
 Cada elemento do resultado é obtido a partir de cada 
linha da primeira matriz e cada coluna da segunda: 
17 
4 3 1 4 2 4 1 3 5 4 4 3 2 4 2 3 3
2 5 5 2 3 2 1 5 5 2 4 5 2 2 2 5 3
19 22 17
27 18 19
             
      
             
 
  
 
Seção 2 
Multiplicação de Matrizes 
 O resultado da multiplicação de matrizes é uma matriz 
 Há uma única exceção, para um caso especial de 
multiplicação de vetores, chamado de produto interno, que 
descreveremos depois 
 
 A matriz resultado terá as dimensões determinadas pela 
quantidade de linhas da primeira matriz e a quantidade de 
colunas da segunda matriz. 
18 
10 
Seção 2 
Exemplo 
 Dados 
 
 
 
 Calcular: 
 A.B 
 
 
 B.A 
19 
1 3
2 8
4 0
A
 
 

 
  
5
9
B
 
  
 
1 5 3 9
2 5 8 9
4 5 0 9
AB
   
 
   
 
    
32
82
20
 
 

 
  
Não definido, pois a quantidade de colunas de B (1) 
não é igual à quantidade de linhas de A (3) 
e 
Seção 2 
Exemplo 
 Dados 
 
 
 Calcular: 
 A.B 
 
 
 
 B.A 
20 
3 1 2
1 0 3
4 0 2
A
 
 

 
  
0 2 3
1 2 7
0 4 1
B
 
 
 
 
  
e 
1 0 0
0 10 0
0 0 10
 
 

 
  
10 0 0
27 1 18
0 0 10
 
 

 
  
11 
Seção 2 
Exemplo 
 Dados 
 
 
 Calcular: 
 A.B 
 
 
 
 B.A 
21 
3 1 2
1 0 3
4 0 2
A
 
 

 
  
0 0,2 0,3
1 0,2 0,7
0 0,4 0,1
B
 
 
 
 
  
Sobre matriz identidade e 
matrizes inversas: 
• B é a inversa de A, ou seja, 
B = A-1 
• Também vale, A = B-1 
e 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 

 
  
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 

 
  
Seção 2 
Exemplo 
22 
6 3 1
1 4 2
4 1 5
A
 
 

 
  
1
2
3
x
x x
x
 
 
  
  
, e 
 Dados 
 
 
 
 
 Interprete o significado de 
22
12
10
d
 
 

 
  
Ax d
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6 3 22
4 2 12
4 5 10
x x x
x x x
x x x
  

  
   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6 3 22
4 2 12
4 5 10
x x x
x x x
x x x
    
   
     
      
12 
Seção 2 
Produto Interno ou 
Produto Escalar 
 Quando um vetor linha (1 x n), multiplica um vetor 
coluna (n x 1), o resultado é um escalar denominado 
Produto Interno. 
23 
Seção 2 
Exemplo 
 Se dispusermos as quantidades compradas de n 
produtos em um vetor linha 
 
 E dispusermos os custos 
destes produtos em um vetor coluna 
 
 Então o total gasto é expresso através do produto 
interno destes vetores: 
24 
1 2 ... nQ q q q    1
2
...
n
c
c
C
c
 
 
 
 
 
 
1 1 2 2 ... n nQ P q p p q p q       
13 
Seção 2 
Divisão de matrizes? 
 Não podemos dividir matrizes 
 
 
 Alternativamente podemos fazer 
 
 
 Que não necessariamente é igual a 
25 
/A B
A
B
Se A e B são matrizes, então ou não faz sentido 
1A B
1B A 
Seção 2 
Notação de somatório 
 Utilização de símbolos com índices é fundamental e 
abrevia a notação de soma de termos, muito comum em 
operações matriciais 
26 
3
1 2 3
1
j
j
x x x x

  
7
3 4 5 6 7
3
i
i
x x x x x x

    
0 1 20
...
n
k n
k
x x x x x

    
14 
Seção 2 
Notação de Somatório 
com termos mais complexos 
 
27 
 
3 3
1 2 3 1 2 3
1 1
i i
i i
ax ax ax ax a x x x a x
 
       
4
1 1 2 2 3 3 4 4
1
j j
j
a x a x a x a x a x

   
0 1 2 2
0 1 2 0 1 2
0
... ...
n
k n n
k n n
k
a x a x a x a x a x a a x a x a x

         
Seção 2 
Produtos de Matrizes 
como produtos internos 
 Sejam A=[aij]3 x 2 e B=[bij]2 x 1 
 então C=A x B é uma matriz 3x1 (exemplo) onde cada elemento é cij é o 
produto interno da do i-ésimo vetor linha de A e o j-ésimo vetor coluna de 
B: 
28 
2
11 11 11 12 21 1 1
1
k k
k
c a b a b a b

  
2
12 11 12 12 22 1 2
1
k k
k
c a b a b a b

  
2
21 21 11 22 21 2 1
1
k k
k
c a b a b a b

  
15 
Seção 2 
Produtos de Matrizes 
generalização 
 Sejam A=[aij]m x n e B=[bij]n x p então C=A x B é dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
C A B
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
m p
j j
j
n
j j
j
n
j jp
j
n
j j
j
n
j j
j
n
j jp
j
n
mj j
j
n
mj j
j
n
mj jp
j
n

  
  
  
  




















  
  
  
1 1
1
1 2
1
1
1
2 1
1
2 2
1
2
1
1
1
2
1 1
...
...
: : : :
...
29 
Seção 2 
Multiplicação de Vetores 
 Alternativamente, a multiplicação de dois vetores pode 
resultar em uma matriz quadrada: 
 Quando um vetor coluna (n x 1), multiplica um vetor linha (1 
x n), o resultado é uma Matriz (n x n). 
1 
:
2
1














nb
b
b
B
n
  n aaaA n  1 ...21
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
1 2
...
...
: : : :
...
n
n
n n n n
a b a b a b
a b a b a b
B A
a b a b a b
 
 
  
 
 
 
30 
16 
Seção 2 
Exemplo 
31 
 Dados 
 
 
 
 Calcular: 
 u.v 
 
 
 v.u 
3
2
1
1
u
 
 
 
 
 
 
 0 2 3 1v  e 
0 6 9 3
0 4 6 2
0 2 3 1
0 2 3 1
 
 

 
 
 
  
 2  Ou simplesmente -2. 
Seção 2 
Propriedades de Matrizes 
 Seja k um escalar (número real!) e A , B e C matrizes 
de mesmas dimensões então 
 
    
   
     
 
. . .
. . .
A B B A
A B C A B C
k A B kA kB A B k
A kB k A B A B k
A B C A B AC
  
    
    
 
  
32 
Comutativa da adição 
Associativa da adição 
Distributiva da multiplicação 
por escalar 
Associativa da multiplicação 
por escalar 
Distributiva da multiplicação 
17 
Seção 2 
Produto de Matrizes - Propriedades 
 A seqüência em que duas matrizes são multiplicadas 
afeta o resultado 
 
 
 A ordem na qual três matrizes são multiplicadas não 
afeta o resultado 
33 
é possível 
Só é possível se p = m 
Seção 2 
Matriz Nula 
 Uma matriz m x n, cujos elementos são zeros é deno-
minada matriz nula. 













0...00
::::
0...00
0...00
0
34 
Propriedades: 
 
• A + 0 = A 
• A . 0 = 0 
18 
Seção 2 
Matriz Diagonal 
 Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada, cujos 
elementos que não pertencem à sua diagonal principal 
são todos nulos 













nna
a
a
...00
::::
0...0
0...0
22
11
A
35 
Seção 2 
Matriz Identidade 
 É uma matriz diagonal que tem todos os elementos não 
nulos iguais a um. 
36 
Propriedades: 
 
• A . I = A 
• A . A-1 = I 
19 
Seção 2 
Exemplo 
37 
 Dados 
 
 
 
 Calcular: 
 A . B 
2 4
1 2
A
 
  
 
2 4
1 2
B
 
  
 
e 
Na ágebra escalar, se a . b = 0, 
então a = 0 ou b = 0. 
Seção 2 
Exemplo 
38 
 Dados 
 
 
 
 Calcular: 
 A . B 
 
 A . C 
2 3
6 9
A
 
  
 
1 1
1 2
B
 
  
 
, e 
Na ágebra escalar, se a . b = a . c, 
então se a ≠ 0 temos b = c. 
2 1
3 2
C
 
  
 
5 8
15 24
 
  
 
5 8
15 24
 
  
 
20 
Seção 2 
Matriz Triangular Superior 
Matriz Triangular Inferior 
 Uma matriz quadrada é dita 
Triangular Superior se todo 
elemento aij tal que i>j , é 
igual a zero 
 Uma matriz quadrada é dita 
Triangular Inferior se todo 
elemento aij tal que i<j , é 
igual a zero 
 












5000
1300
01100
0011












5225
0310
00101
0001
39 
Seção 2 
Matriz Transposta 
 A transposta de uma matriz A(mxn) é uma matriz 
(nxm) denotada por A’, cujas linha são as colunas de A, 
e cujas colunas são as linhas de A. 
40 
21 
Seção 2 
Matriz Transposta - Propriedades 
  mntmntmnttnmnmnm CBACBA  
  mntnptpqttqppnnm ABCCBA  
41 
 
t
tA A
Seção 2 
Matriz Simétrica 
 Se uma Matriz quadrada é 
igual a sua transposta, isto 
é todos os elementos da 
matriz são iguais aos 
correspondentes da sua 
transposta, dizemos que a 
matriz e sua transposta são 
simétricas. 















5113
1320
12104
3041
42 
22 
Seção 2 
A matriz inversa 
 Toda matriz A admite uma transposta; 
 A inversa de A pode não existir; 
 Se existir: 
 
 
 A multiplicação de uma matriz por sua inversa tem a 
propriedade de comutatividade. 
43 
1 1AA A A I  
Seção 2 
Alguns comentários 
 Para ter inversa a matriz deve ser quadrada; 
 Nem toda matriz quadrada tem uma inversa 
 Condição necessária, mas não suficiente 
 Se existir A-1 então A pode ser considerada como 
inversa de A-1 
 Uma matriz e sua inversa têm a mesma dimensão 
 Se existir uma inversa, ela será única. 
44 
23 
Seção 2 
Prova da unicidade da inversa 
 Se B é a inversa de A então: 
 
 Tomando uma matriz C que também atende à 
propriedade de inversão de A, ou seja, 
 
 Então, multiplicando C nos dois membros da primeira 
expressão: 
45 
AB BA I 
AC CA I 
   CAB CBA CA B C BA IB CI B C      
Seção 2 
A condição de inversa 
 Basta uma das partes da condição de inversa, a outra é 
consequência: 
 Se AA-1 = I, então a única B tal que BA=I é B = A-1 
 
 
 
 
 Pode-se mostrar também o contrário 
46 
 
 
1 1
1 1 1 1
BA I BA A IA
B AA A BI A B A
 
   
   
    
24 
Seção 2 
Exemplo 
 As funções de oferta e de demanda de mercado de duas 
mercadorias são modeladas assim: 
 
 
 O ponto de equilíbrio é definido através das equações 
condicionais: 
 
 Qual o sistema de equações é originado para determinar 
o ponto de equilibrio? 
47 
1 1 2
1 1
9 3
2 4
d
s
Q P P
Q P
  
  
2 1 2
2 2
11 2
2 3
d
s
Q P P
Q P
  
  
1 1d sQ Q
2 2d sQ Q
Seção 2 
Exemplo 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 Logo, 
48 
1 1 2
1 1
1 1
9 3
2 4
d
s
d s
Q P P
Q P
Q Q
  
  

1 2 1 1 29 3 2 4 7 11P P P P P        
2 1 2
2 2
2 2
11 2
2 3
d
s
d s
Q P P
Q P
Q Q
  
  

1 2 2 1 211 2 2 3 5 13P P P P P         
1 2
1 2
7 11
5 13
P P
P P
 

  
25 
Seção 2 
Exemplo 
continuação 
 Escreva o sistema abaixo em notação matricial 
 
 
 
 Temos 
49 
1 2
1 2
7 11
5 13
P P
P P
 

  
Ax d
1
2
7 1 11
1 5 13
P
P
     
    
     
Seção 2 
Exemplo 
continuação 
 Seja A a matriz abaixo. Encontre A-1. 
 
 
 Solução 
50 
7 1
1 5
A
 
  
 
1 a bA
c d
    
 
1 7 1 1 0
1 5 0 1
a b
AA I
c d
           
    
7 1
5 0
a c
a c
 

 
7 0
5 1
b d
b d
 

 
1
5 1
34 34
1 7
34 34
A
 
 
  
 
 
 
5 1
,
34 34
a c  
1 7
,
34 34
b d    
26 
Seção 2 
Exemplo 
continuação 
 
 Sabendo que 
 
Determine a solução do sistema 
51 
1 2
1 2
7 11
5 13
P P
P P
 

  
1
5 1
7 1 34 34
1 5 1 7
34 34

 
  
  
     
 
Seção 2 
Exemplo 
solução 
52 
 Sabemos que o sistema 
 
 
Tem notação matricial 
Logo, 
1 1
1
Ax d
A Ax A d
x A d
 

 
 

1
2
5 1
1134 34
1 7 13
34 34
P
P
 
    
    
     
 
1 2
1 2
7 11
5 13
PP
P P
 

  
1
2
7 1 11
1 5 13
P
P
     
    
     
2
3
 
  
 
27 
Seção 2 
Cadeias de Markov 
 Sejam A e B duas filiais de uma empresa. Se: 
PAA = probabilidade de um funcionário de A permanecer em A; 
PAB = probabilidade de um funcionário de A ir para B; 
PBA = probabilidade de um funcionário de B ir para A; 
PBB = probabilidade de um funcionário de B permanecer em B 
 
 Então a Matriz de transição de Markov para a 
localização dos funcionários é: 
53 
AA AB
BA BB
P P
M
P P
 
  
 
Seção 2 
Cadeias de Markov 
estado atual 
 Se denotarmos a distribuição de empregados pelas 
filiais no momento t como um vetor 
 Então a distribuição de empregados pelas filiais no 
próximo período (t + 1) deve ser: 
 
 No período (t + 2): 
 
 No período (t + n): 
54 
 't t tx A B
1' 't tx x M 
  22 1' ' ' 't t t tx x M x M M x M   
' ' nt n tx x M 
28 
Seção 2 
Cadeias de Markov 
exemplos 
 Se a distribuição inicial de empregados pelas duas localizações 
no momento t = 0 é 
 
 e se a matriz de markov para a localização dos funcionários é 
 
 
1. Determine a localização nos períodos t = 1, 2 e 3. 
 
1. Se , a localização no período t = 10 é... 
55 
   0 0 0' 100 100x A B 
0,7 0,3
0,4 0,6
M
 
  
 
10 0,5714 0,4286
0,5714 0,4286
M
 
  
 
Seção 2 
Cadeias de Markov 
conceitos 
 Modelos que estimam o estado futuro de um 
determinado processo com base em: 
 Estado atual; 
 Matriz de transição (Matriz de Markov) 
 
 A matriz de transição determina as probabilidades de 
transição de estados ou de permanência no estado atual. 
56 
29 
Seção 2 
Cadeias absorventes 
 Se considerarmos um terceiro estado (E), de sair da 
empresa, e que a empresa não está considerando 
contratar, a matriz ficaria: 
 
 
 
 Observe que os funcionários que vão para o mercado 
não retornam, ou seja, quando n tende ao infinito An e 
Bn tendem a zero e En tende ao o número total de 
funcionários 
57 
0 0 1
AA AB AE
BA BB BE
P P P
M P P P
 
 
  
 
 