Métodos Numéricos para Cálculo de Raízes

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30/05/2020 Blackboard Learn
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Pergunta 1
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resposta:
Apenas na minoria dos casos, nós podemos calcular as raízes de uma função através de métodos
algébricos. Então, na maioria das situações, exige-se a aplicação de métodos numéricos. Diante disso,
considerando , e uma função de iteração convenientemente
escolhida. Aplique o método da iteração linear e a sequência de raízes . Assinale a alternativa que
corresponde ao valor de .
1,31685381.
1,31685381.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e
calculando a função , encontramos , conforme a
seguinte tabela: 
 
0 1,9 
1 1,16133316 0,738666842
2 1,36761525 0,206282096
3 1,29009217 0,077523087
4 1,31685381 0,026761642
Pergunta 2
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Uma das aplicação dos métodos numéricos é o cálculo de raízes de funções. Ao utilizar o método de
Newton, calcule a quinta ( ) aproximação da raiz positiva da função . Para tanto,
isole a raiz em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . Note que,
ao determinar a raiz positiva da função dada, você estará calculando uma aproximação para a raiz
quadrada de 10. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto de .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a
função , calculamos uma aproximação para a raiz quadrada de 10, logo,
. 
 
0 4 6 8 
1 3,25 0,5625 6,5 0,75
2 3,16346154 0,00748891 6,32692308 0,08653846
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3 3,16227788 1,401E-06 6,32455576 0,00118366
4 3,16227766 4,9738E-14 6,32455532 2,2152E-07
Pergunta 3
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resposta:
Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função polinomial é o
método da iteração linear. Isole a raiz positiva da função polinomial em um
intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, Calcule a quarta ( )
aproximação para esta raiz, considere . Assinale a alternativa correta.
1,07998603.
1,07998603.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e
calculando a função de iteração , encontramos ,
conforme a tabela a seguir: 
 
0 1,4 
1 1,10048178 0,299518223
2 1,08125569 0,019226082
3 1,07998603 0,001269666
Pergunta 4
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resposta:
Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da
Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de
Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por:
 
Suponha que sejam conhecidos e . Usando o método da iteração linear, calcule o
número mínimo de iterações necessárias para determinar a raiz da equação dada, com uma
tolerância . Para isso, isole a raiz num intervalo de comprimento 1, ou seja, 
 ( e naturais) e . Assinale a alternativa correta.
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico . São Paulo: Pearson, 2006.
6.
6.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e
calculando a função e , encontramos 6 iterações,
no mínimo, para a tolerância , conforme a tabela a seguir: 
 
0 0 
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1 0,6 0,6
2 0,76939274 0,169392742
3 0,80870975 0,039317004
4 0,81701908 0,008309337
5 0,81873268 0,001713599
6 0,8190842 0,000351514
Pergunta 5
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resposta:
Isolando a raiz positiva da função em um intervalo ( e naturais) de
comprimento 1, isto é, e utilizando o método da Iteração Linear, calcule a terceira ( )
aproximação para esta raiz. Calcule e escolha uma função de iteração apropriada.
Assinale a alternativa correta.
1,08125569.
1,08125569.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e
calculando a função de iteração igual a , encontramos 
, conforme a tabela a seguir: 
 
0 1,4 
1 1,10048178 0,299518223
2 1,08125569 0,019226082
Pergunta 6
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resposta:
Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos
realizar o isolamento das raízes por meio do método gráfico. Nesse sentido, suponha que esse
trabalho inicial foi realizado e determinamos que . Dessa forma, considere a função 
 e uma tolerância . Ao utilizarmos o método de Newton, assinale a
alternativa que corresponde ao número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma raiz 
 pertencente ao intervalo .
5.
5.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a
função , verificamos que o número mínimo de iterações com a
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tolerância e intervalos dados é igual a 5, conforme tabela a seguir: 
 
0 0,1 -2,2025851 11 
1 0,30023501 -0,9029547 4,33072417 0,20023501
2 0,50873472 -0,1670939 2,965661 0,20849971
3 0,56507759 -0,0057146 2,76966848 0,05634287
4 0,56714088 -6,65E-06 2,76323032 0,00206329
5 0,56714329 -9,003E-12 2,76322283 2,4066E-06
Pergunta 7
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resposta:
Uma fábrica de alimentos deseja confeccionar uma embalagem para uma bebida para exportação. A
embalagem deve ser um veículo em formato de paralelepípedo que possui as seguintes proporções: 
 
 
Em que x, y e z são as dimensões da embalagem. Para manter a proporção, a dimensão z deve ser
uma soma de um múltiplo da dimensão x com 1, pois a empresa precisa deixar uma parte da
embalagem reservada para informações do produto que são exigidas por lei. Além disso, a empresa
deseja que o volume da embalagem seja igual a 500 ml, ou seja, 500 . 
Diante da situação apresentada e utilizando o método de Newton, considerando a tolerância 
 e o menor número possível de iterações, determine a dimensão x da embalagem, usando 
 como intervalo inicial que contém a raiz. Assinale a alternativa correta.
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na
função , determinamos que , conforme a
seguinte tabela: 
 
0 5 200 705 
1 4,71631206 10,9006033 628,875057 0,28368794
2 4,69897856 0,03911392 624,364658 0,0173335
3 4,69891591 5,0968E-07 624,348386 6,2646E-05
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Pergunta 8
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resposta:
Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função qualquer é o
método da iteração linear. Considere , em que . Assim, a partir do
uso do método linear e considerando a sequência de raízes , calcule o . Assinale a alternativa
correta.
2,13977838.
2,13977838.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e
calculando a função de iteração , encontramos 
, conforme podemos verificar na tabela a seguir: 
 
0 2 
1 2,13198295 0,131982947
2 2,13931949 0,007336548
3 2,13977838 0,000458881
Pergunta 9
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resposta:
Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da
Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de
Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por:
 
Suponha que sejam conhecidos e . Usando o método da iteração linear,calcule a
raiz da equação dada, com uma tolerância e o menor número possível de iterações. Para
isso, isole a raiz num intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e naturais) e 
 . 
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico . São Paulo: Pearson, 2006.
Assinale a alternativa correta.
 
0,8176584.
0,8176584.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e
calculando a função , encontramos , conforme
a tabela a seguir: 
 
0 0,2 
1 0,6596008 0,459600799
2 0,78384043 0,124239632
1 em 1 pontos
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3 0,81180133 0,027960901
4 0,8176584 0,005857072
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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da
resposta:
Antes de aplicarmos o método de Newton para determinação das raízes de uma equação, devemos
isolá-las por meio do método gráfico. Dessa forma, suponha que essa etapa foi realizada e
encontramos . Assinale a alternativa que apresenta quantas iterações são necessárias para
calcular a raiz da função , pelo método de Newton, com uma tolerância 
 , no intervalo [1;2].
 
4 iterações.
4 iterações.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a
função , no intervalo , com uma tolerância ,
precisamos de pelo menos 4 iterações, conforme tabela a seguir: 
 
0 2 2,69314718 4,5 
1 1,40152285 0,30182569 3,51655529 0,598477151
2 1,31569292 0,00541132 3,39144161 0,085829929
3 1,31409734 1,8099E-06 3,38917331 0,001595582
4 1,3140968 2,025E-13 3,38917255 5,34032E-07
1 em 1 pontos