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GEOMETRIA PLANA – AULA 01 Prof. Wellington Nishio INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PLANA A geometria Elementar, também chamada Geometria Euclidiana, fundamenta-se em três conceitos primitivos (entes matemáticos), ou seja, conceitos não definidos. As proposições primitivas(conceitos primitivos) são afirmações aceitas como verdadeiras sem demonstrações. As proposições primitivas são também chamadas de axiomas que na geometria recebem o nome de postulados. Com isso em mente, veremos os postulados de ponto, reta e plano. Esses postulados formarão a nossa base para o estudo da Geometria Plana. Notação de ponto, reta e plano Representações e notações: Ponto – letras maiúscula latinas: A, B, C,... Reta – letras minúscula latinas: a, b, c, ... Plano – letras gregas minúscula: β, θ, γ, ... Notações gráficas Existência - Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. - Num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos e infinitas retas. - Por um ponto passam infinitas retas. - Se dois pontos distintos pertencem a um plano a reta que passa por esses pontos pertence ao plano. - Uma reta que tem um só ponto comum com o plano ela "fura" o plano. Uma reta que tem pelo menos dois pontos comuns ao plano está contida no plano. Observação A expressão “infinitos pontos” e “infinitas retas” tem o significado de “tantos pontos quanto quisermos” e “tantas retas quanto quisermos”. Posição de dois pontos e de ponto e reta: Dados dois pontos A e B, de duas uma: - ou A e B são coincidentes (é o mesmo ponto, um ponto só, com dois nomes: A e B) - ou A e B são distintos. Dados um ponto P e uma reta r, de duas uma: - ou o ponto P está na reta r (a reta r passa por P) – P r - ou o ponto P não está na reta r (a reta r não passa por P) – P r A figura abaixo indica uma reta r e os pontos A, B, P, R, S e M, sendo que: - A, B, e P estão em r ou a reta r passa por A, B, P, ou ainda A, B, P pertencem () à reta r. - R, S, M não estão em r ou r não passa por R, S e M, ou ainda R, S, M não pertencem () à reta r. Determinação da reta Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles. Os pontos A e B distintos determinam a reta indicamos por Pontos colineares São pontos que pertencem a uma mesma reta. Posições relativas entre duas retas Paralelas: duas retas distintas no mesmo plano que não possuem pontos em comum. Coincidentes: se r e s são a mesma reta, dizemos que elas são coincidentes. Essas retas coincidentes possuem, no mínimo 2 pontos em comum. Pois, se tiverem 2 pontos em comum, todos os outros serão comuns também. GEOMETRIA PLANA – AULA 01 Prof. Wellington Nishio Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se, e somente se, eles têm um único ponto comum. Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam ângulos de 90º graus. Usamos a notação a ⊥ b para indicar que as retas a e b são perpendiculares. Exemplo: Dadas as afirmativas sobre paralelismo e perpendicularidade de retas, I. Duas retas perpendiculares formam um ângulo reto. II. Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si. III. Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares entre si. verifica-se que está(ão) correta(s) a) II, apenas. b) III, apenas. c) I e II, apenas. d) I e III, apenas. e) I, II e III. Determinação do plano Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles. Os pontos A, B e C não colineares determinam um plano que indicamos por (A, B, C). O plano é único plano que passar por A, B e C. Plano sempre dará a ideia de infinito, ou seja, sem início e sem final. Observação: Outras formas de obtenção de um plano - Duas retas paralelas distintas. - Duas retas concorrentes. - Uma reta e um ponto fora da reta. Exemplo: Qual das alternativas é a INCORRETA? Um plano pode ser definido por: a) três pontos geométricos distintos e não colineares. b) duas retas. c) uma reta e um ponto exterior à essa reta. d) duas retas concorrentes. e) uma semirreta e um ponto não pertencente à semirreta. Relação de Inclusão - Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida() nesse mesmo plano. Dados dois pontos distintos A e B de um plano, a reta r tem todos os pontos no plano. Observação: - Pontos coplanares são pontos que pertencem ao mesmo plano; - Retas coplanares são retas que estão contidas no mesmo plano; - Figura é qualquer conjunto de pontos. - Figura plana é uma figura que tem todos os seus pontos num mesmo plano - A Geometria Plana estuda as figuras planas. Exemplo: Qual das afirmações a seguir é falsa: a) Dois pontos determinam uma única reta; b) Por um ponto passam infinitas retas; c) Por um ponto passam infinitos planos; d) Por uma reta passam infinitos planos; e) Um plano contém infinitas retas. Posições relativas entre reta e plano Reta Contida no Plano: todos os pontos da reta pertencem ao plano. Reta Secante ao Plano: a reta o plano possuem apenas um ponto em comum. Reta paralela ao Plano: a reta e o plano não possuem ponto em comum. Posições relativas entre dois planos Planos Secantes: são planos distintos que se interceptam e possuem infinitos pontos em comum. Planos Paralelos: são planos que não se interceptam, portanto não possuem pontos em comum. Planos Coincidentes: são planos idênticos, ou seja, formado pela mesma reunião de pontos. Com isso, possuem infinitos pontos em comum. GEOMETRIA PLANA – AULA 01 Prof. Wellington Nishio Exemplo: Coloque (F) falso ou (V) verdadeiro nas afirmativas abaixo, em relação à figura acima, assinalando a seguir a alternativa correta. a) (V) (V) (V) (F) (F) b) (V) (F) (V) (V) (F) c) (F) (V) (F) (V) (V) d) (V) (F) (F) (V) (V) e) (F) (F) (F) (V) (V) ESTUDO DA RETA NA GEOMETRIA PLANA Determinação da reta Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles. Os pontos A e B distintos determinam a reta indicamos por Semirreta Uma semirreta pode ser compreendida como um “pedaço de reta” que tem um início(origem), mas não tem extremidade(é algo infinito). Semirreta 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ com origem no ponto A e passa pelo ponto B. Segmento de reta Segmento de reta dá a ideia de um “pedaço de reta” que tem início e final. Segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ de extremidades A e B (segmento de reta tem origem e tem extremidade). Segmentos consecutivos Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, uma extremidade de um deles é também extremidade do outro (uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro). Segmentos colineares Dois segmentos de reta são colineares se, e somente se, estão numa mesma reta. Segmentos adjacentes Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se, e somente se, possuem em comum apenas uma extremidade (não tem pontos internos comuns). Exemplo: O juiz de futebol marcou uma falta e com um spray branco definiu três pontos distintos (A, B e C) em cima de uma reta traçada a partir da posição da falta (ponto A), passando pela posição da barreira (ponto B) e terminando na posição do goleiro (ponto C). Se considerarmos essa reta como um eixo real e representarmos por 𝑋𝑌̅̅ ̅̅ o segmento de reta cujos extremos são os pontos X e Y, então a) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∩ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = {B}. b) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∩ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = {A}. c) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∪ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . d) 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ∪ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . e) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∩ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . Congruência de segmentos A congruência (símbolo: ≡) de segmentos é uma noção primitiva que satisfaz os seguintes postulados: a) Reflexiva: Todo segmento é congruente a si mesmo. b) Simétrica: Se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , então 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . c) Transitiva: Se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≡ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , então 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅. Adição de segmentos Dados dois segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , tornando-se uma semirreta qualquer de origem R os segmentos adjacentes 𝑅𝑃̅̅ ̅̅ e 𝑃𝑇̅̅ ̅̅ tais que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝑅𝑃̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≡ 𝑃𝑇̅̅ ̅̅ dizemos que o segmento 𝑅𝑇̅̅ ̅̅ é a soma de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ com 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B r; A α; α r; C s; r α GEOMETRIA PLANA – AULA 01 Prof. Wellington Nishio Exemplo: Um motorista vai da cidade A para a cidade D passando pelas cidades B e C, cujas distâncias, em quilômetros, estão indicadas na figura. Sabendo que a distância entre as cidades A e B é 14 da distância entre as cidades A e D, então, a distância, em quilômetros, entre as cidades A e C, é a) 70. b) 75. c) 80. d) 85. e) 90. Exemplo: Uma fita, com 2 m de comprimento, foi dividida em 3 pedaços, conforme mostra a figura, onde as medidas indicadas estão em centímetros A diferença entre a medida do 2º pedaço e a medida do 3º pedaço é igual a a) 90 cm. b) 80 cm. c) 70 cm. d) 60 cm. e) 50 cm. Divisão Interna de Segmentos Um ponto divide um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ internamente na razão k > 0, quando M pertence ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e Ponto médio de um segmento Um ponto M é o ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ se, e somente se, M está entre A e B e 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≡ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅. Exemplo: Determine x, sendo M ponto médio de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ Exemplo: Na figura abaixo, P é o ponto médio de AB e Q é o ponto médio de BC. Calcule o valor de PQ. • AP = 4x – 30 cm • BP = 2x + 10 cm • BC = 30 cm Divisão Externa de Segmentos Um ponto N divide um segmento AB externamente na razão 0 < k ≠ 1, quando N pertence à reta suporte do segmento AB, mas não ao próprio segmento, e Exemplo: Um ponto N divide o segmento AB, de 18 cm, externamente na razão 4/7. Calcule NA e NB.
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