1 - Exercicios Filtros Analógicos

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NEB 53 – Filtros analógicos 
1. Determine a ordem de um FPB Bu e determine a faixa em que pode situar a freqüência de 
corte. Dados: 
a. Amax=2dB @ fp=9,12kHz 
b. Amin=75dB @ fa=60kHz. 
Resposta: Valor obtido para n=4,7258 valor adotado n=5. Faixa onde pode situar a freqüência 
de corte: 9,6225kHz a 10,67kHz. 
 
2. Resolver o mesmo tipo de exercício para: 
a. Amax=2dB @ fp=2,8kHz 
b. Amin=100dB @ fa=20,5kHz 
Resposta: Valor obtido de n=5.847, valor adotado de n=6. Faixa onde pode situar a freqüência 
de corte: 2,928kHz a 3,082kHz. 
3. Resolver o mesmo tipo de exercício para: 
a. Amax=2dB @ fp=13,5kHz 
b. Amin=30dB @ fa=37kHz 
Resposta: Valor obtido de n=3.691, valor adotado de n=4. Faixa onde pode situar a freqüência 
de corte: 14,436kHz a 15,605kHz. 
4. Deduza o polinômio Q(s) de FPB Bu de ordem 4 a partir da posição dos pólos no plano s 
Solução: Os pólos devem estar simétricos em relação ao eixo 
real negativo e ângulos entre eles de 45º (180º /4) como 
mostra a figura. Os pólos podem ser dados por: 
 
 
 
 
 
 
 Q(s) é dado por: 
 
5. Idem ao problema 4 porém utilizando diretamente a fórmula. 
Solução: Como n=4, vamos usar diretamente a formula para n=par como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Repetir os exercícios (4) e (5) para n=5 
Resposta: 
 
 
 
 
( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ]
( )( )[ ] ( )( )[ ]
[ ][ ]
( ) [ ][ ]18478,1s17654,0ssQ 
18478,1s17654,0s
3827,0j9239,0s3827,0j9239,0s*9239,0j3827,0s9239,0j3827,0s
3ps2ps*4ps1pssQ
22
22
++++=∴
++++=
=++−+++−+=
=−−−−=
9239,0j3827,0p4 3827,0j9239,03p
3827,0j9239,0
8
jsen
8
cos2p
9239,0j3827,0
8
3jsen
8
3cos1p
−−=−−=
+−=
π
+
π
−=
+−=
π
+
π
−=
( ) ( )
( )
( ) ( )( )19239,0*2s13827,0*2ssQ :Portanto
19239,0*2s
1*
13827,0*2s
1sH
:logo 
8
 e 
8
3 caso no onde 
1scos2s
1sH
22
22
21
2
n
1i i
2
++++=
++++
=
π
=ϕ
π
=ϕ
+ϕ+
=∏
=
( ) ( )( )( )1s6180,0s1s6180,1s1ssQ 22 +++++=
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7. Projetar um FPB Bu ativo usando circuito Salen-Key. Dados: s/rd10*0,4 4c =ω , n=2, 
C=4,7nF e R1=10k Ohm. 
Resposta: R=5,3191 kOhm, Rf=5,858 kOhm. 
 
8. Determine a função de transferência H(s) desnormalizada para problema anterior e escreva 
um programa em MATLAB para traçar curvas de Bode e Resposta a um degrau de tensão. 
Resposta: ( ) ( ) ( )2442
24
10*4s*10*4*2s
10*4sH
++
= 
Programa MATLAB: 
clear, close all %Elimina as variáveis e fecha os gráficos. 
num=[(4e4)^2]; %Vetor numerador. 
den=[1,sqrt(2)*4e4,(4e4)^2]; %Vetor denominador. Composto de 3 elementos. 
H=tf(num,den); %A função tf “fabrica” a função de transferência H. 
bode(H),grid %Abre uma figura e traça gráficos de bode da função H e traça grade 
figure, %Abre outra figura ainda vazia. 
step(H),grid %Traça a resposta transitória da função H e traça grade. 
%Alternativa sem recorrer para função H, eliminando H=tf(num,den) 
bode(num,den),grid %Em vez de H coloca num e den diretamente no argumento. 
figure, step(num,den),grid %Idem pulando a etapa da função H. 
 
9. Projetar um FPB Bu ativo usando um circuito buffer sem inversão e Salen-Key. Dados: 
s/rd25000c =ω , n=3, ganho do primeiro estágio A1=1 com R1 (resistor de entrada (-) 
para terra do primeiro estágio) =10k Ohm, C=3,9nF para todos os estágios e R11 (resistor 
da entrada (-) para terra do Salen-Key) = 10 kOhm. 
a. Determine a função de transferência H(s) desnormalizada para cada estágio. 
b. Ganho de cada estágio e ganho total em dB para freqüências baixas. 
c. Determine o valor de resistor, nos dois estágios, que define a freqüência de corte e 
resistores de realimentação de cada estágio. 
Respostas: 
( ) 3
3
1 10*25s
10*25sH
+
= e ( ) ( )( )2332
23
2
10*25s10*25s
10*25sH
++
= 
O ganho do primeiro estágio é arbitrário, fixado neste caso em 1, já que o amplificador entra 
como buffer que isola o circuito RC de entrada do segundo estágio. Para o segundo estágio, o 
ganho deve ser necessariamente A2=2 pela imposição do circuito Salen-Key e H2 acima. 
Portanto ganho de 0dB para 1º estágio e 6,02dB para 2º estágio totalizando 6,02dB em baixas 
freqüências para os dois estágios em cascata. 
Resistor de realimentação no 1º estágio=0 Ohm e no 2º estágio=10 kOhm. 
Resistor para determinação da freqüência de corte= 10,256 kOhm para dois estágios. 
 
10. Dada a função de transmissão de um filtro Bessel de segunda ordem como segue: 
( ) 1s3616,1s618,0sB 22 ++= . Projetar um filtro ativo usando circuito Salen-Key com 
seguintes dados: s/rd10*40 3c =ω , R=10k Ohm, R1=22k Ohm. 
Resposta: C=1,9653nF e Rf=5,986k Ohm 
 
11. Dados os polos de FPB Bu de n=4 como segue: p1/p4=-0,9239+/-j0,3827 e p2/p3=-
0,3827+/-j0,9239. Projetar um filtro ativo com circuito Salen-Key para wo=30k rd/s. 
Apresente a resposta em forma de valor de produto RC e Rf/R1 para cada estágio. 
Resposta: RC= 510*333.3 − ; Rf1/R1=0,1522; Rf2/R2=1,2346 
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12. A função de transmissão de um FPB Bessel de n=3 é dada por 
( ) ( )( )1s996,0s4771,01s756,0sB 23 +++= . Projetar um filtro ativo usando circuito Salen-
Key com fo=10kHz, ganho unitário no primeiro estágio para freqüência zero. Apresente a 
resposta indicando o valor do produto RC do primeiro e segundo estágio, Rf1/R1 e 
Rf2/R2.. Calcule também o ganho do segundo estágio para freqüência zero. 
Resposta: 
1º estágio: 510*2032,1RC −= Rf1/R1=0; 2º estágio: 510*0992,1RC −= Rf2/R2=0.5527 
Ganho do segundo estágio em DC: 3.8216dB 
 
13. Dados os pólos de um FPB Bessel de n=2 como segue: p1=-1,03-j0,368 e p2=-1.,03-
j0,6368. Projetar um filtro ativo usando circuito Salen-Key com fo=5kHz. Apresente a 
resposta indicando o valor do produto RC e Rf/R1. Calcule também ganho em baixa 
frequencia. 
Resposta:A função de transmissão é obtida com 
( ) ( )( ) ( )( ) 6221,1s206,2s6368,1j103,1s6368,1j103,1s2ps1pssB 2s ++=++−+=−−= 
Portanto, a função de transferência é ( )
1s3599,1s6165,0
6221,1*k
6221,1s206,2s
ksH 22 ++
=
++
= 
E a forma normalizada é ( )
1s3599,1s6165,0
6221,1*ksH
c
2
c
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
= onde k é uma constante. 
Por outro lado, a função de transferência do circuito Salen-Key é 
( ) ( ) 1RCsA3sRC
A
)s(V
)s(V
o
22
o
i
o
+−+
= 
Onde conclui-se que: 53
c
2
c
2 10*5,2
10*5**2
785,0616,0RC616,0)RC( −=
π
=
ω
=⇒
ω
= 
2675,1
785,0
3599,13A3599,1RC)A3( o
c
o =−=⇒ω
=− 2675,01A
R
R
o
1
f =−= 
O ganho em baixa freqüência é 2,059dBou 2675,1Ao = 
Nota: O valor de k é dado por 78144,0
1,6221
1,2675k == 
14. A função de transmissão normalizada de um FPB Tshebysheff com n=2 e ripple de 0,5dB é 
dada por: 1s9402,0s6595,0)s(T 22 ++= Projetar um filtro ativo usando circuito Salen-Key 
com fo=5kHz. Apresente a resposta indicando o valor do produto RC e Rf/R1. Calcule 
também ganho em baixa frequencia. 
Resposta: 8423,0
R
R e 10*585,2RC
1
f5 == − e o ganho em baixa freqüência é 5,307dB 
Nota: Com esta função de transmissão, a freqüência de corte normalizada não é a freqüência 
na qual a saída decai 3dB em relação a saída em baixas freqüências como estamos 
acostumados com filtros Butterworth ou Bessel. No caso deste filtro Tby, a saída aumenta até 
0,5dB em relação a baixa freqüência à medida que a freqüência se aproxima da freqüência de 
corte e após passar por um pico de 0,5db, a saída cai para nível de 0dB na freqüência de corte. 
Se usarmos a função de transmissão 1s3066,1s2738,1)s(T 22 ++= , a freqüência de corte 
normalizada corresponde ao ponto de -3dB em relação as baixas freqüências como estamos 
acostumados, mantendo o ripple de 0,5dB. 
 
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15. A função de transmissão normalizada de um FPB Tshebysheff com n=2 e ripple de 0,5dB é 
dada por: 1s3066,1s2738,1)s(T 22 ++= Projetar um filtro ativo usando circuito Salen-Key 
com fo=5kHz. Apresente a resposta indicando o valor do produto RC e Rf/R1. Calcule 
também ganho em baixa frequencia. 
Resposta: 8423,0
R
R e 10*5925,3RC
1
f5 == − e o ganho em baixa freqüência é 5,307dB 
Nota: Este problema e o problema anterior difere apenas na freqüência de corte. Vide nota do 
problema anterior. 
16. Escreverum programa MATLAB para a função de transferência FPB Tshebysheff 
normalizada do problema (14) para traçar curvas de Bode e observar a região da freqüência de 
corte. 
Resposta: 
Clear, close all %Deleta todas as variáveis e fecha todas as figuras. 
num=[1]; %Numerador da função de transferência. 
den=[0.6595 0.9402 1]; %Denominador da função de transferência. 
H=tf(num,den); %Formação da função de transferência. 
Bode(H),grid %Traçar gráficos de Bode. 
 
17. Idem ao anterior aplicado ao problema (15). Após traçar a curva de Bode, compare a diferença 
existente entre a curva do problema (16). 
18. Projete um FPB passivo Butterworth de 3ª ordem. Considere Ri=RL=600Ohm e freqüência de 
corte de 10kHz. Use circuito que inicia com indutor. 
Resposta: É necessário obter a forma complexa dos pólos para freqüência normalizada W=1. Pela 
tabela de Q(s) pode-se obter Q(s) desejado e calcular as raízes que são os pólos, ou desenhar o 
posicionamento dos pólos e obter a expressão dos pólos geometricamente. Adotando o segundo 
método pela sua simplicidade, tem-se: 
 
Pela regra de (-2) x parte real, tem-se: 
( ) ( ) H1
3
cos*)2(L ;F21*2C ;H1
3
cos*)2(L 211 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π−==−−==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π−= 
Desnormalizando para R = 600 Ohm e fc = 10 kHz, tem-se: 
nF052,53
600*102
Cc ;mH5493,9
102
600*Lll 4
1
14
1
21 =π
==
π
== 
 
19. Projete um FPB passivo Butterworth de 4ª ordem. Considere Ri=RL=600Ohm e freqüência de 
corte de 15kHz. Use circuito que inicia com capacitor 
Resposta: Optando pelo metodo mais trabalhoso que consiste em obter polos via Q(s) tabelado, 
tem-se: 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⎩
⎨
⎧
−=
+=
⇒−±
−
=
⎩
⎨
⎧
−=
+=
⇒−±
−
=
=++++=
3827,0j9239,0p
3827,0j9239,0p
1*1*48478,1
2
1
2
8478,1p :sQ de izesRa
9239,0j3827,0p
9239,0j3827,0p
1*1*47654,0
2
1
2
7654,0p :sQ de izesRa
sQ*sQ1s8478,1s1s7654,0ssQ
3
22
2
4
12
1
21
22
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π−=
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π−=
3
jsen
3
cosp
1p
3
jsen
3
cosp
1
2
1
Pagina:5/7 
Nota: O gerador em paralelo 
com Ri=1 Ohm no circuito ao 
lado é gerador de corrente. 
Esta ligação é inteiramente 
equivalente ao gerador de 
tensão em serie com Ri=1. 
Os valores dos componentes 
são: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) H7654,0preal*2L ;F8478,1preal*2C
H8478,1preal*2L ;F7654,0preal*2C
4232
2111
=−==−=
=−==−=
 
Desnormalizando para Ri = RL = R = 600 Ohm e fc = 15 kHz, tem-se: 
mH9,4
10*4248,9
600*7654,0
f2
R*Ll ;nF676,32
600*10*4248,9
8478,1
R*f2
Cc
mH8,11
10*4248,9
600*8478,1
f2
R*Ll ;nF535,13
600*10*4248,9
7654,0
R*f2
Cc
4
c
2
24
c
2
2
4
c
1
14
c
1
1
==
π
===
π
=
==
π
===
π
=
 
 
20. Repetir o problema anterior porém em FPA Bu de 4ª órdem. 
Resposta: No circuito, basta substituir capacitor por indutor e vice versa, como mostra o equema 
abaixo: 
Os valores também serão invertidos como 
segue: 
a) Se inverter os valores FPB norma-
lizados, pode-se obter valores nor-
malizados FPA porem há necessidade 
de desnormalizar depois. 
b) Se inverter os valores desnormaliza-
dos FPB é necessário adicionalmente dividir por 2cω para se obter valores desnormalizados. 
( ) ( )
( ) ( )
nF104,23
10*4248,9*10*9,4
1c ;mH445,3
10*4248,9*10*67,32
1l
nF5705,9
10*4248,9*10*8,11
1c ;mH317,8
10*4248,9*10*535,13
1l
:zadosdesnormali FPB valoresPelos )b
nF104,23
600*10*4248,9
3065,1
R*f2
Cc ;mH445,3
10*4248,9
600*5412,0
f2
R*Ll
nF5705,9
600*10*4248,9
5412,0
R*f2
Cc ;mH317,8
10*4248,9
600*3065,1
f2
R*Ll
:zandoDesnormali
F3065,1
7654,0
1C ;H5412,0
8478,1
1L ;F5412,0
8478,1
1C ;H3065,1
7654,0
1L
:osnormalizad FPB valoresPelos )a
24322492
24312491
4
c
2
24
c
2
2
4
c
1
14
c
1
1
2211
====
====
==
π
===
π
=
==
π
===
π
=
========
−−
−−
 
21. Projetar FPA ativo Butterworth n=2 com wc = 20 krd/s, usando circuito Salen-Key. 
Apresentar a resposta em termos de constante de tempo RC e resistores para ajuste de ganho. 
Pagina:6/7 
Resposta: A função de transferência normalizada para FPA é obtida a partir da função de 
transferência normalizada do FPB substituindo s por 1/s como segue: 
( ) ( )
1s2s
s
1
s
12
s
1
1sH :temos,
s
1por s dosubstituin , 
1s2s
1sH
2
2
2FPA2FPB ++
=
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
++
= 
Desnormalizando: 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) 22o
2
c
FPA
1
f5-
c
o
co
22
22
o
i
o
c
2
c
2
c
FPA
sRCA com compatível seja s *knumerador o que para sH de
expressão nak ganho um considerar necessário É :Nota 0,58581-1,5858
R
R e s10*5RC
: temoskrd/s, 20 Para
1,58582-3A e 1RC Portanto, ,
1RCsA3sRC
sRCA
sV
sV
:éFPA paraKey -Salen circuito do ncia transferede função a e 
1s2s
s
sH
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
===
=ω
==
ω
=
+−+
=
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
=
 
22. Repetir o problema 21 com filtro Bessel. 
Resposta: Única alteração será na função de transferência do filtro. 
( )
( )
( ) ( )
1s203,2s618,1
s618,0
sH :zandoDesnormali 
1s203,2s618,1
s618,0
1
s
13616,1
s
1618,0
1sH
: temosdaí e 
s
1por s dosubstituin obtida éFPA para função a e 
1s3616,1s618,0
1sH
: temos,1s3616,1s618,0sB 2,n para Bessel filtro do ão transmissde função a doConsideran
c
2
c
2
c
FPAB2
2
2FPAB
2FPBB
2
2
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
=
++
=
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
++
=
++== 
( ) ( ) 22o
2
c
FPAB
1
f
o
5
3
c
sRCA com compatível seja s 0,618*knumerador o que para sH de expressão nak ganho
 um considerar necessário É :Nota 268,0
R
R 268,1
618,1
203,23A e s10*36.6
10*20
272,1618,1RC
: temosanterior, problema no dadaKey -Salen circuito do ncia transferêde função a com Comparando
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
=⇒=−===
ω
= −
 
 
23. Repetir o problema 21 com filtro Tshebysheff. 
Resposta: 842,0
R
R 842,1
516,1
426,13A e s10*16.6
10*20
231,1516,1RC
1
f
o
5
3
c
=⇒=−===
ω
= − 
 
 
24. Qual é o ganho dos filtros projetados nos exercícios 21, 22 e 23 em frequencias muito altas 
(acima de 10 vezes a frequencia de corte)? 
Resposta: ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) oo22
22
o
j
i
o
j
A
1jRCA3jRC
jRCAlim
jV
jVlim
:por dado é altamuitofreqüênciaparaKey -SalenFPA circuitodo ganho O
=
+ω−+ω
ω
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
ω
∞→ω∞→ω
 
Pagina:7/7 
Portanto: 
( )
dB 5,31 842,1A :23 Problema
dB 06,2 268,1A :22 Problema
dB 45858,1log*20 5858,1A :21 Problema
o
o
10o
⇒=
⇒=
≅⇒=
 
 
25. Projete um filtro passa faixa Butterworth de 1ª ordem com freqüência central de 20 rd/s, Q=10 
e ganho 1, utilizando circuito de Brennan. 
Resposta: 
( )
( ) ( )( ) 54
'
324
'
321
322
52
i
o
2
o
o2
o
vFPF
r
o
oo
r
r
R//RR onde 
CCRR
1s
CCR
CC
s
s
RC
1
sV
sV
Brennan circuito no e 
s
Q
s
s
QGsH
: temoszando,desnormali e 
s
1s
B
1por s dosubstituin ,
1s
1sH usamos órdem, 1ªBu de caso No
central .freqf rd/s, em idemB Hz, em faixa de larguraB ,
B
f
B
Q
1B onde
FPB. do ncia transferede função na 
s
1sQ 
s
1s
B
1por s se-substitui FPF, Para
=
+
+
+
−
=
ω+
ω
+
ω
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
=
===
ω
===
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
ω
ω
 
Comparando as duas funções, e 
fazendo C2=C3=C tem-se: 
4
3
ov
5 10*0,510*20
10
G
QCR −==
ω
= 
3
3
o
1 10*0,110*20
10*2Q2CR −==
ω
= 
( )
6
323
1
2
o
'
10*5,2
10*0,110*20
1
CR
1CR
−
−
=
==
ω
=
 
5
'
4
R
1
R
1
1R
−
= 
 
26. Idem ao problema 25, usando fo=5 kHz, Q=20, Gv=2 (6dB) e C=22nF. Calcule os valores dos 
resistores. 
Resposta: 
( ) ( )
 2622,36
RR
RRR
 1716,36
10*2210*875,57*10*52
1
CR
1R
k 875,57
10*22*10*52
20*2
C
2QR
k 47,14
10*22*10*52*2
20
CG
QR
:se- temanterior, problema no usadas formulas as ediretament Aplicando
'
5
'
5
4
93232
1
2
o
'
93
o
1
93
ov
5
Ω=
−
=
Ω=
π
=
ω
=
Ω=
π
=
ω
=
Ω=
π
=
ω
=
−
−
−