Elementos de Calculo Diferencial e Integral em R e Rn

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Cálculo Diferencial e Integral em IR e IR" 
lculo iferenci 1 
e ln r 1 m 
Adlina Azenha 
Maria Amélia Jerónimo 
McGRAW00HllL 
LISBOA• SÃO PAULO• BOGOTÁ., BUENOS AIRES s GUATEMALA 
MADRID .. MÉXICO ª NOVA IORQIJE @ PANAMÁ 9 SAN JUAN .. SANTIAGO 
AUCKLAND @ HAMBURGO e KUALA LUMPUR @ LONDRES 
MILÃO • MONTREAL" NOVA DEU G PARIS " SINGAPURA .. SYDNEY 
TÓQUIO º TORONTO 
McGraw-Hill 
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ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL em IR e IRN 
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outro meio, seja electrónico, mecânico, de fotocópia, de gravação ou outros, 
sem prévia autorização, por escrito, da Editora. 
Depósito legal: 115216/97 
ISBN: 972-8298-03-X 
1E2PO 1062M03T5 
1E3P02082M05T5 
Capa: Pedro Matos 
Composição e Paginação: Neograf - Artes Gráficas, L.da 
Impressão: Tipografia Lousanense, L.dª 
Impresso em Portugal - Printed ín Portugal 
Referêm::ia 
Acilina do Nascimento C. Rodrigues Azenha, Professora Adjunta do Quadro do Instituto 
Superior de Engenharia de Lisboa (ISEL), do Instituto Politécnico de Lisboa, lecciona no ISEL 
desde Maio de 1986 e lecciona no Depaitamento de Matemática do Instituto Superior Técnico (IST) 
desde Janeiro de 1974. É licenciada em Matemática pela Faculdade de Ciências de Lisboa e obteve 
o grau de Mestre em Matemática Aplicada no Instituto Superior Técnico, em Janeiro de 1988. 
Maria Amélia G. Brandão Jerónimo, Professora Coordenadora do Quadro do Instituto Superior 
de Engenharia de Lisboa (!SEL), do Instituto Politécnico de Lisboa, representante da área de Mate-
mática no Conselho Científico do ISEL, onde lecciona desde 1974, Professora do Ex-Instituto Indus-
trial de Lisboa, de 1966 a 1974. Licenciada em Matemática pela Faculdade de Ciênciar,; de Lisboa. 
Embora, ambas as autoras tenham participado na elaboração de todo o livro, em particular 
nos Capítulos m e VIII, a concepção e estrutura básicas dos Capítulos I, IV e VII devem-se a Acilina 
Azenha e dos Capítulos II, V e VI a Maria Amélia Jerónimo. 
Este livro destina-se aos que estudam as matérias tradicionais nas disciplinas de Matemática 
nos dois primeiros anos do Ensino Superior, principalmente Politécnico. Poderá, no entanto, ser útil 
a alunos de cursos universitários como, por exemplo, Engenharia, Gestão, Economia, ou Matemática, 
como complemento de textos mais avançados, pois contém mais de 500 exemplos resolvidos e 
exercícios propostos com resposta. 
Para os que consideram que os alunos de Engenharia do ensino politécnico poderiam dis-
pensar a Matemática como disciplina autónoma, faz-se notar que treinar os alunos no uso de receitas, 
fórmulas e tabelas cuja fundamentação desconhecem, não os ajuda a enfrentar na sua vida profissio-
nal os constantes avanços da ciência e da técnica, nem a adaptar-se a mudanças de funções profis-
sionais. Não nos podemos limitar a ensinar e automatizar os tópicos que as disciplinas da espe-
cialidade exigem. É necessária uma formação matemática coerente em que os alunos percebam 
como funcionam os métodos e quais as suas limitações, de forma a poderem adaptá-los a novas 
situações. 
Além disso, é de salientar que os conceitos matemáticos exigem uma compreensão progres-
siva e amadurecimento de ideias, pelo que é impensável uma preparação intensiva de última hora. 
Assistir às aulas ou ler resoluções de exercícios é manifestamente insuficiente, pois é ao resolver 
sozinho os exercícios que o aluno se apercebe das dificuldades da matéria, sentindo então a neces-
sidade de consultar os livros ou procurar a ajuda do professor. 
Os conhecimentos mínimos necessários à compreensão das matérias versadas neste livro são 
os que normalmente se exigem nas provas especificas de matemática de acesso ao ensino superior. 
É claro que os alunos que necessitem podem consultar outras obras onde estas matérias são tratadas 
de forma mais ligeira. Os alunos interessados poderão aprofundar e aperfeiçoar os conceitos teó1icos. 
estudados. Tanto a uns como a outros, recomenda-se a consulta das obras indicadas na bibliografia. 
Este texto baseia-se nas aulas teórico-práticas que as autoras têm leccionado no Instituto 
Superior de Engenharia de Lisboa em várias disciplinas da área da Análise Matemática. Os capítulos 
enquadram-se nmna sequência possível de leccionar a matéria, mas os professores podem optar por 
outras sequências, conforme a estrutura do curso. 
Os Capítulos I e H complementam o Cálculo Diferencíal em IR e a Geometria Analítica 
esíudo os alunos iniciaram no ensino secundário. No "'ª1Jmmv 
em mn, se bem que, devido ao mvd dos alunos 
métodos de 
lineares de ordem n de coeficientes constantes; ao 
fenómenos concretos que são modelados por diferenciais mostram a sua '"'"'""'''u"""º'"" 
à vida real. no vm estudam-se as séries numéricas de da forma que 
é habitual nos cursos de ~u'"vurn~u·~· 
'-'"'u'"""'L· Sistemas Lineares de bd~"ª'""''" I:'ite:rer1cfaüs, 
Tranformada de e de Fourier e 
desenvolver estes assuntos numa 
VIJJIHRI""· agra-
que m;;u;;"'•"' .;;;u1. a fim de serem cor-
AcrLINA AzENHA e MARIA AMÉLIA JERÓNIMO 
PREFÁCIO .............................. ...................... ...... .. ....... ............. ..... .... ...................... ... ............ .... Vil 
CAPÍTULO 1 
Compleme11tos de Cálculo Diferenciai em IR ..... ................................. ................. .............. ......... ]. 
I.1. Breve Revisão e Estudo de Algumas Funções ............ ..... ... .. .......... ............... ....... ............... 1 
L 1.1. Funções polino1niais ........................... .................... ., .... ..... ... ... .................. .... .... .......... 1 
I.1.2. Funções exponenciais e logarítmicas ...................... ............. ................................ ....... J· 
I.1 .3. Funções trigonométricas ...................... ................. .. .......... ... .... ................ ......... .. ......... 5 
I.1.4. Funções hiperbólicas ............ .... .... ......... .................... ..... ...... ................ ..... ...... ...... ...... 9 
I. i.5. Prolongamento por continuidade. Classificação de descontinuidades ............ .. ....... 13 
I.2. Complementos Sobre Derivação .... ... ,. ....... ... ................. .. .. ... .......... ................... .... ..... ....... 16 
I.2. 1. Derivadas de funções definidas parametricamente ..... .. .. ................................ ... .... ... 16 
I.2.2. Derivada de funções definidas implicitamente ..... ...... ......... ........................ .... .. ....... 18 
I.2.3. Derivada logarítmica .................. ............ ............. .. .. ....... ........ ..................... ....... .. ..... 20 
I.2 .4. Derivadas de ordem superior à primeira ...................... ... .... ............................... ....... 20 
I.2.5. Derivadas de ordem superior à primeira para funções compostas, 
inversas, definidas parametricamente e implícitas . ............ ................ .. .............. ... ... 22 
I.3. Fórmula de Taylor e Aplicações ..... ........ ..... ................. ..................... ............... ............. ...... 25 
I.3.1. Fórmula de Mac-Laurin e de Taylor ........................... ... ................................ .. ...... ... 25 
I.3 .2. Aplicação da fórmula de Taylor à determinação 
de extremos e pontos de inflexão .......... .............................. .............. ..... .. ............ ..... 30 
I.3.3. Estudo de funções .. .......... .... ... ......... ... ..................... ............................. ...... ......
... ...... 35 
CAPÍTULOH 
Breves Revif.lões de Geometria Analítica .. ..... .. ...... ........................... ......... ............... ....... ....... .. ... 49 
II. l . Introdução ............... ....... ............... ........ .... ...................... .......... .... ................ ....... ..... ..... .... 49 
II.2. Breves Revisões de Geometria Analítica ........ .................. ..... ....... .......................... .... .... ... 50 
II.2.1. Em IR.2 .... .. ... . .. . ........ . . ... . .... .. . . . .... . ... .. .. ... . .... . ... .... ... . ... ... . ... .. . ... ........ .. ... ... . ........... . .. .. 50 
II.2.2. Em IR3 .... ............. ........................... .................. . .. ...... . ... .. .. . ..... .. ................ . .. ... .... .. .. 55. 
II.2.2.1. Recta e plano ........... .... .. .. ......................... .... ......... .............. ....... .............. 55 
H.2.2.2. Superfícies de revolução ........ ................ ........ ..... .... ................. ... .. ........... 56 
U.2.2.3. Quádricas ........... ....... ... .......... ............................... .................. ... ~ .. .. ..... ..... 58 ··· 
II.2.3. Sistemas de coordenadas ........................................................................................ 64 
II.2.3.l. Coordenadas cartesianas .......................................................................... 64 
II.2.3.2. Coordenadas ................................................................................ 64 
II.2.3.3. Coordenadas cilíndricas 66 
II.2.3A Coordenadas esféricas .............................................................................. 67 
III 
Cállculo Difen,~nd.:id em IR n ........................................................................................................... 71 
HI.l ~~'·"•"m Escalares e Vectoriais ............................................................... 71 
""'·"'<'"""' ......................................................................................... 71 
............................................................. 75 
HI.2 ~~ .. ~,,~ Escalares ............................................................................................................ 83 
1. Breves ................................................................................. 83 
HI.2.2. Limites e continuidade ........................................................................................ 86 
IH.2.3. Derivadas direccionais ........................................................................................ 98 
HI.2.4. Derivadas Plano ................................................................... 104 
III.2.5. Teorema do valor médio ................................................................................... 109 
III.2.6. Derivadas de ordem à Teorema de Schwarz ......... 109 
III.2. 7. DiforenciabiHdade. . .................................... 116 
HI.2.8. Derivada da 
HI.2.9. Gradiente. .. .......................................... 137 
IH.3. . ........................................................................................................ 148 
III.3 .1. Limites e continuidade. Matriz Dfferenciabilidade. Diferencial.... 148 
UI.3.2. Derivada da .......................................................................... 154 
supen<)rà Matriz hessiana ............................... 159 
HI.3 .4. diferenciais .................................................................................... 162 
HI.3.4.1. . ....................................... , .............................................. 162 
IH.3.4.2. Rotacional ......................................................................................... 165 
III.3.4.3. . ................................................................ : .......... 168 
,.,.,., . .,v,.w ............................................................................................... 170 
inversa .................................................................................................. 174. 
IH.4. Fórmula de e extremos de campos escalares ..................................................... 178 
IJt4. J. Fórmul.a de ............................................................................................. 178 
Extremos livres ................................................................................................. 183 
.1::~x1:remaos condicionados .................................................................................... 194 
X! 
IV 
P:rimitivas e Cálculo em IR ......................................................................................... 205 
IV. l. Primitivas ........................................................................................................................ 205 
ºº'''ºººº'''º'''''º''º''º''ºº''ººº''º'''º'''ºº'ºº'º'º''ºº''º'''''''''º''º'''º''º'''ºº'º''''º''ºº'ºº'º'ºº'''205 
imediatas ............................................................................ 207 
'''º"º"'º"º'º'º'º"º'ººº'º""''ºº'ººººº""""ºº"'"º"ººº"ºº"º""º"'ººº""º208 
............................................................................. 211 
""''"'"'''"envolvendo e x ................................... 222 
~ÂA,~A~'~A~"C~~ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 226 
em IR ................................................................................................... 237 
IV.2.1. Somas de Darboux. de ................................... 237 
IV.2.2. .. ............................................................................ 242 
IV.2.3. .. ................................................................................ 246 
IV.2.4. de Barrow ................................................................. 250 
IV.2.5. e por ............................................................. 256 
IV.2.6. . ........................................................................................... 261 
IV.2.7. 
IV.2. 7 .1. Cákulo de áreas de ............................................... 265 
IV.2.7.2. Cákulo de de linhas ........................................ 269 
IV.2.7.3. Cálculo de volumes de sólidos de ...................................... 271 
IV.2.7.4. Outras aplicações dos ........................................................... 275 
EXERCÍCIOS ................................................................................................................. 277 
CAPÍTULO V 
...................................................................................................................... 285 
V.l. ·············································································································· 285 
JU\OUAUv<>V e ·~~~·~~~ ..................................................................................... 285 
V.1.2. Cálculo de Teorema de Fubini ................................................. 291 
V.1.3. Teorema do Valor Médio ...................................................................................... 303 
V.1.4. . .......................................................................... 305 
........................................................... 307 
V.2. ..... ,. ....................................................................................................... 314 
ai:HJtcac:oes .................................................................. 314 
.................................................................................. 315 
nu1u"''""'ª de variáveis. Coordenadas cilíndricas e esféricas ............................... 321 
VI 
329 
VI. l º 1 º Generalidades sobre linhas 
329 
329 
332 
333 
339 
~ ... ,,~,,,··-·de linha de campos vectoriaisº A de trabalho 0000000000000000000000•000 341 
conservativosº do caminho 34 7 
Teorema de Green no 350 
356 
356 
de campos escalares 0000000000000000 363 
Vl2.3 º APJ!lca(:oes ~Uf'ºS;LV'"'" 0000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000
368 
VI.2.4. de campos vectoriais. Cákulo do fluxo 
un1eri2:e111cia ou de Gauss 
VI.2º6. Teorema de Stokes 
373 
377 
381 
VII 
e 
Ld"''-'""'""'" diferenciais ordinárias e de derivadas 00000000000000000000000000000 393 
de diferenciais de famHias linhas 000000000000000000000000000.401 
ºº'ºº'º'ººº'º'ºººº''º'º'ººº'ºº'ºº'ººººº'ººººº'ºººººº'ººººººº'º'ºººººººº'º'''ºº'º'ºººººººº'ºººº'ºººººººº'ºººº'ººººººººº'º403 
'-'vl'"ª"'v"'" diferenciais de variáveis 
"-'"I'"ª"'""" diferenciais nmnoi~eneas 
406 
406 
419 
VII.2º3º ""VI'""'"'""" diferenciais da forma y' "" ax + by +e 00000000000000000000000000000000000000000 427 
dx+ey+ f 
""vi'"ª"'""" diferenciais exactasº Factor M~.~~~~~•·õ 
hQ1!lacoes diferenciais lineares 
L'-! l!.11o::•1,;v"'" de Bemoum 
433 
448 
454 
457 
463 
--------------·-------
VH.3.1. 
VII.3.2. ~f.PH"'"""'"" "'rn"'"'"'"'c diferenciais de l.ª ordem. 
1 "º'"''r·trw·rnQ ort1:igcmai1s. Envolventes. 
VII.3.3. Teorema de existência unicidade para 
diferenciais de l 
VH.4. Diferenciais Redutíveis à .ªOrdem 
VII.4.1. Existência e unicidade de para eqliac·oes 
Vlt4.2. de diferenciais redutíveis à 
VII.4.2.1. 
VII.4.2.2. 
VII.4.2.3. YJ'"!UIUVV"'" 
VH.4.2.4. Ll..llLll<ll,,oVÇ;, 
481 
487 
491 
493 
493 
495 
497 
499 
504 
Diferenciais Lineares de Ordem 11 ............................................................... 505 
VIL5.1. Teorema de existência e unicidade ................................................................ 505 
VH.5.2. do 507 
º'VH.5.3. uvu•yuu 
método 
dos coeficientes indeterminados .................................................. 523 
VH.5.3.3. da método 
da das constantes ........................................................... 529 
~;~~A~0~A~A~U 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000••00000000•000••00000000000000000000000•000000000000000 538 
VIII 
VIII. l. Séries Num.éricas ...................................................................................................... 545 
VHI. l. l. Séries e de ....................... 545 
VIII.1.2. Séries de termos não ................................................................... 558 
VHI.1.3. Séries alternadas. absoluta ................................................... 567 
VIU.1.4. Cálculo upyv~.IH><<YV 
AJÂ~'°'n'-•A'VH.PU ooo•••••••••••••••••••••oooo•••••••••••••••••••••••••••••••••••••oo••••••••••••oo•••••••••••••••••••o•••••••••••••oo•••••• 577 
VIII.2. Séries de ...................................................................................................... 581 
vm.2.1. Séries de IUfíCOl~S 
VIU.2.2. Séries de 1->vc•"rn""'"'· 
VIII.2.3. Séries de 
BIBLIOGRAFIA 
~~·º~·~·e uniforme ... ,. ........................... 581 
588 
593 
601° 
609 
" G@e@®~®0@a®0ee@oe~eêo ~@®©®®@0©e@ GQ ~6®G0 0 0 Qes@&®®~@e o ~e~@oeG ae@000@©~@ 00@ CApll~ULO 1 
álculo 
le 
if 
ntos e 
rencial e m IR 
A maioria dos assuntos deste parágrafo já é do conhecimento de quase todos os alunos. 
Assim, optou-se por expor sucintamente o essencial evitando-se a maioria das demonstra-
ções. Algumas propriedades (crescimento, limites, etc.) e valores duma função são evidentes 
a partir do seu gráfico, pelo que o conhecimento deste é importante para entender o compor-
tamento da função. 
Entre as funções mais simples encontram-se as funções polinomfai.s, isto é, da forma 
P(x) = a xn + a xn-1 + a xn-2 + · · · + a x + a n n-1 n--2 1 0' 
onde n E IN é o grau do polinómio e ª n' an-1' an--2, •• • , a1, a0 E IR são os coeficientes. 
Vejamos alguns casos particulaf~:;: 
w As ftmções constantes p(x) = C; 
«1 As rectas p(x) = mx + b, não paralelas ao eixo das ordenadas, que intersectam o eixo 
das ordenadas em b e têm declive m; 
~ As funções quadráticas p(x) = ax2 + bx +e, (a -:t:- O), cujo gráfico é uma parábola com 
a concavidade para cima se a > O, ou para baixo se a < O e que intersecta o eixo dos 
xx nos zeros da função. 
o 
par, temos uma 
que 
y y 
X X 
y=xn(n> 1, 
y 
X 
y = -n (n > 1, par) 
y = -n (n > 1, ímpar) 
Complementos de Cólrnlo Diferencial.em$; >~;:< 
·:~:, ... · 
Recorde-se ainda que, sendo/: <;f/J -7 IR se diz, por definição, queg:/(20)-7 IR é inversa 
de f(g = 1-1) se y = g(x) <:=:} x = f(y) . Daqui resulta que o gráfico da inversa duma função f 
se pode obter do gráfico de/trocando o papel do x pelo do y, ou seja, tomando para gráfico 
de 1-1 o simétrico do gráfico de f em relação à bissectriz dos g_uadrantes ímpares. Assim 
ternos para n E lN, os seguintes gráficos: 
y y 
o X X 
y = Vx (n > 1, par) y = Vx (n > l , ímpar) 
1.1.2. Funções exponendais e Rogaritmlcas. 
A função y =a! só se pode definir se a> O. O seu domínio é IR e o contradomínio éIR+. 
O gráfico depende de a: 
y y 
o X X 
y = ax (a> l) y = ax(O<a< l) 
Tem-se: 
1 
a > 1 :::::> lim ax = +oo e 
. x~+co 
lim ax =o 1 
X~-<XI . 
Estas funções são invertíveis, designando-se a sua inversa por logaritmo na base a. 
Assim: 
o a: 
y y 
y= X (a> 1) y= X (O< a< n 
Tem-se: 
>l~ X = +oo e Hm Ioga X = -00 
x->O+ 
O<a<l~ 
Em particular, a é o""'""''·""'"'""'-""'' e = 2,718 ... , é a constante de 
o logaritmo na base e diz-se ne1Jer1aIJ10 
Propriedades tem-se 
uma da 
É passar para a 
Sejam 
Então 
Logo, para "l/x > O e a, b > O, 
1.1.3. Fun~ões trigonométricas. 
As funções seno e coseno estão definidas e são contínuas em IR. Tomam valores no 
intervalo [-1, l], são limitadas e são periódicas de período 2n. Os seus gráficos são: 
n/2 X 
----~---- - -- - --- - 1 
y 
- 11: 
o X 
- 1 __________ _____ _______ ___ .:-:-__ _ ....._. __ 
rm1çc1es seno e coseno 
recta: 
e outras: 
senx 
cosx 
1 
cosecx"" ~-~· -
senx 
1+ X 
sen ± =senx· ·cosx 
""'2senx · cosx 
senx± 
cosx+ 
sen · cos y ""' 
X 
sen-"" 
+ 
cosx 
X;--
senx 
1 
secx=--
cosx 
1+ X= 
cos = COSX· 
senx·seny = 
cosx · cosy = 
cosx-cosy"" -2 
X 
cos-= 
2 
X 
X 
X 
X 
= 
2 
+ 
-n: X 
y y 
rr;/2-----------
X 
---------- -n/2 
-1 X 
y =are senx y =are cos x 
essa inversa a 
y 
Esta 
are lR--7 ~[ 
é tema = X +=ea = 
X 
Complemento§ e Integral em lR 
u' 
. cos u =-u' · cosec u · sen 
=-u' · sen u =u'·secu·tgu 
u' 
tg =--
1+ 
=-u' · cosec2 u cosec ~-
O seu e 
Chama-se coseno "'""'"'~'" 
[1, +oo[ e é uma 
Tem-se x= x, x= shx, x = x e eh" x = chx. 
X > o ==> ex > e-x ==> X > O; = O; X < o ::::> ex < e-x ::::> X < o 
E lR ==> chx >O; 
elas só terão extremos em 
terão 
X 
= 1. Então, como estas AUJJ.•V'-'"'"' 
onde a pnme~ira ",,.'."""''"' 
o 
+ + 
o + 
o 
o 
o 
+ + 
1 
+ 
+ 
y y 
X 
A razão se 
x= a, y = a, então a- -y2 = 1, 
= l, com x = cos a, y = sen a, 
y 
-1 
X 
Complementos em IR 
X X 
y = arg shx y"' arg eh x 
x= y <:::> y = arg X <:::> X "" ---
2 
e2Y - eY - 1 = o ==> eY =X:!: 
e7 >O, E então é o +. 
e Y = x + ,J x 2 + 1 :::::> y = + :::::> arg 
1 arg eh x = ln ( x + ..Jx2=1) · I 
As 
as suas 
seu> O 
(arg 
(arg 
(arg 
Tal como as 
1-
± = 
tem-se: 
- u..Jl +u2 ' 
seu< O 
=--,se u>l ou u<-1 
1-
= ,.------, , se arg 
U\/1-u 2 
X 
± 
± 
u>O e O<u<l 
<0 e O<u<l 
X 
=2· 
x+ X 
Complemento§ 
+ = shx + chx. 
Mostre que 
e2x -1 
=--· 
e2x + l' 
se a definida por y = é par ou 
para 
a 2õg. Neste caso, a função g 
EXEMPLO 1.2: IR _, IR, definida por 
=(~)X 
x-2 
e seja g: IR _, definida por =ex 1n<x2-1i-x 1n(x-2i. Mostre que g é uma restrição 
'llx E '2llg. Tem-se: 
q]Jg ={x:x2 -1>0Ax-2> ={x: <-lvx>l)Ax>2}=]2,+oo[. 
x 2 - 1 > 0 /\ X - 2 > U 
u { x: x2 -1 < O /\ x - 2 < O} =] - 1, l[ u ]2, + oo[. 
Para vx e '2llg tem-se: 
= exln(x2 -J)-xln(x-2) = 
ln--[ (x2-Jy] 
= e (x-2)' = 
EXEMPLO 1.3: 
dades. 
Parax <O ex :;t:~2 a 
nos .,.,,.,,,_,,,c-h'""~ 
nencial são contínuas nos 
ex= L 
Como 
descontínua de 2.ª 
definida por 
lnlx + 2J +are 1 sex <O. 
X 
se O< x < 1 
2 
sex > 1 
as descontinui-
nu'"''"~" tlm1J:en1te e expo-
x = 0 
Hm = ~oo, 
no x=~2. 
Complementos de Cálculo Diferencia! em IR 15 
mas o ponto x = O não pertence ao domínio de f, logo a função
é prolongável por continuidade ao 
pontox =O. 
Finalmente, dado que 
limf(x) = 1- rr e lim/(x) = 1 + Ti , então~limf(x), 
x--;i- 2 x--;1+ 4 x--+I 
pelo que f não é prolongável por continuidade ao ponto x = l . Neste ponto há uma descontinuidade 
de 1.ª espécie. • 
EXERCÍCIOS 1.4: 
1) Estude do ponto de vista da continuidade a função f IR ~ IR, definida por: 
Resposta 
Recordando que 
limx" = 
+oo 
1 
o 
$ 
oo (sem sinal) 
Então, pode escrever-se 
1-1xr 
f(x) = (x2 - 1) · lim--. 
1 +lxl" 
sex > 1 
sex = 1 
~ ,~1~· =n se -l< x<l 
sex = -1 
sex < - 1 
{
1 - x 2 se lxl > l 
f(x) = O se x = ±1 
x2 - 1 se - 1 < x < 1 
que é contínua em IR. 
2) Sendo <p definida em IR, contínua no ponto 1, dada por: 
sex ~ l 
se - l<x<l 
sex ::;; - 1 
se lxl > 1 
sex = ±1 
se -1<x<1 
Determine k. Estude a 
HnJayc'" o contradomínio da 
ou ínfimo todo o seu aormmto 
do 
Jr: 
k = - · fé descontínua de l.ª 2, 
C.D.= 
efJ definida em dada por 
em x = -1 e é contínua em lR \ } . 
M . li: ax.=-; 
2 
M . li: 1n.=--. 
2 
sex~O 
sex <O. 
X EJR. 
Determine k por forma que efJ contínua em lR e, fixando k no valor determinado o 
qual a fica estritamente monótona em calcule o supremo e o ínfimo de em lR. 
k = l; o supremo de é l + n e o :ínfimo de 
2 
éO. + 
Seja y = f(x) uma função definida parametricamente por: 
te 
que este é 
dy 
-= 
hé e que o teorema é 
Complementos 
= ou 
EXEMPLO I.5: definida 
y= (tE 
Pede-se a derivada da x =O. Há que determinar o correspo11dente valor de t. Ora 
é dada 
(x-a) 
x=O:=:>t=O=}y =O, a recta = L + 
18 
em tomo 
a 
se 
IR IR" 
y= 
X ~ y= 
y 
y. 
t, corres-
a 
X 
EXEMPLO 1º7: uma 
x 1"Y - are 
Calcule no de ordenada l e escreva uma 
dx 
Derivando toda a e considerando y como 
x 1"Y • lnx · y' + 
y 
x ln 1 - are sen - l) = tg 
+y-
4 
dex, vem: 
tal que o par 1) 
ç:, are sen - 1) = O ç:, x2 - l = O ç:, x = ± 1. 
Mas X= -1 não serve, porque a v"''~u.vu,-.~,x lny não está definida 
é ~N,...~'''~ 
= 
obtém-se: 
-2 + y' = y' · sec2 ç:, -2 + y' = 
4 
<:::::> y' = 
no x = L A recta tan,geinte neste 
y- (x-1) <:=;> y-1 = 1) <:=;> y = -2x + 3. 
de <pnesse 
a 
Integral em IR e IR11 
y 
+ l)+x -cosxln2-2xln3 ::::> 
y' l 2x , ~ e' [ x 
::::> - ""~--+ l+senx· ln2-2ln3 ::::> y = --+ 1 +senx ·ln2-2 
y 2 + 1 2cosx x2 + l 
sentar por: 
mesmo se 
, ou 
a, 
ema, 
que se 
que as 
Complememtos 
~~~~~~~~~~~~-~~~~~~~~· 
'ou 
ser seguinte 
= 
p=O 
EXEMPLO I.9: 
Tem-se 
= 
p=O 
= (2x- =-2; = 2; -2x)(pl =O, >2. 
as únicas 1Ji:!li.;c1•w do somatório que não se anulam são as corres1po11toe1nes a p = 1 e p = 2. 
como 
= = l E 
= 1000! (-2) + 1000! 
999! 2 
= 1000 (-2) + 1000 . 999 = -2000 + 999000 = 997000. • 
+ 
EXEMPLOUO: 
diferencial: 
2 vezes diferenciável em 
Fazendo a 
em termos de 
"'4 
e2x • 16 e-2x 
<:::> 16 
dx 
dx dy 
d 
vem 
outros 
+ 
-3 =ex, 
e mostre que a 
<:::> 16 
diferencial se reduz a 
Complementos 
EXEMPLO l.U: invertível num. nn•,rn·~•n e IR. Mostre que sob certas 
é dada por: 
e esta fórmula para calcular a 2.ª derivada da x= arg 
Como é sabido 
X= arg 
Então 
que 
EXEMPLO I.12: 
Calcule dx2 no 
d l d 
dx 
dx 
dy. 
dx 
dx 
=:> y = sh x =:> = eh x ::::::> 
dx 
shx 
---= 
uma definida 
= sect 
= 
= shx. 
ch2 x -sh2 x = 
dt 1 
·-=---------
dx 
que 
= sec t · tg t => = sec t · t + sec3 t e = sec2 t :=? = 2 sec2 t · tg t ~ 
d 2y sect·tgt·2sec2 t·tgt-sec 2 t·(sect·tg 2 t+sec 3 t) tg2 t-sec 2 t -1 
~~= = =-~ 
l + t = sec2 No rc t=~ 
4' 
= f(;;) uma 
= 3. 
Derivando em ordem a x: 
2x+2 
= 1, 
Em 3), temos = O. Derivando novamente: 
Substituindo O ey = 3, vem 
l+ =0 => 
1.14: definida 
X = t + t3 e 
- _2, 
- 2. • 
t+l 
z= uma duas vezes diferenciável em tal que 
a 2.ª derivada da c01nposta, g no x = O é 2. + 
t tg3 t 
""O. 
por 
=Oe = 2. Mostre que 
e 
e 
por um 
em e[ um 
n, 
+ + +···+ 
que: 
= 
+ + ... + 
= = O =:> 3 c1 E e[, tal que 
= = 0 =:> 3 C2 E C1[, 
=O =:>3 que 
=O = 
lntegrnl em IR e 
·-----
+ + , t E 
+ + + 
+ 
que: 
ema e q]j, 
+ + 
, com te 
,,ucuu~'-"" resto de ordem n. Este resto "'"U'~"''-'~ por resto 
de para o de 
+ com =0. 
x->a 
Em casos tem-se: 
Complementos 
.~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~~-
=o 
éum 
para X 
xn 
• ex =l+x+-+-+ 00 ·+-+ 
2! 3! n! 
+1)=x--+--···+ 
2 3 
~ senx = x--+--···+ 
3! 5! 
111 cosx=l--+--···+ 
2! 4! 
~ (l+ 
E 
ema e 
a, tem-se 
<lx-
emlR 
X 
grau 
em a e se lx - ai ~ 1, 
+ 
lntegrnl em IR IRn 
EXEMPLO 1.15: 
= cosh X em fórmula de Mac~L:mrin com resto de ordem no 
Mostre que para O < x ~ 1, se tem: 
x 4 <4! x-l- < °COshxº 
2 
< 
Utilizando a alínea desenvolva cosh ecos e mostre que para 
~3, se tem: 
cosh -cos com 
= coshx = cosh O = 1, n E Il'L 
= senh x = p 2rr-1l(x) = senh O= Oº 
a fórmula de Mai> Laurin só contém termos de ordem parº 
b) Tomando n = 4 e t entre O e x , fica 
x 2 cosht 
coshx -1- - = --x4, 
2! 4! 
com O < t < x ~ L Para x > O, cosh x é crescenteº 
x4 
O < t < x ~ cosh O < cosh t < cosh x => -
4! 
x• x2 x4 
=> - < cos x - l - - < - cosh x =:::> x 4< 4! 
4! 2! 4! 
cosh t x 4 
--x4 <- coshx=> 
4 4! 
xz 
-1 - < X 4 COSh Xº 
2! 
/ 
(ompleme11tos 
xz 
e) Dado que se provou anteriormente que para valores de x """"'"""""Q de zero se tem cosh x "" l + -
2!, 
e 
b) 
com < /x/ 3 , tomando x = temos cosh ""' com < 
Para desenvolver cosh 
-Laurin de cosh x. 
basta substituir x por 
cosh 
x 2 x 4 cosht = l+--+--- .. ·+--
2 · 32 34 • 4 ! n ! 
com t entre O e Do desenvolvimento conhecido de cos x, obtém-se: 
cos 
xz x4 
=!---+~--···. 
2. 32 34 • 4! 
Tomando n = 5, então 
cosh 
cosh 
x2 x4 
""l+--+-- com 2. 32 34 • 4!, 
xz x2 
-cos ""2·--=- com 2. 32 9 , 
=are tg x2 
Escreva a fórmula de Mac-Laurin resto de 3. ª ordem. 
Usando a aHnea 
are 
24t7 - 40t3 x 3 = x2 + 3 · - , com t e 
(1 + t 4 ) 3! 
x3 
---- ~---=o .• 
< 
< 
na fórmufa de Mac-
e lntegrnl em IR IR~ 
\ 
y y 
o 
extre-
extremo num a, 
~ --"---"~~-- extremo 
tem extremo em 
n extremo ema 
y 
3 
y=x 
X 
, com t E ou a[. 
<O::=> 
>O, V x e e 
< Ü, X E 
> O :::;> f crescente em a 
<0:::;>/ ema 
é ""'14!1 ""1>" 
é m º'""""" 
31 
extremo em a 
EXEMPLOI.17: 
= l5x2 -15x4 =O=:> 
= 30x-60x3 
;t O, n = 2 
;to, = 2 que há 
os extremos da definida por: 
= 5x3 -3x5 + 10. 
=o=:> X= O, ±1. 
= = 30. 
=12 é um máximo. 
= 8 é um mínimo. 
= O, há que continuar a derivar para tirar conclusões sobre o x=O. 
= 30-180x2 = 30 ;tO, n = 3 
que uma conca-
no 
y -a), 
) E 
Do mesmo para 
E 
X 
\ 
=O, para k = 2, ... , n~ L 
*O. Então com resto n: 
, com t E ]a, ou a[ 
ou para 
n 
n => 
EXEMPLO I.18: de inflexão da do 
_,._., ..... - I.17. 
Para o estudo dos de inflexão interessa achar os onde a 2.ª derivada se anula. 
= 30x - 60x3 = O ~ 30x (1- =O:::::>x=O, ±-. 
2 
= 30-180x2 1= 0 (n = 3, :::::;>X = 0 é de inflexão. 
i:O (n de inflexão. 
e l11tegrnl em IR e IRn 
·~~~~~~~--~~~ ~~~~-~~~~~~~~-~~~-
EXEMPLOI.19: 
tal que: 
IR --1' IR uma contínua em 
>O, >O; 
= l; 
=-1; 
a extremos locais e absolutos e 
5 vezes diferenciável em IR\ 
As l mostram aíi um de inflexão. 
2 mostram aí um máximo focaL 
de inflexão em -1 e um mínimo focal em -2. 
só ter extremos em deste se a 1. ª derivada 
se anular neles. Poderia por isso haver extremo nos teorema de RoUe \ 
teria de existir um x E 3[ no =O, o que não se verifica. 
um máximo em 2, a tem a concavidade para baixo para x E 2 + Como 
>O, 'ílx >O, 
mudasse o sentido da concavidade de x = 2, então teria de intersectar o eixo dos xx 
de mudar a concavidade 
ser x = 3, que será um de inflexão. 
y 
Em resumo: a tem um máximo absoluto em x = 2, um 1nínimo absoluto em x = -2 e 
de inflexão em x"' O, ±3. + 
~ Lª e 2.ª 
limite ser+= ou-= e que a rectax =a 
-·---------X~ a-.) 
m= lim f(x) 
X-'>+= X 
Complementos 
o com-
x-+a 
X~ a+, OU 
b= 
tal que 
e Integral em e IR[I 
~~~~~~~~~~~~~~~ 
EXEMPLO ll.20: Esboce o =ln no intervalo 
o estudo da
em IR. 
cos2x> ={x:-~+2kn<2x< n: +2kn 
2 2 
11: 
--+kn<x 
4 
7r 
-+kn 
4 
E 
A de n:, este é o menor real tal que 
= cos 2x~ ln 
Então basta estudar a 
não está definida em 
Como 
f(-x) =ln [cos 
par. para conhecer o gráfico 
Não faz sentido procurar as~amptcitras 
ilimitado. 
[2(x + n)]} = ln 
=ln (cos 2x) = f(x), 
estudá-la em [O, : [. 
o dominio 
de fazer 
u ... 
contém u:m intervalo 
com o eixo dos yy: x = O ?9>P>ri-P''""' ao 
com o eixo dos xx: y = O ::::::> ln 
-7'4 [. trabalhar apenas no intervalo 
= O ~ cos 2x = 1 ~ x = O, porque estamos a 
Complementos em IR 
~2sen2x 
= =-2 tg 2x =O:::::::> tg 2x =O:::::::> x =O; 
cos2x 
XE 
que nunca se anula e é sempre 
inflexão. 
X 
<O 
o 
o 
-11:14 
4 
cos2 2x' 
a concavidade é sempre para baixo. Não há 
rd4 
\\\\\\ 
\\\\\\ 
\\\\\\ 
y 
11:/4 311:/4 5nl4 
X 
A tem máximo absoluto em x = 2kn: (k E .l) e o contradomínio é }---00, 
EXEMPLO 1.21: um estudo tão 
se x s; O 
sex>O 
com da 
de 
e lntegrnl em 
x=a.A não é par, nem 
se x::;; -2 
se -2 < x:::;; O 
sex >O 
X+ e-2-x' 
m = li.m = 1 + lim -~ = l; 
x-t+oo X x~+oo X 
x-->+oo 
y = x é as~>i.rrtptiota em +oo. 
Logoy= O é 
x<-2 
y = mx + b em-oo: 
X.-.)-00 X X~-00 
b = Hm ex+Z = O. 
> 0;-2<x< O <O; parax> 
regra de 
se x <-2 
se-2<x<O 
sex> O 
toma sempre valores maiores que 2x. x>O 
X < -2 , OU -2 <X < 0 > 
se x < -2 
se-2<x<O 
sex >O 
)=O:::=>x=~. 
2 
>O. 
(ompleme11tos 
X 
f'(x) + 
f"(x) + 
u 
tem um máximo 
= e-2• Tem 
-2 
-
+ 
1 '::,iU 
mas não aoi;m111to 
de inflexão em 
o Ji 12 
+ + + 
- o + 
e-2 ,li() ,li 7lU 
X 
= l. Tem um mínimo mas não 
x=O e x=-. 
de não se ter calculado as derivadas nos 
ae11m,çao de conduir-se do gráfico 
O domínio de diferenciabfüdade é]-«>, -2[U] 
EXERCÍCIO 1.22: 
sex<O 
sex;:::: O 
+ l. 
sex;;::: O 
sex<O 
2 
x = -2 ex = O (o que teria dle ser feito 
não existem derivadas nesses 
+oo[. O condomínio é +=[. + 
extremos, monoto-
o seu contradomínio. 
b) 
e lntegrnl em e lR" 
Máximo=M 
Mínimo= m = f(l) = e-2; 
Ponto de inflexão= I = --· 2 , 
C.D. =IR. 
m 
""mmn·t"t'"' X= O, e y =o e em 
MlÍnimo ==f(-1) =--e-1; 
Ponto de inflexão= -1 
C.D.= 
y 
m 
X 
y 
X 
e) 
-2 -1 M 
-+--
1 -'13 
As:símLOtc~tas x = O e x = 2; 
Mínimo = f(l + 
Máximo 
Pontos de inflexão: x = -2, 1, 4 
C.D.= IR. 
--oo),y =o 
=-e-2; 
Máximo = 1; 
Ponto de inflexão = (3, -2e-3); 
C.D. = ]-oo, l] u ]2, 
Complementos em IR 
y 
y 
X 
ex=-1; 
e) 
As:simllotc,tas y = -x 
Não tem extremos; Não tem 
C.D.= IR. 
1.23: = f(x) uma definida 
=a t + sen t) e 
1.24: 
6t 
y 
etr1camente por 
=a t-t cos 
6t2 
e 
l + t 3 1 + t 3 
U5: = uma definida por 
x•eny + cos (x =ln com 
Cakule 
X 
com a, t> O. 
=O. 
pmran1eu1ca11m~me por 
=O. 
b) sendo z uma 
""arcsen t e 
e) g. Cakule e escreva uma 
1.26: y 
+ =In(e+y-
Escreva uma da recta normaJ ao 
1.27: z=x2 +6xey 
uma invertível em tal 
em ordem ay, no 
1.28: Deduza a y= 
1.29: 
emx= O. 
1.30: 
=y + 
e utilize-a para cakular a 2.ª derivada de 
1.31: 
Calcule 
Mostre que 
y 
vezes diferenciável em JIR. 
em termos das derivadas 
extremos em O e em 1, então 
de ordenada y = 1. 
= l = 2. Calcule a derivada dez 
X , de = sec2 y. 
segtemum de inflexão 
e 
e l11tegrnl em e mn 
·~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
I.32: 
Usando a fómmla de de 
I.33: 
vezes -··-·-.. -·.-
tem um extremo em x = O. 
I.34: 
no a= :rc, 
estritamente decrescente em IR Calcule 
Escreva a fórmula de Mac-Laurin = 3'0~•, com resto de 3.ª ordem. 
1.35: 
e escreva 
1.36: sendoy 
1.37: uma 
Hm 2 · 3seu - 2 - 2x - x2 = 2(ln 3 -1) . 
• ~o 3 
+ 1) e = (t + l )ºº' 1• 
das n~ctas tangente e normal ao 
(xy + 1) 
definida por 
= 
definida implicitamente por: 
+ earc SO!lX -y = O. 
sex<2 
sex>2 
x=O. 
I.38: 
=are sen t e = 
I.39: 
D= =O. 
Determine o no =x. 
I.40: Partindo da fórmula de 
volva a 
no a=2 = ln(x- com resto de 4.ª 
ln(x ~ n 
= x-2 
I.41: Sejay = f(x) definida parametricamente por 
= 2cos t sen t e = 3 cos2 t. 
Escreva a fórmula de Mac-Laurin def(x), com resto de 3.ª ordem, para t =O. 
b) Indique um valor aproximado def(0,01), com !enol < (0,01)2• 
e) Usando a), seftem mínimo ou de inflexão em (x, y) = 
I.42: Sejay = f(x) uma função definida por: 
tg(x + 2) 
4a +2xa 
sex <-2 
sex >-2 
e IR\ 
em 
desen-
Determine o domínio de f e estude a 
descontinuidades. Determine o valor de a de modo 
co11tirmi!1ad.e. classificando as ""''"n;•P.1<: 
I.43: g(x) 
vezes diferenciável em 
de inflexão em x = O. 
por continuidade ao 
+are sen 
=O = 2. Mostre que g tem um 
l11tegml em IR e IR_n 
1.23: = tg t; =(a cos3 
I,24: = = 
l-2t3 
1.25: =O. = e) 
:t26: x=O. 1.27: 3. 
1.28: 
l 1 l 1 
=--=---=--
dx l+ y l+x2 
1.29: =-1; =L 
1.30: t , V%x -5 {[ 2x 1 earcgx -- --+ 
x2 +1 l +x4 3 
1.31: coshx senhx. 
senhx x) senh2 x coshx. 
1.32: 
2n3 2 
1.33: 
1.34: 
x2 x3 
3senx = l +X ln 3 + - ln2 3 + ~ 3son1 
2 3! 
3 cos3 t- 3 ln2 3 cos t sen t-ln 3 sen 
O< t<x. 
1.35: 
1.36: 
1.38: 
I.39: 
1.40: 
I.41: 
1.412: 
(ompleml!mfos 
<x. 
b) z)-3/4 e) um máximo em x = =3. 
E u -1 
por continuidade ao x = -2, se a = -1 ln 
emx=-2+n/2+ com x <-2, as descontinuidades são de 2.ª 
-ln2tg (x+ 2) 
= se x <-2· g(-2) =-ln 2· 
2 ' ' , x+ 
g(x) = -ln(-x), se -2 < x ~ -1; =ln 2x + 1 , se-1 < x <-1 /2; g é diferenciável em Ç!)Jr 
X 
n 
1iti•1ri:mrilfl e Integral em IR e IR" 
~~~~~--~~~-~~~~-- -~~~~~~~~~~~ ·~~~~-
No W.ºano o 
esse Neste momento 
que e E IR e não são .:i>H.U.UM.<H . .,,<UH'-'JUL" 
as coinpommt(::s 
+ + + + Ey + F =O, 
com A, B, D, E, F E IR e A* o V B * o. o r<>.r•1n1rnf"n 
2. º grau em x e y nem sempre rerífm;enta 
As ""'' ''ª""u"" 
+Byz+ + Dx + Ey + F = O, 
seA=B 
se A · B > O A ;t: B 
seA·B <O 
se A= O v B =O. 
+e= o, em 
que A e B são 
n;;cta na 
uma 
coor-
de 
X 
centro e rna 
Para as a 
em 
EXEMPLO U,l: o que verificam as 
xz + -5 =O. xz + =O. e) xz + +2 =O. 
x2 + -2x+y-3 =O. e) 2x2 + +4x- -8 =O. x2 -4=0. 
x2 +4=0. 2x2 + -8 =O. i) 2x2 + + "'o. 
Integral em IR em~ 
j) 2x2 + =O. 
5x2 - + lOx-2 =O. 
x2 + -2x + -5 =O. 
l) 4x2 
o) 
r) x2 
é uma circunferência com centro 
éo 
e) 
+ 8x -5 =O. 
+ 4 =O. 
x2 + = 5 
O) e raio 
x2 + =O 
x2 + =-2 
4x2 +8x- +4=0. 
3x- + 4 =O. 
-2x+l)+ +y+l/4)=3+1+1/4<=?(x- +(y+ = 17/4 
e) 
é a circunferência de centro e raio--. 
2 
+ 2x + l) + (y2 - + = 4 + 4 + l <=? (x + 
é a circunferência de centro 
éa 
2) raio 3. 
x2 yz 
-~-=l 
4 4 
y 
+ 
X 
i) 
}) 
l) 
é a com semieixos a = 2 e b = 
-a 
éum vazio. 
éo 
+2x+l)-
Ç::> + -(y+ 
x2 
--=l 
4 4 
x2 y2 
-+-=l 
4 8 
y 
o a 
2x2 + =-8 
2x2 +y2 =0 
+ + 1) = 5 + 4 + 
=8~ 
2 
éa de centro -1), semieixos a= b= 
é semelhante ao da 
X 
~ 
"d 
8 
e y=-1 ± + 
y 
~~~~~~~\~-'c-~--+--1!--~~~~-~-~~~ 
X 
-(y+ 
Não tem termo Y"" 
Intersecta os eixos em 
e 
o vértice é 
X 
x= +y+2 
éa o 
é uma n~cta; y = + 2. 
-2x+l)+ 
éa de centro 
r) xz-
com 
é um vector ao 
Para uma recta que 
e semieixos a = e b = 2. 
+ =O <=:>x2 -(y·~ =O<=> [x-(y- · [x + (y- =O<=:> 
<=::;> (x - y + · (x + y - = O 
formada reunião de duas rectas: y = + 2, y = -x + 2. • 
+ + +D=O, 
x-xo =Y-Yo =z-
u1 
um 
uma recta. 
a 
e Integral em IR e IR" 
EXEMPLO H.2: Escreva uma da recta que passa por P e contém o vector u: 
e) 
e) 
u=Q-P Q = 2, O) 
x+l y-1 z-2 +5=0 .l 
--=--=--=rç:;.r= 
2 3 -1 + 3z - 7 = O .l 
{
3x- +5 =O 
<:::> r = 
x+2z-3 =O 
x-l y-2 z-3 
--=--=--=r~r= 
1 o 2 
x-l 
o 
x2 + = 9. b) z=4-x2• 
-z+l=O 
=l 
=0 • 
.l xOz 
Breves Revisões de Geometria Analítka 57 
Resohl!ção 
a) Em IR2 seria uma circunferência com centro em (O, O) e r = 3. Em :iR3 é uma superfície cilíndrica 
circular, cujo eixo é o eixo dos zz. 
y 
b) Em IR2 seria uma parábola com vértice no ponto (x, z) =(O, 4). Em IR3 é uma superfície cilín-
drica com directriz parabólica; a geratriz move-se paralelamente ao eixo dos yy. 
z 
Se a geratriz se move mantendo um
ponto fixo (vértice), obtemos uma superficie cónica. Se a 
directriz for uma circunferência e a recta que une o vértice com o centro da circunferência (eixo) 
for perpendicular ao plano da directriz, teremos uma superfície cónica ortogonal de revolução. 
Veremos a caracterização analítica mais à frente. Já vimos a importância destas superfícies 
em H.2.1. + 
As 
+ 
por 
+ 
em IR IRl!l 
uma 2.º emx,y, z; 
+ +Exz+ +Gx+ + Iz + J =O, 
C não srnmH:arn;arr1ente 
nem sempre rer1re1;enta 
+ + + 
qu~táncas com 
C:;t:OeG=I-I=I=O 
+ Iz + J =o, 
xxem o yyem o 
zz. 
CUU.HU,,,HoA• se escreve 
Ili-+ --=l 
y 
y2 
e -+---=O 
lntegrnl em lR e Ill" 
®' -~+ -~= 
z 
y 
=OvB=O que no 
1. º grau. Por 
tomar a 
z= + +e 
y 
X 
61 
tomar a 
éum ou o yy. 
z 
y 
e uma 
± (x - h)2 ± (y- k)2 + (z -1)2 = 1 
c2 
e centro em 1). No e:xi;rnpJ,1 v que se segue veremos como '"'"'"•'H"'"" s1l!pç;rt1.c1~~s 
que nos interessam 
EXEMPLO 11.4: 
5x2 + = 4z. 
x2 + y2 + z2 = 4. 
x2 + -z2 =O. 
j) 2x + y + 3z = 6. 
xz + z2 - 2x + 4z + 6 = O. 
z= 
com a concavidade virada para 
e) x2 
se seguern. 
definidas por: 
=4z. 
-z2 = 4. 
x2 + = 4. 
l) z = 4 - ~ x 2 + y2 • 
-x2 =4. 
+ 
e) 5x2 + 5y2 = --4z. 
-x2 + + z2 = 4. 
i) x2 =4. 
x2 + + 2z2 -2x-y-3 =O. 
eixo zz e vértice O, 
•t<m•'"'"' e lritegrnl em IR e IR" 
~~~-~~~~~~· ~~~--~~~~~ 
b) Parabolóide 
orientado o eixo dos xx. 
e) Parabolóide de em tomo do eixo dos zz, com vértice O, O) e virado para baixo: 
z= 
e) 
i) ciHndrica de 
j) Plano nos eixos são: 
f) Z""4-
Folha inferior da 
e raio r = 2. 
zz 
-~=I· 
4 4 4 , 
<0. 
em tomo do eixo dos xx (a= b =e= 
cm torno do eixo dos xx (a= b =e= 
x2 + -z2 =0; 
o, 
em tomo do eixo dos zz e com raio a2. 
de directriz e 
O, O) 6, O) O, indicados na 
z-4::;; O Ç;::> 
em tomo do eixo dos zz e vértice 
z::;;4. 
O, 
z 
y 
X 
Plano 2x + y + 3z = 6 
-2x+l)+ 
emquea=b= 
eixo dos zz que passa Yz, 
- 2x + O - y 2 + + 4z + = - 6 + 1 + 4 q (x -
em que a = b = e = l. É um 
ao eixo dos yy e que passa 
dHndrica com directriz 
X 
(x -1)2 
~--+ 
1 
z 
e 
_(z+2)2_l 
l - ' 
y 
z 
4 
y 
z=4-
+ (z+ =-1 q 
y 
>···················· (x, y) 
ez 
-------=+-----~----º 81 X 
porra 
r=llrll= 
{
x-
0 
y = psen8 
entre si com vectores 
z 
y 
p"" y, z) <::;> 
P. 
é, 
e r = ~ x2 + y 2 + z2 
pE (} E 211:[. 
é ""'""'"r" para rectas que passam 
que passam 
EXEMPLO 11.5: 
y= y=2x. 
x2 + -2x =O. e) (x- +(y- =2. 
y= <::=:> p sen 6 = cos e<::=:> p e-sen 8) =o<::=:> 
<::=:> p =o COS () = sen 8 <::=:> p == Ü V (J = <:=:>p=O e= ve= n. 
y = 2x Ç:::} p sen fJ = cos 8 Ç::; tg fJ = 2 com p :;": 0 Q (J = are tg 2 V p = 0. 
e) 
COS () = Ü Ç::i> p = 0 V p = 2COS fJ. 
Ora x2 + - 2x = O <=? (x - + y2 = 1 é a circunferência de centro e raio r = 1. Vemos 
que p "" 2cos () com fJ E 
e) (x- + (y- = 2 
é a circunferência com centro C 1) e raio r = 
(x - + (y- = 2 <=? x2 + - 2x - = O Ç::;> e+ sen ())=o~ 
Ç:;> p = 0 V p = 2cos () + 2sen fJ com fJ E 
cos 
=psen 
=z 
z 
pE , 8 E ZE 
EXEMPLO II.6: A~~"'.,"""'c•v as cn~,_,,.i-,"""'" que se seguem e mude~as para coordenadas cfündricas: 
xz+ -zZ=O. x2 + +z2 =16. e) (x- +(y+ ""2. 
3x2 + 3z2 = 3. e) - 4x2 - +z2 = 16. -z=O. 
z2 =x2 + 
cónica de em torno do eixo dos zz. 
z2 =x2 + qz2 = lzl =p 
absoluto da cota é 
b) É uma esférica de centro 
e) 
e) 
+z2 =16. 
cilíndrica de com ""'~'"h·n "''""'·~•M ao eixo dos zz e eixo que passa 
por Em coordenadas ciHndricas fica 
x2 + -2x+ =Qq e-- sen 6) "' o .ç::::. 
Ç:} p = 0 V p = 2 COS e- 2 Sen 8, 8 E 
z2 
+-=l 
3 1 
é um de uma de em tomo do eixo dos yy. A para 
coordenadas cilíndricas só fica fácil se orientar o cilindro o eixo dos yy, 
denadas ()) no xOz: 
= pcose 
=y 
Teremos: + =3.ç::::. -y2=3Ç=? = + 3. 
x2 y2 z2 
----+-=l 
4 4 16 
é um "'W•O~lfo~ de duas de em tomo do eixo dos zz. A dada é 
valente a: 
+ +z2 = 16<=:>-4p2+z2 = 16.ç::::.z2 = + 16. 
j) Éum em tomo do eixo dos zz, com a concavidade virada para 
Em coordenadas cilíndricas será =z. + 
lntegrnl em IR e mn 
à entre fJ, e 
em que se vê que z = r cos <p e p = r sen 
a 
X 
z 
y 
Po 
em II.2.3.3 nos con~ 
na 
EXEMPLO II. 7: ª"""·'"~!""as sui:1efl]C11es que se seguem e mude~as para coordenadas esféricas: 
x2 + +z2 =16. b) x2 +y2 -z2 =0. 
e) x2 + = l. (x - + + (z - = 2. 
''"'"'""""'"' esférica de centro O, O) e raio r = 4. Em coordenadas esféricas eviden~ 
temente, 
cónica de em torno do eixo dos zz. Em coordenadas esféricas fica 
r2 sen2 <p-r2 cos2 <p =O Ç:? 
n 3n 
q;= l,(r:;t:O)q <p=-vqy=~, 
4 4 
que 
e) É uma cilíndrica de em tomo do eixo dos zz. Em coordenadas esféricas fica 
r2 sen2 <p = 1 Ç:? r = com E 
No novo referencial a 
=x-1 
=y 
"'z-1 
da esfera dada é: 
x 2 + Y2 + z2 "' 2. 
as coordenadas esféricas convenientes são 
= sen ífJCOS fJ 
= r sen qJ sen fJ q 
= r cos qJ 
= 1 + r sen qJ cos e 
= r sen qJ sen e 
= 1 + r cos qJ 
Nestas coordenadas a da esférica é: 
r= 
U.8: 
1. os seguintes domínios 
x+y;::;OAy~2AxS: 0J = x2-y2 < l x2 + 
e) 0J= x2 + ;::;OAx2 +y2 - ::;; 0J = x+y<2Ay2 
2. os domínios em 
CZJ) = y, + 2z2 :2'. CZJJ={(x,y, xy< 
e) 05={(x,y, -3x2 -3y2 +z2 S:3}. 05"'{(x,y, X+ z2 + 1 :2'. 
e) 05= {(x,y, x2 + :;;4/\-3'5.z:;;~x2 +y2 }. 
05 = { ( x, y, x2 + + z2 < 9 A 1/3 + ::;; z2 ::;; x2 + 
3. Caracterize 1. em coordenadas 
4. Caracterize 2. e) em coordenadas ciHndricas. 
5. Caracterize em coordenadas esféricas. 
1. Domínio limitado de vértices (-2, 
2 1}. 
3. 
4. 
5. 
Domínio situado entre os ramos da -y2: 1 e fora da circun-
ferência de centro e raio L 
e) Domínio limitado 
e raio 2. 
circunferências uma de centro l) e raio 1 e outra de centro 2) 
Domínio limitado 
a) Domínio exterior ao 
Domínio situado entre os ramos da 
IJM•~•~.m ao eixo dos zz. 
e) Domínio situado entre os ramos do 
dos zz. 
Domínio exterior da 
dosyy. 
E [0, 3 sec 6] /\ 8 E [-"/4, are tg 
""2-x 
de uma folha com eixo no eixo dos xx. 
cfündrica de directriz e 
de duas folhas com eixo no eixo 
e 
um ramo duma cónica e um 
cónicas. 
V E 2 cosec &] (J E tg 
e, o :::;; r :s; 3 /\ o :s; e:::;; 2rr: /\ 
,. 
9 -911t e @ ® ® ®@@e() ewo e0•09@0«10@ 00©$@0 e «1@êtil @01 eoi» ~e o1J® 0®®@0@0tt @ oi1 fHf1e~oo& ®õ a. @o e e ei CAPITU 11 ~ 
lcul if cial 
m.1.1. Exemplos. Defini~ões. 
Até agora foram estudadas funções reais de variável natural, as sucessões, e as funções 
reais de variável real. Em várias áreas da Ciência, em particular em Engenharia, estudam-
-se problemas onde figuram funções escalares de várias variáveis/(x, y) ouf(x, y, z) que· 
representam uma função num espaço real de duas ou três dimensões de algumas quantidades 
físicas tais como áreas, volumes, temperatura, potencial eléctrico, etc. Tais funções chamam-
-se campos escalares. Em Engenharia são também necessárias funções cujos valores são 
vectores e não escalares, como é o caso da ve]ocidade dum ponto num fluido em movimento, 
as forças gravíticas ou magnéticas. Estas funções designam-se por campos vectorfais. 
Sintetizando: vamos passar do estudo das funções reais de variável real, f IR -o> IR, 
para o estudo das funções mais geraisfi mn ---7 JRm, com nem números naturais. Tem-se 
e l11tegrnl em lR e lR11 
e para 
comi= 1, 2, ... , m, 
= 1) ou 
lR"~ lR. 
ou 
EXEMPLOS de campos escalares: 
1) A que a distância de um z) do espaço IR3, a um fixo b, e) 
é dada por 
f(x, y, z) = ,.j(x -a)2 + (y- b)2 + (z ~ c)2 
com 
y,z) -> y,z) 
O volume dum ciHndro de 
num dado focal Terra: 
y, 
y, 
EXEMPLOS de campos vecto:riais: 
Na Cm1em:at1ca, 
o 
Cálculo Diferencial em ran 73 
quando se desloca em relação a um referencial). A cada ponto destas trajectórias corresponde um 
vector posição, que depende portanto do tempo. Teremos um 
r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3 
dita equação do movimento: 
t ~ r(t) 
A partir df r(t) podemos obter a velocidade v(t) = r'(t) e depois a aceleração a(t) = v'(t). São 
dois exemplos de funções cujo domínio está contido em IR3
e com valores em IR3. 
5) Suponhamos um corpo C, que roda em tomo dum eixo. Em cada instante, o conjunto dos vec-
tores que representam a velocidade em cada ponto (x, y, z) de C formam o chamado campo de 
velocidades, v(x,y, z), da rotação. 
6) O campo de forças gravitacional: sejaA uma partícula de massa M fixa num ponto P0 = (x0,y0, zJ 
e seja B uma partícula de massa m livre de ocupar qualquer posição P = (x, y, z) no espaço. 
De acordo com a lei de gravitação de Newton, existe uma força p de atracção entre A e B dirigida 
de P para P 0 cuja grandeza é proporcional ao inverso do quadrado da distância, r, entre P para P 0• 
IP! = ~. com e= GMm (G = 6, 67.10-S cm3/gm · seg2 - é a constante gravitacional). 
rz 
e ~rir é o corre:si,onde1t1te vector unitário na "'"'""'""'u de 
actua emB é: 
c 
r=--
r3 
y-
Então a 
7) eléctricos e campos consideremos um circuito eléctrico alimen-
tado por uma fonte de corrente contínua e por um pequeno espaço entre os fios. 
A de que a fonte manté1m 
campo eléctrico linhas de à se unemt 
as extremidades do fio que estavam as cargas vizinhas de sinais contrários ""'"'"-0v 
em sob das eléctricas e tendem a neutralizar-se. Este movimento de 
cargas age como uma corrente 
+ + 
Campo electroestá!ico na vizinhança 
dum circnito aberto. 
de cima para baixo 
Desaparecimento do campo eléctrico 
e aparecimento do campo magnético. 
O campo eléctrico ao mesmo que nasce uma corrente de deslocamento de 
baixo para cima e que fecha a corrente de co1m:tiilç~10 (s,egimalo Esta 
um campo linhas de 
círculos que envolvem o fio condutor e constituem um volume sensivelmente esférico. 
Os campos newtonianos são um caso 
dados por = r, onde r E IR3. 
k = - :r, k E IR:. 
r3 
dos campos centrais que são analiticamente 
Para determinar o domínio destas funções fazem-se as restrições habituais: denomi-
nadores diferentes de zero, radicandos (de índice par) nã.o negativos, etc. 
Começaremos por determinar domínios de campos escalares. Para os campos 
vectoriais basta-nos fazer a intersecção dos domínios dos campos escalares componentes. 
EXEMPLO IU.1: Determine analítica e graficamente, quando possível, o domínio de: 
a) f(x,y) ::: x/y. 
e) f(x, y) = ln (x2 - y2) 
g) f(x,y ) = ln cos(x - y). 
Resolução 
a) 
b) f(x,y,z)=.j4-x-y - z . 
1 
d) f(x, y,z) = - - - - -
In(x2 + y2 + z -4) 
f) f(x,y, z) = .j9 - x 2 - y2 -z2 +ln (x-y). 
h) f (x, y, z) = are cos ln (x + y + z). 
~ = {(x,y) E IR2: y t: O} = IR2\{(x, O)}. 
Trata-se do plano IR2 com excepção do eixo dos xx. 
b) ~ ={(x,y,z)eIR3 : 4 -x -y-z2':0}= {(x, y,z) eIR3:x + y +z $4}. 
Região situada sobre e abaixo do plano 
x+y + z =4. 
z 
y 
e) 
e) 
z = 5 -x2 
e Integral em IR em~ ____ , 
> = 
y, z) E IR3:z > 4-x2 
de IR3 exterior ao 
com vértice em 
que a= 
lnx 
com concavidade virada 
UUllUA\~'-' de 
Trata-se do l.º da rectay = 1. 
y, z) E IR3: 9-x2 -z2 <::0 x-y> = 
e da esfera de centro O, O) e raio 3 formada 
ordenada é menor do que a abcissa. 
E IR2: cos (x > = 
E IR2: x - "h + 2kn < y < x + "li + kE 
y 
X 
h) 2/J = {(x, y , z) e IR.3: -1 ~ln (x + y + z) ~ l 1\X + y + z >O} = 
= {(x, y, z) EIR.3: 1/e ~ x +y+z ~ e}. 
Domínio situado entre os planos x + y + z = 1 / . e x + y + z = e, incluindo os planos. + 
EXEMPLO 111.2: Determine analítica e geometricamente, se possível, o domínio de: 
a) F(x, y)= x e1 + ,J-x2 + y e2 + x e3 • 
y2 - 4x 
b) F(x,y,z)= 1 e1 - ,J4-x2 - 2y2 +z e2 • x2 - y2 - z2 +4 
Resol.ução 
Na determinação dos domínios poderíamos fazer a intersecção dos domínios das funções coor-
denadas ou, o que é equivalente, fazer a conjunção das condições que os definem. 
b) 
2 
Zona plana acima e sobre a parábola y = x2, excluindo os pontos da parábola x = L. 
4 
Trata-se da região do espaço acima e sobre o parabolóide elíptico, com concavidade virada 
para cima, vértice em (O, O, - 4), excluindo o hiperbolóide de uma folha, de revolução em torno 
do eixo dos xx. + 
78 Elementos de Cólcu!o Diferencial e !retegml em IR e IRº 
·~~~~~~~·~~~~~~~~~~~--~~ 
Recordemos que o gráfico de uma função real de variável real,y = f(x) , é um conjunto 
de pontos (x, y) E IR2 tais que x E qJJ1 e y = f(x), o que muitas vezes constitui uma linha 
plana. Para uma função real de duas variáveis reais, z = f(x, y), o gráfiro será um conjunto 
de pontos (x, y, z) e IR.3 tais que (x, y) e qJJ1 e z = f(x, y), o que muitas' vezes constitui urna 
superfície no espaço. 
Nem sempre o gráfico de z = f (x, y) é fácil de executar mas há um método mais 
simples de o visualizar através das linhas de nível. É o que se passa com os mapas 
topográficos: linhas que unem pontos com a mesma altitude, sabendo-se que duas linhas 
consecutivas correspondem, por exemplo, a uma diferença de 1 O metros em altitude. A sua 
maior concentração corresponde a uma região mais íngreme. 
Para uma função z = f(x, y) chamamos linha de nível de cota k ao lugar geométrico 
dado por 
{(x,y) E q/):f(x,y) = k} . 
A função que representa a temperatura num ponto (x, y) duma placa plana Pé uma 
função/' P e IR2 ~IR. Seja 
f(x,y) = x2 +y2 e P={(x,y):(x,y)eIR2,x2 +y2 :::; 9} . 
O gráfico de z = x2 + y2 é um parnbolóide. 
Neste exemplo, as linhas de nível são circunferências e representam conjuntos de 
pontos nos quais a temperatura é constante (isoténnicas). Por exemplo, é uma linha de nível 
o conjunto 
L(4)= {(x,y): x2 + y2 = 4}. 
z 
y 
am IR" 
em de 
tem-se para k > O, 
y, y, E 
y, E e + + (z~ 
as 
EXEMPLO Hl,3: Determine o domínio e esboce o dos campos escalares que se seguem 
e trace ~·,,,·~·m~u das suas linhas de nível. 
e) 
e) 
= .J1 - x2 - y2 . 
Escrevendo 
z= 
= 2-x2 
=1-x-y. 
= 
::::::> x2 + + z2 = 1. 
h1tegrn! em n~ em~ 
Um processo de obter o 
com os coordenados e 
Neste caso, a com o 
rências de raio l e centradas na 
As Hnhas de nível são da forma 
duma f IR 2 ---'> 
linhas de nível. 
(z = 
= k, > O) ~ x2 + = l --
O<k<l. 
São circunferências centradas na e de raio menor 
o com z ;;;:: O, de raio 1 e centrada na 
z 
y 
X 
z = 2 - x2 - y 2 tem por domínio IR2 º 
maior for 
(z = é a circunferência x2 + com 
o 
o 
z = 2 - x2 e com o (x = é a 
~VºV•V•~~ de vértice em O, 2) e com a concavidade virada para baixoº 
y 
2 
y 
De forma semelhante se obtêm os 
z 
e) cónica. '2ll = 
z 
e) 
EXEMPLO IU.4: ~~v,cnAU""' ~V as 
y, z) =X+ y + Z. 
e) y, z) = ~9 - x 2 - y 2 - z2 • 
y 
X 
Plano. '2ll = 
z 
y 
y 
X 
-l::;;x::;;l}. 
y, z) =ln (4-x2 + 
de nível de cota k são dadas por x + y + z = k. São 
entre o de cota zero passa 
casos: 
k>O~ 
-z2 =O, 
_ i/-i. + i;_k 
em tomo do eixo dos zz. 
cónica de em torno do eixo dos zz. 
de 2 folhas de em tomo do eixo dos zz. 
e lntegrnl em lR e m.n 
~~~~~~~~-~~~~~~· 
e) y, x2 
o contradomínio? 
y, x2 + -z2 < .As 
y, ln (4-x2 + = 
y, 
a discussão sobre o vafor de k? 
~L'>dl.!<.il:""-'J'"-'~·"-'"" 111,5: 
1) Determine as linhas de nível iso,term11~as do campo de ten1perat1 no 
seg;mmttes fimçõe:s. Esboce ""l''"u'"'" dessas Hnhas. 
+ 
Considere o campo de rm:ss~Jes 
A 
. Determine: 
=xy. 
=are tg 
"""'"'u"''" dessas linhas. 
Determine as '"'~''" ''" 
y,z)=x+y-z. 
y, z) = x2 + yz. e) y,z) =x2 +y2 -z. 
xz 
=3x+ L 
y,z) em JR3: 
e) y,z)=x2 
y,z)=z-
dado 
x = y tg k, k ;;1: n:/2 + mr, n E 
2, 
3, Planos. 
e) esféricas. 
e) Parabolóidles. 
5x2 + = 
cfündricas de directriz 
cfündricas de directriz circular. 
supericires de cónicas com vértice em O, 
X,yE 
x= ... , ey= 
X 
a norma 
vector x-y. 
-se 
1 Br(a) = {x E :IR.": d(x, a)< r} j 
a se n = 1, 
= -r, a+ 
n=2, éum centro a e r. n= 3, é uma 
uma 
exterior a X sse uma centro em 
menos um 
o 
são 
int X u ext X u front X"' IR", 1 
X aberto sse ao seu 
Xà 
1 X = int X u front X 1 Então 1 ext X = IRn \X 1 
Prova-se que um 
ao seu 
a e a sua 
centro em a 
uma sucessão 
que X é 
uma de centro em a, 
uma 
IRn 
lfüem"""i"I em IR" 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
EXEMPLO UI.6: Considere os X e IR. n. Determine o 
isolados
de X 
e) X= 
e conexo. 
E 
xy > l}. 
X e IR. 2 é o domínio da 
e) X e IR. 2 é o domínio da 
-1, IR.. 
X= 
X= 
-1l < X < A X E () A y E 
-1l < X < 11: X \f: () A y E 
ext X=]-=, l[ u ]5, +oo 
X :;t: X~ X não é fechado. X é uu,,na<uu, 
<X s; 
int X= ]-1, O [ :;t: X~ X não é aberto. front X= {-1, u 
X = O] U X= 1/n E = 
=0. 
E 
E 
X'= [1, X:;<: X~ X não é fechado. X é não é cornoa1cto nem conexo. 
e) xy>l}=X~Xé 
xy = 1}; ext X = xy < l}. 
xy ~ l}. X:;<: X~ X não é fechado. 
X não é nem conexo. =0. 
y 
X 
não con-
eB 
m>r1~rmm e Integral em IR e IR" 
intX = 
front X"' 
extX= 
X = int X u front X 
X não é 
São abertos: III. l 
m.1 • 
no caso 
EXEMPLO m:.8: Prove que 
·~~~--~~~~~~~~ 
ou conexos. 
São fechados: III.1 
(x,y)~(a,b) 
lim X 
(x,y)ry(0,0) 
é, 
=e, sse 
escrever-se: 
=esse 
+ =O. 
0:::::} X'= X. 
IItl e se 
É limitado: IH. l São conexos: 
Há que provar que: 
>O, 3 >0: 
Como lxl::;; temos 
lx + 
se + <o, isto 
então lx < 
como se ,,,.,.,,t_,,,,-1,. achar e tal que 
Neste 
são vezes 
+ 
+ + 
< 
< + 
::;; + 
+ 
<Ó, 
se 
8 e 
::;; + y2; 
etc. 
em 
não 
X----- a ------X 
(x, y) 
e 
para todas as rectas. 
e 
EXEMPLO UI.9: Calcule os limites direcci.onais em l) de 
umm'!~i1Utlll em IR" 
.~~~~~~~~~~~~~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~ 
., ª·"'"""''ªv de eixos definida por X = x + 2 e Y = y- l, transforma o 
dos limites direccionais em O) da 
Ficará 
limite ao 
xy2 
Hm ~--=lim 
X->0 X2 + yz X->0 
Y=mX 
EXEMPLO UUO: 
x-3y 
+5x 
xyz 
xz +Yz 
o limite na 
b) 
xy 
e) = 8x3y 
+y2 = ~xz + y2 · 
e) y, 
x+y-z 
= 
-y 
Calculemos o limite ao 
=xsen 
das rectas que passam em 
x-3mx 
Hm ----
l-3m 
,_,o 2mx + 5x 2m + 5 
y=mx. 
dado no cálculo 
m::1p1:::rm1::: de m, não há limite. Este é um em que uma ""'º"',.""'''"" directa 
J:ambém por este nP·nnitP concluir que os limites iterados existem e são 
meio se conclui que não existe Hmite. Com efeito 
O limite ao 
Hm 
x->0 
1 
5 
e Hm 
y->0 
das rectas que passam em 
Hm 
x->0 
2 
x mx -Hm 
)
2 -+ x2 x->0 
da formay = mx, é: 
Como o limite não de m, ou mas se 
entre x e y na somos levados a tentar o cákufo do Hmite ao 
1 
4 
é zero. Da 
da y = x 2 : 
Como o limite ao das rectas, não há limite. 
e) O limite ao 
Como 
então 
das rectas que passam em y= mx, é: 
8x3mx 
lim ----=0. 
x->0 x2 + m2x2 
haver limite. Neste caso, como o numerador tem um grau 
"""'"'"""'' que exista limite e O. Vamos tentar 
'\ló> o, >O: 
xz + < % =:> + 
, fica 
18x3yl 
<e:::::::>~--<ô. 
x2 + 
+ 
< 
que o limite é O. 
<ó, 
Os alunos concluirão facilmente que os limites iterados e direcdonais dão O. Pela"'"'"""'''>'«"· 
ô. 
Basta tomar e:::;; ó. Então: 
lim 9~=0 
(x,y)->(0,0) ~ x2 + y2 , 
e) 
porque 
'liô >o, 3 0< 
lim 
x+y-z 
(x,y,zH•(O,O,O) 2x - y 
Vamos tentar os limites iterados: 
Hm = lim 1 
x->0 x->0 2 
lim =Hm ,,,,_l 
y->0 y->0 
Como os limites iterados existem e são diferentes conduimos que não há Hmite. mais 
limites iterados ser considerados neste 
existir limite duma mais de uma num 
mesmo que não exista um dos limites só de uma variável. Com efeito 
porque 
não existe Hm (x sen 
y->0 
mas existe Hm (x sen 
(x,y)-4(0,0) 
basta tomar e ::::; li, para que se tenha 
'lio>o,3 >0: 
=O, 
ou 
EXEMPLO 111.11: 
+ 
e) = 
se as 
x-y 
x2 + 
se * 
se 
se y ;t. -x2 
se y = -x2 
se 
se = 
Conforme vimos na aHnea e) do -···~ .. ·.-·~ -···-···~-, tem limite O no 
=O 
não tem Hmite no 
A será contínua em sse 
O)= 2. 
Calculemos o limite ao das rectas y = m x, que passam em 
li.m +x 
x->0 
x-mx ) 1-
=2+limx2 m2--=2. 
+m2x2 x->0 l+m2 
Provemos 
'ífô> o x-y 1 ~~-2<8. 
x2 + 
>O: 
~x2 +yz ·y2 lx+(-y)I 
~--~< = 
- x2 + 
O) e 
=2 
basta tomar 
EXEMPLO 111.12: 
y,z)= 
+ )<Ó=? + < !?_ ::::> ~ x2 + yz < 
2 
sem; 
se y, z) * O, 
em 
se y,z)= O, 
+ 
indicados: 
(x + 2)(y- l)2 
se * 1) ' l)=O;em = -1)2 
e) y)=k-:,-y' se * 1) em 
se = 1) 
use a linha x2 -y + = 
x2 + + z2 = r2 . Então ficamos com o limite duma 
2 
Hm sen r = 1 = O, 
r->0 r 2 
é contínua em O, 
Como se viu no ~, .. -... ~·~ 
da 
xyz 
+Yz 
se 
se 
duma só variável: 
= 
e) 
Integral em IR e IR" 
~~~~~~~~~~· ~~~~·~~~~~~~~~~-
ou a 
A 
dada 
Hm 
(X,Y)->(0,0) 
será continua em 1) 
=0= 
<1} u 
sse 
Hm 
(x,y)->(0,l) 
1) =o. 
Calculemos o limite ao das rectas que passam em 
Hm x =O. 
x+2 ~l-x2 -(mx+1)2 
Consideremos a circunferência de centro e raio 
O Hmite ao 
x2 -y+ =O<:::>x= 
da semicircunferência x = 
Hm~=~=Hm 
y->l y->l 
é 
= 1, 
y = mx+l: 
das 
• 
não há Hmite da 
é contínua nesse 
g em a e 
no 
n S1lg n 
então 
g, . g, 
EXEMPLO HI.13: Determine os 
+ 
b) 
*O, são continuas em 
are tgL 
X 
se 
se = O) 
= xy é contínua em 
E 
'21l = IR 2\ 
f 
""'"'""·"""' em IR" 
~~~~--~~~~~~. 
é continua em IR 2 
é continua em IR2• 
Nos do domínio que são diferentes de a é contínua porque é o 
denominador diferente de O) e c01np1os11;ao de contínuas. 
No ·~~, "0·~ é continua 
< 
X-?@ 
se E q)J f 
se x=a 
que, a é q)j, como é que o a que 
X---7ll 
ser um o nesse 
q)j e IR n _,, IR num asse não 
a esse 
EXEMPLO IIU4: 
1) 
se <0 
se 
se xz ~ >0 
Estude a 
Calculemos o Hmite de 
Considerando os limites ao 
tende para 
x2m m 
Hm -~-
x-.o x2 - x 2m2 1-
por tais que x2 - > O. 
V.W,JVHMV>.U do declive das rectas, não existe limite 
é contínua em O) nem é por continuidade a 
descontínua neste 
front 2ll = xz = 
o foi estudado. Analisemos os a) e 
derando os limites ao das rectas que passam em 
ª2 
---------"-~ = ~ = oo, 
o 
X 
a;t:O. 
é por continuidade aos O mesmo se passa para os 
Considerando os limites ao das rectas que passam em -a), y = -a + m (x -
lim _ _.::... __ __::__~e__= -- =ao, 
o a:t= O. x-M 
por continuidade aos 
1us.u111cand~J, se a defini.da 
fronteiro ao domínio. Em caso afirmativo 
O domínio 
Como 
front 21\ = = 'íf a E 
os limites ao das rectas que passam em 
Hm + are tg 1/x =O, 
x~O 
are é limitada. Provemos 
vô> O, 3 
Hm 
(x,y)~(O,a) 
=O. 
IYI = IY - a + ai :<:; !Y - ai + laj, 
KIVl>rlll"'""I em IR" 
--------· 
y =a+ mx, 
are tg J < ô. 
1 
are tg :::; 
2 
+(y- ·Ux2 +(y-a)2 + 
2 
+ 
basta iuu1ar 
Note que o resuhado anterior é válido porque como 
x2 + (y- < 1, 
A 
l 
are tg-
x 
+ 
se 
se 
(1 + 
tende para então 
A 
98 Eleme11tos de Cálculo IJifereíldal e Integral em IR e m.n 
- --
Consideremos um campo escalar definido em IR",f S1l e JRn -7 1R e seja a E int 91. 
Pretende-se estudar a taxa de variação do campo a partir de a quando nos deslocamos numa 
certa direcção. Suponhamos que nos deslocamos de a para a+ v. Cada ponto do segmento 
que une estes dois pontos é da forma a + ílv, À E [O, 1] e a distância a a é jjítvj\ = }~\\v\\. A taxa 
de variação é, portanto, 
f(a+Jw)- /(a) 
Ji,\\vl\ 
Def. III,3.3: Seja/ <!JJ e lR" -7 IR e a E int 21J. Chama-se derivada de/segundo um vec-
tor v de mn, no ponto a e escreve-sef:(a) ou/'(a; v), ao limite, se existir, 
f,'(a)=lim f(a+Âv) -f(a). 
V À.---;>Ü À, 
Em particular, se n = 2, com v =(vi' v2) um vector de IR2 e (a, b)E int 91, temos: 
EXEMPLO HI.15: Calcule !.,'(a) para 
a) f(x, y) = 2x-y, a= (-1, 2), v = (1, l). 
b) f(x, y)= xy + 2x2, a = (1 , l), v = (2, 3). 
2 
e) f (x,y) = ~ sex+y:;1:0, a=(l, - 2), v=(-1,3). 
x+ y 
Resoh1ção 
a) f(a) = J(-1, 2) = - 4; a + ílv = (-1 + íl, 2 + Â,); f(a + ílv) = f(- 1 +À, 2 + Jl) = 
=-2 + 2Â-2 - Â= - 4 + ít; f(a + Âv) - f(a) = Â; f '(a; v) = lim)., = li~ l = 1. 
Â->0 Â Â->0 
b) f(a) = f(l, 1) = 1 + 2 = 3; /(a + Àv) = f(l + 2Â, 1 + 3À) = 3 + 13Â + 14.í\,2; 
/ '( . ) - i· 13À + 14).2 -1 a, V - l ffi - 3. 
e) à .... o  
em 
. l 
e) = =lim- + = 
À.->0 Â À->0 Â 
=lim 
-8 
=8. • À->Ü + 
= + 
z 
n-~--'~~~~~~~~-~---
y 
X 
EXEMPLO HU6: 
ratura se mantém constante. 
que a derivada d:ireccional 
l 
llvll 
uma 
uma 
um campo 
""o. 
e lntegrnl em IR e IRl!l 
1, a 
1,1)=(1,0, então llvll = Há que provar 
O, no A= l, 1) é nula. 
1, l) = 1 Hm -------~ 
À-.>0
íl 
teremos + + 
EXEMPLO IR 17: = x + , a = 2) e a Hnha Y"" x = º 
= t2 
=t 
+ 
4.íl 4.íl .íl2 8JL )L2 
=4+--+4+--+-=8+--+-
F? F7 17 ffi 17 
íi,2 
8+--+--8 
=lim J17 17 =lim~--= 8 
ds 1..-,0 ít 1_,o 
+ 
"'""""''., uma num a E um 
µ,_,,,..,-,,..,, tomar u = cos a e] + cos f3 e2 = cos a e] + sen em que a e f3 são os 
são os cosenos vector. Em 
u = cos a t\ + cos f3 e2 + cos 
EXEMPLO HU8: Calcule a das derivadas direccionais em de: 
se Ir* o se r :;<d[) 
= (1· = 
se r=O se Jr =o 
se Jr""' o se y ;i<:-x 
e) = 
se r=O se y=-x 
+ se x·y:;<:O 
e) = = +IYI se x·y=O 
e) 
e) 
= lim -·----- = lim -~-
A-->o À A--;0 À 
cosa, íL sen 
a sena 
é contínua em 
sena 
= Hm ------ = oo, 
À-+0 íl,3 
11: 
se a* 0,-. 
2 
=O. 
cos2 a = lim -------- = Hm ------- - --~ 
il~O Â-->0 sen 
que é finito se sen a :;t:, O. Se sen a= O, então = O. 
Note que esta tem derivada direccional finita em 
apesar de não ser continua em O) como se viu no "'"''~U-'!Jlv 
Facilmente se verifica que é descontínua em O) e a "'".'""""'0 Q''" das derivadas direccionais 
em O) é 
-2 sena = lim ------=O se sen a"" O. 
il-->0 
Nos restantes casos a derivada direccional não existe. 
Caso contrário a derivada direccional não existe. 
= 
EXEMPLO 111.19: Use a 
=2x-y 
=xy+2x2 
a= 
a= 
+ 
v= 
1) v= 
e) , k, r E IR n e k vector constante. 
, em quer, 
+ t, 2 + 
= 1, mas como ;;f;;. 1, então 
+ 
linear. 
+ t, 2 + t) = + t) - 2 - t ::::: -4 + 
= 
e) 
e !ntegrnl em IR e IR" 
a+ tv = (1 + l + llvll= + 1 + = (1 + + + 
+ + (1 + 3 + 
A derivada do escalar 
+ + 
+ 
outras 
para n = 2, a 
=2+3+8= 
+ = + 
é dada por: + 
+ 
f(a + h, b)- f(a, b) 
h 
= 
em ordem aye 
13 
+ 
vector (1, 
vector 
+ 
São outras 
= 
EXEMPLO Ilt20: as derivadas 
2) e 2) = y lnx. 
se ::;t 
e = O) O) 
se = O) 
se ::;t 
e) e = O) O) 
se 
se ::;t 
O) e O) 
se O) 
ry se y ::t-x 
e) O) e O) = ;+y 
se y=-x 
= {:+ se ::;!:, e °\la E 
se = 
2 
= Hm /(e+ h, 2)- /(e, 2) = lim 2 ln (e+ h) - 2 = Hm e+ h = ~. 
IHO h h-->0 h h-->0 l e 
2)=Hm 
k k-->0 
O)=lim 
h h-->0 
=Hm 
k-70 k 
l11tegrnl em IR e mn 
e) Facilmente concluimos O) O)= O. 
e) 
Facilmente conduimos =O. 
=lim 
k->0 
_!: _ l 
l . l- l l' o o =im--=Im =. 
h h->0 h h->0 
-k --1 
. k l' -2 O)= hm-·~~ = ma- =oo. 
k->0 k k->0 k 
1-1 
= Hm ------- = Hm -- =O 'v' a e IR. 
h->0 h h->0 h , 
ª2 -k2 
l+ak---1 
= l:im ------ = lim --~ª~2~+~k=2 __ 
k->0 
ª2 -kz 
=a, ª2 + kz 
k k 
se a* O. 
Se a= O, 
1-1 
= Hm------= Hm-- =O. + 
k->0 k k->0 k 
Tratl:Hle de casos 
ser 
ser 
"""'"'""J'H'"'' feita no 
considerando agora u "" e1 e u = ep1:es<:nt:im, ~'"'''"º'~0~•0 as roxas de 
a, a do eixo dos xx e dos yy, res:pe,cwvarne11te. 
z-c= 
z-c= b)(y-
z 
------------ ---------- ::;;--t~~:b)- ------
, os vectores u e v 
u= 
v= 
b 
y 
rectas e s: 
e lritegrnl em IR e IRn 
·-~~~~~~~~~~~~- -~~~~~~~~~~~~~~~ 
vectores u e v não são 
=o, 
ou 
x-a y-b 
1 o =O~=+- /(a, b) = 1; (a, b)(x -a)+ .fy' (a, b)(y- b).1 
o 1 
determine uma do ao 
uma do 2, será 
z- 2 = 2/e (x- e)+ y- 2 <=> 2x + ey- ez- 2e =O. + 
EXEMPLO UI.23: Admitindo que nas que se seguem PO(Jen1ü usar as regras de deri-
cakule as derivadas de l .ª ordem de: 
x lny e) xy sen 
l -x 
y y2 X 
--xz=-~ 
l+-
xz + 
e) =y 
xy 
=x 
z2 
- "' ln X - z = lnx · ::: x) lny. • 
+ + 
+ em 
= . (1- , A E 1[ + + 
=llCx, 
determine íL E 1 [ tal 
1) (1, 
no 
-----··--------------------
e e as em 
"'"'""""~~u por: 
Note-se 
x' Y' x' = y· 
que as e 
= = 
e) 
calcule as derivadas 
X lny. 
o 
àx 
o 
=-
àx 
ô 
àx 
-1) 
y' lny 
de 2.ª ordem de: 
e) xy sen 1/,. 
derivadas 
ô 
l 
"'sen-; 
z 
y 
X l 
-- cos-; 
z2 z 
f"""' 
yz 
, 
lny. 
ô 
àx 
=-; 
y 
cos-· 
z2 z' 
1 
cos - - sen-· 
z3 z z4 z' 
=z xY'-1 + 
Calcule as outras derivadas de admitindo que 
EXEMPLO HI.27: definida por 
se 
se "" 
X 
""º; 
z 
=lim 
h->0 
=Hm 
k->0 
= lim 
k->0 
= lim 
h-;0 
=lim 
k->0 
por 
EXEMPLO HI.28: 
e Integral em IR e IR11 
,. 0-0 o 
=um~-= 
h h->0 h 
0-0 
=Hm-~-:o::O 
k k-+0 k 
e =Hm 
k h->0 h 
----O 
------=lim hz+kz =Hm---=l. 
h h->0 h h-->0 + k 2 
----0 
h2 J_ k2 hk 
------=lim ' =Hm---=0. 
k k->0 k lHO -\- k 2 
O) 1. 1-0 = im--
k-+o k 
0-0 
O)=lim--=0. + 
h->0 h 
zero 
y 
· are tg - - · are tg -
X y 
sex·y =O 
= Hm ~~~~--~-­
. 0-0 
= Hm ------ = hm -- = O 
h->o h k-40 k k->0 k 
h2 kk2 h · are tg - - · are tg -
= Hm '------- = lim h k 
k-+0 k 
= Hm are tg 
k->0 k 
-Hm 
k->0 
que a 
lc-+0 
are tg 
k 
k 
are tg-
= Hm h - O = h · l = h. 
h 
O) = lim ~!,,_' -----"-- 0-0 = Hm ~--'-~~~ = Hm -- =O 
k-+o k h-+0 h h--;.O h 
= Hm ------= Hm (h are tg 
h-;0 h h->0 
h 
are tg -
-limk h k =0-k·l=-k. 
h->0 
k 
-k = lim -"-----"-'-- = Hm - = -1. 
k-->0 k k--;.0 k 
nem sempre são ""'"'"' 11.nv anterior 
como se verificou no ex1~m'D!O HI.27. É por vezes útil conhecer 
.,...m.,~~~·~ das derivadas cruzadas. 
então 
Por 
tem-se: 
EXEMPI .. O Hl,29: 
em IR e IR" 
e 
= = = 
IR 2 -+ IR definida por 
1 
sen-
y 
e é 
etc. 
sey;t.:O 
sey= O 
Calcule em todos os de IR 2 e determine o Xde nos 
Existem 
Schwarz? 
do 
Para y = O tem-se: 
X onde 
sen 
ô 
=-
ôx 
1 
sen-+ 
y 
1 
cos-
y 
l l 
sen--x cos 
y 
teorema de 
l l 
sen--cos-. 
y y 
1 1 
sen - -cos-. 
y y 
= Hm ------~ = Hm ~º--~º = Hm O= O. 
h-tO h h-+0 h h->0 
k2 sen _!__O 
=lim k =limksen_!_=O. 
k->0 k k->0 k 
O) 0-0 
= Hm ~----~-- = Hm --= lim O= O, 
h->0 h h->0 h h-;;O 
l 
sen--0 
= Hm ------- = lim ---=k~- = Hm ak sen _!_=O. 
k-00 k k-tO k k-tO k 
l l 
sen--cos-
y y 
sey*O 
sey=O 
.,,,.,,._..,.,,.., não teorema de Schwarz nos da forma 
de nenhuma delas é continua em 
EXEMPLO UUO: Para a 
O)=O, 
que 
O)= 1. 
Contradiz o teorema de Schwarz? 
é contínua em 
116 e h1tegml em IR e IR11 
= Hm "--'---'--..:;._~~ = Hm Q = lim O = O. 
h->0 h h->0 h h->0 
x2 _ yz 
= ... =X --- - --'--- ser* O 
X2 + 
= Hm -----~ = Hm Q = Hm O= O. 
k--+0 k k->0 k k->0 
Então: 
ser= O 
Facilmente se conclui que 
são contínuas em 
Schwarz. + 
iJ2f 
ôx 
que e 
e 
O) -k-0 
~---~-- = lim --- = -1 
k->0 k 
x6 _ y6 + 9x4yz _ 9x2y4 
+ y2)3 
são descontínuas em 
llz +Ax,y+ 
k->0 k 
e por isso não é 
ser= O 
o teorema de 
mfüe1m,[J11 em 1R" 1 
~~~~~~~~~~~~~~--~~~~~~~~~~~~~ 
z 
Az ------
y 
a cotas Pe 
EXEMPLO 111.31: Se z = xy + 2x2 cakule: 
A de&. 
nos deslocamos de 1) para use & para calcular 
& = (x + (y+ + + -xy-2x2 = 
= xy + x + y IJx + IJx + 2x2 + 4x IJx + -xy-2x2 
/jz = X + y IJx + IJx + 4x IJx + =x + + 
= 1) IJx = 0.01 =-0.l 
Az =-0.l + 0.01-0.001+0.04 + 0.0002 = -0.101+0.0502 = -0.0508. 
/jz = 1.01 X 0.9 + 2 X l.0l2 - 1 X 1 - 2 X l2 
1) + /jz = 3 - 0.0508 = 2.9492. • 
11iti>r<>m·i11 e Integra! em e IR" 
-------
Hl,5: E e 
porh ou e kou 
z 
éum 
+h, b+ 
o erro à com 
= lj(x-a,y-
É 
z 
(ólwlo Diferencia! em IR.11 .119 
~~~~~~~~~ 
variável não basta existirem e serem finitas todas as derivadas parciais de f num ponto para 
quefseja diferenciável nesse ponto. O que é relevante para que uma função seja diferen-
ciável em a é a possibilidade de se poder aproximar a função, em a, por uma aplicação 
linear. Geometricamente este facto traduz-se por: em IR, que existe recta tangente ao gráfico 
de/ em a; em IR2, que existe plano tangente ao gráfico de/em a. 
Seja, por exemplo, a função f JR 2 ----t IR, definida por: 
Tem-se 
f(x,y)= {~ sex· y =O 
sex· y=~ O 
J;(o, O)= O e J;(o, O)= O, 
mas/não é contínua em (O, O), logo não existe plano tangente ao gráfico de/ em (O, O), ou 
seja,fnão é diferenciável nesse ponto. 
Def. 111.6: Chama-se diferencial de z= f(x, y) no ponto (a, b) e representa-se por dz 
ou df, a 
df(a, b) = J;(a, b) · L1x + J;(a, b) · óy. 
Se considerarmos as funções z = x e z = y concluiremos que 
dz = L1x = dx /\ dz = Lly = dy, respectivamente, 
donde, chama-se diferencial de x e de y a L\x e .6.y e representam-se por dx e dy, respectiva-
mente. Teremos então que o diferencial de
f se pode escrever 
df(a, b) = f'..(a, b) · dx + J:(a, b) · dy. 
X y 
De forma semelhante se define diferencial duma função escalar diferenciável f de n 
variáveis, num ponto a 
n 
d/(a) = f,' (a) dx1 + · .. + f' (a) · dx = 'Lf' (a)· dxk . x1 xn n x k 
k=i 
e lntegrnl em lR e lR11 
EXEMPLO III.32: se são diferenciáveis nos 
z= 
sexy ~O 
em 
sexy <O 
=x. 
Note-se que a será diferenciável em sse 
lim 
(Llx,Ay)->(0,0) 
Pelo exercício HI.31 
8z = X + y Llx + AJC + 4x AJC + 
Então 
Hm xAy+y.Llx+AxAy+4xAx+2(Ax)2 -(y+4x)·Ax-x·Ay =Üq 
<11x.t.yJ-;.(o,oi ~(Ax)2 + (Ay)2 
1. AxAy+2(.Llx)2 .ç::, 1m =O, 
(Llx,t.yHo,oi ~(Ax)2 +(Ay)2 
a dada é diferenciável em 
As derivadas em O) têm de ser calculadas 
lim 
(h,k)-'>(0,0) 
0-0 = Hm ------= lim ~-=O 
h->0 h h-->0 h 
= Hm /(O, k)- f(O, O) = lim O - O = O. 
k->0 k k->0 k 
será diferenciável em O) sse 
l:im -r====O. 
(h,k)->(0,0) 
Tomando k = fica 
não existe que a não é diferenciável em 
EXEMPLO IH.33: Cakule o diferencial dz para z = xy + 2x2º 
dz = (y + dx+x 
exonu 
EXEMPLO IH.34: Use diferenciais para cakular um vafor apr0ox1m1H:10 da 
anterior no (LOl; 
Tomando 
teremos dz = -0º05º 
Então 
=(l, dx=Ofüe =-0º1, 
,l)+& 1) + dz Q /(LOl; 
Note que o erro que se comete tomando dz em vez de & é de 
Para uma n 
111.7: f IRn ~IR 
&-dz 
---X 100% = 0º0026%º • 
1) 
tem-se: 
em a e 051' sse 
""20950 
ao 
e) 
e Integral em IR 
~~~~~~~~--~~~· 
+ 
1 
·sen~~ 
x+y 
por vezes 
sex + y :;<!:O 
sex+ Y"' O 
o 
= 3x2 - y2 + X - + 3. 
ser ""'"""'""'"",ri o 
um cone com vértice na 
diferenciável 
z b) 
que não existe 
é de classe C1, 
. (x-
z 
2 
./ .... ><./ 
b)·(y-
y 
Nos restantes 
dado por: 
e) 
de dasse e 1 em é diferenciável em IR 2 • 
1 =L =-5. 
é: 
z X O)y~z= 3 +x-
é de classe C1• Para x + y =O: 
- a)= lim "-'---'--~-__e_ 
h-+0 
=0 
h 
=0 
k 
- a)= Hm "------~-­
k-+O 
+~k-aj- -ajk 
Hm --------r"===-----'----= O~ 
(h,k)-->(0,0) 
~ li.m 
(h,k)-->(0,0) 
l 
+ sen--
h+k =0 
-Jh2 + k2 . 
Temos um limite duma de duas variáveis. Calculemos o Hmite 
rectas que passam em k = mh. 
Então o limite 
Hm 
h->0 
1 
·sen---
h+mh _ 0 
,Jhz +m2h2 -
> O, 3s > O, ,Jh2 + k 2 < e =:> 
1 
+ 
1 ·sen--
h+k 
·sen--
=I l·lsen~1 1~1 h+k ,Jh2 + k2 h+k 
<8 
1~ 
< 8 =:> 
ô 8 
-=:>s~-. :;:;; = 
3 3 
diferenciável em o em é z"' o. 
das 
que provar que 
ema, então 
=0, 
e 
+ 
i=I 
+I I· 
i=I 
se tem 
+ 
em 
e l/x- < E, então <o. 
a E então 
E IR 11 e tem-se: 
f(a + Àv) - /(a) 
k->0 À 
ema, escrever-se 
+ + com =0. 
Então 
+ = 
num 
se x 2 + ::::: l 
+ -1 se x2 + > 1 
e l11tegrnl em m e 1R" 
Estude~a à diferenciabiJidade e continuidade. 
Calcule a derivada direccional 
e) Escreva uma do 
Para x2 + > 1, 
Para x2 + 
existem no 
diferenciável 
A= 
e 
x 2 + < 1 
e menos uma delas é continua nos diferenciável em A 
No nem sequer existem as 
v,,,,,,,,,,,., agora o que se passa nos =L 
tal que a2 + b2 = 1, """O. 
= Hm -----~-~ = lim "'-----
h->O h h->0 h 
Se h é tal que (a + + b2 < 1, então 
. 1-~(a+h)2 +b2 • I-.J1+2ah+h2 
= hm · = hm · · = -a. 
h->0 h h->0 h 
Se h é tal que (a + + b2 > 1, então 
+ b2 -1 2ah + h2 = Hm ------= Hm = 2a. 
h->0 h h->0 h 
isto é se os umcos circunferência nos 
diferenciável são FacHmente se verifica que não existe 
é diferenciável em nenhum da circunferência. Condusão: 
B= x2 + =lv = 
f não é 
um desses 
e) 
contínua em B. Nos 
é ou nã.o ser continua. Há que estudar a continuidade na 
da circunferência x2 + = L 
É evidente que a é contínua em 
que uma 
tais que a2 + b2 = l, 
tais que x2 + y2 :::;; l é zero e o Hmite 
tais que x2 + > 1 também é zero, 
em IR2• 
diferenciável em 
ser cakufada por: 
a derivada 
numa bola de centro neste 
""'''"'v''" contínuas. Nos 
tende para 
por 
se trata duma derivada direccional o vector v tem de ser neste caso será 
No (1, temos x2 + > 1, 
=2x e = 
então 
=2, = 
donde 
a é diferenciável neste 
z- + + 
ou 
+ -<::=?z=--x+~~y+l. 
2 2 2 
e i11tegrnl em 1R e mn 
EXEMPLO IIU7: 
1) definida 
Determine o domínio 0J esboce-o. 
······~,·-~ o o exterior e a fronteira de®. Será 0J aberto? E fechado? 
0J não é limitado nem conexo. 
e) Calcule 
Considere uma 
Sabendo 
Calcule 
contínua na 
onde a é um número real 
rendabilidade em 
Determine o domínio e calcule as 
rm1c111es. nos em que existem: 
xshy 
= ,Jx2 + y2 · 
com a E IR e a:;<: O. 
x2 ~ 
=l+xy---
x2 + 
determine o vafor de 
= 
guma diferenciável em IR e 
dt. 
Calcule 
de cada uma das 
dt. 
que 
à dife-
5) 
a) 
b) o 
e) Estude a 
e calcule 
em 
O, 
6) guma real definida em IR 2 
Calcule 
Calcule 
concluir 
7) Considere a IR2 -> 
onde a é um número inteiro. 
De 5.1 
+y sexy>O 
dg 
e-
sexy:::;o 
à diferenciabilidade de g em 
definida por 
se "'O 
à diferenciabilidade em 
catetos medem 4±0.01 e 3±0.015 
(x;:::: O y > V (x ~ 0 AY < 
cen-
e) 
2. 
3. 
5. 
e) 
int qj) = 
Front qj) = x:::O 
y> 
=;} qj) não é fechado. 
Se =t 
qj) = 
f 
Int qjj = 
qj) = 
f 
O, 
e lntegml em IR e 
(x < 0 Ay< 
,qj)= 
O)= l, 
O)= O. 
fün 
(x,y)-t(O,O) 
::/= qj) ::::} qj) não é abe110. 
= 1. 
=0; = a, 'li a E IR. 
é de classe C1. Em 
y2 
=shy---~ 
2)3/2 , +y 
= 
+ 
f. = x2 e-x'y' . 
y 
Ext qj) = Front qj) = O, 
qj) é conexo. 
diferenciável em qj]; 2)2 , +z 
2z 
= 
O, 1) =LO~ 1.0 +e· e-1 • 2 = 2. 
=O. 
= Hm ~~~~~~ = 2 ;é LO+ 1.0 ~ g não é diferenciável em 
À->0 À, 
7. Se ::;; O, então é diferenciável em 
Se a> O, então 
O) O)= O 
e prova-se, diferenciável em sse a> 2. 
=x z 11Yno "" =--0.l; 
3, 8) = = =2; 
3, 8) = = 5 · · ln 8 · ~1 "" - 2.3 1; 
3, 8) = 
l 
y 
5.1 "'5. + "'10 + 2 X 0.1+2.31X0.1- 0.42X0.11z10.39. 
5.1 ""10.397. 
o erro relativo é 10 X 100%"" 0.7%. 
temos z2 = x2 + y2• 
X= 3 dx"" ±0.015. y = 4 = ±0.01. z = 
= t = 0.6 
= t = 0.8 
diz= 0.6 +0.8 X ~ --0.017 <diz< 0.017 
Portanto a 1.up1otenm;a é z tal que 5 ~ 0.017 < z < 5 + 0.017. t 
e lntegrni em 
=a e 
y= 
IR ~ ~ 
~ ~ z 
to ~ 
que 
z = 
é em t0 e teremos 
= + emquer0 = 
ou, como 
X 
"'.>! 
z t 
"'.>! l1 y 
A 2.ª 
m"'"'"'"' em IR 11 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~-+~~~~~~--~~ 
em que 
X X 
":>! ":>! 
t t 
":>! /1 ":>! y y 
Se o tem-se: 
= 
dt2 
a expressão 
dt2 
em =a 
ey= em 
Então prova-se que 
z = 
em e 
+ 
+ 
em que = 
t 
/1 X ':.! u 
z 
t 
':.! y 
':.! u 
As se são 
EXEMPLO III.38: que as rur1ço1es dadas são calcule: 
=xy+2x2 /\X"" Ay= 
e t=xlny. 
ôx 
e) + + y, z)"" ln r, em que r "" y, z) e r = e i' ;to. 
+ sendo = F 
dx 
= -+ = + + 
dt dt 
":>! 
X 
lny; ~ 
ax 
":>! y 
e) =2x 
a 
Faz~se v = =::> u = x2 
e) Há que cakular 
óU 
-=2x 
ax 
+xz 
iJv 
-=2xF 
ax 
iJv = x2 F' -x 
õ 
ax 
ar2 
l·r2 -x·-
iJ 
ax 
X 
r 2 -x 2r-
---~~-"""'- = -~-r,,_ 
r4 
+x2 F' 
r2 - 2x2 
r4 
tiramos facilmente as outras duas e, por 
y 
Ô X 
ax 
vem 
+ + 
r2 - 2x2 + r2 - 2y2 + r2 - 2z2 
= = 
3r2 -2(x2 +y2 +z2 ) 3r2 -2r2 r2 = ==-
r4 
em IR" 
X 
":>! 
y 
X 
y 
=2 +2x 
ô 
Ox 
2x3 x 4 
=-F'(v)+-
y3 
+ 
1 
-+2x 
y 
+ 
EXEMPLO Ili, 39: Mostre que: 
-
w + => y -x =o 
Fazendo x2 + = u, temos w 
y3 
X 
+ em que v=~. 
y 
;)= +2x Ov l Ov l -+2x -+ ~-= Ox y ox y 
l l 4x 
--=2 +-
yy y 
x3 Ov 2x3 -x --- -= 
ry y3 y2 
( x2 x4 J + -+-
y2 y4 
b) u = x2 F au =>x-+y-=2u. 
2x. 
Fazendo v = 
obtém-se 
y -X 
temos u = x2 
8u 8u 
x-+y-= 
ax 
e) Fazendo V= x;y temos z = xy +X 
dz ()z 
ôz 
-=y+ 
ax 
ôz 
-=x+x 
x-+y-=xy+x 
xz 
+-
y 
2x- =O. 
Atendendo aos resultados obtidos no III.38 
x3 
+-
y 
donde 
XJ 
y 
+x 
1 
~=y+ 
y 
x2 
+xy--
y 
=2x 2 
X 
+-
y 
=xy+xy+xF 
=2u. 
=xy+z. + 
V=(~~ ... a ax , , , 
1 
= 
i=I 
e integral em IR e IR11 
momento este ser 
cosa 
que 
+ +···+ 
r= ~e~ :1 uma e como 
= ei + ... + 
vem 
= O@Q' 
ou 
= 
nos aem 
em 
z num 
u= e v= l 
z + 
e 
+ =0, 
<=:>(F' F' x' y' + 
F' - a x F'-
z =0. 
z-c 
ou 
2, 
V 
/3 = 
o 
constantes. 
+ 
E 
O seu 
nos em quegot- O. 
EXEMPLO III, 40: