Aula 6 Aplicações das derivadas parte II

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 6: Aplicações das derivadas – parte II
Apresentação
Chegamos ao último tópico sobre derivadas. Nesta aula, encontraremos uma das principais aplicações do conceito de
derivada: os problemas de maximização ou minimização.
Além disso, também estudaremos a regra de l’Hôpital, uma importante ferramenta no cálculo de limites de formas
indeterminadas. Assim, perceberemos como o conceito de derivadas é extremamente útil no dia a dia da Engenharia.
Objetivos
De�nir o conceito de maximização;
De�nir o conceito de minimização;
Aplicar a regra de l’Hôpital ao cálculo de limites.
Máximos e mínimos absolutos
Seja I um intervalo no domínio de uma função f. Dizemos que f tem um máximo absoluto em I em um ponto xo se f x ≤ f xo
para todo x em I; e, que f tem um mínimo absoluto em I em um ponto xo se f x ≤ f xo para todo x em I.
Se f tiver em xo qualquer um dos dois, máximo absoluto ou mínimo absoluto, dizemos que f tem em xo um extremo absoluto.
( ) ( )
( ) ( )
 Função f e situações onde podem ou não existir extremos absolutos em um dado intervalo. | Fonte: ANTON et al. (2007).
Teorema do Valor Extremo: “Se uma função f for contínua em um intervalo fechado
�nito [a, b], então, f tem um máximo e um mínimo absolutos em [a, b]”.
O Teorema do Valor Extremo é um exemplo do que os matemáticos denominam teorema de existência. Tais teoremas
estabelecem condições sob as quais alguma coisa existe, no caso, o extremo absoluto. Entretanto, saber que algo existe é uma
coisa, encontrá-lo, porém, é bem diferente.
Teorema: “Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto (a, b), então, ele
deve ocorrer em um ponto crítico de f”.
 Em (a) o máximo absoluto ocorre em um extremo de [a,b]; em (b), ele ocorre em um ponto estacionário de (a,b); e, em (c), ele ocorre
em um ponto crítico em (a,b), onde f não é diferenciável. | Fonte: ANTON et al. (2007).
Exemplo 1
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função f x = 2x3 - 15x2 + 36x no intervalo
[1,5] e determine onde esses valores ocorrem.
( )
Extremos absolutos em intervalos in�nitos
Em um intervalo in�nito, uma função contínua pode ou não ter extremos absolutos. Porém, certas conclusões sobre a existência
de extremos absolutos de uma função contínua f em ( - ∞, + ∞) podem ser deduzidas do comportamento de f(x), quando 
x → + ∞ e x → - ∞.
 Análise da função f em relação à existência de extremos absolutos em intervalos infinitos. | Fonte: ANTON et al. (2007).
Extremos absolutos em intervalos abertos
Certas conclusões sobre a existência de extremos absolutos de uma função contínua f em um intervalo aberto (a, b) podem ser
tiradas do comportamento de f(x), quando x → a + e x → b - .
Conclusões análogas podem ser deduzidas para intervalos da forma ( - ∞, b) e (a, + ∞).
 Análise da função f em relação à existência de extremos absolutos em intervalos abertos. | Fonte: ANTON et al. (2007).
Extremos absolutos de funções com um extremo relativo
Teorema: “Suponha que f é contínua e tem exatamente um extremo relativo em um
intervalo I, digamos em xo.
Se f tiver um mínimo relativo em xo, então, f xo é o valor mínimo absoluto de f em I;
Se f tiver um máximo relativo em xo, então, f xo é o valor máximo absoluto de f em I.
( )
( )
Problemas de máximos e mínimos em aplicações
Otimizar alguma coisa signi�ca maximizar ou minimizar alguns de seus aspectos. Os problemas aplicados de otimização que
estudaremos nesta seção caem em uma das seguintes categorias:
Problemas que se
reduzem a maximizar ou
minimizar uma função
contínua em um
intervalo �nito fechado.
Neste caso, o Teorema
do Valor Extremo
garante que o problema
tem solução e você já
sabe que essa solução
pode ser obtida
examinando os valores
da função nos pontos
críticos e nos extremos
do intervalo.
Problemas que se
reduzem a maximizar ou
minimizar uma função
contínua em um
intervalo in�nito ou �nito,
mas não fechado.
Estes problemas podem
ou não ter solução. Se a
função for contínua e
tiver exatamente um
extremo relativo no
intervalo, então, há
garantia da existência
de uma de uma
solução. Há casos em
que é necessária uma
engenhosidade para
resolver o problema.
Problemas envolvendo intervalos fechados e �nitos
A melhor forma de compreender esse tópico é acompanhar os exemplos.
Exemplo 2
Um jardim de área retangular e protegido por uma cerca deve ser projetado. Você dispõe de apenas 200m lineares de cerca. Qual
a maior área possível para esse jardim?
Exemplo 3
Uma caixa deve ser feita com uma folha de papelão medindo 15 por 50cm, destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e
dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume possível?
Exemplo 4
Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo do rio.
Se o custo do material for de R$15,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$10,00 por metro linear nos dois extremos,
ache o campo de maior área possível que possa ser cercado com R$4.000,00 de material.
Exemplo 5
Dada a circunferência de equação x2 + y2 = 9, ache a menor distância entre o ponto (4,5) e um ponto na circunferência.
Circunferência de equação x2 + y2 = 9 (em vermelho), ponto (4,5) em azul. A menor distância L do ponto (4,5) à circunferência é
dada quando temos o ponto, em verde, 
12 √ 41
41 , 
15 √ 41
41 de�nido na circunferência.( )
Problemas envolvendo intervalos que não são �nitos e fechados
Mais uma vez, vamos entender mais facilmente por meio de exemplos.
Exemplo 6
Uma lata cilíndrica fechada deve conter 2L (2.000cm3) de líquido. Como você escolheria a altura e o raio para minimizar a
quantidade de material usado na confecção dessa lata?
Variação da área super�cial total de uma lata cilíndrica de 2L de capacidade em função do raio r selecionado.
Método de Newton
Você deve conhecer as fórmulas simples para a resolução de equações lineares e quadráticas.
Saiba mais
Existem fórmulas também para soluções de equações de terceiro e quarto grau, embora muito complicadas para uso prático. Em
1826, o matemático norueguês Neils Henrik Abel demonstrou que fórmulas como essas são impossíveis para equações
polinomiais de grau maior do que quatro.
Quando não há fórmulas extas disponíveis para resolver uma equação f(x) = 0, você pode recorrer às técnicas numéricas do
cálculo para aproximar a solução procurada. Uma dessas técnicas é o método de Newton, ou método de Newton-Raphson, como
é mais corretamente chamado.
Este método é uma técnica numérica para aproximar uma raiz de uma função usando-se as raízes de sua linearização. Sob
circunstâncias favoráveis, as raízes da linearização convergem rapidamente para uma aproximação exata.
Além disso, o método se aplica a uma vasta gama de funções e normalmente permite obter resultados com apenas alguns
passos.
Veja os procedimentos para o Método de Newton:
Escolha uma primeira aproximação para resolver a equação f(x) = 0. Um grá�co de y = f(x) pode ajudá-lo;
Use a primeira aproximação para obter uma segunda, a segunda para obter uma terceira e assim por diante, utilizando a
fórmula:
xn+ 1 = xn -
f xn
f ' xn
( )
( )
 O método de Newton começa pela estimativa inicial 
x
1
 e, sob circunstâncias favoráveis, melhora a estimativa a cada passo. Na figura
apresentada, temos a geometria das etapas sucessivas do método de Newton. | Fonte: ANTON et al. (2007).
Na prática, o método de Newton geralmente converge com uma velocidade impressionante, mas isso não é garantido. Uma
maneira de testar a convergência é iniciar traçando o grá�co da função e estimar um bom valor inicial de xo.
Você pode veri�car se está se aproximando de uma raiz da função calculando f xn e, depois, veri�car se o método está
convergindo calculando xn - xn + 1 .
Um teorema do cálculo avançado diz que, se...
para qualquer x em um intervalo em torno de uma raiz r, o método convergirá para r, qualquer que seja o valor inicial de xo nesse
intervalo.
| ( )|
| |
 
fx · f ' ' x
f ' x ]2
 < 1| ( ) ( )[ ( ) |
Atenção
Cuidado! Quando o método de Newton converge para uma raiz, pode NÃO ser a raiz que você tem em mente. Na �gura a seguir,
você encontra duas situações em que isso pode acontecer.
Situações onde a escolha de um ponto xo muito distante implica na perda da raiz desejada.
Exemplo 7
Use o método de Newton para estimar a única solução real de x3 + 3x + 1 = 0. Comece com 
xo = 0.
Grá�co da função x3 + 3x + 1 = 0. A única raiz real da função encontra-se em, aproximadamente, x = - 0, 322185.
A regra de l’Hôpital
Nesta seção, estudaremos uma importante ferramenta para calcular limites: a Regra de l’Hôpital, em homenagem a Guillaume
François Antoine de l’Hôpital (1661-1704).
Este método é particularmente importante nos casos em que os limites eram apenas conjecturados através de evidências
numéricas ou grá�cas.
Formas indeterminadas do tipo 
0
0
Suponha que f(a) = g(a) = 0, que f ' a e g ' a existam e que g ' a ≠ 0.
Então:
( ) ( ) ( )
limx→ a = 
f ( x )
g ( x ) = 
f ' ( x )
g ' ( x )
Exemplo 8
limx → 0 
sin x
x
Exemplo 9
limx → 0 
√1 + x - 1 - 
x
2
x2
Exemplo 10
limx→ 0 + 
sinx
x2
 e limx→ 0 - 
sinx
x2
Formas indeterminadas 
∞
∞ , ∞ · 0, ∞ - ∞
Uma versão da Regra de l’Hôpital também se aplica a quocientes que levam à forma indeterminada 
∞
∞
Se f(x) e g(x) tendem ao in�nito quando x → a, então:
Desde que o último limite exista.
O a aqui (e na forma indeterminada 
0
0 ) pode ser �nito ou in�nito e pode ser a extremidade do intervalo I.
limx → a
f ( x )
g ( x ) = limx → a
f ' ( x )
g ' ( x )
Exemplo 11
limx → ∞ 
ln x
2√x
Exemplo 12
limx → ∞
1
sin x - 
1
x ( )
Formas indeterminadas 1 ∞ , 00, ∞0
Os limites que levam às formas indeterminadas 1 ∞ , 00 e ∞0 podem às vezes ser tratados utilizando-se primeiramente logaritmos.
Você pode usar a Regra de l’Hôpital para encontrar o limite do logaritmo, calculando a exponencial nesse valor, você obterá o
limite da função original.
Onde a pode ser �nito ou in�nito.
Exemplo 13
Encontre limx → ∞ 1 + 
1
x
x( )
Atividade
1. O limite quando t → - 5 para a função f t =
t2 + 3t - 10
t + 5 é:( )
a) - 7
b) - 5
c) 0
d) 5
e) 7
2. Superpetroleiros descarregam petróleo em atracadouros a 4 milhas da costa. A re�naria mais próxima está a 9 milhas a leste
do ponto da costa mais próximo do atracadouro. Uma tubulação precisa ser construída para conectar a re�naria ao atracadouro.
Os dutos subaquáticos custam US$300.000 por mi e o os terrestres, US$200.000 por mi. A distância entre os pontos A e B (veja a
�gura), para minimizar os custos de construção deve ser de:
a) 
8
13 mi
b) 
√13
13 mi
c) √13 mi
d) 
8√13
13 mi
e) 8 mi
3. Duas cidades estão localizadas ao sul de um rio. Uma estação bombeadora será instalada para servir às duas cidades. A
tubulação seguirá as retas que ligam cada cidade à estação (veja a �gura). De�na o ponto P onde a estação bombeadora deve ser
instalada para minimizar o custo com a tubulação.
a) O ponto P deve estar situado a 2m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A.
b) O ponto P deve estar situado a 3m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A.
c) O ponto P deve estar situado a 
3
7 m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A.
d) O ponto P deve estar situado a 
4
7 m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A.
e) O ponto P deve estar situado a 
20
7 m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A.
4. Encontre limx → 0 
sin 5x
x :
5. Encontre limθ → π2 
1 - sin θ
1 + cos 2θ :
6. A regra de l’Hôpital não ajuda a encontrar o limite da função abaixo. Encontre o limite escrevendo de outra forma a função.
limx → ∞ 
√9x + 1
√x + 1
 
Notas
Teorema do Valor Médio 1
Seja f contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b). Então, existe pelo menos um ponto c em (a, b),
tal que:
f ' (c) =
f ( b ) − f ( a )
b− a
 Interpretação geométrica para o Teorema do Valor Médio. Fonte: ANTON et al. (2007).
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S.Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
A de�nição de Integral;
O teorema do valor médio para integrais;
Propriedades das integrais.
Explore mais
Nossa discussão sobre derivadas chegou ao �m. A �m de revisar os tópicos aqui veri�cados e despertar o seu interesse no
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assunto tratado, seguem sugestões de vídeos para você assistir:
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 34 - Regra de l'Hôpital - parte 1” <https://youtu.be/gzOkqOFEJFE> ;
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 35 - Regra de l'Hôpital - parte 2” <https://youtu.be/pAhjTa3lZ0o> ;
“Me Salva! Cálculo - Máximos e mínimos, problema de otimização 1” <https://youtu.be/dImoh2KrdMw> ;
“Problema de otimização – Caixa” <https://youtu.be/5Ws-UEBtwgI> ;
“Mínimos e máximos relativos e absolutos” <https://youtu.be/uG4PNx-VHPw> .
https://youtu.be/gzOkqOFEJFE
https://youtu.be/pAhjTa3lZ0o
https://youtu.be/dImoh2KrdMw
https://youtu.be/5Ws-UEBtwgI
https://youtu.be/uG4PNx-VHPw