O ENSINO DOS NÚMEROS NATURAIS E DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

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Fundamentos 
Metodológicos 
do Ensino 
de Matemática
O ensino dos números naturais e do sistema de 
numeração decimal
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Edda Curi 
Revisão Textual:
Profa. Dra. Patrícia Silvestre Leite Di Iório 
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• Introdução
• O ensino dos números nas últimas décadas do 
século XX
• A quantidade de algarismos no número e a posição 
dos algarismos como critério de comparação
Nossa proposta para a Unidade 2 é refletir sobre como foi o ensino dos números naturais e do 
Sistema de Numeração Decimal quando você era aluno do Ensino Fundamental e como é proposto 
seu ensino a partir de orientações curriculares atuais. Você vai realizar algumas atividades que 
possibilitem um resgate de suas memórias do tempo de estudante, vai ainda ler textos e discutir no 
fórum sobre o ensino atual dessas noções.
As discussões realizadas nesta Unidade estão baseadas nos estudos de Lerner e Sadovsky (1996) e 
de Michael Fayol (1994), sobre o ensino dos números. 
Amplie os conhecimentos sobre o assunto com as leituras recomendadas no texto. 
LERNER, D. e SADOVSKY, P. O sistema de numeração: um problema didático. In: PARRA, Cecília; 
SAIZ Irma; [et al] (Org.). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Tradução por Juan Acuña 
Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 73-155.
 · Bem vindo à Unidade 2 do Curso de Metodologia do Ensino de Matemática.
 · Nesta unidade, vamos discutir as mudanças no ensino de Matemática com 
relação aos NÚMEROS NATURAIS. Vamos refletir sobre concepções sobre ensino 
e aprendizagem dos NÚMEROS NATURAIS e a contribuição de diferentes teorias 
e pesquisas sobre o tema, fazendo um paralelo de como se ensina esse tema e 
o que as teorias e as pesquisas atuais trazem de contribuições para avanços nas 
aprendizagens das crianças. 
 · Vamos lá então?
O ensino dos números naturais e do 
sistema de numeração decimal
• A escrita baseada na fala 
• Sobre o Sistema de Numeração Decimal
• Algumas pesquisas recentes sobre o ensino do 
Sistema de Numeração Decimal
• Estudos sobre contagens
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Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal
Os avanços da Pedagogia e da Psicologia provocaram mudanças no foco do ensino dos 
Números Naturais. As investigações sobre a construção do conceito de número foram 
impulsionadas pela teoria de Piaget e também de sua colaboradora Kamii. No entanto, ao longo 
da década de 1990, as investigações sobre a construção do conceito de número receberam novos 
olhares e novas contribuições. Uma delas é a de Michel Fayol. Outra importante contribuição é 
a das pesquisadoras argentinas Delia Lerner e Patrícia Sadovsky.
A análise dos trabalhos dos diferentes autores revela pontos comuns, mas também evidencia 
que a ênfase dada por eles a um determinado aspecto do processo de construção do número é 
bastante peculiar. 
Nesta Unidade, apresentamos as posições de destaque que esses autores conferem ao 
processo de construção do conceito de número pelas crianças. 
Temos como objetivos:
• Identificar concepções sobre ensino e aprendizagem dos NÚMEROS NATURAIS. 
• Refletir sobre a contribuição das diferentes teorias sobre o tema.
• Analisar as hipóteses das crianças sobre as funções dos números e seus procedimentos 
de contagem.
• Analisar sequências de atividades sobre o tema. 
Contextualização
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Na primeira parte deste texto, vamos discutir o que indicam alguns autores do final do século 
XX com relação ao ensino de números e também algumas indicações curriculares sobre o ensino 
desse tema. Na segunda parte, discutiremos alguns estudos sobre o nosso sistema numérico e 
procedimentos de contagem usados pelas crianças. Na terceira parte, apresentaremos alguns 
problemas para usar números.
Na década de 1980, educadores brasileiros entraram em contato com as ideias de Piaget 
sobre a construção do número. Esse autor defendia a importância de se trabalhar com 
atividades pré-numéricas (classificação, seriação e sequenciação) que, no seu entender, 
possibilitavam à criança construir o conceito de número. Dessa forma, nas orientações 
curriculares da época, havia recomendações para que, em sala de aula, fossem desenvolvidas 
atividades de seriação, classificação e correspondência termo a termo. Essas orientações 
curriculares destacavam também o uso de materiais concretos nas aulas e apontavam a 
importância do trabalho com os denominados Blocos Lógicos em atividades que visavam 
ao desenvolvimento do raciocínio lógico. 
Piaget defendia a ideia de que a interação entre as estruturas mentais, já existentes na criança 
e o ambiente, por meio de uma ação, era responsável pela construção de conhecimentos. Ele 
afirmava que as seis etapas do desenvolvimento da criança ocorrem em uma sequência em 
que cada aquisição se apoia em conhecimentos anteriores e serve de apoio às aquisições 
posteriores. Segundo o autor, é por análise e síntese que a criança constrói o novo, o que 
ele denomina de assimilação. Essas informações conflitam com as já existentes e aumentam 
quantitativamente provocando um desequilíbrio. Após essa etapa, ocorre realinhamentos 
e compreensões, denominadas pelo autor de acomodações que possibilitam mudanças na 
qualidade das aplicações, ou de novos esquemas.
Introdução
Para Pensar
Compatibilize sua escrita de memórias sobre suas aprendizagens de números com a leitura da 
primeira parte do texto. Faça anotações para discutir no fórum.
O ensino dos números nas últimas décadas do século XX
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Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal
O autor afirma que entre a assimilação e a acomodação ocorre uma espiral crescente 
de negações de negação, em que assimilações provocam acomodações e acomodações 
provocam assimilações. 
Piaget considera o número como uma síntese de dois tipos de relações (uma de ordem e 
outra hierárquica) que a criança elabora entre os objetos, por meio de abstração reflexiva.
Kamii, seguidora de Piaget, também teve muita influência para educadores brasileiros. Ela 
considera que o uso de desenhos e a manipulação de objetos não facilitam a aprendizagem 
de conceitos numéricos pela criança. Ela defende também que a construção do número se dá 
pela abstração reflexiva. Destaca a importância do papel do professor que deve proporcionar 
um ambiente de aprendizagem em que as crianças entrem em contato com números falados 
e escritos e façam relações entre objetos, ao invés de focalizar apenas a quantificação. Para a 
autora, a estrutura lógico-matemática do número é construída pela criança e emerge a partir de 
atividades que permitam o estabelecimento de relações. Ela conclui que o conceito de número é 
criado mentalmente pela criança e posiciona-se contra as cópias excessivas de listas de números, 
geralmente propostas para a criança. 
Pires (2012) afirma que os avanços em relação à construção do conhecimento pelas crianças, 
a partir da década de 1990, permitiram um novo foco para o ensino em que o papel do 
professor não é mais o de transmitir conhecimentos, mas sim de criar situações que possibilitem 
às crianças colocar em ação seus conhecimentos prévios, suas hipóteses, permitindo a 
construção de aprendizagens significativas sobre conceitos e procedimentos matemáticos. Em 
função desse avanço, pesquisadores como Fayol (1996) e Lerner e Sadovsky (1996) discorrem 
sobre o ensino dos números e apresentam suas investigações sobre conhecimentos prévios e 
hipóteses das crianças a esse respeito. 
Fayol (1996) defende que a aquisição da sequência verbal depende dos diferentes estímulos 
do ambiente social e que é o componente linguístico, que permite a denominação de número. 
Ele destaca que mesmo sem compreender as funções do número, as crianças percebem, 
desde pequenas, a diversidade de situações em que o número é usado. Fayolafirma que a 
utilização da notação posicional causa dificuldades para a compreensão das crianças e cita 
como exemplo a passagem da enumeração e contagem para codificação e decodificação. 
Pense
Que mudanças significativas com relação ao ensino você observa a partir da década de 1990? Que 
mudanças você observa em relação ao papel do professor e das crianças? 
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Duas pesquisadoras argentinas Lerner e Sadovsky (1996) fizeram uma grande pesquisa na 
década de 90 sobre os números e o sistema de numeração decimal. As autoras revelam que as 
crianças constroem o conceito de número com base no desenvolvimento cognitivo, mas também 
na interação com o ambiente social em que convivem. Elas afirmam que as crianças, a partir de 
experiências significativas constroem hipóteses em relação à escrita numérica antes mesmo de 
iniciar a escolaridade básica. Entre as hipóteses destacam: a quantidade de algarismos de um 
número e a posição dos algarismos como critérios de comparação e a escrita baseada na fala.
Segundo Lerner e Sadovsky (1996), um dos argumentos usados pelas crianças é que ao 
comparar números com a mesma quantidade de algarismos, afirmam que a posição do algarismo 
revela o maior, ou seja, 31 é maior que 13 porque o 3 vem primeiro no 31. As crianças da 1a 
série que ainda não conhecem as dezenas, conseguem ver a magnitude do número, dizem que 
o 31 é maior do que o 25, porque o 3 de 31 é maior que o 2 do 25, justificando que “o primeiro 
é quem manda”.
Em relação a números com magnitudes diferentes, a criança diz que entre 12345 e 98, 
o número 12345 é maior porque “é mais comprido” ou “tem mais números”. Assim, os 
dados sugerem que as crianças reconhecem a magnitude de um número pela quantidade 
de algarismos e se eles têm a mesma quantidade de algarismos, comparam o primeiro 
algarismo de cada número. 
Para Lerner e Sadovsky (1996), os conceitos elaborados pelas crianças a respeito dos números 
são baseados na numeração falada e em seu conhecimento de escrita convencional dos “nós”.
“Para produzir os números cuja escrita convencional ainda não haviam adquirido, as crianças 
misturavam os símbolos que conheciam colocando-os de maneira tal, que se correspondiam com 
a ordenação dos termos na numeração falada” (LERNER e SADOVSKY, 1996, p.92). Sendo 
assim, ao fazerem comparações de sua escrita, o fazem como resultado de uma correspondência 
com a numeração falada, e por ser esta não posicional.
A quantidade de algarismos no número e a posição dos algarismos 
como critério de comparação
A escrita baseada na fala 
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Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal
As autoras destacam que, na numeração falada, a justaposição de palavras supõe sempre 
uma operação aritmética de adição ou de multiplicação, como no exemplo que dão sobre a 
ideia de adição: escrevem duzentos e cinquenta e quatro como 200504, ou, no exemplo que 
dão sobre a ideia de multiplicação: escrevem quatro mil como 41000. 
As autoras afirmam que as crianças que realizam a escrita não-convencional o fazem 
a semelhança da numeração falada, pois demonstraram em suas escritas numéricas que as 
diferentes modalidades de produção coexistem para os números posicionados em diferentes 
intervalos da sequência ao escreverem qualquer número convencionalmente com dois ou três 
algarismos em correspondência com a forma oral. Elas concluem que mesmo aquelas crianças 
que escrevem convencionalmente os números entre cem e duzentos, podem não generalizar 
esta modalidade a outras centenas. 
Esses estudos foram incorporados em orientações curriculares que surgiram no final da 
década de 90 e nos anos 2000. 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais apoiam-se nas pesquisas de Lerner e Sadovsky (1996) 
para o ensino dos números. Em suas Orientações Didáticas, o documento destaca as diferentes 
funções sociais dos números: cardinal, ordinal, codificação, medida. O documento sugere que 
as sequências didáticas para a construção das aprendizagens das crianças sobre os números 
devem ter como questão norteadora “Para que servem os números” e a exploração das funções 
sociais dos números. 
O documento explicita quais são essas funções:
• Em sua função cardinal, o número natural é um indicador de quantidade, ou seja, 
permite evocar mentalmente uma quantidade, mesmo que ela não esteja fisicamente 
presente. Situações que permitam à criança responder quantos são os dias do mês, 
quantas pessoas moram em casa, etc. são exemplos que consideram o aspecto cardinal 
do número. 
• O aspecto ordinal do número natural é ressaltado quando ele é um indicador de 
posição, ou seja, ele permite guardar o lugar ocupado por um objeto, pessoa ou 
acontecimentos. Situações que permitam discutir com a criança quem foi o quinto 
colocado no campeonato de futebol da escola, ou quem senta na segunda carteira da 
fila que fica em frente à mesa da professora etc. são exemplos que focalizam o aspecto 
ordinal do número. 
Trocando Ideias
Faça um quadro com as ideias chaves de cada autor citado e com suas aprendizagens sobre números 
e guarde suas anotações para discutir no fórum
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• Há algumas situações em que o 
número não tem ligação nem com o aspecto 
cardinal, nem com o aspecto ordinal, mas 
permite identificar uma pessoa ou um objeto. 
Nesse caso, os números naturais são usados 
como código. São exemplos de situações 
em que o número aparece como código: o 
número de telefone, da carteira de identidade, 
da senha bancária, do ônibus etc.
• Com relação ao aspecto de medida, os 
números expressam medida de comprimento, 
de tempo, de temperatura, etc., como nos 
exemplos: situações em que os alunos 
expressem o comprimento de uma régua, 
ou medidas que aparecem em folhetos de 
supermercado etc. 
O nosso sistema numérico, denominado de Sistema de Numeração Decimal, foi criado por 
hindus e divulgado pelos árabes, por isso é denominado de indo-arábico. 
A organização do Sistema de Numeração Decimal é bastante óbvia para nós adultos, mas, 
para as crianças, é muito complicado porque algumas de suas características e propriedades não 
são visíveis na escrita do número. 
As atividades numéricas 
desenvolvidas nos anos iniciais 
da escolaridade básica devem 
dar continuidade às experiências 
vividas pela criança fora da 
escola. Conhecer o que as 
crianças pensam a respeito do 
uso dos números, é o ponto de 
partida para a formulação de 
uma nova didática para o ensino 
de números.
Se quiser saber mais sobre o assunto leia o texto de autoria de Célia 
Maria Carolino Pires: 
PIRES, C. M. P. Descobertas de professoras sobre o universo numérico das 
crianças: a construção de saberes por meio de pesquisas realizadas com seus 
alunos. In: Anais do Encontro Nacional de Didática e Prática de Ensino (ENDIPE), 
2008, Porto Alegre. 
Sobre o Sistema de Numeração Decimal
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Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal
O sistema de numeração decimal apresenta algumas características importantes: 
a) possui apenas 10 algarismos e com eles é possível escrever qualquer número,
b) é posicional, ou seja, cada algarismo dentro de um número tem um valor diferente, 
mesmo que sejam algarismos iguais. A cada posição à esquerda que um algarismo 
ocupe, seu valor fica aumentado dez vezes, ou seja, no número 345 o algarismo 
4 está na posição da ordem das dezenas e vale 40 unidades e no número 435 
o algarismo 4 está na posição da ordem das centenas e vale 400 unidades, dez 
vezes maior do que quando ele está na posição das dezenas, 
c) é de base 10, ou seja, cada agrupamento de 10 unidades pode ser trocado por 
uma unidade de ordem superior,
d) A escrita numérica tem base aditiva e multiplicativa, mesmo essas operações 
não sendo visíveis na escrita numérica, ou seja, as operações não são 
explicitadas numa escrita que é econômica e decorrentedo processo de 
desenvolvimento histórico da humanidade. Essa escrita resumida é de 
difícil compreensão pelas crianças. 
A decomposição de um número em suas diversas ordens e classes permite a visualização 
das operações de adição e multiplicação no número, mostrando a complexidade da escrita 
numérica como no exemplo: 
5432= 5000 + 400 + 30 + 2 
5432 = 5 x 1000 + 4 x 100 + 3 x 10 + 2 x 1 
5432 = 5 x 103 + 4 x 102 + 3 x 101 + 2 x 100
A expressão 5 x 103 + 4 x 102 + 3 x 101 + 2 x 100 é denominada escrita polinomial do 
número 5432.
Como as crianças não veem as características do Sistema de Numeração Decimal, o valor 
posicional de um algarismo é pouco percebido pelas crianças. Para que estas evoluam na 
compreensão do nosso sistema numérico, é preciso que a escola desenvolva um trabalho de 
observação de regularidades, de problematizações de registros e de reflexões sobre o Sistema 
de Numeração Decimal. Estudos atuais mostram que é importante que se apresente às crianças, 
desde o início da escolaridade básica, atividades em que elas tenham oportunidade de refletir e 
utilizar números de diferentes ordens de grandeza, para que identifiquem em que situações são 
usadas,façam sua leitura e escrita, percebam arredondamentos etc. 
 
 Atenção
As características do Sistema de Numeração Decimal não devem ser colocadas como regras 
para as crianças. A reflexão sobre a leitura, a escrita numérica, a composição e decomposição 
de números, além de outras atividades é que permite às crianças compreenderem compreender 
nosso sistema numérico.
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Vergnaud (1994) destaca que a noção de número não é elementar e se apoia sobre as 
noções de correspondência biunívoca, de relação de equivalência e de relação de ordem. Mas, 
ele afirma que não são essas noções que caracterizam verdadeiramente os números. O autor 
considera que é a possibilidade de adicionar números e de dar um sentido a essa adição que dá 
aos números sua característica essencial.
Segundo Lerner e Sadovsky (1996), a escrita de um número apresenta regularidades, porque 
a adição e a multiplicação são utilizadas sempre da mesma maneira na composição do número, 
mas também precisa de compreensão do que está “escondido”, porque as potencias de base 10 
não são apresentadas na escrita numérica e são deduzidas a partir da compreensão da posição 
que um algarismo ocupa no número. 
Uma pesquisa realizada em 2011 por um grupo de pesquisa da Universidade Cruzeiro do 
Sul, no âmbito do programa Observatório da Educação com financiamento da CAPES e sob a 
coordenação de Edda Curi, envolvendo alunos de 5º ano de seis escolas públicas do estado de 
São Paulo apresenta revelações interessantes sobre a compreensão das crianças em relação ao 
Sistema de Numeração Decimal. 
A pesquisa envolveu 385 alunos de escolas diferentes, com abordagens didáticas e 
metodológicas diferentes, mas apresentou resultados muito parecidos que puderam ser 
categorizados como: a incompreensão do valor posicional, a presença do zero no número, o 
conhecimento até a ordem de grandeza da unidade de milhar, a influência sonora na escrita 
numérica. Essas categorias são explicitadas a seguir:
• A incompreensão do valor posicional estende-se para as diferentes ordens e 
classes do número, aumentando o índice de erros a partir da decomposição dos 
números da ordem de dezena de milhar. Nos procedimentos de decomposição de 
um número, os alunos desconsideram o valor posicional do algarismo no número.
• Nos números com zero intercalado, os alunos apresentam um procedimento 
comum na decomposição numérica para suprir a ausência de quantidade, a 
criança sente a necessidade de colocar o zero para ocupar a “casa vazia” do 
número, como nos exemplos: 
o 1908 = 1000 + 900 + 0 + 8 ou 
• 108 = 100 + 00 + 8
• Nos casos de escritas numéricas com o zero intercalado, os registros revelaram 
mais uma vez inconsistências na compreensão do valor posicional que o algarismo 
ocupa no número, como por exemplo: 3000 + 60 + 8 = 3608.
Algumas pesquisas recentes sobre o ensino do Sistema de 
Numeração Decimal
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Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal
• No procedimento de composição de números os alunos apresentaram melhor 
compreensão e domínio, ainda que muitos concebam este procedimento como 
uma operação aritmética apoiando-se na propriedade aditiva do sistema de 
numeração e na apresentação das multiplicações organizadas separada pelo sinal 
da adição.
• Os alunos mostraram seus conhecimentos com números até a ordem das 
unidades de milhar. Com números dessa ordem de grandeza, percebem a relação 
entre a posição do algarismo e o valor dele no número, decompõem e compõem 
números com base na escrita numérica apresentada e procuram representar a 
escrita numérica baseando-se em informações extraídas da fala e do conhecimento 
prévio a respeito da escrita de números de ordem menor.
• No que se refere à influência sonora na escrita numérica, em situações de 
decomposição do número, o apoio na leitura do número pode levar a alguns 
procedimentos desnecessários, como a representação do zero para suprir a 
ausência de quantidade na classe, por exemplo: 8 001= 8000 + 00 + 01.
A pesquisa realizada permitiu algumas ponderações a respeito do tema. A compreensão das 
crianças das noções de agrupamentos e de contagem de agrupamentos é gradativa e parece 
desenvolver-se, primeiramente, com números da ordem das dezenas. Consideramos que essa 
compreensão se amplia à medida em que se faz um trabalho com números de diferentes ordem 
de grandeza, possibilitando que os alunos percebam que as características do Sistema de 
Numeração Decimal podem ser generalizadas para números de qualquer ordem de grandeza. 
No que se refere à resolução de problema envolvendo agrupamentos e trocas, observou-
se que o índice de erro foi superior ainda, o que parece ser decorrente de práticas de ensino 
baseadas em tarefas por repetição e memorização em que a leitura e escrita numérica são 
aplicadas com a intenção de sistematizar regras sintáticas do sistema, contradizendo as propostas 
atuais, presentes nos documentos e matrizes curriculares. 
Os dados contrastam um pensamento persistente e comum acerca do ensino do sistema de 
numeração. Em geral, pensa-se que como a criança de cerca de 10 anos já sabe os números até 
a unidade de milhar, a mesma será capaz de generalizar e ler um número de qualquer ordem 
de grandeza, mas isso não aconteceu nessa pesquisa. 
Os resultados apontam que independentemente do conhecimento consolidado nas unidades 
simples, o processo de generalização é construído em espiral, com avanços e retomadas 
conceituais, sendo este de inteira responsabilidade do professor. A pesquisa mostrou que os 
alunos de cerca de dez anos não possuem a capacidade de generalizar as características do SND, 
Trocando Ideias
Destaque entre os resultados apresentados, o que mais lhe chamou a atenção e justifique sua escolha.
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em particular no que se refere aos agrupamentos de dez em dez e à troca das ordens e classes 
no número. Consideramos que o processo para desenvolver a capacidade de generalização 
se constrói em diferentes âmbitos que vão formando uma malha a partir da qual as crianças 
organizam, refletem, reorganizam e ampliam seus conhecimentos a respeito do sistema numérico. 
Sem compreensão do sistema numérico as crianças não fazem generalizações e utilizam o 
conhecimento mecanicamente.
Vários autores discutem sobre procedimentos de contagem das crianças. Vamos conhecer 
alguns deles.
Do ponto de vista cognitivo, Vergnaud (1994) afirma que, ao enunciar a sequência numérica, 
a criança pode situar-se em dois níveis diferentes: o nível da recitação e o da contagem 
propriamente dita. Ele descreve cada um desses níveis:
a) denomina de nível da recitação àquele em que a criança dizas palavras que sabe 
que devem se suceder e, mesmo sem enganos, não significa que ela saiba contar objetos 
até um número qualquer. Mas ele afirma que, frequentemente, a criança se engana nessa 
recitação. 
b) no nível da contagem, ele afirma que a criança acompanha a sequência numérica 
ou com de gestos da mão ou de movimentos dos olhos, o que mostra que a criança 
estabelece uma correspondência entre o conjunto contado e a sequência numérica oral. 
Gray e Tall (1994) apresentam estratégias de contagem das crianças e as categorizam 
em seis níveis. Partido de um exemplo de uma adição como por exemplo, 4 + 5, eles 
descrevem esses níveis:
a) No primeiro nível - “conta-todos”, a criança usa 3 procedimentos de contagem de 
objetos físicos. No exemplo acima, conta primeiro os 4 objetos falando 1, 2, 3, 4 e depois 
conta os 5 objetos falando 1, 2, 3, 4, 5 e, em seguida, conta novamente todos os objetos, 
falando 1, 2, 3, ...9). 
Estudos sobre contagens
Para Pensar
Você já teve oportunidade de ver crianças pequenas contando? Elas precisam de apoio em objetos, 
recitam a sequência oralmente, contam mentalmente?
Leia o trecho a seguir e amplie seus conhecimentos sobre o assunto.
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Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal
b) No segundo nível – “conta-ambos”, a criança usa dois procedimentos de contagem: 
conta inicialmente os 4 objetos, falando 1, 2, 3, 4 e, faz uma contagem para os objetos 
seguintes, falando 5, 6, 7, 8, 9.
c) No terceiro nível – sobrecontagem, a criança usa apenas um procedimento de 
contagem: conta diretamente 5 objetos, falando 5, 6, 7, 8, 9 sem precisar contar os 
quatro primeiros objetos, usando o total da contagem. 
d) No quarto nível - sobrecontagem a partir do maior - a criança inicia a contagem de 5 
objetos, falando 6, 7, 8, 9 sem proceder a contagem dos outros 4 objetos.
e) No quinto nível - fato derivado- o resultado deriva de outros conhecidos. Por exemplo, 
5 + 5 = 10, então 4 + 5 = 9, um a menos porque 4 é “um a menos que 5”.
f) No sexto nível - fato conhecido - a criança busca um resultado já memorizado 
(4 + 5 =9).
Outros autores que discutem estratégias de contagem são Chapin e Johnson (2006). Eles 
consideram estratégias de modelagem em que os alunos usam objetos físicos, tais como blocos, 
calculadoras, e os dedos para modelar as ações e/ou relações em um problema. Eles contam 
alguns ou todos esses objetos para obter uma resposta, no geral quando começam a resolver 
problemas de adição e subtração. Chapin e Johnson (2006) comentam que as crianças usam 
estratégias de contagem e que para tal precisam comprender a relação entre contagem e número 
de elementos em um determinado conjunto matemático (cardinalmente), bem como serem 
capazes de começar a contar em qualquer número ou contar para trás. Em algumas situações, 
os alunos devem também ser capazes de manter o controle de quantos números eles contaram 
e, ao mesmo tempo, reconhecerem quando atingiram o número apropriado. 
Eles apontam seis estratégias comuns de contagem: contar tudo, contando a partir do 
primeiro, contando a partir do maior, contagem regressiva de, contagem regressiva para, e 
contando a partir de um número dado. Eles consideram que as estratégias de contagem não 
são técnicas mecânicas que os alunos podem simplesmente memorizar, mas que são baseadas 
conceitualmente e construídas diretamente sobre as estratégias de modelagem. Passamos a 
apresentar cada uma dessas estratégias segundo esses autores:
a) Contando tudo: os alunos começam a sequência de contagem com um e continuam 
até que a resposta seja alcançada. Essa estratégia exige que os alunos tenham um método 
de manter o controle do número de passos da contagem, a fim de saber quando parar. Às 
vezes, usam os dedos para acompanhar o número de contagens.
b) Contando a partir do primeiro termo do problema (sobrecontagem). Com 
essa estratégia, o estudante reconhece que não é necessário reconstruir toda a sequência 
de contagem e começar a “contar” a partir do primeiro termo no problema.
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c) Contando a partir do maior. Essa estratégia é idêntica à estratégia de contar a partir 
do primeiro termo do problema, exceto que a contagem começa a partir do maior dos dois 
termos. Este é uma estratégia mais sofisticada de contagem, já que na sua aplicação deixa 
implícito que o estudante entende que a ordem dos termos não importa em problemas de 
adição, ou seja, compreende implicitamente a propriedade comutativa da adição.
d) Contagem regressiva de. Nesta estratégia, estudantes iniciam uma sequência 
de contagem para trás começando pelo maior número dado. A sequência de contagem 
contém tantos números quanto o menor número dado.
e) Contagem regressiva para. Os alunos usam uma sequência de contagem para trás 
até que o número menor seja atingido. Quantos números há na sequência de contagem é a 
solução. Às vezes, os estudantes costumam usar seus dedos para acompanhar a contagem.
f) Contando a partir de um número dado. O aluno inicia uma estratégia a contar 
para frente a partir do menor número dado até o maior número dado. O estudante 
acompanha (muitas vezes usando seus dedos) quantos números há na sequência.
Chapin e Johnson (2006) comentam que em todas essas estratégias de contagem, os alunos 
podem contar de um em um, ou em pequenos grupos, como de dois em dois, de cinco em cinco 
etc. Afirmam que algumas estratégias são menos usadas do que outras e citam como exemplo a 
contagem regressiva. Afirmam também que alguns alunos nunca usam algumas das estratégias 
ou mesmo nem sequer as diferenciam. Há outros grupos de alunos que frequentemente mudam 
as estratégias que usam. Eles concluem que não é necessário para os alunos que o professor 
denomine as estratégias de contagem, mas é importante que o professor as reconheça a fim de 
escolher atividades que deem suporte ao desenvolvimento dos alunos.
Fonte: PROCEDIMENTOS DE CRIANÇAS DO 2º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO 
ADITIVO COM O SIGNIFICADO DE TRANSFORMAÇÃO, in Educação Matemática: grupos colaborativos, mitos e práticas. Org. Curi, E. e 
Nascimento, J. C. P. Editora Terracota, 2012.
Para Pensar
Analise o protocolo a seguir, de um aluno 
de escola pública de 8 anos da professora 
Solange Fátima Mariano. De acordo com 
o que você estudou sobre contagens, 
como a estratégia usada pela criança 
pode ser caracterizada?
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Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal
Em Síntese
Nesta Unidade, você explorou:
• O ensino dos números nos dias atuais, percebendo as mudanças que ocorreram na abordagem 
nos últimos anos. 
• As características matemáticas do Sistema de Numeração Decimal
• Pesquisas que apontam dificuldades das crianças com relação ao Sistema de Numeração Decimal 
• Alguns estudos que discutem estratégias de contagens usadas por crianças.
Se quiser saber mais sobre procedimentos de crianças de 8 anos em contagens 
aditivas leia o texto completo de autoria da professora Solange Fátima 
Mariano: PROCEDIMENTOS DE CRIANÇAS DO 2º ANO DO ENSINO 
FUNDAMENTAL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO 
COM O SIGNIFICADO DE TRANSFORMAÇÃO, in Educação Matemática: 
grupos colaborativos, mitos e práticas. Org. Curi, E. e Nascimento, J. C. P. 
Editora Terracota, 2012.
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Material Complementar
Para seu aprofundamento, leia o texto dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática 
do 1º e 2º ciclos sobre orientações didáticas para o ensino dos números nas páginas 61 até 64. 
Nesse texto, o documento apresenta algumas situações que podem ser desenvolvidas em sala 
de aula com objetivo da criança se aproximar da construção do número.
 
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Acesse o texto pelo link: 
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf 
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Unidade: O ensino dos números naturais e do sistemade numeração decimal
Referências
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problemas do campo aditivo com o significado de transformação, in Educação Matemática: 
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Anotações
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