Cálculo Vetorial AOL4

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1. Pergunta 1 
Em um contexto com variáveis reais definidas em domínios e imagens de 
pontos, o cálculo integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos 
como integrais. Já em um contexto vetorial, o cálculo integrativo se dá com 
objetos matemáticos conhecidos como integrais de linha. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo 
Vetorial, pode-se afirmar que as integrais referentes ao teorema 
fundamental do cálculo e as integrais de linhas, apesar de distintas, se 
relacionam porque: 
1. Incorreta: 
ambas conseguem tratar do mesmo objeto matemático sem que 
haja perda de informações. 
2. 
as integrais de linha possuem integrandos que não são vetores. 
3. 
ambas são definidas no mesmo contexto, em um cenário onde 
domínio e contradomínio representam conjuntos de pontos. 
4. 
as integrais do contexto vetorial podem ser escritas como 
integrais duplas e triplas, referentes ao outro contexto 
integrativo. 
Resposta correta 
5. 
as integrais triplas conseguem definir qualquer tipo de objeto 
matemático. 
2. Pergunta 2 
O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a 
resolução de integrais de linha em caminhos fechado. O teorema relaciona a 
borda do caminho com a área formado pelo caminho fechado, que deve ter 
orientação anti-horária. O teorema de Green possui mais de uma forma de 
ser escrito. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de 
Green, analise as afirmativas a seguir. 
I. é uma forma do teorema de Green. 
II. é uma forma do teorema de Green, sendo . 
III. é uma forma do teorema de Green. 
IV. é uma forma do teorema de Green. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
1. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
2. 
I e IV. 
3. 
II e IV. 
4. 
I, II e III. 
5. 
I e II. 
3. Pergunta 3 
O teorema de Stokes é bastante utilizado para simplificar o problema 
da integral de um campo vetorial sobre uma superfície para uma integral de 
linha. Ou seja, é utilizado no sentido contrário (da direita para a esquerda) 
de como temos escrito ele. Para tanto, é necessário que o campo vetorial em 
questão possa ser escrito como o rotacional de um outro campo. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de 
Stokes, ordene as etapas a seguir de acordo com a sequência em que devem 
ser efetuados os passos para a utilização do teorema no sentido . 
( ) Verificar se campo vetorial pode ser escrito como um rotacional e se ele e 
a superfície satisfazem os requisitos do teorema. 
( ) Executar a integral de linha. 
( ) Parametrizar o caminho. 
( ) Fazer a mudança de sistema de coordenadas convenientes. 
( ) Projetar a superfície no plano XY para definir o caminho de integração. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
1. 
1, 5, 3, 4, 2. 
Resposta correta 
2. 
4, 3, 5, 2, 1. 
3. 
2, 1, 3, 4, 5. 
4. 
5, 4, 1, 3, 2. 
5. 
3, 4, 1, 2, 5. 
4. Pergunta 4 
O teorema da divergência é bastante útil, pois consegue relacionar a 
integral de um campo vetorial sobre uma superfície com a integral de 
volume do divergente do campo vetorial. A princípio, pode não ser clara sua 
utilidade, porém, há diversos casos em que o problema é simplificado. Mas 
para utilizá-lo, há certos requisitos a serem atendidos. A definição é: 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da 
divergência, analise as afirmativas a seguir. 
I. A superfície S deve ser fechada. 
II. A superfície S deve ser orientada para dentro. 
III. O campo vetorial F deve possuir derivadas parciais contínuas. 
IV. O volume V deve ser maior que o definido pela superfície S. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
1. 
I e IV. 
2. 
I, II e IV. 
3. 
I e III. 
Resposta correta 
4. 
II e IV. 
5. 
I e II. 
5. Pergunta 5 
Os teoremas de Green, Stokes e Gauss são extremamente relevantes para o 
Cálculo Vetorial. Eles possibilitam o trabalho com integrais seja mais 
simples, em vez de se realizar o trabalho direto com integrais de superfícies 
e curvas. Entender o que enunciam esses teoremas é fundamental para o 
aperfeiçoamento das habilidades técnicas em Cálculo Vetorial. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, 
Gauss e Stokes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral 
dupla sobre uma região R. 
II. ( ) O Teorema de Green possibilita o cálculo da integral através do 
gradiente de uma função. 
III. ( ) O Teorema de Gauss relaciona uma integral de superfície com uma 
integral tripla de um sólido. 
IV. ( ) O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha com uma 
integral de superfície. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
1. 
V, V, F, F. 
2. 
F, F, V, F. 
3. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
F, F, V, V. 
6. Pergunta 6 
Ao aplicar o teorema da divergência, é necessário resolver uma integral 
tripla. Para resolver uma integral tripla, trata-se de fazer três integrais por 
vez, cujas variáveis são dependentes uma das outras. Para tal, é necessário 
entender bem a região de integração para escrever os limites de integração. 
Fora isso, as variáveis que não estão sendo integradas são consideradas 
constantes. 
Considerando essas informações e os estudos sobre divergente, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é definido pela 
superfície do cilindro e . 
II. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é a esfera 
unitária . 
III. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é o cubo definido 
pelos planos , , , , , . 
IV. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
1. 
V, F, F, V. 
2. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
3. Incorreta: 
F, F, V, F. 
4. 
F, F, V, V. 
5. 
V, V, F, F. 
7. Pergunta 7 
O campo conservativo é extremamente relevante para a integral de linha do 
trabalho (W). Caso o campo seja conservativo, qualquer curva que une dois 
pontos pré-fixados no campo vetorial tem o mesmo valor numérico do 
trabalho. Esse campo é definido em termos de um gradiente de uma função 
escalar: 
. 
Em algumas situações não se sabe sobre a função f, mas, mesmo assim, é 
possível descobrir se um campo é ou não conservativo caso ele respeite as 
igualdades a seguir: 
. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo 
Vetorial, pode-se dizer que é um campo conservativo porque: 
1. 
o divergente dessa função é nulo. 
2. 
o gradiente dessa função é nulo. 
3. 
se verificou todas as igualdades supracitadas e todas 
verdadeiras. 
Resposta correta 
4. 
as igualdades serem válidas é uma condição necessária, mas 
não suficiente. 
5. 
as igualdades supracitadas possuem diferenças entre seus 
termos. 
8. Pergunta 8 
Considere o exemplo a seguir da aplicação do teorema da divergência. 
Dado , integre sobre a esfera unitária . O divergente de F é , 
integrando sobre que é o próprio volume da esfera, resultando 
em . 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da 
divergência, pode-se dizer que o cálculo da integral foi facilitado porque: 
1. 
a superfície S é fechada. 
2. 
o integrando é mais simples de integrar. 
Resposta correta 
3. 
só é possível resolver o lado direito do teorema da divergência. 
4. 
a superfície S é orientada para fora. 
5. 
o lado direito é uma integral tripla de um campo vetorial. 
9. Pergunta 9 
Os teoremas de Green, Gauss e Stokes podem ser considerados facilitadores 
algébricos, uma vez que transformam integrais complexas, tais como 
superfícies e linha, em integrais de regiões, sólidos e afins. A manipulação 
dessas integrais é muito menos complexa do que as outras. Porém, é 
necessário conhecer cadaum dos elementos desses teoremas, pois eles são 
definidos em espaços geométricos e contextos vetoriais diferentes. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os teoremas 
de Green, Gauss e Stokes, analise as afirmativas a seguir 
I. O teorema de Green pode ser escrito de uma forma que envolve o 
rotacional 
II O teorema de Green pode ser escrito de uma forma que envolve o 
divergente 
III. O Teorema de Gauss trabalha com superfícies não orientadas. 
IV. A regra da mão direita é uma regra auxiliadora do Teorema de Stokes 
Está correto apenas o que se afirma em: 
1. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
2. 
II e IV. 
3. Incorreta: 
I e IV. 
4. 
I e II. 
5. 
I e III. 
10. Pergunta 10 
Os Teoremas de Green, Gauss e Stokes são teoremas que facilitam o 
trabalho algébrico com as integrais de linha e superfície. Eles definem 
equivalências com outras integrais, de modo que não se calcule as integrais 
de linha e superfície por definição.É interessante, também, lançar um outro 
olhar sobre esses teoremas. Observar as diferenças e similaridades acerca 
de seus aspectos vetoriais também é fundamental. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, 
Gauss e Stokes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O Teorema de Green é pautado em regiões simplesmente conexas. 
II. ( ) Uma região R, que é delimitada por uma curva C que corta a si mesma, 
pode ser utilizada pelo Teorema de Green. 
III. ( ) O Teorema de Gauss é pautado em um sólido delimitado por 
superfícies. 
IV. ( ) O Teorema de Stokes é pautado em uma superfície orientada. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
1. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
2. 
F, F, V, F. 
3. 
V, V, F, F. 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
F, F, V, V.