Teste t de Student

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Distribuição t de Student
Com base na distribuição t que distribui-se simetricamente, com média zero, porém não normalmente. 
Para amostras grandes o desvio-padrão amostral deve ser bem próximo do desvio-padrão da população logo distribuição t deve está bem próxima da normal reduzida z. 
Distribuição t de Student
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Distribuição t de Student
Sabemos que: 
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Distribuição t de Student
Neste caso, poder-se-á definir uma variável z tal que:
, nesta estatística teria simplesmente distribuição normal reduzida, o que justifica a fórmula.
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Distribuição t de Student
Caso a variância populacional fosse conhecida, poderíamos utilizar a fórmula anterior, a cerca da média populacional.
Como na prática geralmente não conhecemos a variância populacional, utiliza-se de um estimador que permite conhecer o valor da variância da população.
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Distribuição t de Student
Se usamos a variância da amostra com n-1 graus de liberdade, obteremos uma estatística cuja distribuição não é normal.
Onde é um estimador justo da variância populacional .
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Distribuição t de Student
A distribuição t de Student, não é uma normal, e tem média zero e distribui-se simetricamente.
Quando a amostra é muito grande, se aproxima de , e as correspondentes distribuições t devem estar bem próxima da normal reduzida.
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Distribuição t de Student
Assim.
note-se que a estatística definida tem n-1 graus de liberdade, e que denotamos por . 
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Distribuição t de Student
Para se usar a distribuição t “tabela t”, devemos ter duas informações:
 O nível de confiança desejado;
 Número de graus de liberdade.
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Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança para média de uma população normal com Desconhecido. 
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Distribuição t de Student
Suponha uma amostra de n elementos.
	Se n>30, usa-se a distribuição normal 
com . 
Se n 30, usa-se a distribuição t , com
 graus de liberdade. 
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Distribuição t de Student
Podemos dizer:
Pelo Teorema do Limite Central, quando a amostra é superior a 30 elementos, a distribuição das médias é aproximadamente normal.
Quando a amostra é inferior ou igual a 30 a aproximação normal não é adequada. Neste caso usamos a distribuição t .
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Distribuição t de Student
Assim como acontece com a normal padrão, a função de densidade de t de Student é também uma curva simétrica e centrada em zero, porém ela é mais dispersa em torno de zero que a Normal Padrão.
À medida que o número de graus de liberdade tende a infinito, a curva de t de Student se aproxima cada vez mais da curva Normal Padrão.
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Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
Normal Padronizada
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Distribuição t de Student
No caso em que o tamanho da amostra é inferior a 5% do tamanho da população.
Para uma 
população 
finita
Intervalo de 
Confiança
*
Distribuição t de Student
Se houve necessidade de correção, o intervalo de confiança é expresso por:
Para uma 
população 
finita
*
Distribuição t de Student
Uso
da
tabela
y
x
0
Simulação
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
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Distribuição t de Student
Solução 
Distribuição t de Student
Portanto, temos 95% de confiança que o verdadeiro valor populacional se encontre entre 12,5233 e 17,4767; ou então corremos o risco de 5% de que o verdadeiro valor da média populacional seja menor que 12,5233 ou maior que 17,4767. 
Distribuição t de Student
A vida média das lâmpadas elétricas produzidas por uma empresa era de 1120 horas.
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Distribuição t de Student
Solução 
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
Seja X: variável aleatória distribuída normalmente com parâmetros desconhecidos. 
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Distribuição t de Student
Solução 
Distribuição t de Student
Portanto, temos 95% de confiança que o verdadeiro valor populacional se encontre entre 10,1529 e 13,8471; ou então corremos o risco de 5% de que o verdadeiro valor da média populacional seja menor que 10,1529 ou maior que 13,8471. 
Distribuição t de Student
Querendo determinar o peso médio de nicotina dos cigarros de sua produção, um fabricante recolheu uma amostra de 25 cigarros, obtendo-se. 
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Distribuição t de Student
Solução 
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
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Distribuição t de Student
Solução 
Distribuição t de Student
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Distribuição t de Student
Atividade
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Distribuição t de Student
O comprimento das peças produzidas por uma máquina são normalmente distribuídos. Uma amostra aleatória das 10 peças apresentou os seguintes valores em milímetros:
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Distribuição t de Student
Construa um intervalo de confiança com 95% para o comprimento médio das peças produzidas por esta máquina ao nível de 5%.
8,75; 8,72; 8,73; 8,76; 
8,78; 8,74; 8,73; 8,77; 
8,74; 8,72
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Distribuição t de Student
Atividade
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Distribuição t de Student
Um pequeno produtor de queijo utiliza processos rudimentares em sua produção. Um particular cliente deseja encomendar 200 peças do produto padronizado em 1kg.
Após a produção, para verificar se o lote produzido atende ao padrão desejado, selecionou ao acaso uma amostra de 15 peças que apresentou peso médio de 1,03 kg, com desvio –padrão de 0,06 kg.
Construa um intervalo de confiança de 95% para o peso médio das peças produzidas neste lote.
Próxima aula
Teste de Hipótese
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
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