Eletro1Usp_1Sem2018_lista04

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Eletro1_1Sem2018 - Lista de Exercícios #4
Exercícios marcados com ∗ devem ser entregues no dia 22.05 para avaliação.
• Magnetismo de correntes estacionárias
• Potencial vetor magnético
• Expansão multipolar
• Magnetização
1 Biot-Savart
Considere as seguintes con�gurações de corrente: i) um circuito quadrado de lado a e ii) um anel circular de raio
a, ambos carregam uma corrente estacionária I. Tomando a expressão da lei de Biot-Savart:
~B =
µ0I
4π
�
d~l′ × (R̂)∥∥∥~R∥∥∥2
onde ~R = ~r−~r′. Determine para cada uma destas con�gurações o campo ao longo do eixo de simetria que passa
pela centro do circuito. Seja cuidadoso: de�na o sistema de coordenadas, os vetores e versores do problema e faça
a integração. Use o problema como um maneira de praticar a notação vetorial.
2 Problemas do livro texto (3Ed, capítulo 5)
5.28 (faça!), 5.46.
3 Vetor ~A de campos uniformes
Considere um campo magnético uniforme em uma dada região do espaço. Suponha, por exemplo, que ~B = B0ẑ.
(a) Trabalhe a expressão ~∇ × ~A = ~B e determine ~A em coordenadas cartesianas. Em seguida, reescreva o
resultado na seguinte forma vetorial:
~A = −1
2
(~r × ~B)
(b) Mostre diretamente da expressão:
~A = −1
2
(~r × ~B)
que ~∇. ~A = 0 e ~∇× ~A = ~B, para qualquer campo uniforme (atenção, o campo ~B não está na direção ẑ! Trabalhe
a expressão na forma mais geral, usando apenas que o ~B é uniforme).
(c) Enuncie os resultados para o campo ~B das seguintes con�gurações de corrente: plano in�nito carregando
uma densidade de corrente ~K (assuma o plano paralelo ao plano xy e ~K = Kx̂) e um solenoide longo (eixo na
direção ẑ) carregando uma densidade de corrente ~K = Kφ̂ (K = nI onde n é o número de voltas por unidade de
comprimento do solenoide e I a corrente no �o).
(d) Investigue a aplicabilidade da fórmula acima para o cálculo de ~A nas con�gurações listadas no item (c). Os
resultados obedecem todos os requisitos para ~A? (dica: divergente, rotacional e condições de contorno)
(e) Determine o potencial vetor ~A para as con�gurações do item (c).
1
4 Campo ~B da esfera girante
Em sala de aula (exemplo 5.11 do livro texto) determinamos o potencial vetor da seguinte con�guração de corrente:
uma esfera de raio R que gira ao redor do eixo z com velocidade angular ω (~ω = ωẑ) sobre a qual encontra-se uma
densidade uniforme de carga σ.
Nesta situação temos:
~K ′ = ~vσ = ~ω × ~r′σ
e ~A é determinado pela integral:
~A(~r) =
µ0
4π
� ~K(~r′)
||~r − ~r′||
da′
O resultado obtido escreve-se:
~A =
{
µ0Rσ
3 r sin θφ̂ r ≤ R
µ0R
4σ
3
sin θ
r2 φ̂ r ≥ R
(a) Determine o campo ~B para r > R e para r < R.
(b) Mostre que ~B é uniforme para r < R. Compare a expressão para ~B na região r > R com a expressão para
o campo do dipolo elétrico.
5 Aproximação dipolar
Para correntes em um circuito 1D, temos:
~m =
1
2
�
~r′ × Id~l′
(a) Discuta as fórmulas análogas para densidades super�ciais de corrente, ~K:
~m =
1
2
�
~r′ × ~Kda′
e para densidades de corrente ~J :
~m =
1
2
�
~r′ × ~Jdτ ′
(uma dedução não é requerida, apenas ilustre a geometria da integração para ter certeza que você entendeu a
expressão).
(b) A expansão multipolar nos mostra que para ~m = mẑ:
~Adip =
µ0
4π
m sin θ
r2
φ̂
determine o campo ~B associado.
(c) Tomando ~m = mẑ para facilitar seus cálculos, mostre que ~A e ~B podem ser escritos nas seguintes formas
livres de um sistema de coordenadas:
~A =
µ0
4π
~m× r̂
r2
e
~B =
µ0
4π
1
r3
(3(~m.r̂)r̂ − ~m)
(d) Usando a expressão adequada do item (a), calcule o vetor momento de dipolo magnético para uma esfera
girante (~ω = ωẑ constante) de raio R, sobre a qual encontra-se uma densidade super�cial de cargas σ (exemplo da
esfera girante discutida em aula e 5.11 do livro texto).
2
(e) Determine as aproximações de dipolo para ~A e ~B desta con�guração (lembre-se que estamos apenas na região
r > R e adote as expressões do item c)
(f) Discuta o resultado do item anterior no contexto do problema (4).
6 Circuito magnético∗ (6.0 pontos)
Considere um circuito quadrado de lado a de espessura desprezível sobre o qual circula uma corrente I. Considere
o circuito no plano xy e que o eixo z passa por seu centro de simetria.
(a) Determine o campo magnético ao longo do eixo z (apresente a solução adotando a notação vetorial de
maneira cuidadosa ). (1.5 pontos)
(b) Calcule uma aproximação que inclui até termos de quadrupolo (dipolo + quadrupolo) para o potencial vetor
~A desta con�guração. (1.5 pontos)
(c) Calcule o campo magnético ~B = ~∇× ~A em todo espaço a partir de sua aproximação. Em seguida, calcule o
campo ~B de sua aproximação para pontos no eixo de simetria do circuito. (1.0 pontos)
(d) Compare os resultados obtidos no itens (a) e (c) (apresente grá�cos e expressões analíticas). (2 pontos)
7 Vetor de magnetização ∗ (4.0 pontos)
Um magneto cúbico (lado a) carrega uma magnetização uniforme ~M =M0ẑ.
(a) Determine todas as correntes ligadas sobre o cubo. Faça uma ilustração destas correntes contendo o objeto,
as correntes e ~M . (1.0 pontos)
(b) Suponha que a aresta do cubo ao longo da direção ẑ é alongada (� a, de maneira que temos uma barra
longa). Discuta expressões aproximadas para o campo ~B no interior da barra e exterior à barra. (1.0 pontos)
(c) Suponha que a direção z do cubo é alongada de maneira que z = 3a. Discuta a forma aproximada para o
campo ~B no interior da barra e exterior à barra. Esboce as linhas de campo ~B. (1.0 pontos)
(d) Analise o comportamento de ~B nas fronteiras do material e associe sua discussão às condições de contorno
para ~B. Considere a situação do item (c). (1.0 pontos)
8 O fator de desmagnetização
Um cilindro circular in�nitamente longo está magnetizado com uma magnetização ~M uniforme paralela ao seu eixo.
Considere que o cilindro tem raio R.
(a) Calcule as correntes ligadas associadas à ~M .
(b) Determine o campo ~B e o campo ~H em todo espaço devido esta magnetização. Você irá encontrar que
~H ∝ ~M na região s < R. A constante de proporcionalidade é o chamado fator de desmagnetização.
3