Eletro1Usp_1Sem2018_lista01

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Eletro1_1Sem2018 - Lista de Exercícios #1
Exercícios marcados com ∗ devem ser entregues no dia 13.03 para avaliação
• Cálculo de campos vetoriais I
• Cálculo de campos vetoriais II
• Sistemas de coordenadas
• Função δ e exemplos
1 O vetor área
Os teoremas do cálculo vetorial relacionam integrais de quantidades escalares. Por exemplo, o teorema do divergente
nos diz que:
�
V
~∇. ~Adτ =
�
S
~A.d~a
No entanto, é interessante relacionar integrais de vetores por meio destes teoremas, por exemplo temos a igual-
dade:
�
V
~∇Tdτ =
�
S
Td~a
onde o resultado das integrais são vetores. Como demonstrar esta relação? Tomemos o teorema de Gauss para
~A = ~cT onde ~c é um vetor constante e T um função escalar. Desta maneira:
~∇. ~A = ~c.~∇T
e �camos com:
�
V
~∇. ~Adτ = ~c.
�
V
~∇Tdτ
por outro lado:
�
S
~A.d~a = ~c.
�
S
Td~a
Portanto:
~c.
�
V
~∇Tdτ = ~c.
�
S
Td~a
~c.(
�
V
~∇Tdτ −
�
S
Td~a) = 0
o que nos diz que ou ~c = 0 (caso trivial) ou que:
�
V
~∇Tdτ =
�
S
Td~a
que queríamos provar. Tendo esta ideia em mente, demonstre as seguintes igualdades:
(a)
�
V(
~∇× ~A)dτ = −
�
S
~A× d~a (no teorema do divergente faça ~A→ ~c× ~A onde ~c é um vetor constante e use a
regra do produto para ~∇.(~c× ~A))
(b)
�
S
~∇T × d~a = −
�
Td~l (no teorema de Stokes faça ~A → ~cT onde ~c é um vetor constante e use a regra do
produto para ~∇× (~cT ))
Agora de�nimos o chamado vetor área (nota: o vetor área não é d~a, que é um elemento de área orientado):
~a =
�
S
d~a
1
(c) Mostre que o vetor área é nulo para qualquer superfície fechada.
(d) Mostre que o vetor área é idêntico para áreas que compartilham a mesma borda (dica: use o item c para
duas áreas abertas que formam uma superfície fechada).
(e) Interprete/justi�que com esquemas a seguinte igualdade:
~a =
1
2
�
~r × d~l
(f) Mostre que:
�
(~c.~r)d~l = ~a× ~c
onde ~c é um vetor constante (dica: use o item b e a identidade para ~∇(~c.~r), notando/calculando que (~c.~∇)~r = ~c).
2 ∗Derivada normal
Considere um campo escalar ϕ que nunca é 0 e possui as seguintes propriedades:
∥∥∥~∇ϕ∥∥∥2 = 4ϕ
~∇.(ϕ~∇ϕ) = 10ϕ
Determine o valor da integral:
�
S
∂ϕ
∂n̂
dS
onde S é a superfície de uma esfera unitária com centro na origem e ∂ϕ/∂n̂ denota a derivada direcional de ϕ
na direção do vetor n̂ normal à superfície. Se você �cou confuso:
∂ϕ
∂n̂
= ~∇ϕ.n̂
é de absoluta importância que você entenda este ponto pois usaremos esta notação ao longo do curso.
3 Funções harmônicas
Considere um campo escalar ϕ tal que ∇2ϕ = 0 em um dado volume V do espaço. Uma função com esta propriedade
é dita harmônica em V . Funções harmônicas são de absoluta importância para a eletrostática. Considere uma
superfície S fechada, que é a fronteira do volume V em consideração. Mostre os seguintes resultados:
se ϕ = 0 em S =⇒ ϕ = 0 em V
se
∂ϕ
∂n̂
= 0 em S =⇒ ϕ = c em V
onde c é constante (dica: suponha que ϕ é continuamente diferenciável emV e considere calcular a integral sobre
S da seguinte função: ϕ~∇ϕ). Mostre ainda que se ϕ1 e ϕ2 são ambas funções harmônicas e que se ϕ1 = ϕ2 em S,
então ϕ1 = ϕ2 em V . Para completar, mostre que se:
∂ϕ1
∂n̂
=
∂ϕ2
∂n̂
em S, então ϕ1 = ϕ2 + c em V , onde c é uma constante.
2
4 Coordenadas cilíndricas
Em um sistema de coordenadas ortogonais, como o sistemas de coordenadas cilíndricas, de�nido por versores û, v̂
e ŵ e coordenadas u , v e w, o elemento d~l de caminho escreve-se:
d~l = fduû+ gdvv̂ + hdwŵ
tendo em mente o sistema de coordenadas cilíndricas (s, φ e z), faça um esquema mostrando os versores e
coordenadas deste sistema. Em seguida, identi�que as função f , g e h associadas. A partir destes resultados,
responda aos itens abaixo.
(a) Notando que:
~∇T = 1
f
∂T
∂u
û+
1
g
∂T
∂v
v̂ +
1
w
∂T
∂w
ŵ
escreva a expressão do gradiente em coordenadas cilíndricas. Aplique seu resultado ao campo vetorial ~v = sŝ+φ̂.
(b) Notando que:
~∇. ~A ≡ 1
fgh
(
∂
∂u
(Augh) +
∂
∂v
(Avfh) +
∂
∂w
(Awfg))
escreva a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas. Aplique seu resultado ao campo vetorial ~v =
(1/s)ŝ.
(c) Integre o campo ~v = (1/s)ŝ ao longo da superfície de um cilindro regular reto de raio a e altura h, cujo
centro localiza-se na origem do sistema de coordenadas. Apresente esboços da situação e de�na com cuidado seu
sistema de coordenadas. Discuta o resultado no contexto do teorema do divergente e do item b deste problema.
5 ∗Mistura de coordenadas
Seja S a superfície de uma esfera de raio a centrada na origem e considere o campo vetorial ~v = sŝ.
(a) Calcule a integral
�
S
~vda
(a) Calcule a integral
�
S
~v.d~a
6 Problemas do livro texto (3Ed, capítulo 1)
Problemas 1.57 e 1.62 do livro texto
7 Função δ
Calcule o valor da integral:
J =
�
V
exp(−r)(∇. r̂
r2
)dτ
onde V é uma esfera de raio R, centrada na origem. Aplique ao menos dois métodos distintos para o cálculo
desta integral (dica: i) calcule o divergente ii) transforme esta integral em um integral de superfície)
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