Eletro1Usp_1Sem2018_lista05

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Eletro1_1Sem2018 - Lista de Exercícios #5
Exercícios marcados com ∗ devem ser entregues no dia 15.06 para avaliação. Escolha entregar dois, não mais que
dois, dentre os problemas marcados.
• Magnetos lineares
• Ferromagnetismo
• Indução eletromagnética
• Equações de Maxwell
1 Cilindro longo revisitado (5.0 pontos)
Considere um cilindro magnetizado longo de raio a e altura h � a. O cilindro carrega uma magnetização perpen-
dicular ao eixo do cilindro ~M =M0ŷ com M0 > 0 constante.
(a) Determine todas as correntes (ligadas e livres) do problema. (1.0 pontos)
(b) Escreva as equações diferenciais para o campo ~H e mostre que na presente situação podemos de�nir um
campo escalar W tal que ~H = −~∇W . Mostre ainda que W obedece uma equação de Laplace (em s < a e s > a ) e
liste as condições de contorno para W . (1.0 pontos)
(c) Determine o campo ~H em todo espaço e o fator de desmagnetização. (1.5 pontos)
(d) Determine o campo ~B em todo espaço e estude o comportamento de ~B nas fronteiras. Discuta estes resultados
no contexto das condições de contorno para o campo ~B. (1.5 pontos)
2 Momento magnético e temperatura
Vimos que a energia microscópica de um dipolo escreve-se u = −~m. ~B = −mB cos θ. A média estatísca de um
conjunto de dipolos escreve-se:
〈u〉 =
∫
u exp(~m. ~B/kBT )du∫
exp(~m. ~B/kBT )du
Para um campo ~B = Bẑ e ||~m|| = m. Notemos que:
〈u〉 = −〈mz〉B
e ainda:
〈Mz〉 = N 〈mz〉
(a) Calcule 〈u〉 sem nenhuma aproximação e mostre que:
〈Mz〉 = Nm[coth(
mB
kBT
)− kBT
mB
]
Para o caso quântico, o momento magnético é devido em grande parte ao spin do elétron. É um fato experimental
que a direção dos spins não assume valores contínuos no espaço. Em um análogo clássico para um spin 1/2, podemos
dizer que este spin assume apenas dois ângulos, sendo estes: θ = 0 ou θ = π. Neste caso existem dois estados e as
integrais que você estudou no item (a) tornam-se uma soma sobre estes estados.
(b) Com base no acima descrito, mostre que para um spin quântico:
〈Mz〉 = Nm tanh(
mB
kBT
)
(c) C Estude e compare os limites de alta T e baixa T de ambas das expressões clássicas e quânticas. Estes
limites devem ser entendidos como kBT � mB ou kBT � mB respectivamente. Tente entender porque em alta T
as expressões diferem por um fator 1/3.
1
3 Problemas do livro texto (3Ed, capítulo 6)
Problemas 6.23 (faça!)
4 Problemas do livro texto (3Ed, capítulo 7)
Problemas 7.12, 7.14, 7.16, 7.22, 7.33, 7.53. O problema 7.59 é interessante e �ca como sugestão.
5 Supercondutores I∗ (5.0 pontos)
Discutimos a questão do campo ~E dentro de condutores carregando correntes estacionárias no contexto da lei
de Ohm: ~J = σ ~E. Para condutores perfeitos σ → ∞ e o campo elétrico no interior destes condutores é nulo.
Supercondutores são condutores perfeitos que assumem uma propriedade extra: são diamagnetos perfeitos. Ou
seja, dentro de um supercondutor ~B = 0 (para ~B constante). Um supercondutor ainda apresenta uma transição
para a fase supercondutora a uma temperatura crítica Tc. Para T > Tc o sistema é um condutor normal, para
T < Tc o mesmo é um supercondutor.
Neste problema, você aplicará as equações de Maxwell a este sistema e irá deduzir uma série de resultados
referentes aos condutores perfeitos e supercondutores de maneira a entender a diferença entre estes dois importantes
sistemas físicos.
(a) Mostre que o �uxo magnético é constante no interior de um condutor perfeito e que o �uxo magnético através
de um circuito constituído por condutores perfeitos é constante. (1.0 pontos)
(b) Mostre que a corrente em um supercondutor está restrita à sua superfície e investigue o vínculo entre as
correntes livres ( ~Jf ), ligadas ( ~JB) e de polarização ( ~Jpol) em um supercondutor. São estas todas nulas ou é apenas
a soma destas que é nula? (1.0 pontos)
(c) Um cilindro longo (eixo ao longo de z) supercondutor está sujeito a um campo magnético uniforme ~B = B0ŷ
e encontra-se a uma temperatura T > Tc. A temperatura então é controlada para T < Tc. Discuta a corrente
super�cial ~KB que aparece no cilindro supercondutor por conta deste processo (deixe claro em sua solução porque
baixar a temperatura para T < Tc implica no aparecimento de uma corrente ligada ~K na superfície cilíndrica). (1.5
pontos)
(d) Para o caso do item (c), mostre que ~Jf = 0. De modo geral, é possível que ~Jf 6= 0 em um supercondutor?
Sob que condições? (1.5 pontos)
6 Supercondutores II
Assista este vídeo sobre uma demonstração comum para um supercondutor. O mesmo mostra uma cerâmica
supercondutora, na forma de uma barra, e um ímã permanente. O líquido utilizado é Nitrogênio (N2) líquido, cuja
temperatura de ebulição é de 77 K. (para resolver este problema, você deve considerar fazer o problema 5).
(a) Sobre o fenômeno mostrado no vídeo foram feitas as a�rmações abaixo:
(i) Levitação do ímã: à temperatura ambiente, T > Tc, para a temperatura do N2 líquido T < Tc. Portanto,
para T < Tc ocorre o seguinte: como necessariamente ~B = 0 no interior do supercondutor, correntes ligadas surgem
no material supercondutor e produzem um campo ~Bsc tal que ~Bimã + ~Bsc = 0. O campo destas correntes ligadas
exerce sobre o ímã uma força dada pela expressão ~F = ~∇(~mimã. ~Bsc) e esta força mantém o ímã suspenso.
(ii) Queda do ímã: quando o ímã e o supercondutor são retirados do N2 líquido, ocorre que em um dado
momento T > Tc e a cerâmica passa a ser um metal normal. Neste caso, as correntes ligadas deixam de existir e o
ímã cai sobre o supercondutor.
Avalie o quão corretas são estas a�rmações: ou seja, que informações estão incorretas e que informações poderiam
ser completadas para serem mais precisas e condizentes com o observado?
(b) Para tratar o fenômeno da levitação quantitativamente, podemos fazer as seguintes aproximações: (i) ge-
ometria: o ímã encontra-se no eixo z a uma altura h do supercondutor, cuja superfície está no plano z = 0; (ii)
supor que o ímã é um dipolo perfeito (cujo campo é conhecido). Considere ainda ~m = m(sin θx̂ + cos θẑ), ou
seja, que o dipolo do ímã está no plano xz. (iii) considerar o ímã bem pequeno de maneira que o supercondutor
2
http://www.youtube.com/watch?v=nWTSzBWEsms
é essencialmente um sólido semi-in�nito que preenche o espaço para z < 0. Desta maneira, podemos escrever as
seguintes condições de contorno para o campo ~B na superfície do supercondutor:{
Bacimaz = B
acima
⊥ = 0 z = 0
~Bacima = µ0 ~K × n̂ z = 0
Estas condições de contorno inspiram o seguinte método para encontrar ~K: pense que o ímã gera um dipolo
imagem na posição z = −h, dentro do supercondutor, e ajuste este dipolo imagem que maneira que Bacima⊥ = 0 em
z = 0 (você só precisa ajustar o tamanho e a direção do dipolo imagem). Haverá, no entanto, campo ~B não nulo na
superfície do supercondutor. Use este campo para determinar ~K (lembrete: em todo ponto do espaço do problema
imagem, o campo total é a soma dos campos dos dois dipolos: imagem + ímã).
(c) A força no ímã devido as correntes ligadas também pode ser obtida por meio do campo do dipolo imagem.
Calcule esta força (~F = ~∇(~mı́mã. ~B)) e determine a altura h na qual o magneto encontra-se enquanto �utua. Assuma
que o magneto tem massa M e que a gravidade local é g.
7 Desa�o
O desa�o vale 7.0 pontos. Portanto, entregando o desa�o e mais um problema você pode ter até 12 pontos na lista
5.
Teoria de Ginzburg-Landau para paredes de domínio em ferromagnetos∗
Em ferromagnetos, a natureza encontrou uma maneira de reduzir a energia total do sistema. Esta maneira é formar
os chamados domínios magnéticos. A formação de domínios magnéticos envolve a competição entre as energias de
troca, que favorece a rotação da magnetização e, portanto, a formação do domínio e a de anisotropia, que é tanto
maior quanto maior o desvio da magnetização de seu eixo fácil. Portanto, a energia de anisotropia desfavorece a
rotação da magnetização e, por consequência, a formação de domínios.
Certamente que a rotação da magnetização não ocorre em um único ponto. Entre dois domínios há a formação de
uma parede dentroda qual a magnetização gira até chegar na direção do segundo domínio. Esta parede, portanto,
tem uma certa estrutura magnética. Ou seja, para um ponto dentro da parede, a magnetização aponta em uma
certa direção. Neste problema, você irá calcular a estrutura da parede de domínio em uma situação particular.
Considere um sistema com dois domínios com magnetizações opostas em relação a determinado eixo fácil (diga-
mos x). Considere que o eixo y é perpendicular à parede. Portanto, a parede estende-se ao longo do eixo y tendo
uma certa espessura δ. Vamos posicionar o centro da parede próxima a origem do sistema de coordenadas. Suponha
que para y grande (em comparação a espessura δ) e positivo a magnetização escreve-se ~M = (M, 0, 0), enquanto
que para y grande em módulo, mas negativo, ~M = (−M, 0, 0).
(a) Faça um esquema que represente a geometria descrita do sistema. Em qual plano se dá a rotação da
magnetização? Quais componentes de ~M são nulas durante todo o processo? De que coordenadas (modelo mínimo)
~M depende ao longo de todo processo? Cuide para que seu esquema represente todas estas questões.
(b) A energia de rotação da magnetização (termo de Ginzburg) escreve-se:
Urot =
1
2
α
3∑
i=1
(
∂ ~M
∂xi
).(
∂ ~M
∂xi
)
enquanto que a energia de anisotropia escreve-se:
Uaniso =
1
2
βM2⊥
onde M⊥ é a componente perpendicular ao eixo fácil de magnetização (eixo x no presente caso), mas que está
contido no plano de rotação (ou seja, não pode ser o y, qual o que sobra?). Para formar a parede, portanto, o
sistema paga uma energia: ∫
parede
(Urot + Uaniso)dy
3
na prática, y muito grande e positivo signi�ca y →∞, de maneira que:∫ +∞
−∞
(Urot + Uaniso)dy
A estrutura da parede é dada pela condição que esta integral deve ser um mínimo. Prove que a integral resultante
escreve-se: ∫ +∞
−∞
[
1
2
α[(
∂Mx
∂y
)2 + (
∂Mz
∂y
)2] +
1
2
βM2z ]dy
Em seguida, adote que durante a rotação a magnetização terá um ângulo θ em relação ao eixo x. Desta maneira,
mostre que a integral acima escreve-se:
1
2
M2
∫ +∞
−∞
[α(
dθ
dy
)2 +
1
2
β sin2 θ]dy
(c) Agora a hora da verdade: devemos encontrar θ(y) tal que esta integral seja mínima. Suponha que y seja
uma coordenada temporal. O problema parece equivalente a que tipo de problema variacional que você já resolveu
(Mecânica I)? Adote esta analogia para encontrar a equação diferencial para θ.
(d) Notando que as condições de contorno são tais que:
θ(+∞) = 0
θ(−∞) = π
θ′(±∞) = 0
Resolva o problema para encontrar uma expressão para cos θ. Faça um grá�co da solução. Mostre que o
comprimento característico do problema é dado por δ =
√
α/β. Discuta o resultado em termos da competição entre
Urot e Uaniso. Calcule a integral para encontrar a energia da barreira (dica: use a equação diferencial para θ).
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	Cilindro longo revisitado (5.0 pontos)
	Momento magnético e temperatura
	Problemas do livro texto (3Ed, capítulo 6)
	Problemas do livro texto (3Ed, capítulo 7)
	Supercondutores I* (5.0 pontos)
	Supercondutores II
	Desafio