Exemplos 18052020

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Guia de correcção do exame Normal - Estruturas Metálicas e de Madeira 1 
1. Verificar a estabilidade da barra simplesmente apoiada de comprimento 145cm feita de madeira 
da classe D40, de secção transversal 6x16cm solicitada por cargas de compressão: permanente de 
27.6kN (acção permanente de grande variabilidade), sobrecarga de 13.2kN e carga variável igual 
a 8.25kN devida ao vento. 
Dados: 
l=145 cm 
Classe D40: fmk=4kN/cm
2
 
Gk1= 27,6kN 
Qk1= 13,2kN (sobrecarga) 
Qk2= 8,25kN (vento) 
Coeficientes de minoração: 
Ψ0,1= Ψs= 0,4 
Ψ0,2= Ψw= 0,5 
A= 6x16=96cm
2 
Ix=6x16
3
/12=2048cm
4
 
Iy=16x6
3
/12=288cm
4
 
 
Resolução: 
1) Determinação do esforço solicitante: 
Efd= γg(Gk1+ Gk2) + γq(Qk1+ Qk2) 
 
Efd1= γg(Gk1+ Gk2) + γq(Qk1+ Ψ0,2Qk2) 
= 1,35x(27,6) + 1,5x(13,2+0,5x8,25) 
=63,248 kN 
Efd1= γg(Gk1+ Gk2) + γq(Ψ0,1Qk1+Qk2) 
= 1,35x(27,6) + 1,5x(0,4x13,2+8,25) 
=57,56 kN 
 
O caso crítico a considerar para a verificação da instabilidade da barra é Efd= 63,248 kN. 
A acção Efd corresponde a uma força de compressão centrada, sem flexão. Portanto, deverá ser 
verificada a sua condição de resistência e de estabilidade. Assim, Nd = Fd. 
 
2) Verificação da condição de resistência e de estabilidade 
i) Índice de esbeltez 
λx l/ ix = 145/√(288/96)= 83,72< 200 Ok – peça esbelta (80<λ≤140) 
 
3) Verificação da condição de segurança ELUresistência: 
Condição de verificação: 
𝜎𝑐,𝑦,𝑑
𝜎𝑐,𝑦,𝑑
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑐,𝑧,𝑑
𝑓𝑐,𝑦,𝑑
≤ 1 e 𝑘𝑚
𝜎𝑐,𝑦,𝑑
𝜎𝑐,𝑦,𝑑
+
𝜎𝑐,𝑧,𝑑
𝑓𝑐,𝑦,𝑑
≤ 1 
Km = 0,7 – secções rectangulares de madeira maciça; Kmod = 0,56 – classe de humidade 1e2 
𝑓𝑐,𝑦,𝑑= kmod(𝑓𝑚𝑘/𝛾𝑤𝑐) = 0,56x(4/1,3)= 1,723kN/cm
2 
𝐸𝑐,𝑦,𝑑= kmod𝑓𝑐,𝑦,𝑚 = 0,56x1300= 728kN/cm
2 
Tensões actuantes: 
𝜎𝑐,𝑦,𝑑 = 
𝐸𝑓𝑑
𝐴
 = 63,248/96= 0,659kN/cm
2 
𝜎𝑐,𝑧,𝑑 = 
𝑀𝑧𝑑
𝐼
𝑦=(1134,267/288)x3= 1,179 kN/cm2 
𝑀𝑧𝑑 – momento de cálculo em função da excentricidade, ed 
e1=ei+ea 
𝑒𝑎 = {
𝑙0
300
=
145
300
= 0,48𝑐𝑚
ℎ
30
= 6/30 = 0,2𝑐𝑚
 ⟹ 𝑒𝑎 = 0,48𝑐𝑚 
𝑒𝑖=0 pois M1d=0 (não existe ação que provoque 
flexão) Nd= Efd 
𝑒𝑖= M1d/Nd ≥ h/30 ⟹ 𝑒𝑖= 0,2cm 
 
e1=ei+ea = 0,48+0,2=0,68cm 
 
𝑒𝑑 = 𝑒1
𝐹𝐸
𝐹𝐸−𝑁𝑑
 ; 𝐹𝐸 = 
𝜋2𝐸 𝐼𝑥
𝑙𝑜
2 =
𝜋2𝑥728𝑥288
1452
= 98,421𝑘𝑁 (carga crítica) 
𝑒𝑑 = 𝑒1
𝐹𝐸
𝐹𝐸−𝑁𝑑
= 0,68 ∗
98,421
98,421 − 63,248
= 1,791𝑐𝑚 
Mzd=Efd*ed= 63,248*1,791= 113,267 kN.cm 
 
Verificação da segurança em relação à estabilidade: 
Guia de correcção do exame Normal - Estruturas Metálicas e de Madeira 2 
0,659
1,723
𝑥0,7 +
1,179
1,723
≤ 1 
0,952 ≤ 1 
0,659
1,723
+
1,179
1,723
𝑥0,7 ≤ 1 
0,862 ≤ 1 
 
A barra apresenta estabilidade perante a solicitação por carga de compressão. 
A tensão 𝜎𝑐,𝑦,𝑑 =0,659kN/cm
2 
devida a força normal é quase duas vezes inferior à tensão devida ao 
efeito do momento de cálculo devido as excentricidades consideradas. 
 
 
Guia de correcção do exame Normal - Estruturas Metálicas e de Madeira 3 
 
2. Avaliar a condição de segurança da barra bi-apoiada (com travamento) em torno do eixo X e 
com dois apoios em torno do eixo Y de secção transversal 6x12 cm. As solicitações axiais são 
causadas por cargas concentradas de 43,50 kN (permanente de grande variabilidade), 13,00 kN 
(sobrecarga) e 7,00 kN (vento), todas no sentido da compressão da barra. Considerar uma 
madeira Dicotiledônea classe D40 e classe de humidade (1) e (2). 
Admitir que esta barra faz parte de uma estrutura que suporta cargas de equipamentos 
provenientes de uma oficina. 
 
Dados: 
l=330 cm 
Classe D40: fmk=4kN/cm
2
 
Gk1= 43,5kN 
Qk1= 13,0kN (sobrecarga) 
Qk1= 7,00kN (vento) 
 
Coeficientes de minoração: 
Ψ0,1= Ψs= 0,4 
Ψ0,2= Ψw= 0,5 
A= 6x12=72cm
2 
Ix=6x12
3
/12=864cm
4
 
Iy=12x6
3
/12=216cm
4
 
 
Resolução: 
4) Determinação do esforço solicitante: 
Efd= γg(Gk1+ Gk2) + γq(Qk1+ Qk2) 
 
Efd1= γg(Gk1+ Gk2) + γq(Qk1+ Ψ0,2Qk2) 
= 1,35x(43,5) + 1,5x(13,0+0,5x7,0) 
=83,475 kN 
Efd1= γg(Gk1+ Gk2) + γq(Ψ0,1Qk1+Qk2) 
= 1,35x(43,5) + 1,5x(0,4x13,0+7,0) 
=76,025 kN 
 
O caso crítico a considerar para a verificação da instabilidade da barra é Efd= 83,475 kN. 
A acção Efd corresponde a uma força de compressão centrada, sem flexão. Portanto, deverá ser 
verificada a sua condição de resistência e de estabilidade. Assim, Nd = Fd. 
 
5) Verificação da condição de resistência e de estabilidade 
Índice de esbeltez 
λx  l/ ix = 330/√(864/72)= 95,266< 200 Ok – peça esbelta (80<λ≤140) 
λy  l/ iy = 165/√(216/72)= 95,266< 200 Ok – peça esbelta (80<λ≤140) 
 
6) Verificação da condição de segurança ELUresistência: 
Condição de verificação: 
𝜎𝑐,𝑦,𝑑
𝑓𝑐,𝑦,𝑑
+ 𝑘𝑚
𝜎𝑐,𝑧,𝑑
𝑓𝑐,𝑦,𝑑
≤ 1 e 𝑘𝑚
𝜎𝑐,𝑦,𝑑
𝑓𝑐,𝑦,𝑑
+
𝜎𝑐,𝑧,𝑑
𝑓𝑐,𝑦,𝑑
≤ 1 
Km = 0,7 – secções rectangulares de madeira maciça; Kmod = 0,56 – classe de humidade 1e2 
𝑓𝑐,𝑦,𝑑= kmod(𝑓𝑚𝑘/𝛾𝑤𝑐) = 0,56x(4/1,3)= 1,723kN/cm
2 
𝐸𝑐,𝑦,𝑑= kmod𝑓𝑐,𝑦,𝑚 = 0,56x1300= 728kN/cm
2 
A verificação será efectuada em relação aos dois eixos: 
a) Tensões actuantes, eixo y: 
𝜎𝑐,𝑦,𝑑 = 
𝐸𝑓𝑑
𝐴
 = 83,475 /72= 1,159kN/cm
2 
Guia de correcção do exame Normal - Estruturas Metálicas e de Madeira 4 
𝜎𝑐,𝑧,𝑑 = 
𝑀𝑧𝑑
𝐼
𝑦=(-134,837/216)x3= -1,873 kN/cm2 
𝑀𝑧𝑑 – momento de cálculo em função da excentricidade, ed 
e1=ei+ea 
𝑒𝑎 = {
𝑙0
300
=
165
300
= 0,55𝑐𝑚
ℎ
30
= 6/30 = 0,2𝑐𝑚
 ⟹ 𝑒𝑎 = 0,55𝑐𝑚 
𝑒𝑖=0 pois M1d=0 (não existe acção que provoque 
flexão) Nd= Efd 
𝑒𝑖= M1d/Nd ≥ h/30 ⟹ 𝑒𝑖= 0,2cm 
 
e1=ei+ea = 0,55+0,2=0,75cm 
 
𝑒𝑑 = 𝑒1
𝐹𝐸
𝐹𝐸−𝑁𝑑
 ; 𝐹𝐸 = 
𝜋2𝐸 𝐼𝑦
𝑙𝑜
2 =
𝜋2𝑥728𝑥216
1652
= 57,006𝑘𝑁 (carga crítica) 
𝑒𝑑 = 𝑒1
𝐹𝐸
𝐹𝐸−𝑁𝑑
= 0,75 ∗
57,006
57,006 − 83,475 
= −1,615𝑐𝑚 
Mzd=Efd*ed= − (83,475 *1,615)= −134,837 kN.cm 
 
Verificação da segurança em relação à estabilidade: 
1,159
1,723
𝑥0,7 +
−1,873
1,723
≤ 1 
−0,616 ≤ 1 Ok 
1,159
1,723
+
−1,873
1,723
𝑥0,7 ≤ 1 
− 0,088 ≤ 1 Ok 
 
b) Tensões actuantes, eixo x: 
𝜎𝑐,𝑥,𝑑 = 
𝐸𝑓𝑑
𝐴
 = 83,475 /72= 1,159kN/cm
2 
𝜎𝑐,𝑧,𝑑 = 
𝑀𝑧𝑑
𝐼
𝑥=(-269,669 /864)x6= -1,873 kN/cm2 
𝑀𝑧𝑑 – momento de cálculo em função da excentricidade, ed 
e1=ei+ea 
𝑒𝑎 = {
𝑙0
300
=
330
300
= 1,1𝑐𝑚
ℎ
30
= 12/30 = 0,4𝑐𝑚
 ⟹ 𝑒𝑎 = 1,1𝑐𝑚 
𝑒𝑖=0 pois M1d=0 (não existe acção que provoque 
flexão) Nd= Efd 
𝑒𝑖= M1d/Nd ≥ h/30 ⟹ 𝑒𝑖= 0,4cm 
 
e1=ei+ea = 1,1+0,4=1,5cm 
 
𝑒𝑑 = 𝑒1
𝐹𝐸
𝐹𝐸−𝑁𝑑
 ; 𝐹𝐸 = 
𝜋2𝐸 𝐼𝑦
𝑙𝑜
2 =
𝜋2𝑥728𝑥864
3302
= 57,006𝑘𝑁 (carga crítica) 
𝑒𝑑 = 𝑒1
𝐹𝐸
𝐹𝐸−𝑁𝑑
= 1,5 ∗
57,006
57,006 − 83,475
= −3,231𝑐𝑚 
Mzd=Efd*ed= − (83,475*3,231)= −269,669 kN.cm 
 
Verificação da segurança em relação à estabilidade: 
1,159
1,723
𝑥0,7 +
−1,873
1,723
≤ 1 
−0,616 ≤ 1 Ok 
1,159
1,723
+
−1,873
1,723
𝑥0,7 ≤ 1 
− 0,088 ≤ 1 Ok 
A barra apresenta estabilidade perante a solicitação por carga de compressão.