AD2-Q3-2020-1-Gabarito - MD I

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Gabarito da Questão 3 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2020-1
No EP11, foi visto que uma reta no R2 pode ser descrita por meio de uma equação da forma
ax+ by + c = 0, com a, b e c números reais.
Mas o que representa a desigualdade ax+ by + c > 0 ?
Vamos pensar no caso em que b 6= 0.
Agora, vamos pensar um pouco sobre a reta de equação ax + by + c = 0. Como estamos supondo
b 6= 0, podemos escrever
ax+ by + c = 0⇔ by = −ax− c⇔ y = −a
b
x− c
b
.
Ou seja, a reta é o conjunto dos pontos (x, y) ∈ R2 para os quais y = −a
b
x− c
b
.
Voltemos à desigualdade. Podemos escrever
ax+ by + c > 0⇔ by > −ax− c.
Podemos dividir agora por b. Mas repare que, dependendo do sinal de b, o sinal da desigualdade (>)
pode mudar. Vamos então pensar em dois casos:
• b > 0:
Neste caso, a desigualdade ficará
y > −a
b
x− c
b
, se b > 0.
A desigualdade representará, então, os pontos (x, y) ∈ R2 para os quais y > −a
b
x − c
b
.
Como o y representa a coordenada vertical, estes são os pontos acima da reta de equação
ax+ by + c = 0, para os quais, como visto acima, y = −a
b
x− c
b
.
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Assim, a desigualdade representará o semiplano esboçado abaixo:
• b < 0: Neste caso, ao dividir por b, o sinal da desigualdade muda e teremos
y < −a
b
x− c
b
, se b < 0.
A desigualdade representará, então, os pontos (x, y) ∈ R2 para os quais y < −a
b
x − c
b
.
De forma semelhante à que vimos acima, estes são os pontos abaixo da reta de equação
ax+ by + c = 0.
Assim, a desigualdade representará o semiplano esboçado abaixo:
E a equação ax + by + c < 0? Neste caso, basta seguirmos como acima, atentando apenas para a
troca do sentido da desigualdade.
E quando tivermos ax+ by + c > 0 ou ax+ by + c 6 0? Ora, lembre-se de que
ax+ by + c > 0⇔ ax+ by + c > 0 ou ax+ by + c = 0.
Assim, os pontos que satisfazem a desigualdade são os que estão na região acima ou abaixo da reta,
dependendo do sinal de b, como vimos acima, junto com aqueles que estão sobre a reta. Ou seja,
é a união do semiplano com a reta. Abaixo estão esboços, dependendo do sinal de b:
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O caso ax+ by + c 6 0 é semelhante.
Questão 3 (2,5 pontos)
(a) Esboce o conjunto de todos os pontos do R2 que satisfazem a desigualdade x− 7y + 16 > 0.
(b) Esboce o conjunto de todos os pontos do R2 que satisfazem a desigualdade
(x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 > 0.
(c) Esboce o conjunto de todos os pontos do R2 que satisfazem a desigualdade
(x− 7y + 16)
(
(x− 2)2 + (y + 1)2 − 25
)
> 0.
Dica: Lembre-se das regras de sinal na multiplicação.
Solução:
(a) Temos
x− 7y + 16 > 0⇔ −7y > −x− 16⇔ 7y < x+ 16⇔ y < x
7
+
16
7
Assim, o conjunto é formado por todos os pontos abaixo da reta x−7y+16 = 0. Para esboçar
a reta, vamos escolher dois de seus pontos. Para simplificar, vamos procurar valores de x para
os quais y seja inteiro. Tomando x = −2 e substituindo em y = x
7
+
16
7
temos y =
−2
7
+
16
7
=
14
7
= 2. Tomando x = 5 e substituindo em y =
x
7
+
16
7
temos y =
5
7
+
16
7
=
21
7
= 3. Assim,
a reta contém os pontos (−2, 2) e (5, 3) Esboçando a reta, temos:
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O conjunto representado por x− 7y + 16 > 0 será então
Como a desigualdade é estrita (> e não >) os pontos da reta não estão inclúıdos.
(b) Temos
(x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 > 0⇔ (x− 2)2 + (y + 1)2 > 25⇔ (x− 2)2 + (y + 1)2 > 52,
portanto os pontos que satisfazem a desigualdade são os que estão exteriores ao ćırculo de centro
(2,−1) e raio 5, representados abaixo:
(c) Como no item (a), podemos ver que
• x− 7y + 16 > 0 abaixo da reta;
• x− 7y + 16 < 0 acima da reta;
• x− 7y + 16 = 0 exatamente na reta.
Como no item (b),
• (x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 > 0 fora do ćırculo;
• (x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 < 0 dentro do ćırculo;
• (x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 = 0 exatamente no ćırculo.
Para que tenhamos (x− 7y + 16) ((x− 2)2 + (y + 1)2 − 25) > 0, isto é, para que o produto
seja positivo, pelas regras de sinal na multiplicação, temos duas possibilidades:
• x− 7y+16 > 0 e (x− 2)2+(y+1)2− 25 > 0: região acima da reta e exterior ao ćırculo;
• x− 7y+16 < 0 e (x− 2)2+(y+1)2− 25 < 0: região abaixo da reta e interior ao ćırculo.
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Estas duas regiões estão representadas abaixo:
Qualquer uma das duas condições implica (x− 7y + 16) ((x− 2)2 + (y + 1)2 − 25) > 0, assim,
o conjunto dos pontos que satisfazem a desigualdade (x− 7y + 16) ((x− 2)2 + (y + 1)2 − 25) >
0 é a união dos dois conjuntos esboçados acima, ou seja, o conjunto representado abaixo:
Note que os pontos sobre a reta ou sobre o ćırculo não estão contidos na solução pois, neles,
um dos fatores será 0, portanto o produto será 0, sendo a desigualdade estrita.
Para a solução ficar bem completa, podemos achar o pontos de interseção entre a reta e o
ćırculo: {
x− 7y + 16 = 0
(x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 = 0 ⇔
{
x = 7y − 16
(x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 = 0
Substituindo x = 7y − 16 na segunda equação, temos
(x−2)2+(y+1)2−25 = 0⇔ (7y−16−2)2+(y+1)2−25 = 0⇔ (7y−18)2+(y+1)2−25 = 0⇔
⇔ 49y2 − 252y + 324 + y2 + 2y + 1− 25 = 0⇔ 50y2 − 250y + 300 = 0⇔ y2 − 5y + 6 = 0.
Como solução desta equação, temos y = 2 ou y = 3. Para y = 2, temos x = 7 · 2− 16 = −2.
Para y = 3, temos x = 7 · 3 − 16 = 5. Assim, temos os pontos (−2, 2) e (5, 3), esboçados
abaixo junto com o conjunto solução de (x− 7y + 16) ((x− 2)2 + (y + 1)2 − 25) > 0:
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