Questão 3 - AD2 2021 2 Metodos Deterministicos I

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Gabarito da Questão 3 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2021-2
Questão 3 (2,5 pontos) Esboce detalhadamente o conjunto dos pontos que satisfaçam simulta-
neamente às inequações
x2 + y2 − 4x ≥ 21
|y − 1| > 4.
Preste especial atenção aos pontos que limitam a região do plano correspondente ao conjunto-solução.
Solução: Temos
x2+y2−4x ≥ 21⇔ x2−4x+y2 ≥ 21⇔ x2−4x+4−4+y2 ≥ 21⇔ (x2−4x+4)−4+y2 ≥ 21⇔
⇔ (x2−4x+4)−4+y2 ≥ 21⇔ (x2−4x+4)+y2 ≥ 25⇔ (x2−2)2+y2 ≥ 25⇔ (x2−2)2+(y−0)2 ≥ 52,
cuja solução é o conjunto dos pontos exteriores ao ćırculo de centro em (2, 0) e raio 5, e sobre a
circunferência, esboçado abaixo
Temos ainda
|y − 1| > 4⇔ y − 1 > 4 ou y − 1 < −4⇔ y > 5 ou y < −3.
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A solução desta desigualdade é o conjunto esboçado abaixo, que não inclui as retas y = 5 e y = −3:
O conjunto dos pontos que satisfazem simultaneamente às duas inequações é a interseção das regiões
dos dois esboços acima. Para esboçar corretamente, buscar as interseções das retas com o ćırculo:
{
x2 + y2 − 4x = 21
y = 5
⇒ x2 + 52 − 4x = 21
⇒ x2 + 25− 4x = 21
⇒ x2 − 4x+ 4 = 0
⇒ x = 2
⇒ (x, y) = (2, 5)
{
x2 + y2 − 4x = 21
y = −3
⇒ x2 + (−3)2 − 4x = 21
⇒ x2 + 9− 4x = 21
⇒ x2 − 4x− 12 = 0
⇒ x = 6 ou x = −2
⇒ (x, y) = (6,−3) ou (x, y) = (−2,−3)
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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Conhecendo estes pontos, podemos esboçar detalhadamente a interseção das regiões:
Note que os pontos (2, 5), (6,−3) e (−2,−3) não pertencem à solução (estão representados “aber-
tos”), pois não satisfazem à desigualdade |y − 1| > 4.
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