AD2-Q4-2020-2-Gabarito

Prévia do material em texto

Gabarito da Questão 4 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2020-2
Questão 4 (2,5 pontos) Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano R2 que satisfazem
simultaneamente as condições
|x− 8| < 4,
(x− 7)2 + y2 = 25.
Solução: Temos que
|x− 8| < 4⇔ −4 < x− 8 < 4⇔ 4 < x < 12,
assim, a primeira condição representa a “faixa”do R2 formada pelos pontos cuja coordenada x esteja
entre 4 e 12, não incluindo estes valores. Esboçando esta região, temos
A equação (x−7)2+y2 = 25 pode ser reescrita como (x−7)2+(y−0)2 = 52 e representa o ćırculo
de centro (7, 0) e raio 5. Esboçando este ćırculo, junto com a condição anterior, temos:
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 2 – 2020-2 2
Precisamos descobrir os pontos de interseção entre o ćırculo e a reta x = 4. Estes pontos são obtidos
resolvendo {
x = 4
(x− 7)2 + y2 = 25.
Substituindo x = 4 na segunda equação, temos
(4− 7)2 + y2 = 25 ∴ (−3)2 + y2 = 25 ∴ 9 + y2 = 25 ∴ y2 = 16 ∴ y = −4 ou y = 4.
Assim, temos os pontos (4,−4) e (4, 4). Note que estes pontos não pertencem ao conjunto que
procuramos, pois a reta x = 4 não pertence à solução (pois 4 < x < 12).
Podemos confirmar que a interseção do ćırculo com a reta x = 12 é apenas um ponto resolvendo o
sistema {
x = 12
(x− 7)2 + y2 = 25.
Substituindo x =!2 na segunda equação, temos
(12− 7)2 + y2 = 25 ∴ 52 + y2 = 25 ∴ 25 + y2 = 25 ∴ y2 = 0 ∴ y = 0.
Assim, temos apenas o ponto (12, 0). Note que este ponto não pertence ao conjunto que procura-
mos, pois a reta x = 12 não pertence à solução (pois 4 < x < 12).
O conjunto dos pontos que satisfazem a equação do ćırculo e a desigualdade modular é formado
pelos pontos sobre o ćırculo e dentro da “faixa”vertical. Este conjunto pode ser esboçado como
abaixo:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 2 – 2020-2 3
Note que os pontos destacados não pertencem ao ćırculo, uma vez que estão sobre as retas horizontais
que limitam a “faixa”vertical, e que não pertencem à região.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ