AD2-Q4-2020-1-Gabarito - MD I

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Gabarito da Questão 4 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2020-1
Questão 4 (2,5 pontos) Considere o sistema de equações abaixo, no qual a é um número real:{
(x− a)2 − y2 = (a+ 1)2
x2 + y2 = 1
Como visto no EP12, um par ordenado (x, y) ∈ R2 será solução do sistema acima se, e somente se,
ele tornar verdadeiras as duas igualdades. Por exemplo, no sistema acima, o ponto (−1, 0) é uma
solução, qualquer que seja o valor de a ∈ R. Vejamos, substituindo (−1, 0) nas equações, temos:
(x− a)2 − y2 = (−1− a)2 − 02 = (−1)2 − 2(−1)a+ a2 = 1 + 2a+ a2 = (a+ 1)2
x2 + y2 = (−1)2 + 02 = 1
Assim, temos (x− a)2 − y2 = (a+ 1)2 e x2 + y2 = 1, portanto as duas igualdades são verdadeiras
e, assim, (−1, 0) é solução do sistema. Note que outras soluções podem existir. Por exemplo, para
a =
1
2
, temos pelo menos mais duas soluções, os pontos
(
1/2,
√
3/2
)
e
(
1/2,
√
3/2
)
.
(a) Para que valores de a ∈ R o sistema possui apenas um par ordenado (x, y) ∈ R2 como solução?
(b) Para que valores de a ∈ R o sistema possui exatamente dois pares ordenados (x, y) ∈ R2 como
solução?
(c) Para que valores de a ∈ R o sistema possui exatamente três pares ordenados (x, y) ∈ R2 como
solução?
(d) Existem algum valor de a ∈ R para o qual o sistema tenha mais de três pares ordenados como
solução?
Atenção: Para entender quantas soluções tem o sistema, não basta estudar separadamente os valo-
res de x ou de y que resolvam as equações. É necessário pensar quantos pares (x, y) ∈ R2 existem
tornando verdadeiras as igualdades. Por exemplo, ao resolver o sistema eliminando o y para obter
um valor de x, o x obtido pode não conduzir a algum valor posśıvel para y
Dica: Lembre-se de que
√
(a+ 2)2 não é necessariamente igual a a + 2. Por exemplo, se
a = −3, temos
√
(a+ 2)2 =
√
(−3 + 2)2 =
√
(−1)2 =
√
1 = 1. A igualdade correta, que sempre
é verdadeira e que você deve utilizar caso apareça na solução, é
√
(a+ 2)2 = |a+ 2|.
Solução:
Antes de resolvermos especificamente cada item, vamos tentar simplificar o sistema.{
(x− a)2 − y2 = (a+ 1)2
x2 + y2 = 1
Uma forma simples de resolver é isolar o y2 na segunda equação, obtendo
y2 = 1− x2.
Substituindo na primeira equação, chegamos a
(x− a)2 − (1− x2) = (a+ 1)2 ⇔ x2 − 2ax+ a2 − 1 + x2 = a2 + 2a+ 1⇔
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 2 – 2020-1 2
⇔ 2x2 − 2ax− 2a− 2 = 0⇔ x2 − ax− a− 1 = 0.
Os valores de x que satisfazem a esta equação são dados por
x =
−(−a)±
√
(−a)2 − 4(1)(−a− 1)
2 · 1
=
a±
√
a2 + 4a+ 4
2
=
a±
√
(a+ 2)2
2
=
a± |a+ 2|
2
.
Vamos avaliar o módulo dividindo em casos:
• Para a+ 2 > 0, isto para a > −2, temos |a+ 2| = a+ 2, logo
x =
a± |a+ 2|
2
=
a± (a+ 2)
2
.
Com isso, temos
x =
a+ (a+ 2)
2
=
2a+ 2
2
= a+ 1 ou x =
a− (a+ 2)
2
=
−2
2
= −1.
Note que estas ráızes serão iguais se, e somente se a = −2.
Com isso, como y2 = 1− x2, teremos{
y2 = 1− (a+ 1)2 , quando x = a+ 1
y2 = 1− (−1)2 , quando x = −1
ou seja {
y2 = 1− (a2 + 2a+ 1) , quando x = a+ 1
y2 = 1− 1 , quando x = −1
ou ainda {
y2 = −a2 − 2a = −a(a+ 2) , quando x = a+ 1
y2 = 0 , quando x = −1
que nos dá {
y = ±
√
−a(a+ 2) , quando x = a+ 1
y = 0 , quando x = −1
Vamos estudar os sinais de −a(a+2), lembrando que estamos avaliando apenas o caso quando
a > −2:
−2 (−2, 0) 0 (0,+∞)
−a + + 0 −
a+ 2 0 + + +
−a(a+ 2) 0 + 0 −
Assim, temos as seguintes ráızes para y:
◦ a = −2: Como −a(a + 2) = 0, temos y = ±
√
−a(a+ 2) = ±
√
0 = 0 quando
x = (−2) + 1 = 1. A outra possibilidade é y = 0 quando x = −1. Pode-se ver, então,
que se trata de uma única solução (x, y) = (−1, 0).
◦ −2 < a < 0. Como −a(a + 2) > 0, temos y =
√
−a(a+ 2) ou y = −
√
−a(a+ 2)
quando x = a+ 1. Além disso, temos a solução y = 0 quando x = −1. Assim, temos 3
soluções (x, y):(
a+ 1,
√
−a(a+ 2)
)
,
(
a+ 1,−
√
−a(a+ 2)
)
e (−1, 0).
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◦ a = 0. Como −a(a + 2) = 0, temos y = ±
√
−a(a+ 2) = ±
√
0 = 0 quando
x = a + 1 = 1. Além disso, temos a solução y = 0 quando x = −1. Assim, temos 2
soluções (x, y):
(1, 0) e (−1, 0).
◦ a > 0: Como −a(a + 2) < 0, não existe a solução y = ±
√
−a(a+ 2) quando x =
(−2) + 1 = 1. Assim, temos apenas y = 0 quando x = −1. Temos então uma única
solução (x, y) = (−1, 0).
• Para a+ 2 < 0, isto para a < −2, temos |a+ 2| = −a− 2, logo
x =
a± |a+ 2|
2
=
a± (−a− 2)
2
.
Com isso, temos
x =
a− a− 2)
2
=
−2
2
= −1 ou x = a+ a+ 2)
2
=
2a+ 2
2
= a+ 1.
Como acima, estas ráızes serão iguais se, e somente se a = −2.
Com isso, como y2 = 1− x2, como no caso anterior, teremos{
y2 = 1− (a+ 1)2 , quando x = a+ 1
y2 = 1− (−1)2 , quando x = −1
ou seja {
y = ±
√
−a(a+ 2) , quando x = a+ 1
y = 0 , quando x = −1
Para a < −2, temos −a > 0 e a+2 < 0, logo −a(a+2) < 0 . Com isso, não existe a solução
y = ±
√
−a(a+ 2) quando x = (−2) + 1 = 1. Assim, temos apenas y = 0 quando x = −1.
Temos então uma única solução (x, y) = (−1, 0).
Juntando os casos acima, temos as seguintes soluções, de acordo com o valor de a:
• a < −2: uma única solução (x, y) = (−1, 0)
• a = −2: uma única solução (x, y) = (−1, 0)
• −2 < a < 0: três soluções (x, y) =
(
a+ 1,
√
−a(a+ 2)
)
, (x, y) =
(
a+ 1,−
√
−a(a+ 2)
)
e (x, y) = (−1, 0).
• a = 0: duas soluções (x, y) = (1, 0) e (x, y) = (−1, 0).
• a > 0: uma única solução (x, y) = (−1, 0).
(a) Pelo que vimos acima, o sistema tem como solução um único par ordenado se, e somente se,
a < −2 ou a = 2 ou a > 0, isto é, se e somente se, a ∈ (−∞,−2] ∪ (0,+∞)
(b) Pelo que vimos acima, o sistema tem como solução dois pares ordenados se, e somente se, a = 0.
(c) O sistema tem três pares ordenados como solução se, e somente se, −2 < a < 0, isto é, se
a ∈ (−2, 0).
(d) Não existe valor de a ∈ R para o qual o sistema tenha mais do que três pares ordenados como
solução.
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