9º-Matemática-Fernanda e Anilele-Setembro

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Aprendizagem Conectada 
Atividades Escolares 
9º ano do Ensino Fundamental 
 
 
Matemática – Carga horária: 20 horas 
Códigos das Habilidades Objetos do conhecimento 
EF09MA06 
Compreender as funções como relações de 
dependência unívoca entre duas variáveis 
e suas representações numérica, algébrica 
e gráfica e utilizar esse conceito para 
analisar situações que envolvam relações 
funcionais entre duas variáveis. 
 
Nome da Escola: JAYME VERÍSSIMO DE CAMPOS JÚNIOR 
Nome do Professor: 
Nome do Estudante: _______________________________________________________ 
Período: ( ) vespertino ( ) matutino (X) Integral Turma 1° ano 
 
Semana 1: de 31/08/2020 à 04/09/2020 
 
Equação do 1º grau 
 
Equação é uma expressão matemática de igualdade contendo pelo menos uma letra que 
representa um número que ainda não é conhecido, que é representando por uma letra 
qualquer, geralmente o 𝑥, sendo assim, definimos uma equação do 1º grau como: 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, sendo 𝑎 ≠ 0 
 
 
 
 
 
São exemplos de equações do 1º grau: 
• 8𝑥 + 5 = 0 
• 3𝑥 = 7 
• 0,5𝑥 = 3𝑥 − 2
Perceba que 𝑥2 = 2, não é uma equação do 1º grau, pois o expoente de 𝑥 é igual a 2. 
Vamos esclarecer melhor, em uma equação, a expressão que vem à esquerda do sinal de 
igualdade ( = ) é chamada de primeiro membro e a expressão que aparece à direita do 
sinal de igualdade ( = ) é chamada de segundo membro. Observe através de um exemplo 
prático: 
2 𝑥 − 16 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Termo independente de x 
Incógnita 
Coeficiente de x 
1º membro 
2º membro incógnita 
Incógnita é o 
valor que é 
desconhecido, o que 
se procura saber. 
 
Vamos resolver essa equação? 
𝑥 − 16 = 4 
Podemos utilizar o Método Prático. Ele é conhecido como operação inversa. Nele, 
deixamos os termos com incógnita no 1.º membro, à esquerda do sinal de igualdade, e 
todos os números que não estão acompanhados das incógnitas, à direita do sinal de 
igualdade, seguindo as regras do Método Prático na ordem descrita abaixo: 
 
MÉTODO PRÁTICO: 
 
1) Todo número que está somando de um lado da igualdade passa o outro lado 
subtraindo, e se estiver subtraindo passa somando. 
2) Todo úmero que está multiplicado de um lado da igualdade passa dividindo para o 
outro lado. 
3) Todo número que está dividindo de um lado da igualdade passa multiplicando para 
o outro lado. 
 
 Exemplo 1: Para resolver a equação 𝑥 − 16 = 4 utilizamos o item 1 do Método 
prático. 
 
 
𝑥 − 16 = 4 
𝑥 = 4 + 16 
𝑥 = 20 
 
Quando encontramos o valor da incógnita 
de uma equação de 1º grau, chegamos a 
uma solução ou à raiz da equação. No 
caso acima, a solução ou raiz da equação 
é 20, pois, somente quando x for igual a 
20, os dois membros da igualdade são 
iguais, vejamos: 
20 − 16 = 4 
4 = 4 
 Exemplo 2: Para resolver a equação 
2𝑥 = 80, utilizamos o item 2 do Método Prático. É importante notar que não precisamos 
utilizar o passo 1. Veja: 
2𝑥 = 80 
 
 𝑥 =
80
2
 → 𝑥 = 40 
Portanto 𝑥 = 40 
 
 Exemplo 3: Para resolver a equação 4𝑥 + 12 = 40, utilizamos o passo 1 e o 2 do 
Método Prático, nessa ordem, veja:
 
4𝑥 + 12 = 40 
4𝑥 = 40 − 12 
4𝑥 = 28 
𝑥 =
28
4
→ 𝑥 = 7 
 Portanto 𝑥 = 7. 
 
 
 
 
 
+16 
−12 
 
 Exemplo 4: Resolvendo a equação 6𝑥 − 8 = 4𝑥 + 30. Vejamos: 
 
 
 
6𝑥 − 8 = 4𝑥 + 30 
 
6𝑥 − 4𝑥 = 30 + 8 
2𝑥 = 38 
𝑥 =
38
2
→ 𝑥 = 19 
Portanto 𝑥 = 19. Vamos conferir se o valor de 𝑥 está correto. 
6 ∙ 19 − 8 = 4 ∙ 19 + 30 
114 − 8 = 76 + 30 
106 = 106 
 
ATIVIDADES 
 
1. Ache a solução ou a raiz das equações: 
 
a) 𝑥 + 10 = 30 
b) 𝑥 − 4 = 32 
c) 3𝑥 = 12 
d) 5𝑥 = 100 
e) 4𝑥 − 3 = 21 
f) 3𝑚 + 9 = 48 
g) 3𝑥 = 𝑥 + 8 
h) 3𝑥 − 25 = 2𝑥 + 10 
 
Vamos ver alguns exemplos de problemas. 
 
1. O dobro de um número adicionado com 5 é igual a 155. Determine esse número. 
Solução: 
Como desconhecemos o número, vamos chamá-lo de 𝑛. Sabemos que o dobro de qualquer 
número é duas vezes ele mesmo, logo o dobro de n é 2𝑛. 
 
2𝑛 + 5 = 155 
2𝑛 = 155 – 5 
2𝑛 = 150 
𝑛 =
150
2
 
𝑛 = 75 
 
 
+8 
−4𝑥 
 
2. Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara. A soma das idades das duas é 44. 
Determine a idade de Roberta e Bárbara. 
Solução: 
Como não sabemos a idade de Roberta e 
Bárbara, vamos nomeá-las 
como 𝑟 e 𝑏 respectivamente. Como 
Roberta é quatro anos mais velha que 
Bárbara, temos que: 
𝑟 = 𝑏 + 4 
Sabemos também que a soma das idades 
das duas é de 44 anos, logo: 
𝑟 + 𝑏 = 44 
Substituindo o valor de 𝑟 na equação 
acima, temos: 
r + b = 44 
 
b + 4 + b = 44 
b + b = 44 – 4 
2b = 40 
𝑏 =
40
2
 
b=20 
 
ATIVIDADES 
 
2. A soma de um número com seu triplo é igual ao dobro desse mesmo número somado 
com 45. Que número é esse? 
 
3. O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em 900. Qual é o número? 
 
4. O peso de Joana e de seu gato Rambo, juntos, é de 54 kg. O peso de Joana é 8 vezes 
o de Rambo. Qual o peso de cada um? 
 
Equação do 1º grau com duas incógnitas 
 
Definimos equação do 1º grau com duas incógnitas como: 
 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0, sendo 𝑎 ≠ 0 𝑒 𝑏 ≠ 0 
 
Nesse modelo de equação, os valores de 𝑥 e 𝑦 estão ligados através de uma relação de 
dependência. 
Observe exemplos de equações com duas incógnitas: 
• 10𝑥 – 2𝑦 = 0 
• 𝑥 – 𝑦 = – 8 
• 7𝑥 + 𝑦 = 5 
• 12𝑥 + 5𝑦 = – 10 
• 50𝑥 – 6𝑦 = 32 
• 8𝑥 + 11𝑦 = 12 
 
Essa relação de dependência pode ser denominada de par ordenado (𝑥, 𝑦) da equação, 
os valores de 𝑥 dependem dos valores de 𝑦 e vice-versa. Atribuindo valores a qualquer 
uma das incógnitas descobrimos os valores correlacionados a elas. 
 
 
 
r 
 
Por exemplo, na equação 3𝑥 + 7𝑦 = 5, vamos substituir o valor de 𝑦 por 2: 
 
3𝑥 + 7 ∙ 2 = 5 
3𝑥 + 14 = 5 
3𝑥 = 5 − 14 
3𝑥 = −9 
𝑥 =
−9
3
 
𝑥 = −3 
 
Temos que para 𝑦 = 2, 𝑥 = – 3, estabelecendo o par ordenado (– 3, 2). 
 
A determinação do par ordenado é de grande importância para a construção da reta 
representativa da equação do 1º grau no plano cartesiano. 
 
É importante lembrar que este tipo de equação tem soluções infinitas (você pode substituir 
qualquer valor em 𝑥, que obterá outro valor para 𝑦.) 
 
Veja um exemplo: construa o gráfico que representa a equação 𝑥 + 𝑦 = 5. 
 
Resolução comentada: Em primeiro lugar, devem-se atribuir valores para 𝑥 e 𝑦. Para 
facilitar a confecção do gráfico, podemos utilizar o valor zero (0) para 𝑥 e 𝑦: 
 
Então se 𝑥 = 0, teremos: 
𝑥 + 𝑦 = 5 
0 + 𝑦 = 5 
𝑦 = 5 
Obtemos o par ordenado (0,5) 
 
Agora, se utilizarmos 𝑦 = 0, teremos: 
𝑥 + 𝑦 = 5 
𝑥 + 0 = 5 
𝑥 = 5 
Obtemos o par ordenado (5,0) 
 
 
 
Agora basta localizar os pares ordenados 
(0,5) e (5,0) no gráfico e traçar a reta 
passando por esses dois pontos, veja: 
 
2. Construa o gráfico da equação 2𝑥 + 𝑦 = 8 
 
Resolução comentada: iniciamos novamente substituindo 𝑥 e 𝑦 por zero (0), na equação 
2𝑥 + 𝑦 = 8. 
Lembre-se que o 2𝑥 significa que o 2 está multiplicando o valor de 𝑥. Então teremos: 
 
Para 𝑥 = 0 
2 ∙ 0 + 𝑦 = 8 
0 + 𝑦 = 8 
𝑦 = 8 
Obtemos o par ordenado (0,8) 
 
 
Para 𝑦 = 0 
2 ∙ 𝑥 + 𝑦 = 8 
2𝑥 = 8 − 0 
2𝑥 = 8 
𝑥 =
8
2
→ 𝑥 = 4 
Obtemos o par 
ordenado (4,0) 
 
 
Ao lado temos a representação gráfica da 
equação 2𝑥 + 𝑦 = 8 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
5. Substitua nas equações 𝑥 = 3 
a) 5𝑥 + 4𝑦 =12 
b) 𝑥 − 2𝑦 = 6 
c) 4𝑥 + 3𝑦 = 2 
 
6. Construa o gráfico das equações 
a) 5𝑥 + 𝑦 = 10 
b) 𝑥 − 2𝑦 = 4 
 
Semana 2: de 07/09/2020 à 11/09/2020 
 
Agora dando continuidade aos nossos estudos vamos falar sobre sistemas de equações. 
 
Sistema de equações 
 
Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam 
mais de uma incógnita. Para resolver um sistema é necessário encontrar os valores que 
satisfaçam simultaneamente todas as equações. 
Um sistemaé chamado do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas, que integram 
as equações, é igual a 1 e não existe multiplicação entre essas incógnitas. 
Observe no exemplo: 
{
3𝑥 + 𝑦 = 4
2𝑥 + 4𝑦 = 12
 
Podemos resolver um sistema de equações do 1º grau, com duas incógnitas, usando o 
método da substituição ou o da soma. 
 
 
 
Expoente de x e y são 1 por esse motivo não aparece 
 
Método da substituição 
 
Esse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, 
para determinar o seu valor em relação a outra incógnita. Depois, substituímos esse valor 
na outra equação. 
Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos 
encontrar o seu valor final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor 
encontrado e, assim, encontramos também o valor da outra incógnita. 
Exemplo 
Resolva o seguinte sistema de equações: {
𝑥 + 𝑦 = 12
3𝑥 − 𝑦 = 20
 
Resolução: Vamos começar escolhendo a primeira equação do sistema, que é a equação 
mais simples, para isolar o 𝑥. Assim temos: 
 
 
 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 12 → 𝑥 = 12 − 𝑦
3𝑥 − 𝑦 = 20
 
 
 
 
Após substituir o valor de x, na segunda equação, podemos resolvê-la, da seguinte 
maneira: 
3. (12 − 𝑦) − 𝑦 
36 − 3𝑦 − 𝑦 = 20 
 
 
−4𝑦 = 20 − 36 
4𝑦 = 16 
𝑦 =
16
4
= 4 
Agora que encontramos o valor do y, podemos substituir esse valor da primeira equação, 
para encontrar o valor do x: 
 
𝑥 + 4 = 12 
𝑥 = 12 − 4 
𝑥 = 8 
Isolamos o x na 
1ªequação 
Substituímos o valor 
encontrado na 2ª equação 
-36 
-4 
 
Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (𝟖, 𝟒). Repare que esse resultado 
torna ambas as equações verdadeiras, pois 8 + 4 = 12 e 3 ∙ 8 − 4 = 20. 
 
ATIVIDADES 
 
7. Resolva os sistemas abaixo utilizando o método da substituição. 
 
a) {
3𝑥 + 𝑦 = 16
𝑥 − 𝑦 = 12
 b) {
𝑥 − 3𝑦 = 1
2𝑥 + 5𝑦 = 13
 c) {
2𝑥 − 𝑦 = −1
7𝑥 = 7
 
 
Semana 3: de 14/09/2020 À 18/09/2020 
 
Método da Adição 
 
No método da adição buscamos unir as duas equações em uma única equação, eliminando 
uma das incógnitas. 
Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, 
devem ter o mesmo valor e sinais contrários. 
Exemplo 
Para exemplificar o método da adição, vamos resolver o mesmo sistema anterior: 
{
𝑥 + 𝑦 = 12
3𝑥 − 𝑦 = 20
 
Note que nesse sistema a incógnita y possui coeficientes opostos, ou seja, 1 e − 1. Então, 
iremos começar a calcular somando as duas equações, conforme indicamos ao lado: 
 
 
+ {
𝑥 + 𝑦 = 12
3𝑥 − 𝑦 = 20
 
4𝑥 = 32 
 
Ao anular o 𝑦, a equação ficou apenas com o 𝑥, portanto agora, podemos resolver a 
equação: 
𝑥 =
32
4
= 8 
Para encontrar o valor do 𝑦, basta substituir esse valor em uma das duas equações. Vamos 
substituir na mais simples: 
𝑥 + 𝑦 = 12 
8 + 𝑦 = 12 → 𝑦 = 12 − 8 → 𝑦 = 4 
Substitui o 𝑥 por 8 
Simplifica +𝑦 e −𝑦 
Pois são opostos 
 
Note que o resultado é o mesmo que já havíamos encontrado, usando o método da 
substituição. 
Quando as equações de um sistema não apresentam incógnitas com coeficientes opostos, 
podemos multiplicar todos os termos por um determinado valor, a fim de tornar possível 
utilizar esse método. 
Por exemplo, no sistema abaixo, os coeficientes de 𝑥 e de 𝑦 não são opostos: 
{
3𝑥 + 𝑦 = 24
5𝑥 + 2𝑦 = 60
 
Portanto, não podemos, inicialmente, anular nenhuma das incógnitas. Neste caso, 
devemos multiplicar por algum número que transforme o coeficiente em um número oposto 
do coeficiente da outra equação. 
Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por − 2. Contudo, devemos ter o 
cuidado de multiplicarmos todos os termos por − 2, para não modificarmos a igualdade. 
Assim, o sistema equivalente ao que queremos calcular é: 
 
{
3𝑥 + 𝑦 = 24
5𝑥 + 2𝑦 = 60
 
{
−6𝑥 − 2𝑦 = −48
5𝑥 + 2𝑦 = 60
 
 
Agora, é possível resolver o sistema por adição, conforme apresentado abaixo: 
+ {
−6𝑥 − 2𝑦 = −48
5𝑥 + 2𝑦 = 60
 
−1𝑥 = 12 
Logo, 𝑥 = − 12, não podemos esquecer de substituir esse valor em uma das equações 
para encontrar o valor do 𝑦. Substituindo na primeira equação, temos: 
−6 . (−12) − 2𝑦 = −48 
+72 − 2𝑦 = −48 
−2𝑦 = −48 − 72 
−2𝑦 = −120 
y =
120
2
= 60 
Assim, a solução para o sistema é o par ordenado (− 𝟏𝟐, 𝟔𝟎) 
 
 
 
 
Multiplica por −2 
 
ATIVIDADES 
 
8. Resolva os sistemas abaixo utilizando o método da substituição. 
a) {
𝑥 + 𝑦 = 9
2𝑥 − 𝑦 = 3
 b) {
3𝑥 + 2𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 = 4
 c) {
3𝑥 + 5𝑦 = 19
𝑥 + 3𝑦 = 1
 
 
Semana 4: de 21/09/2020 à 25/09/2020 
 
Classificação de um sistema de equação 
 
Vamos analisar algumas situações problemas que nos levarão aos vários tipos de sistemas: 
 
1. Antônio comprou tela de arame para cercar um terreno de formato retangular. Ele gastou 
48 metros de tela para cerca-lo. Sabendo que a medida do comprimento resultou no triplo 
da medida da largura. Quais são as dimensões (comprimento e largura) do terreno? 
 
 
Para resolver essa situação, podemos representá-la por meio de um sistema de duas 
equações do 1º grau com duas incógnitas, considerando apenas números reais positivos
para 𝑥 e 𝑦. 
 
O problema já nos informa que para cercar o terreno Antônio usou 48 metros de tela, sendo 
assim sabemos que o perímetro do terreno é 48. Lembrando que perímetro é a soma de 
todos os lados. 
 
Sendo assim vamos representar a largura por 2𝑥 e o comprimento por 2𝑦, ao soma-los 
obteremos o perímetro que é 48. Representando na equação ficaria 2𝑥 + 2𝑦 = 48 . Outra 
informação que o problema nos dá é que o comprimento é o triplo da largura. Então 
podemos dizer que 𝑦 = 3𝑥. Agora montamos o sistema para resolver. 
 
{
2𝑥 + 2𝑦 = 48
𝑦 = 3𝑥
 
{
𝑥 + 𝑦 = 24
𝑦 = 3𝑥
 
 
Esse sistema pode ser resolvido utilizando o método de substituição. Substituindo 𝑦 por 3𝑥 
na primeira equação, podemos obter o valor de 𝑥. 
Depois, com esse valor, obtemos 𝑦 usando a segunda equação: 
 
𝑥 + 3𝑦 = 24 
4𝑥 = 24 
𝑥 = 6 
 
𝑦 = 3𝑥 
𝑦 = 3 . 6 
𝑦 = 18
𝑥 (largura do terreno) 
𝑦 (comprimento do terreno) 
Divide por 2 
 
O par ordenado (6,18) é, portanto, a solução do sistema. Agora vamos ver pelo método do 
gráfico. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
Representando no plano cartesiano apenas as partes das retas correspondentes a 𝑥 e 
𝑦 números reais positivos temos: 
 
 
 
O par ordenado (6,18) é a solução do sistema (seu ponto é comum às duas retas). Sendo 
assim podemos afirmar que o sistema é possível e determinado, pois tem uma única 
solução. As retas que representam as equações se intersectam num único ponto, que indica 
a solução do sistema. 
 
1. Vamos analisar o sistema, para 𝑥 e 𝑦 reais. 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
2𝑥 + 2𝑦 = 6
 
 
𝑥𝑦 = 5 ⇒ 𝑥 = 5 − 𝑦 
2𝑥 + 2𝑦 = 6 ⇒ 2 ( 5 − 𝑦) + 2𝑦 = 6 ⇒ 10 − 2𝑦 + 2𝑦 = 6 ⇒ 10 = 6 
 
Quando isso ocorre, dizemos que não existe solução para o sistema ou que ele é 
impossível. 
 
Método gráfico: 
 
 
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 = 24 
𝑥 𝑦 
12 12 
10 14 
𝑦 = 3𝑥 
𝑥 𝑦 
0 0 
3 9 
2𝑥 + 2𝑦 = 6 
𝑥 y 
0 3 
3 0 
𝑥 + 𝑦 = 5 
 𝑥 𝑦 
0 5 
5 0 
Simplifica o −2𝑦 e o +2𝑦, 
pois são opostos 
 
 
Quando o sistema é impossível, as retas que representam as equações são distintas e 
paralelas (não tem ponto em comum). 
 
1. Vamos resolver agora o sistema, 
 
{
𝑥 + 2𝑦 = 5
2𝑥 + 4𝑦 = 10
 , para 𝑥 e 𝑦 reais. 
 
 
{
𝑥 + 2𝑦 = 5 
2𝑥 + 4𝑦 = 10
 
 
{
−2𝑥 − 4𝑦 = −10
2𝑥 + 4𝑦 = 10
 
 0𝑥 + 0𝑦 = 0 
 
Note que qualquer par de números reais (𝑥, 𝑦) satisfaz a equação 0𝑥 + 0𝑦 = 0. Há, 
portanto, infinitas soluções. Nesse caso, dizemos que o sistema é possível e indeterminado 
ou apenas que o sistema é indeterminado. 
 
Método gráfico: 
 
𝑥 + 2𝑦 = 5 
𝑥 𝑦 
5 0 
1 2 
 
 
 
 
 
 
Quando o sistema é indeterminado, as retas que representam as equações são retas 
coincidentes (uma fica sobre a outra).2𝑥 + 4𝑦 = 10 
𝑥 𝑦 
5 0 
1 2 
Multiplica por-2 
 
ATIVIDADES 
 
9. A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3. Determinar esses números. 
 
10. Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de 15, e as guardou numa caixa. 
Contou em seguida 108 patas. Quantas aranhas e joaninhas ele apanhou? (lembre se que 
a aranha tem 8 patas e a joaninha 6) 
 
11.Construa o gráfico dos sistemas abaixo: 
 
a) {
𝑥 + 𝑦 = 7
2𝑥 + 4𝑦 = 22
 b) {
3𝑥 − 𝑦 = 6
2𝑥 + 𝑦 = 4
 
 
12.Resolva e classifique cada um dos sistemas em determinado, indeterminado ou 
possível, para x e y números reais. 
 
a) {
x − 4y = 3
2x − 8y = 6
 
 
b) {
6𝑥 − 4𝑦 = 2
12𝑥 − 8𝑦 = 6
 
 
c) {
𝑥 − 3𝑦 = 3
𝑥 + 𝑦 = 7
 
 
d) {
3𝑥 − 𝑦 = 5
−3𝑥 + 𝑦 = −5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
GOUVEIA, Rosimar. Sistema de equação. Toda matéria. Disponível em: 
<https://www.todamateria.com.br/sistemas-de-equacoes/> Acesso:29/07/2020 
 
LUIZ, Robson. "Sistema de equações"; Brasil Escola. Disponível em: 
<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-duas-equacoes.htm>. Acesso em 29 
de julho de 2020. 
 
DANTE, Luiz Roberto- Projeto Teláris : matemática: ensino fundamental 2/ Luiz Roberto 
Dante.- 2. Ed.- São Paulo : Ática, 2015 
 
SILVA, Marcos Noé Pedro da. Equação do 1º grau com duas incógnitas. Disponível em: 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/equacao-1-grau-com-duas-
incognitas.htm#:~:text=As%20equa%C3%A7%C3%B5es%20do%201%C2%BA%20grau,r
eais%2C%20sendo%20a%20%E2%89%A0%200 Acesso: 29/07/2020