Gabarito da Autoatividade - Álgebra

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NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – NEAD 
CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI – UNIASSELVI 
 
 
Rodovia BR 470 - Km 71 – n. 1.040 – Bairro Benedito – 89130-000 – Indaial/SC 
Fone (47) 3301-9149 – Fax (47) 3301-9048 – Site: www.nead.com.br 
 
 
 
UNIDADE 1 
 
TÓPICO 1 
 
1 Sendo A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2, 4}, determine: 
a) n(A  B); 
R.: n(A  B) = 12 pares ordenados 
 
 
b) a representação cartesiana ortogonal de A  B; 
 
R.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) a representação cartesiana ortogonal de B  A. 
 
R.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
A 
B 
 4 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 0 
 
 
 
 1 2 3 
 
 
 
 (1, 2) 
 
 
 
 (2, 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (3, 2) 
 
 
 
 (1, 4) 
 
 
 
 (2, 4) 
 
 
 
 (3, 4) 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 (1, 0) 
 
 (2, 0) 
 
 (3, 0) 
 
 (0, 0) 
 
 (0, 2) 
 
 (0, 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
B 
A 
 
 
 
 
 3 
 
 
 2 
 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 0 
 
 
 
 2 4 
 
 
 
 (2, 1) 
 
 
 
 (4, 1) 
 
 
 
 (2, 2) 
 
 
 
 (4, 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2, 3) 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 (2, 0) 
 
 (4, 0) 
 
 (0, 0) 
 
 
 
 
 
 (0, 1) 
 
 
 
 
 (0, 2) 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 (0, 3) 
 
 
 (4, 3) 
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2 Determinar o produto cartesiano dos conjuntos A = {0, 1} e B = {0, 2, 4} e construir 
um gráfico. Mostrar que (A  B)  (B  A), o que significa que a lei comutativa não é 
válida para o produto cartesiano. 
 
 
R.: 
 
A  B = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (1, 0), (1, 2), (1, 4)} 
B  A = {(0, 0), (0, 1), (2, 0), (2, 1), (4, 0), (4, 1)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Sejam S = {a, A}, T = {b, B}, U = {c, C}. Definir todos os possíveis ternos ordenados 
resultantes do produto cartesiano S  T  U. 
R.: 
S  T  U = {(a, b, c), (a, b, C), (a, B, c), (a, B, C), (A, b, c), (A, b, C), (A, B, c), (A, B, 
C)} 
 
 
4 Seja A = {0, 1, 2, 3, 4}. A desigualdade x + y  3 define uma relação no produto 
cartesiano (A  A), ou seja, R = {(x, y)  x  A, y  A e x + y  3}. Quantos dos 25 
pares (x, y)  (A  A) satisfazem a esta desigualdade? 
R.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
A 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 0 
 
 
 
 1 
 
 
 
 (1, 2) 
 
 
 
 (1, 4) 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 (1, 0) 
 
 (0, 0) 
 
 
 
 
 
 (0, 2) 
 
 
 
 
 (0, 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
B 
A 
 2 4 
 
 
 
 (2, 1) 
 
 
 (4, 0) 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 (2, 0) 
 
 (0, 0) 
 
 
 
 
 
 (0, 1) 
 
 (4, 1) 
 
 
 
 
 
 
  
A  A 0 1 2 3 4 
0 0 1 2 3 4 
1 1 2 3 4 5 
2 2 3 4 5 6 
3 3 4 5 6 7 
4 4 5 6 7 8 
 
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19 pares. 
São eles: R = {(0, 3), (0, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 0), (3, 1), 
(3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} 
 
5 Sejam A = {a, b, c, d} e B = {x, y, z, w, t}. 
a) Escreva cinco pares ordenados de A e B. 
R.: (a, x), (a, y), (a, z), (a, w), (a, t), (b, x), entre outros. 
 
b) Por que (a, a), (x, a), (w, c), (x, x) não são pares ordenados de A e B? 
R.: (a, a) é um par ordenado da relação A  A. 
(x, a) e (w, c) são pares ordenados da relação B  A, pois a primeira coordenada 
destes pares pertence a A e a segunda coordenada pertence a B. 
(x, x) é um par ordenado da relação B  B. 
 
c) Quantos pares ordenados podemos obter de A e B? 
R.: n(A)  n(B) = 4  5 = 20 pares ordenados. 
 
d) Escreva três pares ordenados em que o 2º elemento é t. 
R.: (a, t), (b, t), (c, t), entre outros. 
 
e) Escreva A  B. 
R.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A  B x y z w t 
a (a, x) (a, y) (a, z) (a, w) (a, t) 
b (b, x) (b, y) (b, z) (b, w) (b, t) 
c (c, x) (c, y) (c, z) (c, w) (c, t) 
d (d, x) (d, y) (d, z) (d, w) (d, t) 
 
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f) Escreva B  A. 
R.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 Seja A = B = {x, y, z, t, u}. Escreva: 
 Há várias possibilidades de respostas a essa questão; apresentamos algumas: 
a) Duas relações reflexivas. 
R.: 
 R1 = {(x, x), (y, y)} 
R2 = {(x, x), (y, y), (z, z), (t, t), (u, u)} 
 
b) Duas relações simétricas. 
R.: 
R1 = {(x, y), (y, x)} 
R2 = {(z, t), (t, z), (u, t), (t, u)} 
 
c) Três relações transitivas. 
R.: 
R1 = {(x, y), (y, z), (x, z)} 
B  A a b c d 
x (x, a) (x, b) (x, c) (x, d) 
y (y, a) (y, b) (y, c) (y, d) 
z (z, a) (z, b) (z, c) (z, d) 
w (w, a) (w, b) (w, c) (w, d) 
t (t, a) (t, b) (t, c) (t, d) 
 
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R2 = {(z, t), (t, u), (z, u)} 
R3 = {(y, x), (x, t), (y, t)} 
 
d) Duas relações reflexivas e simétricas. 
R.: 
R1 = {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)} 
R2 = {(t, t), (t, z), (z, t), (z, z)} 
 
e) Duas relações reflexivas, simétricas e transitivas. 
R.: 
R1 = {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y), (x, t), (y, t), (t, x), (t, y), (t, t)} 
R2 = {(z, z), (z, t), (t, u), (z, u), (t, t), (u, u), (t, z), (u, t), (u, z)} 
 
7 Para as relações seguintes indique as suas propriedades. Diga se a relação é 
reflexiva, irreflexiva, simétrica, antissimétrica, transitiva. Todas as relações são 
consideradas no conjunto dos seres humanos: 
 
a) “x é irmão de y” 
R: Irreflexiva, Simétrica, Transitiva. 
 
b) “x é pai de y” 
R.: Irreflexiva. 
 
c) “x é casado com y” 
R.: Irreflexiva, Simétrica. 
 
d) “x é primo de y” 
R.: Irreflexiva, Simétrica. 
 
8 Para cada uma das tabelas operatórias a seguir, verifique quais propriedades das 
operações binárias são válidas: 
a) Considere o conjunto A = { -1, 1}, cuja operação binária é a multiplicação usual: 
R.: 
 
  -1 1 
-1 1 -1 
1 -1 1 
 
Desta tabela operatória, podemos identificar as seguintes propriedades: 
 O conjunto A é fechado, ou seja, todos os elementos resultantes da 
operação binária pertencem aA. 
 A associatividade é verificada para todos os elementos. 
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 A simetria dos elementos em relação à diagonal principal apresenta a 
comutatividade da operação sobre A. 
 O elemento neutro é 1. 
 O simétrico de -1 é -1, o simétrico de 1 é 1. 
 
b) b) Considere o conjunto B = {1, i, -1, -i} de números complexos que são raízes da 
equação x4 – 1 = 0, cuja operação binária é a multiplicação usual: 
R.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O elemento neutro é 1. 
 O simétrico de 1 é 1, o simétrico de i é –i, o simétrico de -1 é -1 e o simétrico de –i é 
i. 
 
 
c) Considere o conjunto C = {0, 1}, cuja operação binária é a adição : 
R.: 
 
 
 
 
 
 
 
 1 i -1 -i 
1 1 i -1 -i 
i i -1 -i 1 
-1 -1 -i 1 i 
-i -i 1 i -1 
 
 O conjunto B é fechado, ou seja, todos os elementos resultantes 
da operação binária pertencem a B. 
 A associatividade é verificada para todos os elementos. 
 A simetria dos elementos em relação à diagonal principal 
apresenta a comutatividade da operação sobre B. 
 0 1 
0 0 1 
1 1 0 
 
 O conjunto C é fechado. 
 A associatividade é verificada para todos os elementos. 
 A simetria dos elementos em relação à diagonal principal 
apresenta a comutatividade da operação sobre C. 
 O elemento neutro é 0. 
 
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 O simétrico de 0 é 1, o simétrico de 1 é 0. 
 
 
TÓPICO 2 
 
 
Prove os teoremas abaixo, utilizando o Princípio da Indução Matemática: 
 
1 n  N, temos que 1 + 5 + 9 + ... + (4n + 1) = (n + 1)(2n + 1). 
R.: 
 
i) Mostrar que P(1) é verdadeira: 
P(1): 1 + 5 = (1 + 1)(21 + 1) 
 6 = 2  (2 + 1) 
 6 = 6 
 
Considere este número fixo. 
 
ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k  N. 
P(k): 1 + 5 + 9 + ... + (4k + 1) = (k + 1)(2k + 1) 
 
 
iii) Prova-se que P(k) é válida para (k + 1): 
 
P(k + 1): 1 + 5 + 9 + ... + (4k + 1) + [4(k + 1) + 1] = (k + 1)(2k + 1) + [4(k + 1) + 1] 
 
 
 
 
 
 (k + 1)(2k + 1) + [4(k + 1) + 1] = (k + 1)(2k + 1) + [4(k + 1) + 1] 
 . . . = (k + 1)(2k + 1) + 4k + 5 
 . . . = 2k2 + k + 2k + 1 + 4k + 5 
 . . . = 2k2 + 7k + 6 
Admitimos, acima, como sendo 
igual a (k + 1)(2k + 1) 
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 . . . = 2)(k
2
3
k2 





 
. . . = (2k + 3)(k + 2) 
. . . = (k + 2)(2k + 3) 
c.q.d. (como queríamos demonstrar) 
 
Atenção! 
A expressão 2k2 + 7k + 6 foi reescrita através das suas raízes. Observe: 
2k2 + 7k + 6 = 0 
6247Δ 2  
1Δ  
2
7
k
1
 
41k 
3k2  
O polinômio ax2 + bx + c, pode ser escrito como a(x – 1) (x – 2), onde 1 e 2 são 
suas raízes. Assim: 2k2 + 7k + 6 =   3)(kk2  4 . 
 
2 n  N, temos que 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 
2
2
1)n(n





 
. 
R.: 
i) Mostrar que P(1) é verdadeira: 
P(1): 13 = 
2
2
)11(1





 
 
 1 = 1 
 
 
ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k  N. 
P(k): 13 + 23 + 33 + ... + k3 = 
2
2
)1k(k





 
 
 
 
iii) Prova-se que P(k) é válida para (k + 1): 
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P(k + 1): 13 + 23 + 33 + ... + k3 + (k + 1)3 = 
2
2
)1k(k





 
+ (k + 1)3 
 
 
 
 
2
2
)1k(k





 
+ (k + 1)3 = 
2
2
)1k(k





 
+ (k + 1)3 
 . . . = 32
2
)1k()1k(
4
k
 
 . . . = )1k()1k()1k(
4
k 22
2
 
 . . . = 2
2
)1k()1k(
4
k






 
 . . . = 2
2
)1k(
4
4k4k





  
 . . . = 2)1k(
4
)2k()2k(

 
 . . . = 2
2
)1k(
4
)2k(

 
 . . . = 
2
2
)2k)(1k(





  c.q.d. 
 
 
3 n  N, temos que 20 + 21 + 22 + ... + 2n = 2n + 1 – 1. 
R.: 
 i) Mostrar que P(1) é verdadeira: 
P(1): 20 + 21 = 21+1 – 1 
 1 + 2 = 4 – 1 
 
ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k  N. 
P(k): 20 + 21 + 22 + ... + 2k = 2k + 1 – 1 
 
iii) Prova-se que P(k) é válida para (k + 1): 
P(k + 1): 20 + 21 + 22 + ... + 2k + 2k + 1 = 2k + 1 – 1 + 2k + 1 
 
 
 
 
 2k + 1 – 1 + 2k + 1 = 2k + 1 – 1 + 2k + 1 
 . . . = 2k  2 – 1 + 2k  2 
 . . . = 42k – 1 
Admitimos, acima, como sendo igual a 
2
2
)1k(k





  
Admitimos, acima, como sendo 
igual a (2k + 1 – 1) 
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 . . . = 22  2k – 1 
 . . . = 2k + 2 – 1 c.q.d. 
 
 
4 n  N, temos que 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3n) = 
2
1)3n)(n(4 
; n  N. 
R.: 
i) Mostrar que P(1) é verdadeira: 
 P(1): 2 + 5 = 
2
1)(11)3(4  
 7 = 
2
27  
 7 = 7 
 
ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k  N. 
P(k): 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) = 
2
1)3k)(k(4 
 
 
iii) Prova-se que P(k) é válida para (k + 1): 
P(k + 1): 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) + [2 + 3(k + 1)] = 
2
1)3k)(k(4 
 + [2 + 3(k + 1)] 
 
 
 
 
2
1)3k)(k(4 
+ [2 + 3(k + 1)] = 
2
1)3k)(k(4 
 + [2 + 3(k + 1)] 
 . . . = 
2
1)3k)(k(4 
 + (3k + 5) 
 . . . = 
2
5)2(3k1)3k)(k(4 
 
 . . . = 
2
)5k3(23k)3k4(4k 2 
 
 . . . = 
2
)5k3(2)4k7(3k 2 
 
 . . . = 
2
10k64k73k2 
 
 . . . = 
2
14k13k3 2 
 
Admitimos, acima, como sendo igual a 
2
1)3k)(k(4  
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CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI – UNIASSELVI 
 
 
Rodovia BR 470 - Km 71 – n. 1.040 – Bairro Benedito – 89130-000 – Indaial/SC 
Fone (47) 3301-9149 – Fax (47) 3301-9048 – Site: www.nead.com.br 
 
 
 
 . . . = 
2
)2k(
3
7
k3 






 
 . . . = 
 
2
)2k(7k3 
 
 . . . = 
 
2
)2k(k37 
 c.q.d. 
 
5 n  N, temos que .
6
1)1)(2nn(n
n...21 222

 
R.: 
i) Mostrar que P(1) é verdadeira: 
 P(1): 12 = 
6
)112()11(1  
 1 = 
6
6 
 1 = 1 
 
 
ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k  N. 
P(k): 12 + 22 + 32 + ... + k2 = 
6
)1k2()1k(k 
 
 
 
iii) Prova-se que P(k) é válida para (k + 1): 
P(k + 1): 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1)2 = 
6
)1k2()1k(k  + (k + 1)26
)1k2()1k(k  + (k + 1)2 = 
6
)1k2()1k(k  + (k + 1)2 
 . . . = 
6
)1k(6)1k2()1k(k 2 
 . . . = 
6
)]1k(6)1k2(k[)1k(  
 . . . = 
6
]6k6kk2[)1k( 2  
 . . . = 
6
]6k7k2[)1k( 2  
 . . . = 
6
)3k2()2k()1k(  c.q.d. 
 
6 Demonstre que a soma dos n primeiros números pares é n(n + 1), ou seja, que n 
 N, temos que 2 + 4 + 6 +…+ 2n = n(n + 1). 
R.: 
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i) Mostrar que P(1) é verdadeira: 
 P(1): 2 = 1(1 + 1) 
 2 = 2 
 
ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k  N. 
 P(k): 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1) 
 
iii) Prova-se que P(k) é válida para (k + 1): 
P(k + 1): 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 
 k(k + 1) + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 
 . . . = k2 + k + 2k + 2 
 . . . = k2 + 3k + 2 
 . . . = (k + 1)(k + 2) c.q.d. 
 
 
 
 
TÓPICO 3 
 
 
Segue um pequeno teste, envolvendo erros conceituais e operacionais 
comuns. Todas as afirmações são falsas. Corrija cada uma delas tornando todas 
verdadeiras; procure buscar justificativas conceituais ou de propriedades para fazer a 
correção. 
 
a)  - 3  = - 3 
b) 3
2
  3
3
 = 9
5
 
c) a
2
  b
5
 = (ab)
7
 
d) x + y – 3(z + w) = x + y – 3z + w 
e) 
4
2s12r
2
s)(6
4
r 


 
f) 3a + 4b = 7ab 
g) 3x
-1
 = 
3x
1
 
h) yxyx 22  
l) 
bx
ax
b
a
x 





 
m) 
d
ba
xdx
xbxa 



 
n) xyyx  
o) Se 2(2 – z) < 12 então z < -4 
p) 
x1
y
y
x
1
1



 
q) a
2
  a
5
 = a
10
 
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i) 
z
y
zx
yx



 
j) 
yx
1
yx
1




 
k) 
sy
rx
s
r
y
x


 
r) (3a)
4
 = 3a
4
 
s) 
ab
ba
a
b
b
a 
 
t) (x + 4)
2
 = x
2
 + 16 
u) 
4
s6r
4
s6
4
r 


 
v) (a
2
)
5
 = a
7
 
 
FONTE:Texto extraído de: MARQUIS, June. Erros comuns em Álgebra. In: COXFORD, 
Arthur F.; SHULTE, Albert P. As ideias da Álgebra. (Organizadores); traduzido por Hygino H. 
Domingues. São Paulo: Atual; 1995. 
R.: 
 
a)  - 3  = 3 
b) 32  33 = 35 
c) a2  b5 (forma irredutível) 
d) x + y – 3(z + w) = x + y – 3z – w 
e) 
4
2s12r
2
s)(6
4
r 


 
f) 3a + 4b (forma irredutível) 
g) 3x-1 = 
x
3
 
h) 22 yx  (forma irredutível) 
i) 
zx
y
zx
x
zx
yx





 
j) 
yx
1

 (forma irredutível) 
k) 
sy
yrsx
s
r
y
x


 
l) 
b
ax
b
a
x 




 
m) 
d1
ba
xdx
xbxa




 
n) xy)yx ( 
o) Se 2(2 – z) < 12 então z > -4 
p) 
xy
y
y
x
1
1



 
q) a2  a5 = a7 
r) (3a)4 = 81a4 
s) 
ab
ba
a
b
b
a 22 
 
t) (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 
u) 
4
s6r
4
s6
4
r 


 
v) (a2)5 = a10 
 
 
 
TÓPICO 4 
 
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1 (BOULOS, 2001, p. 4) Complete, usando a propriedade especificada: 
R.: 
a) 23 + 31 = 31 + 23 (comutativa) b) 37  45 = 45  37 (comutativa) 
c) 6 + (5 + 3) = (6 + 5) + 3 (associativa) d) (23  54)  5 = 23  (54  5) (associativa) 
e) 4 + 0 = 4 (elemento neutro) f) 7  1 = 7 (elemento neutro) 
g) 3 + (-3) = 0 (elemento oposto) h) 4
4
1
= 1 (elemento inverso) 
i) 8(3 + 5) = (8  3) + (8  5) (distributiva) j) (9 + 8)4 = (4  9) + (4  8) (distributiva) 
 
2 Classifique como V ou F cada uma das afirmações: 
a) (V) O oposto de um número inteiro é inteiro. 
b) (V) O oposto de um número racional é racional. 
c) (V) O oposto de zero é o próprio zero. 
d) (V) O inverso de um número racional não-nulo é um número racional. 
e) (F) O inverso de um número inteiro não-nulo é um número inteiro. 
f) (F) O inverso de zero é o próprio zero. 
g) (F) O oposto de 
4
3
 é 
3
4
 . 
h) (F) O oposto de 5 é 
5
1
. 
i) (F) Todo número racional tem inverso. 
j) (V) Todo número racional tem oposto. 
 
3 (PAIVA, 2000, p. 63 - adaptado) Classifique como V ou F cada uma das afirmações: 
a) (V) Toda dízima não-periódica é número irracional. 
b) (F) Toda dízima é um número irracional. 
c) (V) Toda dízima periódica é um número racional. 
d) (V) Todo número que pode ser escrito sob a forma decimal é real. 
e) (F) Números reais são somente aqueles que podem ser representados pela razão 
entre dois números inteiros. 
f) (F) O produto de um número racional por um número irracional é um número 
irracional. 
g) (V) O oposto de um número irracional é irracional. 
h) (V) O inverso de um número irracional é irracional. 
 
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4 Prove que o quociente de um número racional, não nulo, por um número irracional é 
um número irracional. 
R.: 
Demonstração: Sejam: r um número racional não nulo, i um número irracional, e k um 
número real, tais que k = 
i
r
. 
Queremos mostrar que k é um número irracional. Então vamos supor que k é racional 
e chegar a um absurdo. Como k = 
i
r
, podemos escrever i como i = 
k
r
. Visto que r é 
racional e usando o fato de k ser racional, segue que 
k
r
 também é racional (Q é 
fechado para divisão), ou seja, i = 
k
r
 precisa ser racional. Mas isso é um absurdo, pois 
i é irracional por hipótese. Segue que k não pode ser racional e, portanto, é irracional, 
como queríamos demonstrar. 
 
5 Prove a lei do corte para a adição: Quaisquer que sejam a, b e c  R, a igualdade: a 
+ b = a + c implica em b = c. 
R.: 
Demonstração: Se a, b, c  R, existe (-a)  R tal que a + (-a) = -a + a = 0. 
Por outro lado: 
a + b = a + c  (-a) + (a + b) = (-a) + (a + c)  (-a + a) + b = (-a + a) + c  0 + 
b = 0 + c  
 b = c, como queríamos demonstrar. 
 
6 (Fatec-SP) Sejam a e b números irracionais quaisquer. Das afirmações: 
I. ab é um número irracional; 
II. a + b é um número irracional; 
III. a – b pode ser um número racional; 
Pode-se concluir que: 
a) ( ) as três são falsas; 
b) ( ) as três são verdadeiras; 
c) ( ) somente (I) e (III) são verdadeiras; 
d) ( ) somente (I) é verdadeira; 
e) ( ) somente (I) e (II) são falsas. 
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R.: e) ( X ) somente (I) e (II) são falsas. 
 
7 (UFPR) Uma das instruções de um exame vestibular afirmava que cada teste que 
compunha a prova apresentava cinco alternativas, das quais apenas uma era correta. 
Passados alguns dias da prova, foi divulgado que um dos testes havia sido anulado. O 
teste anulado apresentava as seguintes alternativas: 
a) ( ) x é um número natural; 
b) ( ) x éum número inteiro; 
c) ( ) x é um número racional; 
d) ( ) x é um número irracional; 
e) ( ) x é um número real. 
Explique por que o teste foi anulado. 
R.: Como todo número natural ou inteiro ou racional ou irracional é também número 
real, temos, pelo menos, duas alternativas corretas.