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ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS
TÉCNICAS DESCRITIVAS
Anderson Castro Soares de Oliveira
Departamento de Estatística/ICET/UFMT
Análise Exploratória de Séries
Temporais
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
• A análise exploratória de séries temporais envolve:
• caracterização da série por meio de identificação de pa-
drões não aleatórios na série temporal,
• verificação da correlação entre as observações e
• verificação da estabilidade da variância.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Representação Gráfica de Serie Temporal
• A representação gráfica de uma série temporal é feita atra-
vés do gráfico de linha, sendo:
• eixo horizontal - indicador de tempo
• eixo vertical - variável a ser representada.
• A construção de gráfico permite identificar características
dos dados
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Representação Gráfica de Serie Temporal
Ano
P
ol
eg
ad
as
1880 1900 1920 1940 1960 1980
10
20
30
40
Figura 1: Precipitação anual, em polegadas, da cidade de Los
Angeles, Califórnia (EUA), nos anos de 1878 a 1992.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Representação Gráfica de Serie Temporal
Ano
Te
m
pe
ra
tu
ra
1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976
10
20
30
40
50
60
70
Figura 2: Temperaturas médias mensais (grau Fahrenheit) de
Dubuque, Iowa (EUA), de janeiro de 1964 a dezembro de 1975.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Representação Gráfica de Serie Temporal
Figura 3: Produção de pescado no Brasil, nos anos de 1950 a 2010.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Representação Gráfica de Serie Temporal
Figura 4: Geração mensal de eletricidade dos Estados Unidos (em
milhões de quilowatts-hora) no periodo entre 01/1973 - 12/2005
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Componentes de Séries Temporais
• Em uma série temporal pode-se avaliar a existência:
• Três possíveis componentes determinísticas: a tendência,
sazonalidade e ciclo
• Uma componente aleatória
• A componente aleatória refere-se aos valores da série que
flutuam em torno de uma média constante.
• A existência das componentes determinísticas fazem com
que não se perceba a componente aleatória.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
• A tendência é caracterizada como aquele movimento re-
gular e continuo de longo prazo, refletindo um movimento
ascendente ou descendente em longo período de tempo.
Figura 5: Exemplo de série temporal com tendência crescente
(A) e decrescente (B).
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
• A sazonalidade pode ser entendida como variações perió-
dicas ou cíclicas que se repetem em intervalos relativa-
mente constantes de tempo.
Figura 6: Exemplo de série temporal com sazonalidade (A) e
com sazonalidade e tendência (B)
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
• O Ciclo é caracterizado pela existência de variações ascen-
dentes e descendentes, porém, em intervalos não regula-
res de tempo. São as flutuações de longo prazo em torno
da curva de tendência.
Figura 7: Exemplo de série temporal com Ciclo
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Estacionaridade
• Uma das suposições mais frequentes que se faz a respeito
de uma série temporal é de que ela é estacionária
• De um modo geral uma série será estacionária se não hou-
ver mudanças sistemáticas na média e na variância
• Na pratica a maioria das séries tem um comportamento não
estacionário
• O comportamento não estacionário é provocado pela pre-
sença de componentes determinísticas
• Uma alternativa é remover as componentes determinísticas
deixando apenas a parte estacionária da série
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Diferença
• O operador de retardo B é uma função matemática apli-
cada para um valor de uma série é obtido a mesma série
retardada de um período. Isto é:
BYt = Yt−1
B2Yt = Yt−2
BnYt = Yt−n
• O operador diferença é dada por
∆ = Yt − Yt−1 = (1− B)Yt
.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Diferença
• Para eliminar as componentes determinísticas pode-se to-
mar diferenças sucessivas da série original, até obter uma
série estacionária.
• A primeira diferença de uma série é definida por:
∆Yt = Yt − Yt−1
• A segunda diferença é dada por:
∆2Yt = ∆(∆Yt ) = ∆(Yt − Yt−1) =
= ∆Yt −∆Yt−1 = (Yt − Yt−1)− (Yt−1 − Yt−2)
= Yt − 2Yt−1Yt−2
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Diferença
• A n-ésima diferença é dada por:
∆nYt = ∆(∆n−1Yt ) = (1− B)nYt
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Autocorrelação
• Lag ou defasagem temporal é um período de tempo entre
as duas observações de uma série temporal.
• A autocorrelação refere-se à correlação de uma série de
tempo com o seu próprio passado e os valores futuros
• A autocorrelação (fac) mede o grau de correlação de uma
variável, em um dado instante, consigo mesma, em um ins-
tante de tempo posterior.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocovariância
• Seja {Xt , t ∈ Z} um processo estacionário real discreto de
média zero, sua função de autocovariância (facv) é definida
por
γτ = E [XtXt+τ ]
• A facv γτ deve satisfazer as seguintes propriedades:
i) γ0 > 0;
ii) γ−τ = γτ ;
iii) |γτ | ≤ γo;
iv) γτ é não negativa definida, tal que
n∑
j=1
n∑
k=1
ajakγτj−τk ≥ 0,
para quaisquer números reais a1, . . . ,an, e τ1, . . . , τn de Z .
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• A função de autocorrelação (fac) do processo é definida por
ρτ =
γτ
γ0
, τ ∈ Z
• A fac possui as mesmas propriedades da função de auto-
covariância γτ , exceto que agora temos ρ0 = 1.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• A função de autocorrelação amostral rk é definida como:
rk =
ck
c0
=
N−k∑
t=1
(Yt − Ȳ )(Yt+k − Ȳ )
N∑
t=1
(Yt − Ȳ )2
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• A função de autocorrelação é apresentada num gráfico k
versus ck , com linhas verticais que expressam a magnitude
da autocorrelação.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Para construir o gráfico de autocorrelação determina-se o
numero máximo de lag K pela expressão
K = 10log(N)
em que N representa o tamanho da serie
• A fac pode ser utilizar para verificar se uma série é aleatória
ou não.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Em uma série aleatória, os valores defasados das séries
são não correlacionadas e é esperado que rk ∼= 0.
• Para verificar se uma autocorrelação rk é significativamente
diferente de zero é construido um intervalo de confiança
rk ±
2√
n
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
Figura 8: Representação da função de autocorrelação amostral
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• A FAC também é importante para se verificar estacionari-
dade da série
• A inspeção do gráfico da função de autocorrelação permite
indentificar alguns padrões
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Séries aleatórias: Se uma série é completamente aleatória,
os valores de rk são estatisticamente iguais a zero.
Figura 9: Exemplo de uma função de autocorrelação de uma
série aleatória
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Séries com alternâncias: Se uma série temporal alterna,
com sucessivas observações em diferentes lados da mé-
dia geral, então o gráfico da função da autocorrelação tam-
bém tende a alternar, entre valores positivos e negativos de
autocorrelação.
Figura 10: Exemplo de uma função de autocorrelação de uma
série com alternâncias
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Série com sazonalidade: Se a série apresenta sazonali-
dade, então o gráfico da função da autocorrelação também
exibirá uma oscilação na mesma freqüência.
Figura 11: Exemplo de uma função de autocorrelação de uma
série com sazonalidade
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Séries com tendência: Se a série contém uma tendência,
então os valores de de rk não caem para

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