Análise de Séries Temporais: Modelos ARMA

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ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS
MODELOS ARMA
Anderson Castro Soares de Oliveira
Departamento de Estatística/ICET/UFMT
Modelos de Box & Jenkins
MODELOS DE BOX & JENKINS
• Uma metodologia bastante utilizada na análise de modelos
de séries temporais é conhecida como modelos de Box &
Jenkins.
• Os modelos Box & Jenkins podem ser classificados em es-
tacionários e não estacionários
MODELOS PARA SÉRIES ESTACIONÁRIAS
• Modelos estacionários são aqueles que assumem que a
série temporal desenvolve-se no tempo com médias e vari-
ância constantes
• Suponha que exista um sistema cuja entrada é um ruído
branco at , no qual possui um filtro que que gera uma sequên-
cia de valores observados seguindo um padrão, que corres-
ponde à série temporal Yt .
Figura 1: Representação de uma série temporal como saída de
um filtro linear
MODELOS PARA SÉRIES ESTACIONÁRIAS
• Formalmente, tem-se:
Yt = µ+ at + ψ1at−1 + ψ2at−2 + ...
= µ+ (1 + ψ1B + ψ2B2 + ...)at
= µ+ ψ(B)at
em que ψ(B) é a função de transferência do filtro e µ é um
parâmetro que determina o nível de série.
• Fazendo:
Ỹt = Yt − µ
• Temos:
Ỹt = ψ(B)at =
∞∑
j=0
ψjat−j
em que com ψ0 = 1
MODELOS PARA SÉRIES ESTACIONÁRIAS
• Desta forma o processo linear Ỹt , é escrito como uma soma
ponderada de ruídos branco do presente e do passado.
• Esse processo consiste em uma sequência de variáveis
aleatórias não-correlacionadas em que:
E [at ] = 0 ∀ t
Var [at ] = σ2 <∞ ∀ t
E [asat ] = 0 ∀ s 6= t
MODELOS PARA SÉRIES ESTACIONÁRIAS
• Podemos escrever Yt é uma forma alternativa:
Ỹt = π1Ỹt−1 + π2Ỹt−2 + ...+ at
=
∞∑
j=1
πj Ỹt−j + at
Ỹt −
∞∑
j=1
πj Ỹt−j = at1− ∞∑
j=1
πjBj
 Ỹt = at
π(B)Ỹt = at
em que π(B) é o operador dador por π(B) = 1 − π1B −
π1B2 − .... Temos que
MODELOS PARA SÉRIES ESTACIONÁRIAS
• Um processo liner será:
• Estacionário se a série ψ(B) convergir para |B| ≤ 1
• Invertível se a série π(B) convergir para |B| ≤ 1
Modelos Auto-Regressivos (AR)
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
• Um modelo auto-regressivo de ordem p, denotado por AR(p),
é descrito pela expressão abaixo:
Yt = µ+ φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + ...+ φpYt−p + at
• Pode-se escrever o modelo em termos da operador dife-
rença:
Ỹt − φ1Ỹt−1 − φ2Ỹt−2 − ...− φpỸt−p = at
(1− φ1B − φ2B2 − ...− φpBp)Ỹt = at
φ(B)Ỹt = at
em que Ỹt = Yt − µ
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
• Como o polinômio φ(B) = π(B)
• a condição de estacionaridade do AR(p) estabelece que to-
das as raízes da equação devem cair fora do círculo unitário,
ou seja |B| > 1.
• E, sendo um processo de ordem finita, então temos que
AR(p) é sempre invertível.
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
• O modelo autoregressivo de ordem 1 e 2 pode ser repre-
sentado pelas expressões
AR(1) ⇒ Ỹt = φ1Ỹt−1 + at
AR(2) ⇒ Ỹt = φ1Ỹt−1 + φ2Ỹt−2 + at
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
Exemplo
• Seja um modelo auto-regressivo de ordem 2
Yt = 0,5Yt−1 − 0,3Yt−2 + et
• O modelo é invertível, vamos verificar se é estacionário
φ(B) = 1− 0,5B + 0,3B2
1− 0,5B + 0,3B2 = 0
B1 = −2,83 e B2 = 1,77
• Como |B1| > 1 e |B2| > 1 então o modelo é estacionário.
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
Exemplo
• Seja um modelo auto-regressivo de ordem 2
Yt = 1,61Yt−1 − 0,56Yt−2 + et
• O modelo é invertível, vamos verificar se é estacionário
φ(B) = 1− 1,61B + 0,56B2
1− 1,61B + 0,56B2 = 0
B1 = 0,91 e B2 = 1,97
• Como |B1| < 1 e |B2| > 1 então o modelo não é estacioná-
rio.
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
• A identificação do modelo é feita por meio das funções de
autocorrelação (FAC) e autocorrelação parcial (FACP).
• A FAC decai exponencialmente, alternando ou não de sinal,
em geral é uma mistura de exponenciais e ondas senóides
amortecidas
• A FACP apresenta um corte rápido no lag significativo, in-
dicando a ordem p do modelo.
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
Exemplo
• A FAC decai rapidamente para zero, a partir do lag 2 é não
significativo
• A FACP tem apenas o primeiro lag significativo, assim te-
mos um processo AR(1).
Figura 2: Serie temporal, FAC e FACP de um processo AR(1)
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
Exemplo
• A FAC decai rapidamente para zero, e partir do lag 10 é
não significativo
• FACP tem apenas lag 1 e 2 significativo, assim temos um
processo AR(2).
Figura 3: Serie temporal, FAC e FACP de um processo AR(2)
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
Exemplo
• Esta série apresenta evidências de comportamento sazo-
nal, que é confirmada pelo teste de Fisher para o período
12 (valor − p < 0,01).
Período
O
3
1960 1965 1970
2
4
6
8
Figura 4: Concentração mensal de Ozônio na cidade Azuza,
Califórnia (EUA), de janeiro de 1956 a dezembro de 1970.
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
Exemplo
• Considerando a sazonalidade como determinística, ajusta-
se um modelo de regressão não linear
Yt = 5,08− 2,01cos
(
2πt
12
)
− 0,26cos
(
4πt
12
)
− 1,55sen
(
2πt
12
)
+ 0,52sen
(
4πt
12
)
+ et
• Fazendo
et = Yt − Ŷt
temos uma série livre de sazonalidade
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
Exemplo
• Pelo comportamento das FAC e FACP, recomenda-se ajus-
tar um modelo AR(1).
(A) (B)
0.5 1.0 1.5
−
0
.1
5
−
0
.1
0
−
0
.0
5
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
Lag
A
C
F
0.5 1.0 1.5
−
0
.1
5
−
0
.1
0
−
0
.0
5
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
Lag
P
a
rt
ia
l 
A
C
F
Figura 5: Função de autocorrelação (A) e autocorrelação
parcial (B) da série temporal de concentração mensal de Ozônio
na cidade Azuza, Califórnia (EUA), sazonalmente ajustada.
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS (AR)
Exemplo
• Assim, o modelo ajustado é dado por
et = 0,15et−1 + at
em que at é um ruído branco, com V̂ar(at) = 0,90.
• O modelo é estacionário pois
φ(B) = 1− 0,15B
1− 0,15B = 0
B = 6,67
Modelos de Médias Móveis (MA)
MODELOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA)
• Um modelo de médias móveis de ordem q é denotado por
MA(q), e descrito por
Yt = µ+ at − θ1at−1 − θ2at−2 − ...− θqat−q
• Fazendo
Ỹt = Yt − µ
tem-se
Ỹt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − ...− θqat−q
Ỹt = (1− θ1B − θ2B2 − ...− θqBq)at
Ỹt = θ(B)at
• Assim, temos que θ(B) = ψ(B).
MODELOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA)
• O modelo de médias móveis de ordem 1 e 2 pode ser re-
presentado pelas expressões
MA(1) ⇒ Ỹt = at − θ1at−1
MA(2) ⇒ Ỹt = at − θ1at−1 − θ2at−2
• Como o polinômio θ(B) = ψ(B)
• e sendo um processo de ordem finita, então tem-se que
MA(q) é sempre estacionário.
• O processo MA(q) será invertível se todas as raízes da
equação cairem fora do círculo unitário, ou seja |B| > 1.
MODELOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA)
Exemplo
• Seja um modelo de média móveis de ordem 1
Yt = at + 0,8at−1
• O modelo é estacionário, vamos verificar se é invertível
θ(B) = 1 + 0,8B
1 + 0,8B = 0
B = −1,25
• Como |B| > 1 então o modelo é invertível.
MODELOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA)
Exemplo
• Seja um modelo de média móveis de ordem 1
Yt = at + 0,8at−1
• O modelo é estacionário, vamos verificar se é invertível
θ(B) = 1 + 0,8B
1 + 0,8B = 0
B = −1,25
• Como |B| > 1 então o modelo é invertível.
MODELOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA)
• A identificação do modelo MA é feita por meio das funções
de autocorrelação (FAC) e autocorrelação parcial (FACP).
• A FACP decai exponencialmente se todos os parâmetros
forem positivo, caso contrário forma uma senóide
amortecida.
• A FAC apresenta um corte rápido no lag significativo,
indicando a ordem q do modelo.
MODELOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA)
Exemplo
• A FACP forma uma senóide amortecida, e a FAC tem ape-
nas lag 1 e 2 significativo.
• Assim temos a caracterização de um processo de média
móveis, como o lag 1 e 2 são significativos na FACP temos
um processo MA(2).
MODELOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA)
Exemplo
• Considere a série temporal Produção anual de pescado no
Brasil no período de 1993 a 2012.
Figura 6: Produção anual de pescado no Brasil no período de
1993 a 2012.
MODELOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA)
Exemplo
• A série livre de tendência do modelo de regressão
• Pelo teste de Fisher rejeita-se a hipótese de presença da
componente sazonal.
MODELOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA)
Exemplo
• Pelo comportamento das FAC e FACP, recomenda-se ajus-
tar um modelo(A) (B)
Figura 7: Função de autocorrelação (A) e autocorrelação
parcial (B) da série temporal produção anual de pescado no
Brasil no período de 1993 a 2012, tendência ajustada
MODELOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA)
Exemplo
• O modelo MA(1) ajustado é dado por
Yt = at − 0,81at−1,
em que at é um ruído branco, com V̂ar(at) = 0,016.
• O modelo é invertível pois,
θ(B) = 1− 0,81B
1− 0,81B = 0
B = 1,17.
Modelos Auto-Regressivos de
Médias Móveis (ARMA)
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS DE MÉDIAS MÓVEIS
(ARMA)
• Os modelos auto-regressivo de média móveis são uma com-
binação dos dois anteriores,
• Yt é descrito por seus valores passados e pelos ruídos
branco corrente e passados.
• Um modelo auto-regressivo de média móveis de ordem p,q
denotado por ARMA(p,q), é descrito por:
Yt = φ1Yt−1 + · · ·+ φpYt−p + at − θ1at−1 − · · · − θqat−q
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS DE MÉDIAS MÓVEIS
(ARMA)
• Pode-se escrever o modelo em termos da operador dife-
rença:
Yt = φ1Yt−1 + · · ·+ φpYt−p + at − θ1at−1 − · · · − θqat−q
Yt − φ1Yt−1 − · · · − φpYt−p = at − θ1at−1 − · · · − θqat−q
(1− φ1B − · · · − φpBp)Yt = (1− θ1B − · · · − θqBq)at
φ(B)Yt = θ(B)at
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS DE MÉDIAS MÓVEIS
(ARMA)
• A condição de estacionaridade do ARMA(p,q) é atendida
se todas as raízes da polinômio φ(B) cairem fora do círculo
unitário, ou seja |B| > 1.
• E é um processo invertível se todas as raízes do θ(B) cai-
rem fora do círculo unitário, ou seja |B| > 1.
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS DE MÉDIAS MÓVEIS
(ARMA)
Exemplo
• Seja um modelo ARMA(1,2)
Yt = 0,4Yt−1 + at − 0,7at−1 − 0,6at−2
Yt − 0,4Yt−1 = at − 0,7at−1 − 0,6at−2
(1− 0,4B)Yt = (1− 0,7B − 0,6B2)at
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS DE MÉDIAS MÓVEIS
(ARMA)
Exemplo
• Assim,
φ(B) = 1− 0,4B,
logo B = 2,5.
• Como |B| > 1 então o modelo é estacionário.
• Fazendo
θ(B) = 1− 0,7B − 0,6B2,
logo B1 = 0,83 e B2 = −1.
• Assim |B1| < 1 então o modelo é não invertível.
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS DE MÉDIAS MÓVEIS
(ARMA)
• A FAC determina a ordem q de um modelo ARMA(p,q): de-
caimento de acordo com exponenciais e/ou senóides amor-
tecidas após o lag q − p.
• A FACP determina a ordem p de um modelo ARMA(p,q):
decaimento de acordo com exponenciais e/ou senóides amor-
tecidas após o lag p − q.
MODELOS AUTO-REGRESSIVOS DE MÉDIAS MÓVEIS
(ARMA)
Exemplo
• Verifica-se que tanto a FAC como a FACP tem apenas lag 1
e 2 significativo, assim tem processo de autoregressivo de
média móveis ARMA(2,2).
Figura 8: Serie temporal, FAC e FACP de um processo ARMA(2,2)
	
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