2_MEDIÇÃO DE RIGIDEZ TORCIONAL DE CHASSIS AUTOMOTIVO POR MÉTODO NUMÉRICO E EXPERIMENTAL2

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MEDIÇÃO DE RIGIDEZ TORCIONAL DE 
CHASSIS AUTOMOTIVO POR MÉTODO 
NUMÉRICO E EXPERIMENTAL 
 
RESUMO 
No primeiro semestre de 2011, o 
Laboratório de Engenharia Automotiva da 
ULBRA propôs aos alunos do curso o 
desenvolvimento de um veículo elétrico 
de pequeno porte, para um ocupante, 
destinado a trafegar em separado das 
vias urbanas, em ambiente universitário 
ou empresarial. Com foco em leveza e 
simplicidade, suspensão, sistema de 
direção e chassi foram desenvolvidos 
paralelamente. 
O chassi do protótipo, objeto de estudo 
deste trabalho, foi dimensionado com 
auxílio de programa de análise estrutural. 
O objetivo é avaliar a exatidão das 
análises que levaram à geometria final da 
estrutura, através de comparação com 
ensaio experimental do chassi real, 
concluindo assim a fase de projeto. 
Como propriedade comparativa, se 
utilizou a rigidez torcional da estrutura, 
parâmetro de eficiência clássico na 
avaliação de chassis veiculares. A rigidez 
foi medida experimentalmente e através 
de modelo numérico, a partir dos 
deslocamentos angulares gerados por 
torques conhecidos. 
 
Palavras chave: rigidez torcional, 
modelagem numérica, comparação entre 
resultados numéricos e experimentais. 
 
ABSTRACT 
On the first semester of 2011, ULBRA’s 
Laboratory of Automotive Engineering 
invited the students of the course to 
develop a small size electric vehicle, for 
one occupant, to be driven in separated 
of urbane roads, inside university 
environment or industrial complex. With 
focus in lightness and simplicity, 
suspension, steering system and chassis 
were developed in parallel. 
The prototype’s chassis, this work’s 
object of study, was dimensioned with 
help of structural analysis software. To 
evaluate the exactness of the analyses 
that led to the final geometry of the 
structure, through comparison with 
experimental test of the real chassis, 
finishes the project faze. 
Like comparative property, the structure’s 
torcional stiffness was took, classic 
efficiency parameter in the evaluation of 
automotive chassis. The stiffness was 
measured experimentally and through 
numerical model, based on angular 
displacements produced by known 
torques. 
Key words: Torcional stiffness, numerical 
modeling, comparison between numerical 
and experimental results. 
 
1 INTRODUÇÃO 
No desenvolvimento de chassis 
veiculares, a utilização de modelos 
numéricos para análises de distribuição 
de tensões e rigidez tem se tornado 
prática amplamente difundida. Isto se 
deve a possibilidade de obter resultados 
que servem de parâmetro durante a fase 
de projeto, verificando as propriedades 
da geometria dimensionada e a influência 
de modificações, com rapidez e baixo 
custo. 
Entretanto, é necessária a validação do 
modelo numérico utilizado através de 
comparação com propriedades medidas 
experimentalmente na estrutura real. 
Na conclusão da etapa de projeto, o grau 
de concordância entre as propriedades 
da estrutura real e os resultados 
numéricos que orientaram seu 
dimensionamento deve ser avaliado. 
Neste trabalho, este processo é realizado 
para o chassis de um veículo automotor 
de pequeno porte, desenvolvido no 
Laboratório de Engenharia Automotiva da 
Universidade Luterana do Brasil 
(ULBRA). 
As análises procedidas têm em foco a 
propriedade de rigidez torcional, 
verificada a partir dos deslocamentos 
provocados por aplicação de torques 
conhecidos ao chassis. 
 
2 OBJETIVOS 
O objetivo geral desse trabalho é avaliar 
o grau de concordância entre os 
resultados das medições de rigidez 
torcional do chassis real e os resultados 
obtidos através de modelo numérico. 
3 JUSTIFICATIVA 
O Grupo de Engenharia Mecânica 
Automotiva da Universidade Luterana do 
Brasil, visando a construção de 
conhecimento e desenvolvimento 
tecnológico no ambiente universitário, 
desenvolve protótipos automotivos para 
diferentes aplicações, contemplando a 
teoria clássica e métodos atuais nas 
atividades de projeto. 
As atividades desenvolvidas neste 
trabalho iniciam os estudos do Grupo 
referentes à exatidão e aplicabilidade dos 
programas de modelagem numérica no 
projeto estrutural automobilístico. Avaliar 
as propriedades deste método é de 
fundamental importância para orientar a 
aplicação da ferramenta em atividades 
futuras. 
4 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO 
Com o aumento dos padrões de 
exigência sobre chassis veiculares, 
referentes a rigidez, leveza e segurança, 
estas estruturas alcançaram formas 
construtivas complexas ao tornarem-se 
mais eficientes. No desenvolvimento de 
chassis veiculares modernos, os 
programas de análise estrutural por 
modelagem numérica são amplamente 
 
utilizados. Esta ferramenta não elimina a 
necessidade dos testes em protótipos, 
mas reduz custos e acelera a fase de 
projeto ao gerar protótipos mais 
eficientes. Para aplicação correta deste 
método, cabe ao projetista conhecer as 
características de operação e limitações 
dos modelos numéricos. A comparação 
entre medições experimentais e 
resultados numéricos é a prática adotada 
na validação das análises estruturais 
computacionais. 
Al Hakeem, 1991, aplica a modelagem 
numérica ao estudo da distribuição de 
tensões em longarinas de chassis de 
veículo comercial, solicitadas por 
carregamentos longitudinais. O autor 
valida as análises numéricas através de 
medições experimentais, com 
extensômetros(strain gages), em chassis 
de igual geometria sob condições de 
contorno apropriadas. Ao final são 
apresentadas sugestões para melhor 
posicionamento das fixações da 
suspensão ao chassis, pontos de entrada 
de carregamentos, segundo análise 
longitudinal. 
Castro, 2008, usou segmentos de 
longarina de estrutura veicular do tipo 
monobloco, simplificando sua geometria 
por razões práticas. O autor compara 
valores de tensão obtidos numericamente 
e experimentalmente através de 
extensômetros(strain gages). No 
processo foram ensaiados segmentos 
com diferente número de regiões 
soldadas, verificando a variação do grau 
de concordância entre resultados 
experimentais e numéricos. 
Silva, 2001, analisa distribuição de 
tensões em chassis de veículo comercial 
pesado através de modelo numérico, 
verificando a influência do tipo de 
elemento finito, utilizado na discretização 
da estrutura, nos resultados da análise. O 
autor aplica elementos de viga 
(unidimensionais), placa (bidimensionais) 
e sólidos (tridimensionais). 
Thompson, 1998, desenvolveu uma 
plataforma para medição de rigidez 
torcional em chassis da categoria 
NASCAR e compara valores de rigidez 
obtidos numericamente e 
experimentalmente para a estrutura, sob 
condições de contorno adequadamente 
reproduzidas no programa de análise 
estrutural. 
A fundamentação teórica sobre 
propriedades mecânicas e solicitações 
em chassis veiculares foi desenvolvida a 
partir de Brown (2002), Gillespie (1992) e 
Milliken (1995). Teoria e estudos 
referentes à modelagem numérica pelo 
método de elementos finitos foram 
desenvolvidos com base em Gamboa 
(2009), Souza (2003) e os guias Femap 
Structural (2002) e MSC Nastran (2003). 
 
5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
5.1 PROPRIEDADES MECÂNICAS DE 
CHASSIS 
O chassis é o elemento primário do 
veículo, ele receberá todos os demais 
componentes e deverá suportar 
solicitações mecânicas diversas, 
mantendo suas características 
geométricas de forma a garantir a 
segurança dos ocupantes, o fechamento 
correto de portas e tampas e o 
funcionamento adequado dos sistemas 
de suspensão e direção (Milliken, 1995). 
Devido aos diferentes tipos de 
carregamento a que um automóvel é 
submetido durante uso, as propriedades 
mecânicas de um chassis são definidas 
por diferentes conceitos de rigidez 
(Brown, 2002). 
As solicitações mecânicas básicas em 
chassis automotivos podem ser 
classificadas como segue, com referênciaà Figura 1: 
- Tração e compressão no sentido x, 
devido a esforços de frenagem e 
aceleração; 
- Tração e compressão no sentido y, 
devidos as forças reativas dos pneus 
durante curvas, ocorrendo tração nas 
fixações da suspensão no lado interno e 
compressão no lado externa à curva, 
supondo os quatro pneus em contato 
com a pista; 
- Flexão em torno de y, durante 
frenagens e acelerações quando há 
transferência longitudinal de 
carregamento, ou ao trafegar sobre 
obstáculos (lombadas); 
- Flexão em torno de x, durante curvas, 
quando a aceleração centrípeta da 
carroceria provoca transferência lateral 
de carregamento; 
- Torção em torno de x, ao percorrer 
curvas ou trafegar em terreno irregular, 
por exemplo, sob condição ilustrada na 
Figura 2. 
 
Figura 1 – Sistema de coordenadas fixas do veículo, 
Gillespie, 1992. 
 
 
Figura 2 – Exemplo de solicitação por torção, 
Brown, 2002. 
A Figura 2 retrata exemplo de pista de 
teste, onde o veículo é submetido a 
condições extremas para verificar a 
resistência da carroceria à fadiga. 
 
Na avaliação da eficiência de chassis 
automotivos, adota-se como padrão de 
referência as propriedades de: 
- Rigidez à flexão (em torno de y) que 
relaciona o deslocamento sofrido pela 
carroceria fixa em uma extremidade e 
submetida na outra a carga estática 
simétrica em relação ao plano z-x. 
- Rigidez à torção (em torno de x) que 
relaciona o deslocamento angular sofrido 
pela carroceria fixa em uma extremidade 
e submetida na outra a um torque puro 
em torno de seu eixo longitudinal. 
A finalidade da rigidez torcional é 
proporcionar uma plataforma rígida para 
o funcionamento da suspensão. A 
suspensão de um automóvel oferece 
resistências à rolagem da carroceria 
diferentes nos dois eixos. Por 
conseqüência, as transferências laterais 
de carga típicas em curvas são diferentes 
na traseira e na dianteira, o que gera 
momentos torçores sobre o chassis. Este 
é o fenômeno dinâmico da torção em 
estruturas veiculares durante curvas 
(Milliken, 1995). 
Na Figura 3, um veículo esportivo 
percorrendo curva, onde a roda dianteira 
suspensa torna clara a diferença entre as 
transferências laterais de carregamento 
nos dois eixos. A Figura 3 ilustra o 
fenômeno da solicitação por torção 
durante curva. 
 
Figura 3 – Torção durante curva, 
www.booklandspeed.com. 
O chassis adequadamente rígido 
transfere esforços entre os eixos sem 
deformar-se significativamente, o que 
proporciona ao veículo comportamento 
dinâmico estável e previsível. A rigidez 
deve ser dimensionada em função das 
características do veículo, considerando 
a magnitude das forças agindo sobre 
este nas condições de uso projetadas. 
Rigidez extra é interessante, mas torna-
se pouco desejável a partir do ponto em 
que agrega massa desnecessária ao 
chassis (Milliken, 1995). Na maioria dos 
casos, a rigidez torcional é especialmente 
difícil de alcançar, principalmente em 
veículos que necessitam amplos vãos 
livres para acomodar passageiros e 
carga. Desse modo, a relação entre 
massa e rigidez torcional de um chassi é 
o fator que determina, de forma simples, 
a eficiência da estrutura (Brown, 2002). 
5.2 MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS 
O projeto automobilístico moderno atinge 
elevado nível de complexidade, estando 
sujeito a rigorosos padrões de 
confiabilidade, segurança e desempenho. 
 
Para estudo das características do 
projeto, é necessária utilização de 
modelos matemáticos que simulem a 
estrutura a ser analisada. Com essa 
finalidade, o Método de Elementos 
Finitos tem sido utilizado com sucesso (Al 
Hakeem, 1991). 
O Método dos Elementos Finitos, MEF, 
consiste em uma aproximação numérica 
para a resolução de equações 
diferenciais por integração. Tal método é 
aplicado a partir da divisão de um 
sistema ou conjunto físico a ser analisado 
em partes discretas menores 
(discretização do modelo), denominadas 
elementos finitos. Na seqüência, as 
equações diferenciais inerentes ao tipo 
de análise desenvolvida, 
correspondentes a cada elemento, são 
resolvidas a partir de rotinas numéricas. 
Dessa forma, tem-se a origem do nome 
deste método numérico (Silva, 2001). 
Os elementos são conectados através de 
pontos denominados pontos nodais 
(nós), mas não somente haverá pontos 
nodais nas conexões, estes podem existir 
também dentro dos elementos. O 
conjunto de elementos finitos e pontos 
nodais é denominado malha. (Souza, 
2003). 
As variáveis do problema agindo sobre 
os elementos (força, calor, etc.) são 
aproximadas por funções lineares de 
interpolação. O comportamento de cada 
elemento é determinado por uma relação 
entre os valores nodais das variáveis e 
os parâmetros a serem determinados 
(tensão, deslocamento, temperatura, etc.) 
(Silva, 2001). 
Outro fator determinante no 
comportamento dos elementos finitos é o 
grau de liberdade dos nós. 
Os graus de liberdade dos nós 
correspondem aos possíveis movimentos 
que estes podem sofrer. 
A divisão do domínio (sistema estrutural) 
em estudo em elementos menores 
soluciona um problema referente à 
dificuldade de se escolher funções de 
interpolação que descrevam o 
comportamento das variáveis do 
problema ao longo de toda a geometria 
(Silva, 2001). 
De modo geral, o aumento do número de 
elementos ou pontos nodais na 
discretização de um sistema físico tende 
a aumentar a exatidão do modelo até um 
certo ponto, a partir do qual os resultados 
tendem a valores constantes, 
independentes de maiores refinamentos 
da malha. Com o aumento do número de 
nós ou elementos, o tempo 
computacional necessário à resolução da 
análise aumenta exponencialmente 
(Femap Structural, 2002). 
5.3 ELEMENTOS BIDIMENSIONAIS 
Em análises estruturais através de 
modelagem numérica, a discretização do 
 
domínio em elementos bidimensionais é 
a prática mais amplamente utilizada. Isto 
se deve a drástica redução do tempo 
computacional necessário, decorrente 
das simplificações de cálculo 
características desse tipo de elemento 
(Castro, 2008). 
Para a análise estrutural aqui discutida, 
foi utilizado o grupo de elementos 
bidimensionais CQUAD4 (quadrado) e 
CTRIA3 (triangular), comumente 
referidos como elementos de placas e 
cascas, apresentando um nó por vértice 
(MD Nastran User´s Guide, 2003). 
Por motivos de exatidão, recomenda-se a 
discrertização da estrutura em elementos 
quadrilaterais. Elementos triangulares 
são utilizados em transições de malha ou 
em porções da estrutura onde elementos 
quadrados não são práticos (MD Nastran 
User´s Guide, 2003). 
O cálculo de tensões, deformações e 
deslocamentos para os elementos 
bidimensionais baseia-se na teoria da 
flexão para placas finas, de acordo com 
as hipóteses de Kirchhoff, a seguir, 
relacionadas à Figura 4 (Gamboa, 2009): 
- Placas finas onde a razão entre a 
espessura e o menor lado é igual ou 
inferior a 1/20; 
- A deflexão da superfície média é 
pequena comparada com a espessura da 
placa. O declive da superfície defletida é, 
portanto, muito pequeno; 
- O plano médio (paralelo a superfície), 
coincidente com o centróide das secções 
transversais, permanece sem extensão 
após a flexão; 
- Secções planas inicialmente normais à 
superfície média permanecem planas e 
normais à superfície após a flexão. Isto 
indica que as deformações decorrentes 
das tensões de cisalhamento nos planos 
xz e yz são desprezíveis. A deflexão da 
placa está, assim, principalmente 
associada às deformações de flexão. 
Conclui-se que a deformação normal 𝜀𝑧 
resultante do carregamento transversal 
pode ser omitida; 
- A tensão normal ao plano médio, 𝜎𝑧, é 
pequena comparada com as outras 
componentes e pode ser desprezada. 
 
Figura 4 – Deslocamentos pontuais em placas finas, 
Gamboa, 2009. 
 
As forças, momentos e tensões agindo 
nos elementos de placa são ilustrados na 
Figura 5.Figura 5 – Forças, momentos e tensões agindo nos 
elementos bidimensionais, Nastran User´s Guide, 
2003. 
Onde: 
Fx, Fy = Forças normais agindo nas faces 
x e y [N]; 
Fxy = Esforço cisalhante paralelo ao plano 
médio [N]; 
Vx, Vy = Esforços cisalhantes 
perpendiculares ao plano médio; 
Mx, My = Momentos fletores nas faces x e 
y; 
Mxy = Momento torçor; 
σx, σy = Tensões normais nas faces x e y; 
τxy = Tensão de cisalhamento na face xy. 
A partir do pressuposto nas hipóteses de 
Kirchhoff, as deformações nos três eixos 
para os elementos bidimensionais podem 
ser escritas: 
𝜀𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
; 𝜀𝑦 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
; 𝜀𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
 = 0 (1) 
 
𝛾𝑥𝑦 =
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
 ; 𝛾𝑥𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 0 ; 
𝛾𝑦𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= 0 (2) 
Integrando as expressões de 𝛾𝑥𝑧 e 𝛾𝑦𝑧 se 
obtêm: 
𝑢 = −𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑢0(𝑥, 𝑦); 𝑣
= −𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑣0(𝑥, 𝑦) (3) 
 Onde 𝑢 e 𝑣 são os deslocamentos 
lineares nas direções x e y, 
respectivamente, de um determinado 
ponto a uma distância z do plano médio 
da placa. Os termos 𝜕𝑤 𝜕𝑥⁄ e 𝜕𝑤 𝜕𝑦⁄ 
correspondem às curvaturas da placa 
nos planos xz e yz, definidos pela taxa de 
variação do deslocamento 𝑤 (na direção 
de z), ao longo dos eixos x e y. 
Os termos 𝑢0(𝑥, 𝑦) e 𝑣0(𝑥, 𝑦) representam 
os valores de 𝑢 e 𝑣 na superfície média. 
Assim, conforme o terceiro pressuposto 
de Kirchhoff que indica 𝑢0 e 𝑣0 nulos, as 
expressões de 𝑢 e 𝑣 são reescritas: 
𝑢 = −𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑥
; 
𝑣 = −𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑦
 (4) 
Substituindo nas equações de 
deformação, se obtêm: 
𝜀𝑥 = −𝑧
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
; 𝜀𝑦 = −𝑧
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
; 𝛾𝑥𝑦
= −2𝑧
𝜕2𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
 (5) 
 
 
Onde 𝐸 é o módulo de elasticidade 
longitudinal, 𝜈 é o coeficiente de Poisson 
e 𝐺 é o módulo de elasticidade 
transversal do material, dado pela 
equação: 
𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
 (8) 
Substituindo 𝜀𝑧 = 𝛾𝑥𝑧 = 𝛾𝑦𝑧 = 0, se obtêm 
as relações tensão deformação para 
placas finas: 
𝜎𝑥 =
𝐸
1 − 𝜈2
(𝜀𝑥 − 𝜈𝜀𝑦); 
𝜎𝑦 =
𝐸
1 − 𝜈2
(𝜀𝑦 − 𝜈𝜀𝑥); 
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦 (9) 
Introduzindo as curvaturas das placas, as 
equações terão a seguinte forma: 
𝜎𝑥 = −
𝐸𝑧
1 − 𝜈2
(
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜈
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
) (10) 
𝜎𝑦 = −
𝐸𝑧
1 − 𝜈2
(
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜈
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
) (11) 
𝜏𝑥𝑦 = −
𝐸𝑧
1 − 𝜈
∙
𝜕2𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
 (12) 
As incógnitas dos modelos numéricos 
são os deslocamentos na estrutura, 
calculados a partir das condições de 
contorno do modelo. Através dos 
deslocamentos nodais, as tensões e 
deformações em cada elemento são 
calculadas conforme as equações aqui 
apresentadas. Deslocamentos, tensões e 
deformações constituem os principais 
resultados de saída das análises 
numéricas pelo método de elementos 
finitos. 
6. O PROTÓTIPO 
No primeiro semestre de 2011 o 
Laboratório de Engenharia Automotiva da 
ULBRA propôs aos alunos do curso o 
desenvolvimento de um veículo elétrico 
de pequeno porte, para um ocupante, 
destinado a trafegar em separado das 
vias urbanas, em ambiente universitário 
ou empresarial. 
Alimentado por bateria automotiva, o 
peso total do veículo com condutor é 
estimado em 1500 N e sua velocidade 
máxima em aproximadamente 30 km/h. 
Concebido para receber suspensão do 
tipo “Braço em Balanço” (Swing Arm) na 
dianteira e “Braço Semi-arrastado” (Semi 
Trailing Arm) na traseira, o chassis é 
construído em tubos de aço e apresenta 
geometria simples. O vão sob o acento 
aloja a bateria. 
Na Figura 6, montagem em programa de 
CAD da proposta de chassis 
desenvolvida com elementos mecânicos 
básicos e na Figura 7 o chassis 
individualmente. 
 
 
Figura 6 – Desenho em CAD do chassis com 
elementos básicos. 
 
Figura 7 – Desenho em CAD do chassis 
individualmente. 
Os braços da suspensão dianteira são 
montados coaxialmente aos tubos do 
chassis, o que confere melhores 
propriedades estéticas ao protótipo mas 
gera a necessidade de um quadro frontal 
estrutural montado após as balanças e 
fixo com parafusos. 
A estrutura real analisada neste trabalho 
não conta com as esperas para bateria e 
assoalho visualizadas na Figura 8, para 
análise computacional será utilizada 
geometria idêntica ao chassis real. Na 
Figura 8, o chassis com suspensão 
dianteira e sistema de direção montados 
e na Figura 9, o chassis individualmente. 
 
Figura 8 – Chassis com suspensão dianteira e 
sistema de direção montados. 
 
Figura 9 – Chassis do protótipo elétrico. 
Como verificado na Figura 9, o chassis 
apresenta geometria simples, de forma a 
manter-se tão leve quanto possível. Os 
arranjos quadrados formados pelos tubos 
que se interceptam são pouco favoráveis 
a rigidez torcional, entretanto, devido às 
reduzidas dimensões, massa e 
velocidade do veículo, se prevê que este 
seja adequadamente rígido às 
solicitações mecânicas típicas de tráfego. 
O chassis é construído em tubos de aço 
AISI 1020 com costura, 32 mm de 
diâmetro e 2 mm de espessura de 
parede. As fixações da suspensão 
traseira são chapas planas com 6,5 mm 
de espessura e os tubos onde são 
montadas as balanças da suspensão 
dianteira tem 24 mm de diâmetro e 1,5 
mm de parede. Os tubos constituintes do 
 
quadro frontal tem 20 mm de diâmetro e 
2 mm de espessura. 
MÉTODO E RESULTADOS 
EXPERIMENTAIS 
A medição da rigidez à torção de um 
chassis consiste na medição dos 
deslocamentos angulares (ângulo de 
torção) da estrutura submetida a um 
torque puro ao redor de seu eixo 
longitudinal. (Torque puro é o torque 
gerado por forças verticais de igual 
magnitude aplicadas em sentidos 
opostos nas fixações traseiras e 
dianteiras da suspensão). 
Usualmente, o chassis é preso pelas 
fixações da suspensão traseira e o 
carregamento ou deslocamento é 
aplicado às fixações da suspensão 
dianteira. Portanto, a rigidez torcional da 
estrutura é medida na porção situada 
entre as fixações da suspensão. 
Thompson (1998), ao trabalhar com 
chassis tubular de carro da categoria 
NASCAR, desenvolveu uma plataforma 
para medição de rigidez torcional de 
chassis que consiste em quatro suportes 
montados nas fixações da suspensão e 
parafusados ao chão, dois dos quais com 
regulagem de altura. No modelo 
desenvolvido neste trabalho, os suportes 
são fixos ao chassis através de juntas 
esféricas, que restringem translação em 
todas as direções mas mantém rotação 
livre. Enquanto os suportes traseiros são 
engastados no chão, os dianteiros tem 
giro livre ao redor de y. 
Na Figura 10, esquema da plataforma 
utilizada por Thompson. 
 
 
Figura 10 – Plataforma para ensaio de torção, 
Thompson, 1998. 
No método adotado por Thompson, os 
suportes dianteiros que possuem 
regulagem de altura são utilizados para 
gerar deslocamento da estrutura, e a 
força de reação produzida é medida por 
balanças localizadas sob ambos os 
suportes. O fato de o deslocamento ser 
controlado nos dois lados garante a 
aplicação de torção pura e viabiliza a 
análise de chassis robustos sem 
necessidade de atuadores hidráulicos, 
para aplicação de forças elevadas. 
Para a medição da rigidez torcional do 
chassis aqui abordado, a estrutura foi 
montada sobre bancada com as esperas 
da suspensão traseira fixas por parafusos 
e a porção dianteira apoiada ao centro 
sobre cantoneira de aço. A bancada de 
testes, mesa metálica de estrutura 
robusta, foi parafusada ao chão, 
 
aumentando sua rigidez e minimizando 
possíveis influências nas medições. 
Forças verticais de igual magnitude e 
sentidos opostos foram então aplicadas 
ao chassis através de cabos de aço e 
roldana, onde massas semelhantes 
foram penduradas. 
Os deslocamentos verticais da estrutura 
foram medidos através de comparadores, 
com resolução de centésimo de 
milímetro, localizados em três posições 
distintas. Os comparadores foram fixados 
em estruturas independentesda bancada 
de teste, a fim de evitar influência de 
possíveis deslocamentos da bancada nas 
medições. A bancada de testes, o 
chassis com torque aplicado e suas 
fixações traseiras são verificados nas 
Figuras 11, 12 e 13 respectivamente. 
 
Figura11 – Bancada de testes. 
 
Figura 124 – Chassis montado sobre bancada com 
pesos aplicados. 
 
Figura 13 – Fixações do chassis à bancada de teste. 
A utilização de massas como fonte de 
força para gerar torque é adequada neste 
caso devido às dimensões reduzidas e 
flexibilidade do chassis, projetado para 
solicitações mecânicas pequenas em 
comparação a veículos mais pesados e 
velozes. As massas consistem em 
chapas de chumbo enroladas, 
penduradas aos cabos de aço através de 
suportes. Na Figura 14, suporte com 
diferentes combinações de massas 
aplicadas. 
Fixações da 
suspensão 
traseira. 
Apoio 
central. 
Roldana. 
Roldana. 
 
 
Figura 14– Diferentes quantidades de massa para 
aplicação. 
Os deslocamentos da estrutura foram 
medidos em três pontos diferentes, 
estando dois comparadores localizados 
na extremidade dianteira e um localizado 
sobre fixação traseira. O propósito do 
terceiro comparador é verificar 
deslocamentos nas fixações do chassis à 
bancada, possibilitando então subtrair o 
ângulo de torção traseiro do dianteiro e 
obter o ângulo de torção real da 
estrutura. 
A localização dos comparadores é 
verificada nas Figuras 15 e 16. 
 
Figura 15 – Comparadores dianteiros (C1 e C2). 
 
Figura 56 – Comparador traseiro (C3). 
Os torques gerados pela aplicação de 
pesos e os deslocamentos angulares do 
chassis são calculados conforme as 
equações 13 e 14, respectivamente: 
𝑇 = 𝑔(𝑚1 + 𝑚2) ∙ 𝑙 (13) 
𝛼 = sin−1 [
(𝑑1 + 𝑑2 2⁄ )
𝑙𝑑
−
𝑑3
𝑙𝑡
] (14) 
Onde: 
𝑇 = Torque aplicado ao chassi [Nm]; 
𝑔 = Aceleração da gravidade [m/s²]; 
𝑚1, 𝑚2 = Massas semelhantes (diferença 
máxima de 0,3%) penduradas em lados 
opostos do chassi [kg]; 
𝑙𝑑 = Braço de alavanca do centro do 
chassi até o ponto de aplicação do peso 
[m]; 
𝑙𝑡 = Braço de alavanca do centro do 
chassi até o ponto de apoio do 
comparador traseiro [m]. 
𝛼 = Deslocamento angular do chassi [º]; 
𝑑1, 𝑑2 = Deslocamentos verticais da 
extremidade dianteira do chassi [m]. 
𝑑3 = Deslocamento vertical junto a 
fixação traseira do chassi [m]. 
C1 
C2 
C3 
 
Com 𝑙𝑑 = 0,165 𝑚, 𝑙𝑡 = 0,265 𝑚 e 
𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠², os torques aplicados, 
deslocamentos verticais medidos e 
ângulos de torção calculados são 
verificados na Tabela 1. 
Tabela 1 – Torques aplicados, deslocamentos e 
ângulos de torção medidos. 
M
e
d
iç
ã
o 
Torq
ue 
[Nm] 
Deslo
came
nto C1 
[mm] 
(desc
enden
te) 
Deslo
came
nto C2 
[mm] 
(asce
ndent
e) 
Deslo
came
nto C3 
[mm] 
(asce
ndent
e) 
Âng
ulo 
de 
Torç
ão 
Calc
ulad
o [°] 
1
ª 
29,8 -0,22 0,21 
0,0 
0,08 
2
ª 
57,8 -0,42 0,43 
0,01 
0,15 
3
ª 
85,5 -0,66 0,66 
0,01 
0,23 
4
ª 
112,
5 
-0,90 0,93 
0,02 
0,32 
5
ª 
142,
6 
-1,15 1,20 
0,02 
0,40 
Com os dados da Tabela 1 foi gerado o 
gráfico de rigidez torcional do chassis, 
verificado na Figura 17, com linha de 
tendência. 
 
Figura 17 – Rigidez torcional medida e linha de 
tendência. 
A equação resultante da linha de 
tendência traz a inclinação: 
𝛼 = 0,0028 ∙ 𝑇 
Que permite calcular a rigidez torcional 
linear: 
𝑘 =
∆𝑇
∆𝛼
=
𝑇5 − 𝑇1
𝛼5 − 𝛼1
=
1
0,0028
 
𝑘 ≅ 357 𝑁𝑚/° 
Na seção seguinte, apresenta-se os 
deslocamentos e a rigidez torcional 
obtidos numericamente e comparação 
com os dados das medições 
experimentais. 
5.4 CONDIÇÕES DE CONTORNO E 
RESULTADOS NUMÉRICOS 
Buscando obter resultados com bom 
nível de exatidão em tempo hábil, com os 
recursos de hardware disponíveis, o 
chassis objeto de estudo deste trabalho 
foi desenhado em programa de CAD 
como corpo de superfícies com 
espessura nula. A geometria obtida foi 
discretizada, através do programa de 
modelagem numérica, em elementos 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 50 100 150
Â
n
g
u
lo
 [
°]
 
Torque [Nm] 
 
finitos bidimensionais. O desenho CAD é 
verificado na Figura 18. 
 
Figura 186 – Desenho CAD do chassis em 
superfície. 
A comparação correta entre os 
resultados obtidos pelo método 
experimental e numérico requer que as 
condições de contorno aplicadas ao 
modelo numérico reproduzam as 
condições da medição experimental tão 
exatamente quanto possível. Também as 
propriedades geométricas da estrutura 
devem ser fielmente reproduzidas. 
Desse modo, baseado nos 
deslocamentos verificados 
experimentalmente, o modelo de chassis 
teve as superfícies das fixações da 
suspensão traseira engastadas e foi 
apoiado ao centro do tubo transversal 
inferior dianteiro. O apoio se da na forma 
de restrição dos movimentos de 
translação do ponto mais inferior da 
seção central do tubo. Na Figura 19, as 
superfícies engastadas destacadas em 
amarelo e na Figura 20, o ponto de apoio 
destacado na mesma cor. 
 
Figura 19 – Superfícies engastadas. 
 
Figura 20 – Ponto de apoio. 
As forças foram aplicadas em arestas 
coincidentes com as regiões de apoio 
dos cabos de aço no chassis, localizadas 
a 30 mm de distância do quadro frontal 
por questões de espaço na medição 
experimental. As arestas de aplicação 
das forças são visualizadas na Figura 21, 
onde a força descendente é aplicada no 
lado esquerdo e a ascendente no lado 
direito da figura. 
 
Figura 21 – Arestas de aplicação das forças. 
A partir do diâmetro e comprimento da 
superfície a ser discretizada, o programa 
calcula o tamanho mínimo indicado aos 
elementos constituintes da malha. 
Quanto menor a razão 
diâmetro/comprimento, menores deverão 
ser os elementos constituintes da 
superfície. Ao atribuir propriedades as 
 
superfícies constituintes do chassis, 
como a espessura das paredes dos 
tubos, o tamanho indicado aos elementos 
de cada superfície foi mantido para o 
primeiro conjunto de análises. As 
superfícies de fixação da suspensão 
traseira foram discretizadas em 
elementos triangulares devido ao fato 
destes formarem malha mais 
homogênea. O restante do chassis foi 
discretizado em elementos de placa 
quadrados, observando recomendação 
anteriormente citada. 
Após o primeiro conjunto de análises, 
com tamanhos de elemento indicados 
pelo software, o procedimento foi 
repetido com a geometria discretizada 
em elementos quadrados com 4 e 2 mm 
de aresta. Foi verificada diferença de 
1,5% entre os deslocamentos calculados, 
o que indica independência de malha. 
Na Figura 22, a malha gerada com 
elementos de 4 mm e na Figura 23, a 
malha das fixações da suspensão 
traseira em detalhe. 
 
Figura 22 – Malha do modelo numérico. 
 
Figura 23 – Malha nas fixações da suspensão 
traseira. 
Para simular contato entre o quadro 
frontal e os tubos dianteiros do chassis, 
as arestas das superfícies de contato 
tiveram seus pontos nodais conectados 
por elementos unidimensionais 
indeformáveis, viabilizando a transmissão 
de esforços entre as estruturas. A mesma 
estratégia foi aplicada na simulação do 
contato entre os tubos dianteiros de 
menor diâmetro, onde se encaixa a 
suspensão, e os tubos de diâmetro maior 
do chassis. 
Na Figura 24, as conexões por elementos 
unidimensionais indeformáveis, onde 
estes são visualizados como linhas 
brancas conectando arestas às 
superfícies adjacentes. 
 
Figura 24 – Conexão por elementos 
unidimensionais. 
Partindo do pressuposto de que 
elementos menores geram resultados 
mais exatos, os resultados da análise 
 
estrutural numérica com elementos de 2 
mm de aresta são visualizados na Tabela 
2. Os deslocamentos nas fixações 
traseiras do chassis são nulos devido ao 
engaste aplicado. 
Tabela 2 – Torques aplicados, deslocamentos e 
ângulos obtidos numericamente. 
Medi
ção 
Torqu
e 
[Nm] 
Desl
oca
men
to 1 
[mm
] 
Desloc
ament
o 2 
[mm]Ângulo 
de 
Torção 
Calcula
do [°] 
1ª 29,8 
-
0,20 
0,20 0,07 
2ª 57,8 
-
0,39 
0,39 0,13 
3ª 85,5 
-
0,57 
0,57 0,20 
4ª 112,5 
-
0,75 
0,75 0,26 
5ª 142,6 
-
0,95 
0,95 0,33 
Os dados da Tabela 2 geram o gráfico da 
rigidez obtida numericamente, verificado 
na Figura 25. 
 
Figura 25 – Rigidez obtida numericamente. 
Observa-se na Figura 26 o 
comportamento linear da rigidez torcional 
do modelo, cuja equação da reta indica: 
𝛼 = 0,0023 ∙ 𝑇 
Que resulta na rigidez torcional: 
𝑘 =
1
0,0023
 
𝑘 ≅ 435 𝑁𝑚/° 
Na Figura 28, a sobreposição das curvas 
de rigidez obtidas experimental e 
numericamente. 
 
Figura 26 - Sobreposição dos resultados numéricos 
e experimentais. 
A rigidez obtida a partir do modelo 
numérico é aproximadamente 22% maior 
que a rigidez medida experimentalmente. 
Esta diferença é atribuída às tensões 
residuais nas regiões soldadas, como as 
próprias costuras dos tubos, omitidas na 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 50 100 150
Â
n
g
u
lo
 [
°]
 
Torque [Nm] 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 50 100 150
Â
n
g
u
lo
 [
°]
 
Torque [Nm] 
Rigidez Experimental
Rigidez Numérica
 
simulação, e também à dificuldade de 
reproduzir exatamente as condições de 
contorno do processo experimental, 
como a parcela de força sustentada pelo 
eixo da roldana, que não é transmitida ao 
chassis. 
Para motivos de dimensionamento 
estrutural, o grau de concordância 
verificado entre os valores de rigidez, 
considerando a rapidez de obtenção dos 
resultados numéricos e a acessibilidade 
dos recursos de hardware utilizados, 
indica adequação razoável do modelo 
gerado. 
6 CONCLUSÃO 
No projeto automobilístico moderno, os 
programas de modelagem numérica pelo 
método de elementos finitos se tornam 
ferramentas de grande valor por 
proporcionar resultados rápidos, 
acelerando as atividades de projeto. 
Compreendendo as hipóteses sobre as 
quais o método de elementos finitos se 
fundamenta, o projetista é capaz de 
avaliar criticamente os resultados das 
análises estruturais, verificando a 
validade de um modelo a partir de 
comparação com ensaio experimental. 
Os procedimentos aqui apresentados 
possibilitaram avaliar o grau de 
concordância entre a rigidez torcional 
medida no chassis real e a rigidez obtida 
numericamente. 
A diferença de 22% entre os valores de 
rigidez obtidos é atribuída à componente 
da força sustentada pela roldana 
(desconsiderada durante ensaio 
experimental) e às tensões residuais das 
regiões soldadas, omitidas na hipótese 
dos meios contínuos. 
Os resultados obtidos durante este 
trabalho indicam a modelagem numérica 
por elementos bidimensionais como 
ferramenta de exatidão razoável no 
dimensionamento estrutural veicular, 
indicada especialmente na avaliação 
comparativa entre estruturas diferentes. 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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