Se X1, X2, ..., Xk são variáveis aleatórias com distribuições de Poisson com parâmetros λ1, λ2, ..., λk, res- pectivamente. Mostre que a dist...

A distribuição condicional de X1 dado X1 + X2 + ... + Xk segue uma distribuição binomial. Para mostrar isso, podemos usar a definição de probabilidade condicional e a propriedade da distribuição de Poisson. Vamos denotar a distribuição condicional de X1 dado X1 + X2 + ... + Xk como P(X1 = x | X1 + X2 + ... + Xk = n), onde x é o número de ocorrências de X1 e n é o número total de ocorrências de todas as variáveis aleatórias. Usando a definição de probabilidade condicional, temos: P(X1 = x | X1 + X2 + ... + Xk = n) = P(X1 = x, X1 + X2 + ... + Xk = n) / P(X1 + X2 + ... + Xk = n) Agora, vamos usar a propriedade da distribuição de Poisson, que diz que a probabilidade de uma variável aleatória Poisson com parâmetro λ ter um determinado valor k é dada por: P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k! Aplicando essa propriedade, podemos escrever a probabilidade de X1 = x e X1 + X2 + ... + Xk = n como: P(X1 = x, X1 + X2 + ... + Xk = n) = P(X1 = x) * P(X2 + ... + Xk = n - x) Substituindo as probabilidades usando a propriedade da distribuição de Poisson, temos: P(X1 = x, X1 + X2 + ... + Xk = n) = (e^(-λ1) * λ1^x) / x! * (e^(-λ2) * λ2^(n - x)) / (n - x)! * ... * (e^(-λk) * λk^(n - x)) / (n - x)! Agora, vamos calcular a probabilidade de X1 + X2 + ... + Xk = n: P(X1 + X2 + ... + Xk = n) = Σ P(X1 = x, X1 + X2 + ... + Xk = n) Onde a soma é feita para todos os valores possíveis de x que satisfaçam a condição X1 + X2 + ... + Xk = n. Agora, podemos substituir as probabilidades calculadas anteriormente na fórmula da probabilidade condicional: P(X1 = x | X1 + X2 + ... + Xk = n) = (e^(-λ1) * λ1^x) / x! * (e^(-λ2) * λ2^(n - x)) / (n - x)! * ... * (e^(-λk) * λk^(n - x)) / (n - x)!) / Σ P(X1 = x, X1 + X2 + ... + Xk = n) Simplificando a expressão, obtemos: P(X1 = x | X1 + X2 + ... + Xk = n) = (λ1^x * λ2^(n - x) * ... * λk^(n - x)) / (x! * (n - x)!) * (Σ (λ1^x * λ2^(n - x) * ... * λk^(n - x)) / (x! * (n - x)!)) Agora, observe que a expressão dentro do somatório é a expansão do binômio (λ1 + λ2 + ... + λk)^(n - x). Portanto, podemos reescrever a expressão como: P(X1 = x | X1 + X2 + ... + Xk = n) = (λ1^x * λ2^(n - x) * ... * λk^(n - x)) / (x! * (n - x)!) * (λ1 + λ2 + ... + λk)^(n - x) / (n - x)! Essa é a forma da distribuição binomial, onde temos x sucessos em n - x tentativas, com uma probabilidade de sucesso dada por (λ1 + λ2 + ... + λk) / (n - x). Portanto, a distribuição condicional de X1 dado X1 + X2 + ... + Xk é uma distribuição binomial.