Matemática - 6º Ano - Caderno 03

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3
caderno
ano
6
Ensino 
Fundamental
MATEMÁTICA
PROFESSOR
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Frações
 Ponto de partida, 3
Frações e porcentagens, 4
1. Introdução, 4
2. Algumas ideias associadas à fração, 6
3. Frações equivalentes, 23
4. Comparação de frações, 30
5. Operações com frações, 33
6. Porcentagem, 55
 Ponto de chegada, 76
Matemática
Luiz Roberto Dante
2133239 (PR)
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 Ponto de partida
Sob a orientação do professor, converse com os colegas, observe as 
fases da Lua reproduzidas acima e responda:
1. Em qual desses dias houve lua cheia? 
2. Em quais desses dias esteve visível apenas metade do disco lunar, 
aspecto que corresponde ao quarto minguante ou ao quarto 
crescente? 
3. O oposto da lua cheia é a lua nova. Em que dia houve lua nova? 
4. Depois da lua nova, aparece uma pequena parte brilhante da Lua, 
que vai aumentando dia a dia até atingir a metade do lado visível 
da Lua. Nesse momento, se metade do lado visível está iluminado, 
por que essa fase é chamada de “quarto” crescente?
5. Entre as luas cheia e nova, ocorrem os quartos. Por que eles são 
chamados de crescente e minguante? 
MÓDULO
Frações 
A aparência da Lua depende da posição relativa entre a Terra, a 
Lua e o Sol, e vai mudando continuamente durante o movimento 
de translação da Lua ao redor da Terra. Somente quatro dessas 
aparências, chamadas de fases, recebem nomes especiais: lua 
nova, lua cheia, quarto minguante e quarto crescente.
Na lua nova, por exemplo, a Lua se apresenta no céu durante o 
dia, por isso não a vemos. Porém, na lua cheia, o lado visível da 
Lua está totalmente iluminado pelo Sol.
Veja alguns aspectos da Lua vista do Brasil em novembro e 
dezembro de 2014:
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22/11 26/11 29/11 1/12 6/12 10/12 14/12 16/12
Fases da Lua
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Frações e 
porcentagens
Frações e 
porcentagens
1 Introdução
As frações surgiram da necessidade de registrar as medidas de forma mais precisa.
Acompanhe o texto.
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Trecho do rio Nilo, 
Egito, 2013.
Antigamente, alguns agricultores egípcios tinham terras 
próximas do rio Nilo. Em determinado período do ano, o nível 
das águas do rio começava a subir, avançando sobre as mar-
gens. Quando isso ocorria, a água derrubava as cercas usadas 
para marcar os limites do terreno de cada agricultor, sendo 
necessário recalcular os limites desses terrenos. Ou seja, era 
necessário realizar novas medições.
Para isso, as pessoas encarregadas de medir esses limi-
tes usavam cordas, nas quais havia uma unidade de medida 
assinalada. Essas pessoas verificavam quantas vezes aque-
la unidade de medida cabia nos lados do terreno.
Porém, por mais adequada que fosse a unidade de medi-
da escolhida, dificilmente ela cabia um número inteiro de ve-
zes no que se pretendia medir. A medida obtida era algo 
como, por exemplo, 6 “pedaços de corda” mais meio 
“pedaço de corda”.
Foi por essa razão que os egípcios criaram um 
novo tipo de número: as frações.
Nicolas Thibaut/Photononstop/Ag•ncia France-Presse
4
 Objetivos:
• Relacionar diferentes ideias 
associadas às frações. 
• Comparar e operar com 
frações.
• Reconhecer o conceito de 
porcentagem e aplicá-lo
no dia a dia.
• Identificar o conceito de 
probabilidade e aplicá-lo.
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Examine agora duas manchetes em que aparecem frações.
Representação da quantidade de água no 
organismo do ser humano
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Cerca de 70% do 
nosso corpo é 
constituído de água.
Examine agora duas manchetes em que aparecem frações.
As frações também podem aparecer representadas na forma percentual 
(porcentagem). Nas informações seguintes, por exemplo.
Neste módulo vamos estudar as frações, retomando e ampliando seus conheci-
mentos com novas informações, entre elas as que envolvem porcentagens.
Especialista diz que 1
3
 da população mundial não tem acesso a medicamentos.
SAÚDE. Disponível em: <www2.camara.leg.br/camaranoticias/noticias/
SAUDE/465234-ESPECIALISTA-DIZ-QUE-13-DA-POPULACAO-MUNDIAL-
NAO-TEM-ACESSO-A-MEDICAMENTOS.html>. Acesso em: 24 fev. 2015.
Idosos serão 1
4
 da população no ano de 2060, aponta IBGE.
SOARES, Pedro. Cotidiano. A eleição e os analistas parciais. Disponível em: <www1.folha.uol.com.br/cotidiano/2013/08/
1333690-idosos-serao-14-da-populacao-no-ano-de-2060-aponta-o-ibge.shtml>. Acesso em: 24 fev. 2015.
Idosos em festa religiosa. Recife (PE), 2014.
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70% é o mesmo que 
70 em 100, ou seja, 
70
100
 ou 7
10
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Frações 5
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2 Algumas ideias 
associadas à fração
Fração como parte de uma figura ou objeto
Felipe dividiu uma folha de cartolina em 4 partes de mesmo tamanho e pintou 
uma delas de verde. 
Dizemos que a folha de cartolina é a unidade ou o todo ou o 
inteiro.
Representamos a parte pintada pela fração 1
4
.
1
4
O 1 é o numerador da fração. Indica o número de partes pintadas.
traço de fração 
O 4 é o denominador da fração. Indica o número de partes iguais 
em que a folha foi dividida.
Juntando a parte pintada com a não pintada, obtemos o inteiro (1). Também po-
demos representar esse inteiro pela fração 4
4
, ou seja, 1 inteiro 4
4
1.5 5
A fração que representa a 
parte da folha que não foi pintada é 
3
4
. 
O numerador dessa fração 
é o 3 e o denominador é o 4. Eles são 
chamados de termos da fra•‹o. 
 Bate-papo
Você já ouviu a expressão em uma fração de segundo? O que ela quer dizer? Discuta isso 
com um colega.
Em uma fração de segundo significa “em uma pequena parte do segundo”, ou seja, é um 
intervalo de tempo muito curto.
Peça aos alunos que 
recortem uma folha de 
papel sulfite em quatro 
partes iguais e mostrem 
as partes que 
representam 1
4
 e 3
4
 da 
folha.
Os alunos também podem 
recortar uma folha de 
papel sulfite em oito 
partes iguais e utilizar as 
tiras para explorar outras 
frações, como oitavos. O 
material pode ser utilizado 
como apoio ao longo 
deste capítulo para a 
exploração de outros 
conceitos, como frações 
equivalentes, comparação 
de frações ou adição e 
subtração de frações. 
Frações6
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Exercícios 
 1. Escreva a fração correspondente à parte pintada em cada figura em relação à figura toda.
a) b) c) d) e) 
 2. Desenhe quatro figuras e pinte, em cada uma delas, a parte representada pelas frações:
 a ) 3
4
 b ) 7
8
 c ) 1
6
 d ) 3
3
 
 3. Um automóvel saiu de A em direção a B no trajeto indicado na figura e já percorreu 3
5
 desse trajeto. Localize nela o ponto em 
que o automóvel se encontra. 
A B
 4. Pinte a parte indicada pela fração.
 a ) b ) c ) d ) 
 5. Responda ao que se pede observando as figuras ao lado de cada item.
 a ) Aproximadamente, que fração da 
tinta já foi usada? 
 b ) Aproximadamente, que fraçãodo 
bolo foi comida? Que fração restou? 
 c ) Aproximadamente, que fração da 
parede já foi pintada? Que fração 
ainda falta pintar? 
 d ) Aproximadamente, que fração da 
janela está coberta pelas cortinas? 
Que fração não está coberta? 
2
3
7
10
1
3
4
4
5
9
Sugestões de respostas: 
aqui
1
3 7
12
3
4
5
10
 
1
3
 
4
6
; 2
6
 
4
5
; 1
5
 
2
3
; 1
3
 Para construir:
 Exercícios 1 a 5 (abaixo)
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Leitura das frações
O que determina como se lê uma fração é o seu denominador. Veja como lemos 
os diferentes tipos de frações:
• Frações com denominadores de 2 a 9 
1
2
:
metade,
um meio
ou meio 
2
33
:: dois terços
 
3
44
:: três quartos
 
1
55
: um quinto
5
66
: cinco sextos
 
4
77
: quatro sétimos
 
5
88
:: cinco oitavos
 
2
99
:: dois nonos
• Frações com denominadores 10, 100 ou 1 000, chamadas de frações decimais
7
10
: sete décimos
 
3
100
: três centésimos
 
1
1 000
: um milésimo
• Outros denominadores
Com outros números no denominador, lemos o numerador e depois o denominador 
seguido da palavra avos.
1
12
: um doze avos 3
20
: três vinte avos 2
35
: dois trinta e cinco avos
 Você sabia?
As frações que têm o numerador 1 por exemplo, 1
2
, 1
3
, 1
5
, etc.)( são chamadas de
frações unitárias.
No Papiro de Rhind, um antigo documento egípcio, já apareciam as frações unitárias.
Já foram usadas muitas formas de indicar frações, mas o traço horizontal que separa
o numerador do denominador apareceu somente no século XIII.
O Papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes
(cerca de 1650 a.C.) é uma das maiores 
fontes de conhecimento sobre a matemática dos egípcios.
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Exercícios 
 6. Escreva como se lê cada fração abaixo.
 a ) 1
7
: 
 b ) 9
10
: 
 c ) 4
27
: 
 d ) 77
10 000
: 
 e ) 15
16
: 
 f ) 8
8
: 
 7. Escreva as frações correspondentes a:
 a ) cinco sextos: b ) treze trinta avos: c ) nove centésimos: d ) quatro quartos: 
Um sétimo.
Nove décimos.
Quatro vinte e sete avos.
Setenta e sete décimos de milésimo.
Quinze dezesseis avos.
Oito oitavos.
5
6
13
30
9
100
4
4
Avos 
quer dizer:
‘‘divisão em partes 
iguais’’.
Um doze avos 
representa uma
das 12 partes iguais 
em que a unidade 
foi dividida.
 Para construir:
 Exercícios 6 e 7 (abaixo)
Frações8
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Fração como comparação 
de dois números naturais
João vende balões. Ele tem 7 balões; 3 deles são vermelhos. Podemos 
também dizer que 3 em 7 dos balões de João são vermelhos, ou seja, 
três sétimos dos balões são vermelhos.
3
7
número de balões vermelhos
número total de balões
A fração 
3
7 expressa uma comparação dos números naturais 3 e 7.
Veja outros dois exemplos:
1o) Quando lançamos uma moeda, há duas possibilidades de resultado:
• pode sair cara: • pode sair coroa:
Face “cara” de 
uma moeda ou
Face “coroa” de 
uma moeda
Por isso, dizemos que a chance ou a probabilidade de sair cara é 1
2
 (1 em 2).
Observe que, nesse caso, também estamos usando a fração para expressar uma 
comparação de dois números naturais.
2o) Quando lançamos um dado, há seis possibilidades quanto à face que ficará voltada 
para cima:
 A probabilidade de sair o número 5 é de 1 em 6, ou seja, 1
6
.
 A probabilidade de sair um número ímpar é de 3 em 6 ou 3
6
1
2
5 .
Essa ideia de fração está associada à 
de razão. Por exemplo, cinco em oito, 
dois em três, quatro em sete, etc. é o 
mesmo que falar na razão de cinco 
para oito, na razão de dois para três, 
na razão de quatro para sete, etc.
Dados
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As imagens desta página 
não estão representadas 
em proporção.
Balões
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Exercícios 
 8. Observe a figura dos balões de João na página anterior e escreva as frações que representam:
 a ) os balões azuis: 
 b ) os balões que não são vermelhos: 
 9. Na equipe de Alzira há 3 meninos e 2 meninas. Escreva as frações que indicam os meninos e as meninas em relação ao 
total de alunos da equipe. 
Meninos: 
3
5 (3 em 5); meninas:
 2
5 (2 em 5).
 10. Escreva a fração que representa as figuras pintadas em cada grupo de figuras geométricas.
 a ) 
 b ) 
 c ) 
 d ) 
 11. A fração é 2
5
. Invente um conjunto de elementos e identifique nele a parte correspondente a essa fração. 
 12. Atividade em dupla 
Troque ideias com um colega e anote as conclusões a que chegaram.
 a ) Quantas faces tem um dado? 
 
 b ) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair a face 4?
 
 c ) Qual é a probabilidade de sair uma face com número par de pontos? 
 
 d ) Qual é a probabilidade de sair uma face com número de pontos maior do que 1? 
 
2
7 (2 em 7)
4
7 (4 em 7)
2
3 
9
10 
 
5
12
3
6 
Os alunos devem representar 5 elementos e destacar 2 elementos entre eles.
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DadoDado
6 faces.
1 em 6 ou 
1
6 .
 .3
6
 .5
6
 Para construir:
 Exercícios 8 a 12 (abaixo)
Frações10
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Fração como quociente 
de dois números naturais
Acompanhe a seguinte situação:
 
Da mesma forma, pintar 8
4
 significa pintar 2 inteiros, ou seja, 8
4
2.5
ou 2 inteiros
8
4
Como 8 : 4 também é igual a 2, temos 8
4
 5 8 ; 4 5 2.
Veja estas outras situações:
1a) André (A), Catarina (C) e Solange (S) cortaram 
uma pizza em 3 pedaços aproximadamente 
iguais. Que parte caberá a cada um?
 Pela figura, vemos a pizza dividida em três par-
tes aproximadamente iguais; e a parte que fi-
cará para cada um é aproximadamente 1
3
 (um 
terço).
 Indicamos essa situação por 1 ; 3 5 1
3
.
2a) Imagine duas folhas de papel repartidas igualmente entre 5 pessoas: Amanda 
(A), Breno (B), Carolina (C), Diego (D) e Edna (E).
 
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
 
ou
 
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
 Indicamos a parte que cabe a cada pessoa assim:
 2 ; 5 5 2
5
2 folhas 2
5
 (dois quintos) de folha para cada pessoa
 5 pessoas
 Então, cada pessoa receberá 2
5
 de folha.
E se eu efetuo a divisão 4 ; 4, 
também obtenho 1, ou seja:
4
4
 5 4 ; 4 5 1.
Se eu divido uma região 
quadrada em 4 partes iguais e 
pinto as 4 partes, eu estou 
pintando a figura toda (1).
Pizza
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Chame a atenção dos alunos para o fato de 
que, nesta situação, a unidade, o inteiro, são 
as duas folhas.
Frações 11
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Exercícios 
 13. Como repartir igualmente 3 folhasde papel sulfite entre 4 crianças? Faça o desenho e indique a divisão correspondente a essa situação. 
 14. Escreva a divisão ou a fração correspondente ao que é dado:
 a ) 3
4
5 b ) 5
8
2
 c ) 1 ; 6 5 d ) 10 ; 3 5 
 15. Número natural e fração
Observe as frações a seguir. Elas representam números naturais.
3
3
1,5 porque 3 ; 3 5 1 
20
4
 ou 15
3
 ou 35
7
 5 5 20
2
 ou 30
3
 ou 50
5
 5 10
Agora, com base nos exemplos acima, complete:
 a ) a fração com numerador 12 que representa o número 4:
 b ) a fração com denominador 12 que representa o número 4:
 c ) 18
3
 5 2 5 2 5 
 
A A
A D
 
B B
B D
 
C C
C D
 
3 ; 4 5 
3
4
3 ; 4 8 ; 2 5 4
1
6
10
3
12
3
48
12
6
6
3
12
6
Frações aparentes
Atividade em dupla
Peguem algumas folhas de papel sulfite e dobrem-nas para representar a fração 
6
2
. Depois, respondam:
 a ) Quantas folhas (unidades) vocês utilizaram? 
3 folhas.
 b ) Qual é a divisão que relaciona a fração 
6
2
 e o número de unidades? 
 c ) Dizemos que 
6
2
 é uma fração aparente. Por que será que esse tipo de fração é chamado de aparente? 
6
2
 5 6 : 2 5 3 unidades.
Espera-se que os alunos concluam que só na aparência esses números são fracionários, pois, na realidade, representam números naturais.
Frações aparentes são frações que representam números naturais.
Oficina de Matemática
 Para construir:
 Exercícios 13 a 15 (abaixo)
 Para aprimorar:
 Oficina de Matemática (abaixo)
Frações12
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Exercícios 
 16. O professor fez a pergunta ao lado
Somente um dos alunos respondeu corretamente. 
Quem acertou? Marque a resposta correta.
 Felipe : “São sempre iguais”.
 Cármen : “O numerador é sempre divisor do denominador”.
X Angélica : “O numerador é sempre múltiplo do denominador”.
 17. Que número natural as frações aparentes 0
3
 e 0
10
 representam? 
 18. Localize as frações aparentes entre as frações a seguir. Indique quantas unidades cada uma delas representa.
 a ) X 9
3
 
 b ) 2
8
 c ) X 6
6
 
 d ) 4
3
 e ) X 14
7
 f ) X 30
5
0 5 5 5 5 )( 03 0 : 3 0; 010 0 : 10 0
5 3 5 1 5 2
5 6
Que relação existe entre o 
numerador e o denominador 
nas frações aparentes?
 Para construir:
 Exercícios 16 a 18 (abaixo)
 Para construir:
 Exercícios 19 a 25 (p. 13 a 16)
Frações próprias e frações impróprias
Acompanhe as atividades a seguir e veja esses dois tipos de fração.
Estimule os alunos a utilizar folhas de papel sulfite recortadas em tiras para representar frações 
próprias e impróprias, levando-os a perceber concretamente a diferença entre elas.
Exercícios 
 19. Observe a figura ao lado, na qual o círculo representa a unidade.
Responda às perguntas.
 a ) Que fração da figura representa a parte colorida? 
 b ) Qual é o denominador dessa fração? 
4.
 c ) Qual é o numerador dessa fração? 
3.
 d ) Qual é menor: o numerador ou o denominador? 
O numerador.
Frações próprias são aquelas de valor maior do que zero e menor do que 1 inteiro. Nelas o numerador é diferente 
de zero e é menor que o denominador.
Por exemplo, a fração 3
4
 é própria.
 .3
4
Frações 13
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 20. Agora, examine a figura abaixo, na qual cada círculo representa uma unidade.
Responda às perguntas.
 a ) Em quantas partes cada uma das unidades foi dividida? 
4 partes.
 b ) Quantas partes das duas figuras juntas foram marcadas? 
5 partes.
 c ) Que fração do círculo representa as partes marcadas? 
 d ) Qual é o denominador dessa fração? 
4.
 e ) Qual é o numerador dessa fração? 
5.
 f ) Qual é maior: o numerador ou o denominador? 
O numerador.
Frações impróprias são aquelas que valem zero, 1 inteiro ou mais do que 1 inteiro. Nelas o numerador é zero ou 
então é igual ou maior do que o denominador.
Por exemplo, a fração 5
4
 é imprópria não aparente, pois vale mais do que um inteiro, e a fração 8
4
 é impró-
pria aparente, pois 8
4
 5 2 e 2 é um número inteiro. 
 21. Classifique as frações 6
2
6
7
7
6
9
9
1
8
11
2
, , , , , , 3
9
12
3
, e 22
5
 em próprias ou impróprias.
 .5
4
6
7
, 1
8
e 3
9
 são frações próprias, pois os numeradores são menores do que os denominadores. 7
6
, 11
2
, 22
5
, 6
2
, 9
9
e 12
3
são frações impróprias, 
pois os numeradores são maiores que os denomina dores ou iguais a eles. Eles representam os seguintes números: 7
6
1 1
6
; 11
2
5 1
2
; 22
5
4 2
5
;5 5 5 
6
2
3; 9
9
1 e 4.5 5 512
3
Frações próprias: 
1
8
, 
3
9
,
6
7
; frações impróprias: 
6
2
, 
7
6
, 
9
9
, 11
2
, 12
3
 e 
22
5
.
Frações14
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 14 2/1/16 9:31 AM
 22. Considere como unidade um círculo determinado por uma moeda. Desenhe e pinte o correspondente a cada item. Identifique 
quais são frações próprias, quais são impróprias e, destas, quais são aparentes.
 a ) 
3
4
:
 b ) 4
2
:
 c ) 1 1
2
:
 d ) 
6
2
:
 e ) 1
3
:
 f ) 
5
4
: 
 23. Escreva um exemplo de fração própria, outro de fração imprópria (não aparente) e outro de fração imprópria aparente.
Própria.
Imprópria aparente.
Imprópria.
Imprópria aparente.
Própria.
Imprópria.
Respostas pessoais.
Por exemplo: própria: 1
5
, 3
7
, 3
9
, etc.; imprópria não aparente: 6
5
, 5
3
, 3
2
, etc.; imprópria aparente: 54
4
1, 5 510
5
2, 16
4
4, etc.
Frações 15
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 15 2/1/16 9:31 AM
 24. Considere uma região retangular como unidade. 
I. II. III. 
 a ) Que fração representa as partes pintadas em cada um desses três itens? Escreva acima.
 b ) Qual fração é própria? Qual fração é imprópria não aparente? Qual fração é imprópria aparente?
Própria: 
2
3 ; imprópria não aparente: 
4
3 ; imprópria aparente: 
3
3 .
 c ) Qual dessas frações representa um número menor do que 1? E maior do que 1?
Menor do que 1: 
2
3 ; maior do que 1:
 4
3 .
 25. Atividade em dupla
Uma fração própria sempre representa um número menor do que 1? Converse com seu colega, façam desenhos e tirem suas 
conclusões.
2
3
3
3
4
3
Números mistos
Tiago está medindo um pedaço de barbante com seu palmo. Seu palmo cabe uma 
vez e meia no pedaço de barbante.
1 vez e meia ou 1 12 vez.
1 1
2 lê-se: um inteiro e um meio.
Esse é um número misto, ou seja, é formado por um número natural (que é o 1) e uma 
fração que é 1
2
.( )
Note que 1 12 pode ser representado por 
3
2 : 
1
2
1
2
1 unidade
3 vezes a metade
1
2
1
2
Estimule os alunos a utilizar 
folhas de papel sulfite recortadas 
em tiras para representar 
números mistos.
Menino medindo pedaço de barbante com o palmo.
S
Ž
rg
io
 D
o
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 J
r.
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Frações16
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 16 2/1/16 9:31 AM
Transformação de fração em 
número misto e vice-versa
Transformação de fração em
número misto
9
5
1a maneira
5 15 1 5 1 5
9
5
5
5 1
5
5 1
5
5 1
5
5 1
4
5
15 115 1 4
5
1 4
5
2a maneira (processo prático)
9 5 9
5
1 4
5
5
25 1
4
Transformação de número
misto em fração
3 2
7
1a maneira
5 1 5 15 1 53 2
7
35 135 1 2
7
21
5 1
21
5 1
7
5 1
7
5 1
2
7
23
7
2a maneira (processo prático)3 2
7
 3 3 7 1 2 5 23
 
53 2
7
23
7
Exercícios 
 26. Transforme, quando possível, cada uma das frações em número misto.
 a ) 510
7
 b ) 57
6
 c ) 35
9
5 d ) 55
7
 
 27. Transforme cada número misto em fração.
 a ) 51
4
9
 b ) 52
1
3
 c ) 51 1
4
 d ) 53 2
11
 
 28. Observe a reta numerada e os pontos assinalados com letras maiúsculas:
10
D G B F J A E H CI
2 3 4 5
Associe cada fração, número misto ou número natural à letra correspondente.
13
3
 
1
3
 
6
3
 
1
2
 
4
 
1 1
4
 
2 1
3
 
8
3
 
3 1
2
 
3
2
1 3
7
10 7
27 1
3
1 1
6
7 6
26 1
1
3 8
9
35 9
227 3
8
Não é possível.
13
9
7
3
5
4
35
11
C D F G H B J A E I
 Para construir:
 Exercícios 26 a 30 (p. 17 e 18)
Frações 17
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 17 2/1/16 9:31 AM
 30. Observe as réguas representadas ao lado: uma está graduada em centí-
metros e a outra, em polegadas. Nas medidas em polegadas, é comum o 
uso de valores como meia polegada, um quarto de polegada ou um oitavo 
de polegada.
Veja, por exemplo, as medidas dos parafusos, em polegadas.
O primeiro parafuso tem 1 1
4
 de polegada.
 a ) Escreva a medida de comprimento dos outros parafusos.
 b ) Desenhe um objeto cujo comprimento tenha duas polegadas e 
meia, ou seja, 2 1
2
 de polegada. Resposta pessoal (aproximadamente 
6 cm e 2 mm).
1 2 3 4 50 6
1 20 1
4
1
2
3
4
 29. Cálculo mental
Já vimos que 7
3
7 : 35 
7 3
1 2
Se 7 ; 3 dá 2 e sobra 1, então 73
22 1
3
.5
Verificação: 2 3 3 1 1 5 7
Se 2 3 3 1 1 5 7, então 2 1
3
7
3
.5
Reúna-se com alguns colegas e façam mentalmente as transformações abaixo. Em cada item, um de vocês calcula o que foi 
pedido e justifica a resposta. Os outros conferem.
Transforme:
 a ) 7
5
 para a forma mista; b ) 5 3
4
 para fração; c ) 2 1
7
 para fração. 
1
2
5
23
4
15
7
1
3
4
 de polegada
1
2
 polegada
 Você sabia?
A polegada é uma unidade de medida de comprimento usada nos países de língua inglesa, mas que às vezes também é utilizada no Brasil.
Ela corresponde a aproximadamente 2 centímetros e meio. Indicamos 1 polegada como 1”.
20’’
K
a
ra
m
 M
ir
i/
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/
G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
TV de 20 polegadas Cano de 2 polegadas Chave de boca de 1 polegada
2’’
SŽrgio Dotta Jr./
Arquivo da editora
1’’
SŽ
rg
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 D
ot
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 J
r./
Ar
qu
iv
o 
da
 e
di
to
ra
As imagens desta página não estão 
representadas em proporção.
Frações18
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 18 2/1/16 9:31 AM
Fração de um número
Francisca tem uma dúzia de bananas (12 bananas) e vai usar 1
3
 delas 
para fazer um bolo. Quantas bananas ela vai usar?
Nessa situação, queremos saber quanto é 13 de 12. 
Pelo que já foi visto de fração, devemos dividir as 12 bananas em
3 grupos com a mesma quantidade de bananas, ou seja, fazer 12 ; 3.
Como cada grupo tem 4 bananas, pois 12 : 3 5 4, podemos escrever:
1
3 de 12 5 4, pois 12 ; 3 5 4. 
Se Francisca usou 1
3
 das 12 bananas, sobraram 2
3
 das 12 bananas. Quantas 
bananas sobraram?
1
3
 de 12 5 4 (12 ; 3) e 2
3
 de 12 5 2 3 1
3
de 12( ) 5 2 3 4 5 8 
Então, Francisca usou 4 bananas 1
3
de 12( ) e restaram 8 bananas 23 de 12 .( )
Veja outros exemplos.
 a ) 3
7
 de 28 5 ? 
28 ; 7 5 4
3 3 4 5 12
 3
7
 de 28 5 12 c ) 2
5
 de 40 5 16
 b ) 4
9
 de 45 5 ? 
45 ; 9 5 5
4 3 5 5 20
 4
9
 de 45 5 20 d ) 1
8
 de 184 5 23
Usando a calculadora
Vamos calcular frações de números usando uma calculadora.
Veja, por exemplo, o cálculo de 415 de 1 245: 4 3
51
 
245 15 4
digite tecle digite digitetecle tecle aparece
no visor
Logo, 4
15
 de 1 245 5 332.
Cálculo envolvendo frações de um número
Muitas vezes o número que queremos determinar é o todo. Veja como podemos 
resolver uma situação como essa.
Em uma corrida de Fórmula 1, somente 15 carros completaram todas as voltas, e 
esse número equivale a 3
4
 dos carros que iniciaram a corrida. Quantos carros havia no 
início da corrida?
Observe:
• 
3
4
 dos carros 15 carros
• 
1
4
 dos carros 15 : 3 5 carros
• 
4
4
 dos carros 4 3 5 20 carros 
Processo prático
3
4
 de ? 5 15
15 ; 3 5 5 e 4 3 5 5 20
Logo, havia 20 carros no início da corrida.
4
 Comente com os alunos que essa sequência de operações
 (divisão e depois multiplicação) pode ser feita sem o uso da tecla de memória.
Sergio/Shutterstock/Glow Images
Dúzia de bananas
1
3
1
3
1
3
12 bananas
M
a
u
ro
 S
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A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Frações 19
M
A
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E
M
Á
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A
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Exercícios 
 31. Se Lúcia tem 12 ovos e vai usar 5
6
 deles para fazer quindins, quantos ovos ela vai usar? Faça desenhos para ilustrar. 
 32. Cálculo mental
Atividade em equipe
Calculem mentalmente. Em cada item, um aluno relata e os demais conferem.
 a ) 3
8
 de 40 5 
 b ) 1
5
 de 100 5 
 c ) 3
10
 de 90 5 
 d ) 1
2
 de 7 000 5 
 
 e ) 5
6
 de 42 reais 5
f ) 5
4
5
de 500 
 g ) 2
3
 de 27 5 
 h ) 7
11
 de 99 5 
 33. Use uma calculadora e determine a medida aproximada do diâmetro da Lua, em quilômetros, sabendo que:
• a medida aproximada do diâmetro da Terra é 12 760 quilômetros;
• a medida aproximada do diâmetro da Lua é 311
 da medida do diâmetro da Terra.
 34. Calcule quantos carros iniciaram uma corrida de Fórmula Indy, sabendo que os 12 carros que completaram todas as voltas
representam 2
3
 dos que iniciaram a corrida. 
5
6
10 ovos
 15
 20
 27
 3 500
 35 reais
 400
 18
63
Aproximadamente 3 480 quilômetros (12 760 ; 11 3 3).
18 carros 2
3
de ? 12 ; 12 : 2 6 e 3 6 185 5 3 5( )
Lua vista da Terra
Terra vista do espaço
Diâmetro: linha vermelha
Godrick/Shutterstock/
Glow Images
P
a
u
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P
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c
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tt
/S
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u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
As imagens desta página 
não estão representadas 
em proporção.
 Para construir:
 Exercícios 31 a 37 (p. 20 e 21)
Frações20
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 20 2/1/16 9:31 AM
 35. O tanque de gasolina de um carro tem capacidade para 60 litros.
O marcador de combustível está indicando 3
4
.
Calcule mentalmente: quantos litros de gasolina há nesse tanque? 
 36. Considere os sólidos geométricos: 
 a ) Em qual deles o número de vértices é igual a 3
5
 do número de arestas? 
 
 b ) Determine nos outros dois sólidos qual é a fração correspondente à mesma relação entre vértices e arestas. 
 Você sabia?
Em todos os prismas, o número de vértices é igual a 2
3
 do número de arestas.
 37. Constate a informação anterior no paralelepípedo e no prisma de base pentagonal.
No paralelepípedo, que é um prisma, temos 12 arestas e 8 vértices. Conferindo: 
2
3 de 12 5 8. No prisma de base pentagonal, temos 15 arestas e 10 vértices.
Conferindo: 
2
3 de 15 5 10.
Marcador do nível 
de combustível de 
um automóvel
F
a
b
io
 Y
o
s
h
ih
it
o
 M
a
ts
u
u
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/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
3
4
de 60 ?; 60 4 15 e 3 15 455 5 3 5;
Há no tanque 45 litros.
V 5 5, A 5 8
prisma de 
base triangular
B
pirâmide de 
base pentagonal
C
pirâmide de 
base quadrada
A
V 5 6, A 5 9
V 5 6, A 5 10O C, pois 
6
10
3
5
5
 ou 
6 3
5
5
 de 10.
A B: 5
8
; : 6
9
2
3
5
 2
3
 de 12 5 8 e 2
3
 de 15 5 10
Frações 21
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 21 2/1/16 9:31 AM
Frações e medidas
As frações são bastante utilizadas no estudo de medida. Por exemplo, a fração 
de um comprimento, de uma parte do ano, do dia ou da hora.
Veja os exemplos:
• Uma hora corresponde a 60 minutos (1 h 5 60 min). Então: 
1
5
 de hora são 12 minutos 1
5
de 60 125( )
3
4
 de hora são 45 minutos 3
4
de 60 455( )
• 1100
 do real é 1 centavo (R$ 0,01)
• 1
1 000
 do litro é 1 mililitro (1 mL)
S
m
it
/S
h
u
tt
e
s
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o
ck
/G
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w
 I
m
a
g
e
s
Relógio analógico 
indicando 2 h 15 min.
 Comente com os alunos que, em inglês, falamos “a quarter past two” passou 1
4
das 2( ) para indicar 
que são duas horas e quinze minutos.
 Você sabia?
A divisão do dia e da noite em doze 
partes cada período é uma 
contribuição dos antigos egípcios.
Cada parte representava 1
12
do tempo decorrido entre o nascer
e o pôr do sol ou entre o pôr do sol e 
o seu nascer.
Exercícios 
 38. Quantos minutos correspondem a:
 a ) 1
4
 de hora? 
 b ) 2
3
 de hora? 
 c ) 
4
5
 de hora? 
 d ) 1 1
2
 hora? 
 39. Quanto é:
 a ) 1
2
 de 1 quilômetro? 
 b ) 1
4
 de 1 quilograma? 
 c ) 1
2
 de 1 hora? 
 d ) 1
100
 de 1 metro? 
 40. Complete.
 a ) 3
7
 da semana são 3 dias. 
 b ) 2
3
 do ano são 8 meses. 
 c ) 1
5
 do real são 20 centavos. 
 d ) 3
4
 de tonelada são 750 quilogramas. 
 41. Que fração de R$ 100,00 corresponde a R$ 25,00?
15 minutos. 48 minutos.
40 minutos. 90 minutos.
500 metros.
250 gramas.
30 minutos.
1 centímetro.
3
7
de 7
2
3
de 12
1
5
de 100
3
4
de 1 000
1
4
de 100 255
 Para construir:
 Exercícios 38 a 41 (abaixo)
Frações22
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 22 2/1/16 9:31 AM
3 Frações equivalentes
Vina comprou dois queijos iguais para fazer pão de queijo.
As netas vão ajudá-la.
• Emília cortou um queijo 
em 4 partes iguais e 
separou .2
4
2
4
• Sofia cortou o outro 
queijo em 8 partes iguais 
e separou 4
8
.
4
8
Olhando as figuras, você pode observar que a parte correspondente a 2
4
 é a 
mesma que corresponde a 4
8
. Dizemos, então, que 2
4
 e 4
8
 são frações equiva lentes e 
indicamos assim: 2
4
4
8
5 .
Frações equivalentes têm o mesmo valor em relação à mesma unidade 
(equivalente: igual valor).
Il
u
s
tr
a
•
›
e
s
: 
M
a
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 S
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A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Exercícios 
 42. Observe os quadros abaixo.
Pedro gastou 2
10
 de 30 reais.
6 reais 
Cláudio gastou 16 de 30 reais.5 reais 
Laura gastou 3
15
 de 30 reais.
6 reais
Calcule quanto cada um gastou e depois responda: dessas três frações, quais são equivalentes? 
 43. Observe os quatro segmentos de reta abaixo, todos indicando o intervalo de 0 a 1. Nos pontos assinalados, escreva as frações 
correspondentes. Depois, ligue com tracejados os pontos que correspondem às frações equivalentes.
Por fim, escreva as frações equivalentes que foram ligadas pelos tracejados.
2
10
 e 3
15
1
3
2
6
; 1
2
2
4
3
6
; 2
3
4
6
; 2
2
3
3
4
4
6
6
5 5 5 5 5 5 5
 
 
0 ou 1
2
2
0 ou 1
3
3
0 ou 1
4
4
0 ou 1
6
6
1
2
1
3
2
3
3
4
2
4
1
4
1
6
5
6
4
6
3
6
2
6
 Para construir:
 Exercícios 42 e 43 (abaixo)
Frações 23
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 23 2/1/16 9:31 AM
Uma propriedade importante 
que permite obter uma fração 
equivalente a uma fração dada
Observe o que acontece com as frações equivalentes:
5
3
32
4
4
82
2
;
;
5 55 5
3
31
2
2
5 5
2
5 5
4
3
62
2
2 332 3
2 332 3
5
5
10
1
2: 5
: 5
5
3
32
10
3
15: 2 3
: 2 3
Exercícios 
 44. Verifique se as frações são equivalentes:
 a ) 3
5
 e 15
25
 b ) 21
36
 e 7
12
 c ) 2
3
 e 12
13
 
 
Sim, pois 
3
5
15
255
5
5
3
3
.
 
Sim, pois 
;;
;;21
36
7
123
3
5 .
 Não.
 45. Escreva uma fração de denominador 20 que seja equivalente a .2
4
 
 46. Escreva uma fração de numerador 10 que seja equivalente a .5
4
 
 
 .10
20
 .10
8
Esses casos mostram
o que podemos fazer para 
obter uma fração equivalente 
a uma fração dada.
Dividir ou multiplicar o 
numerador e o denominador 
pelo mesmo número, diferente 
de zero.
Ou fazer as 
duas coisas.
 Para construir:
 Exercícios 44 a 46 (abaixo)
Frações24
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Processo prático para determinar frações equivalentes
Vamos, por exemplo, procurar uma fração equivalente a 5
12
 cujo denominador 
seja 348, usando a calculadora.
5
12 348
5
j
Efetuamos 348 ; 12 5 29 para descobrir que 12 multiplicado 
por 29 resulta 348.
Depois, multiplicamos 5 por 29 (5 3 29 5 145) para descobrir 
o numerador da fração procurada.
Logo, 5
12
145
348
.5
Outro exemplo:
Agora, procuramos uma fração equivalente a 64
112
 cujo numerador seja 4.
64
112
4
5
j
Dividimos 64 por 4 (64 ; 4 5 16) para descobrir que 64 foi 
dividido por 16 para resultar 4.
Agora, dividimos 112 por 16 (112 ; 16 5 7) para descobrir o 
denominador da fração procurada.
Logo, 64
112
4
7
.5
Exercícios 
 47. Faça o que se pede.
 a ) Complete com o que está faltando.
5
3
4
21
 
5
18
20 10
 
5 55 5
6
9
2
5 5
2
5 5
15
 
5
14
10 35
 b ) Complete com 5 ou Þ:
18
12
3
2
 
1
5
3
10
 
4
10
6
15
 
3
20
6
10
 48. Determine o termo que falta para que as frações sejam equivalentes. Use a calculadora, se necessário.
 a ) 53
8 96
 b ) 57
12
98 c ) 512
63 21
 d ) 59
8 272
 
28
9
3
10 49
5
3
3
3
4
21
28
7
7
5
18
20
9
10
: 2
: 2
5 5
3
3
6
9
2
3
10
15
: 3
: 3
5
5
5
3
3
14
10
49
35
: 2 7
: 2 7
5 Þ 5 Þ
5
18
12
3
2
: 6
: 6
3
3
±
1
5
3
10
3
2
5
3
3
;
;
4
10
6
15
2 3
2 3
3
±
3
20
6
10
2
: 2
36
168
4 306
 Para construir:
 Exercícios 47 a 50 (p. 25 e 26)
96 ; 8 3 3 5 36
Então, 3
8
36
96
.5
98 ; 7 3 12 5 168
Então, 7
12
98
168
.5
63 ; 21 5 3
12 ; 3 5 4
272 ; 8 3 9 5 306
Frações 25
M
A
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M
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A
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Em certo verão, uma sorveteria realizou uma promoção que previa a troca de 10 palitos de picolé de fruta por outro picolé de 
fruta. Nessa promoção, um palito corresponde a que fração do preço do picolé?
Ao trocar 10 palitos por um picolé, a pessoa recupera um palito. Logo, cada picolé equivale a 9 palitos ou cada palito corresponde a 
1
9
 do picolé.
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
 49. Descubra quais são as duas frações, ambas de denominador 20: a primeira equivalente a 1
4
 e a segunda equivalente a 3
10
. 
 50. Escreva frações de denominador 30, cada uma equivalente a uma das seguintes frações:
1
2
 
2
3
 
5
6
 
4
10
 
3
5
5
20
e 6
20
1
4
5
20
; 3
10
6
20
5
5
2
2
5 53
3
3
3( )
15
30
20
30
25
30
12
30
18
30
Desafio
Simplificação de frações e frações irredutíveis
Leia as informações que aparecem no texto deste jornal.
Com base nelas é possível deduzir que as frações 7
8
 e 
63 000
72 000
 são equivalentes.
Isso pode ser feito 
dividindo-se os termos da 
fração por um mesmo número diferente 
de zero até chegar a 
7
8
:
63 000
72 000
63
72
7
8
.
: 1 000
: 1 000
: 9
: 9
5 5
A torcida 
ocupa 
7
8
 
dos 
lugares.
No jogo do B
rasil, a torcid
a 
ocupou 63
 000 lugare
s dos 
72 000 lug
ares do es
t‡dio.
Dados fictícios.
Paulo 
Manzi
/Arqui
vo da 
editor
a
A fração 
7
8
 é bem mais 
simples que 
63 000
72 000
.
Por isso dizemos que, 
simplificando 
63 000
72 000
, 
obtemos 
7
8
.
Frações26
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 26 2/1/16 9:32 AM
Veja alguns exemplos de simplificação de fração:
5
10
14
5
72
2
:
:
 
5 55 5
12
30
6
5 5
6
5 5
15
2
5
:
: 2
2
: 3
: 3
 
:
:
:
:100
125
20
25
4
55
5
5
5
5 55 5
20
5 5
 
:
:7
21
1
37
7
5
 
:
:
:
:
:
:24
40
12
20
6
10
3
52
2
2
2
2
2
5 55 5
12
5 5 5
A fração 4
9
 não pode ser simplificada porque não podemos dividir 4 e 9 pelo mesmo número 
e obter uma fração mais simples do que ela. Nesse caso, dizemos que 4
9
 é uma fração irredutível.
Veja outro exemplo:
Felipe, Cármen e Jorge simplificaram a fração 12
18
 de formas diferentes, mas todos chegaram à mesma fração irredutível.
5 5
12
18
6
9
2
3: 2
: 2
: 3
: 3
5 5
12
18
4
6
2
3: 3
: 3
: 2
: 2
5
12
18
2
3: 6
: 6
Para chegar à fração irredutível dividindo uma vez só, como Jorge fez, é preciso dividir numerador e denominador 
pelo maior número possível, ou seja, pelo mdc(12, 18) 5 6.
Quando dividimos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo 
número natural, diferente de 0 e diferente de 1, dizemos que foi feita a simplificação da 
fração, pois a fração obtida é equivalente a ela, porém mais simples.
Determinação de todas as 
frações equivalentes a uma fração dada
Examine cuidadosamente os 
exemplos a seguir e você mesmo 
descobrirá. No primeiro exemplo, 
a fração já é irredutível; no 
segundo, não.
Veja agora como podemos descobrir todas as frações 
equivalentes a uma fração dada.
 Estimule os alunos a concluir que:
• se a fração dada for irredutível, multiplicamos o seu numerador 
e o seu denominador por 1, 2, 3, 4, 5, ...;
• se a fração dada não for irredutível, simplificamos e depois 
usamos esse processo.
 Para aprimorar:
 Jogo (p. 29)
Frações equivalentes a 1
2
:
1
2 
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
, ,
4
, , , ,
8
, , , ...
3 1
3 2
3 3
3 1
3 2
3 3
Frações equivalentes a 12
15
:
12
15 
12
15
4
5: 3
: 3
→ →→ →→ →5→ →12→ →
15
→ →4→ →
5
→ →
 
4
5
8
10
12
15
16
20
20
25
24
30
, ,
10
, , , , ,
20
, , ,
25
, , , ,, ...
3 1
3 2
3 3
3 1
3 2
3 3
Frações 27
M
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T
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M
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Exercícios 
 51. Simplifique as frações até chegar a uma fração irredutível.
 a ) 521
28
 b ) 516
32
 c ) 516
25
 d ) 510
6
 e ) 59
45
 
 52. Sabendo que o 6o ano B tem 14 meninos e 21 meninas, determine, por meio de uma fração irredutível:
 a ) que fração da classe os meninos representam; 
 b ) que fração da classe as meninas representam. 
 53. Um caminhoneiro já percorreu 200 km e ainda faltam 40 km para completar um percurso. Responda utilizando frações irredutíveis.
 a ) Que fração do percurso ele já percorreu?
 b ) Que fração do percurso falta completar?
 54. Quando simplificamos uma fração, seu valor aumenta, diminui ou permanece o mesmo?
 55. Descubra o valor que falta (nos itens c e e escreva uma fração irredutível).
 a ) 5
8
 de 160 5
 b ) 3
8
 de 5 120
 c ) de 300 5 15
 d ) 2
7
 de R$ 350,00 5
 e ) de R$ 60,00 5 R$ 36,00
 f ) 4
5
 de 5 R$ 200,00
3
4
1
2
irredutível 5
3
1
5
14 1 21 5 35
14 em 35 5 14
35
2
5
5
2
5
21 em 35 5 21
35
3
5
5
3
5
200 1 40 5 240; percorreu 200 em 240 → 200
240
20
24
5
6
5 5
Ele já percorreu 5
6
 do percurso.
40 em 240 → 40
240
1
5
6
Falta completar 1
6
 do percurso.
Permanece o mesmo, embora a fração seja escrita na forma mais simples.
100 (160 ; 8 3 5)
320 (120 ; 3 3 8)
1
20
15 em 300 15
300
1
20
5 5( )
R$ 100,00 (350 ; 7 3 2)
3
5
36 em 60 36
60
3
5
5 5( )
R$ 250,00 (200 ; 4 3 5)
 Para construir:
 Exercícios 51 a 55 (abaixo)
Frações28
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Jogo
Dominó de frações
Você já jogou dominó de frações? Neste jogo você aplicará o conceito de frações equivalentes. Preste atenção às orien-
tações e bom jogo!
Orientações:
O primeiro passo é recortar as peças do jogo que estão no Material com-
plementar, no final do módulo.
Número de participantes: 2 ou 4.
Como jogar:
Este jogo segue praticamente as mesmas regras do dominó comum.
Distribua igualmente as 28 peças entre os jogadores. Se 2 alu-
nos jogarem, cada um deles ficará com 14 peças; e se forem 4 alunos, 
cada um deles receberá 7 peças. É necessário decidir quem come-
çará a jogar.
O primeiro jogador escolhe uma peça e a coloca sobre a mesa. O 
próximo jogador deve buscar nas suas peças uma fração que seja equi-
valente a uma das frações da peça colocada sobre a mesa. Se encontrar, 
deve encostar as extremidades das peças que possuem frações equi-
valentes. Veja um exemplo em que o primeiro jogador colocou a peça 
a seguir: 2 8 1 4
Observe que, nesse caso, 5
20
 é equivalente a 1
4
 e também a 2
8
. Assim, tanto faz a posição em que o segundo jogador 
coloca sua peça em relação à peça do primeiro jogador.
No entanto, se o segundo jogador não possuir nenhuma peça que tenha uma fração equivalente a uma das duas frações 
da peça do primeiro jogador, ele passa a vez para o próximo jogador; no caso de duplas, a jogada volta para o primeiro jogador.
Depois que há mais de uma peça sobre a mesa, os jogadores devem colocar uma fração equivalente a qualquer uma das 
extremidades do conjunto de peças. No exemplo acima, eles terão de buscar uma fração equivalente a 2
8
 ou a 10
15
, para a pri-
meira opção; e a 1
4
 ou a 10
15
 para a segunda opção.
Ganha quem encaixar primeiro, no jogo da mesa, todas as peças que recebeu no início da partida.
10
25
200
300
18
24
6
24
6
30
10
40
12
30
25
100
10
50
30
40
20
50
75
100
40
100
20
100
4
16
5
15
12
16
6
18
4
20
10
30
8
20
4
12
5
20
10
15
15
20
12
18
5
25
20
30
3
9
3
6
6
9
4
8
3
12
5
10
9
12
6
12
3
15
10
20
6
15
50
100
8
12
100
300
2
4
1
2
2
6
1
3
4
6
2
3
2
8
1
4
6
8
3
4
2
10
1
5
4
10
2
5
Opções de jogada
ou
Il
u
s
tr
a
•
›
e
s
: 
C
a
s
a
 d
e
 t
ip
o
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
5 2
0
1
0
1
52 8 1 4
5 2
0
1
0
1
5
2814
Frações 29
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4 Comparação de frações
Comparar duas frações de uma mesma unidade é dizer qual é a maior, qual é a 
menor ou se são equivalentes (valores iguais).
Numeradores iguais
Observe algumas frações de uma mesma unidade que têm numeradores iguais.
1
2
1
3
1
4
1
5
 Para construir:
 Exercício 56 (abaixo)
Exercício 
 56. Responda:
 a) Das frações acima, qual é a maior? E a menor? 
 b) Se os numeradores são iguais, por exemplo, 2
3
 e 2
5
, qual é a fração maior?
 c) Reúna-se com um colega e comparem estas outras duplas de frações: 1
2
 com 1
7
e depois 5
3
 com 5
4
. Concluam qual é a 
maior e qual é a menor.
 
Quando duas frações têm numeradores iguais, a menor delas 
é a que tem maior denominador.
1
2
; 1
5
.
2
3
2
5
.
 (a de menor denominador).
Espera-se que os alunos respondam que 1
2
1
7
. e 5
3
5
4
..
Denominadores iguais
Examine algumas frações de uma mesma unidade que têm denominadores iguais.
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
Frações30
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 Para construir:
 Exercício 57 (abaixo)
Exercício 
 57. Responda.
 a) Das frações anteriores, qual é a maior? E a menor? 
 b) Se os denominadores são iguais, por exemplo, 2
5
 e 3
5
, qual é a maior? 
 c) Reúna-se com um colega e comparem estas outras duplas de frações: 3
8
 com 1
8
 e depois 2
9
com 4
9
. Concluam qual é a 
maior e qual é a menor.
 
Quando duas frações têm denominadores iguais, a menor 
delas é a que tem menor numerador.
5
5
1; 1
5
.5
3
5
2
5 (a de maior numerador).
.
Espera-se que os alunos respondam que 3
8
1
8
. e 2
9
4
9
.,
Numeradores e denominadores diferentes
Acompanhe esta situação:
Sílvio e Lúcio estão participando de uma corrida de bicicleta. Sílvio já percorreu 
3
4
 do trajeto, e Lúcio já percorreu 7
10
 do trajeto. Qual dos dois está na frente?
Para responder, vamos comparar 3
4
 e 7
10
 e descobrir qual das duas frações é 
maior. Para isso, devemos reduzi-las ao mesmo denominador.
Faremos esse procedimento de duas maneiras diferentes.
Como 3
4
7
10
,. então Sílvio está na frente de Lúcio.
 
Para comparar duas frações com numeradores e denominadores 
diferentes, devemos inicialmente reduzi-las ao mesmo denominador.
Depois, fazemos a comparação usando as duas frações obtidas.
Usando o mmc
Encontramos diretamente as frações equivalentes a 
3
4
 e 7
10
 usando o mmc dos denominadores:
mmc(4, 10) 5 20
5
3
4
15
20
 20 ; 4 3 3 5 15 57
10
14
20
 20 ; 10 3 7 5 14
Como . ,15
20
14
20
 então . .3
4
7
10
Usando frações equivalentes
Escrevemos as frações equivalentes a 3
4
 e 7
10
 
até encontrarmos duas com denominadores iguais:
3
4
 3
4
, ,6
8
,9
12
,12
16
15
20
, , , ...18
24
, ,
24
, ,
7
10
 ,7
10
14
20
, , ...21
30
, ,
30
, ,
Como . ,15
20
14
20
 então . .3
4
7
10
Frações 31
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Exercícios 
 58. Registre em cada item a maior fração de uma mesma unidade.
 a ) 4
7
 ou 2
7
 5 b ) 35
100
 ou 47
100
 5 c ) 11
13
 ou 7
13
 5
 59. Escreva em cada item a menor fração de uma mesma unidade.
 a ) 2
3
 ou 3
4
 5 b ) 7
8
 ou 5
6
 5 c ) 
5
6
ou 3
5
 5 
 60. Compare as frações da mesma unidade, colocando entre elas os sinais ., , ou 5.
 a ) 7
8
 . 17
20
35
40
34
40
.( )
 b ) 4
7
 , 3
5
20
35
21
35
,( )
c ) 23
15
 . 7
5
 d ) 6
9
 5 4
6
 
 61. Escreva em ordem crescente as frações de uma mesma unidade.
 a ) , ,2
5
3
4
1
10
 b ) , , ,2
3
4
5
1
4
1
2
 62. Pedro leu 4
7
 das páginas de um livro e Laura leu 2
3
 das páginas do mesmo livro. Qual dos dois leu mais? 
 63. No escritório do 5o andar do edifício de uma empresa, há 30 funcionários, dos quais 13 são homens. No escritório do 4o 
andar, há 35 funcionários, dos quais 15 são homens. Sorteando um funcionário em cada andar, em qual deles a chance de 
sair homem é maior?
 64. Caio e Beto colecionam o mesmo tipo de álbum de figurinhas. Caio já colou 2
3
 do total de figurinhas do álbum e Beto já colou 
3
4
. Quem colou mais figurinhas no seu álbum? 
 65. Carla e Mirela foram colher flores no jardim. De todas as flores colhidas, Carla colheu 3
5
 delas, enquanto Mirela colheu 4
10
 
delas. Quem colheu mais flores? 
4
7 
47
100 
11
13
2
3
2
3
ou 3
4
8
12
9
12
→ , Então, 2
3
.
5
6
5
6
ou 7
8
20
24
21
24
→ , Então, 5
6
.
 
3
5
3
5
ou 5
6
18
30
25
30
→ , Então, 3
5
.
 
23
15
21
15
.( ) 1218 12185( )
 
1
10
2
5
3
4
, ,
 
1
4
1
2
2
3
4
5
, , ,
Pedro: 4
7
 e Laura: 2
3
. mmc(3, 7) 5 21 →12
21
e 14
21
2
3
4
7
. 
Logo, Laura leu mais.
3
4
2
3
, pois 9
12
8
12
.. .
Beto colou mais figurinhas no seu álbum.
Carla 4
10
3
5
, pois 4
10
6
10
., ,( )
 
5o andar: homens → 13 em 30 ou 13
30
4o andar: homens → 15 em 35 ou 15
35
mmc(30, 35) 5 210
13
30
e 15
35
91
210
e 90
210
13
30
15
35
→ → .
A chance de sair homem é maior no 5o andar, pois 13
30
15
35
..
 Para construir:
 Exercícios 58 a 65 (abaixo)
Frações32
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 32 2/1/16 9:32 AM
5 Operações com frações
Vamos recordar, ampliar e aprofundar os conhecimentos sobre as operações com 
frações que você estudou nos anos anteriores.
Adição e subtração de frações
 66. Um ônibus de viagem percorreu 3
10
 de uma distância de manhã e 4
10
 à tarde. Nos dois períodos, ele percorreu que 
fração dessa distância? Observe o diagrama e complete o que falta.
?
3
10
4
10
 
3
10
4
10
1 5
 
7
10
Nos dois períodos, o ônibus percorreu 7
10
 da distância.
E se o ônibus percorresse 2
7
 de manhã e 3
7
 à tarde, nos dois períodos juntos, ele percorreria que fração da distância? 
Complete.
2
7
3
7 2
7
3
7
1 5
5
7
Reúna-se com um colega e respondam: quando as frações têm o mesmo denominador, o que fazemos para adicioná-las?
 67. Dois ônibus de viagem (A e B) percorreram 3
7
 e 5
7
 de uma distância, respectivamente. Qual deles fez o percurso maior? 
Quanto a mais do que o outro? Complete com o que falta.
?
A:
3
7
B:
5
7
5
7
3
7
e 5
7
3
7
. 2 5
 
2
7
 
O ônibus B percorreu 2
7
 da distância a mais do que o A.
E se o ônibus A percorresse 3
5
 e o ônibus B percorresse 2
5
 de uma distância, quanto o ônibus A percorreria a mais do 
que o B? Complete.
A:
3
5
B:
2
5
52
3
5
2
5
 
1
5
Reúna-se com um colega e respondam: quando as frações têm o mesmo denominador, o que fazemos para subtrair a 
menor da maior?
Resposta esperada: Conservamos o denominador e subtraímos os numeradores. 
Adição e subtração de frações com denominadores iguais
Exercícios 
 Para construir:
 Exercícios 66 e 67 (abaixo)
Na adição (ou subtração) de duas frações de uma mesma unidade que tenham o 
mesmo denominador, conservamos o denominador e adicionamos (ou subtraímos) os 
numeradores. M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações 33
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 33 2/1/16 9:50 AM
Adição e subtração de frações com 
denominadores diferentes
Acompanhe as situações a seguir.
1a) Pelamanhã, uma balsa percorreu 2
3
 de uma distância e à tarde, .1
4
 Que fração da 
distância ela percorreu nos dois períodos?
1 5
2
3
1
4
?
 Para fazer essa adição, precisamos reduzir as frações ao mesmo denominador. 
Podemos fazer isso de duas maneiras:
 Usando frações equivalentes
 Escrevemos as frações equivalentes a 2
3
 e 1
4
 até encontrarmos duas com deno-
minadores iguais.
 2
3
 ,2
3
 ,4
6
 ,6
9
 8
12
,..., 10
15
 1
4
 ,1
4
 ,2
8
 3
12
,, 4
16
 ,...5
20
 Assim:
 2
3
 1 1
4
 5 8
12
 1 3
12
 5 11
12
 Usando o mmc
 Encontramos diretamente as frações equivalentes 
a 2
3
 e 1
4
 usando o mmc dos denominadores: 
mmc(3, 4) 5 12.
 Nos dois períodos juntos, a balsa percorreu 11
12
 da distância.
2a) Uma balsa já percorreu 3
4
 de uma distância. Quanto ela ainda precisa percorrer 
para completar 5
6
 dessa distância?
2 5
5
6
3
4
?
 Para efetuar essa subtração, precisamos reduzir as frações ao mesmo denominador.
 Usando frações equivalentes
 5
6
 ,5
6
10
12
, ,15
18
,20
24
,...25
30
 3
4
 ,3
4
6
8
, 9
12
, ,12
16
15
20
,...
 Assim:
 5
6
 2 3
4
 5 10
12
 2 9
12
 5 1
12
 Usando o mmc
 Encontramos diretamente as frações equivalentes 
a 5
6
 e 3
4
 usando o mmc dos denominadores: 
mmc(6, 4) 5 12.
 Para completar 5
6
 da distância, a balsa ainda precisa percorrer 1
12
 dessa distância.
Assim, podemos escrever:
Na adição (ou subtração) de duas frações de uma mesma unidade que têm denomi-
nadores diferentes, determinamos as frações equivalentes às frações dadas e que te-
nham o mesmo denominador. Em seguida, adicionamos (ou subtraímos) essas frações.
12 ; 3 5 4
4 3 2 5 8
2
3
1
4
8
12
3
12
1 5 1 5
11
12
12 : 4 5 3
3 3 1 5 3
12 : 6 5 2
2 3 5 5 10
12 : 4 5 3
3 3 3 5 9
2 5 2 5
5
6
3
4
10
12
9
12
1
12
Frações34
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 34 2/1/16 9:50 AM
Exercícios 
 68. Escreva com suas palavras como se adicionam ou se subtraem duas frações com denominadores iguais. Faça o mesmo para 
frações que tenham denominadores diferentes.
Resposta pessoal.
 69. Efetue as adições e subtrações a seguir.
 a ) 4
7
2
7
1 5 
 b ) 8
5
3
5
2 5 
 c ) 3
10
1
4
1 5
 d ) 4
5
2
3
2 5 
 e ) 5
8
1
4
2 5 
f ) 1
1
4
2 1
6
1 5 
g ) 1
3
10
8
9
2 5 
h ) 1 5
3
25
2
5
 
i ) )(1 2 534 45 310 
j ) 2 2 55
8
3
8
1
8
 70. Atividade em equipe
 Podemos afirmar que 1
2
1
2
1 é igual a 1?
 Troquem ideias e elaborem uma justificativa para a resposta. 
 Para construir:
 Exercícios 68 a 77 (p. 35 a 38)
1 5
4
7
2
7
6
7
2 5 5
8
5
3
5
5
5
1
1 5 1 5
3
10
1
4
6
20
5
20
11
20
2 5 2 5
4
5
2
3
12
15
10
15
2
15
2 5 2 5
5
8
1
4
5
8
2
8
3
8
1 5 1 5 1 5 51 1
4
2 1
6
5
4
13
6
15
12
26
12
41
12
3 5
12
2 5 2 5 2 51 3
10
8
9
13
10
8
9
117
90
80
90
37
90
1 5 1 5
3
25
2
5
3
25
10
25
13
25
1 2 5 1 2 5
5 1 5 1 5 5 5
5
( ) ( )34 45 310 34 810 310
3
4
5
10
15
20
10
20
25
20
5
4
1 1
4
2 2 5
5
8
3
8
1
8
1
8
1 5 5( )Sim 12 12 22 1 .
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações 35
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 35 2/1/16 9:50 AM
 71. As duas vasilhas são iguais e estão com suco de hortelã. Aproximadamente quanto a segunda tem a mais do que a primeira? 
2
3
3
4
C
a
s
a
 d
e
 T
ip
o
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 72. Três automóveis estão indo da cidade A para a cidade B. Observe quanto do percurso cada um já completou.
1
4
1
2
5
6
A B
Agora, determine:
 a ) a diferença entre o percurso do automóvel azul e o do verde. 
 b ) a diferença entre o percurso do automóvel vermelho e o do verde. 
 c ) a diferença entre o percurso do automóvel vermelho e o do azul.
 73. Roberta iniciou uma viagem com 5
6
 do tanque abastecido e gastou durante essa viagem o equivalente a 2
3
 do tanque. O com-
bustível que sobrou equivale a que fração do tanque? 
Primeira vasilha: 2
3
Segunda vasilha: 3
4
2 5 2 5
3
4
2
3
9
12
8
12
1
12
A segunda vasilha tem 1
12
 a mais que a primeira vasilha.
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
1
2
1
4
2
4
1
4
1
4
2 5 2 5
5
6
1
4
10
12
3
12
7
12
2 5 2 5
5
6
1
2
10
12
6
12
4
12
1
3
2 5 2 5 5
2 5 2 5
5
6
2
3
5
6
4
6
1
6
O combustível que sobrou equivale a 1
6
 do tanque.
Frações36
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 36 2/1/16 9:50 AM
 74. Examine a figura abaixo e indique a fração correspondente:
1
4
1
6
?
1
3
1
9
 a ) aos setores verde e vermelho juntos. 
 b ) ao que o setor azul vale a mais do que o laranja. 
 c ) ao que o setor vermelho vale a menos do que o azul. 
 d ) ao setor amarelo. 
 75. Qual é o valor da expressão 1
2
1
4
1
8
?2 2 
1 5 1 5
1
4
1
6
3
12
2
12
5
12
2 5 2 5
1
3
1
9
3
9
1
9
2
9
2 5 2 5
1
3
1
6
2
6
1
6
1
6
2 5 2 51
31
36
36
36
31
36
5
36
1 1 1 5
5 1 1 1 5
1
3
1
4
1
6
1
9
12
36
9
36
6
36
4
36
31
36
O valor da expressão é 1
8
.
2 2 5 2 2 5
1
2
1
4
1
8
4
8
2
8
1
8
1
8
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações 37
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 37 2/1/16 9:50 AM
Multiplicação envolvendo frações
Número natural vezes fração
Neste caso basta usar a ideia da multiplicação relacionada à adição de parcelas 
iguais : 3 3 2 5 2 1 2 1 2 5 6. Veja o exemplo.
Um bolo foi dividido, aproximadamente, em 8 partes iguais. Lígia comeu 3 peda-
ços dele. Que parte do bolo Lígia comeu?
3 5 1 1 5
1 244 344
3 1
8
1
8
1
8
1
8
3
8
,
3 vezes
 ou seja, 3 5
3
53 1
8
3 1
8
3
8
.
Assim, Lígia comeu aproximadamente 3
8
 do bolo.Bolo dividido em 8 partes 
aproximadamente iguais.
Fabio Yoshihito Matsuura/Arquivo da editora
 76. Gilberto plantou 1
4
 de sua horta com tomates, 1
5
 com cenouras e o restante com alface. Que parte da horta foi plantada 
com alface?
 77. Rosa gasta 1
3
 do seu salário para pagar a prestação da sua casa, que é de 400 reais. Quanto lhe resta para outras despesas? 
1 5 1 5
1
4
1
5
5
20
4
20
9
20
2 5 2 51
9
20
20
20
9
20
11
20
Foi plantada 
11
20 da horta de verduras.
F
o
to
s
: 
c
e
n
o
u
ra
 –
 O
li
n
ch
u
k
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j/
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Alface, tomate e cenoura.
2 5
3
3
1
3
2
3
→1
3
400 reais
→2
3
800 reais
Restam para Rosa 800 reais para outras despesas.
Frações38
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 38 2/1/16 9:50 AM
Exercícios 
 78. Efetue as multiplicações.
 a ) 3 52 1
7
 b ) 3 51
5
4 
c ) 3 53 2
5
d ) 3 53
8
2
e ) 3 55 3
4
f ) 3 54
5
5
g ) 3 54 2
3
h ) 3 51 2
3
5 
 Para construir:
 Exercícios 78 e 79 (p. 39 e 40)
? 5 1 5
?
52 17
1
7
1
7
2 1
7
2
7
3 5 3 5
1
5
4 4 1
5
4
5
3 5
3
5 53 2
5
3 2
5
6
5
1 1
5
3 5 3 5 5
3
8
2 2 3
8
6
8
3
4
3 5
3
5 55 3
4
5 3
4
15
4
3 3
4
3 5 3 5 5
4
5
5 5 4
5
20
5
4
? 5
?
5 54 2
3
4 2
3
8
3
2 2
3
3 5 3 5 3 5 51 2
3
5 5
3
5 5 5
3
25
3
8 1
3
Fração vezes número natural
Cristina comprou duas latas de goiabada e resolveu guardar aproximadamente 
1
3 dos doces, ou seja, 
1
3
 de duas goiabadas )( 313 de 2 ou 13 2 .
Ela fez assim:
 
e viu que 1
3
23 é o mesmo que 32 1
3
.
Logo: 3 5 3 5 1 51
3
2 2 1
3
1
3
1
3
2
3
.
Observe que, nesse caso, usamos a propriedade comutativa: 3 5 31
3
2 2 1
3
.
Veja outros exemplos:
 a ) 33
7
2 b ) 4
9
53
 
3
7
2 2 3
7
3
7
3
7
6
7
3 5 3 5 1 5
 
3 5 3 5
3
5 5
4
9
5 5 4
9
5 4
9
20
9
2 2
9
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações 39
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 39 2/1/16 9:50 AM
Fração vezes fração
Anastácio tem um terreno. Ele quer usar 1
5
 desse terreno para plantar flores e 
quer que 2
3
 da parte com flores tenham rosas. Que parte do terreno deverá ser plan-
tada com rosas?
Devemos calcular 2
3
 de 1
5
 do terreno, ou seja, 2
3
1
5
.3
Usando figuras fica fácil. Veja:
Terreno do terreno
1
5 de
2
3
do terreno
1
5
3
2
3 )(
1
5
do terreno
2
15
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
O dobro de 5 é 2 3 5.
2
3
 de 
1
5
 é 
2
3
1
5
.3
 79. Marina tem 12 kg de feijão. Ela quer doar para uma campanha de arrecadação de alimentos a terça parte desse feijão. Quantos 
quilogramas Marina vai doar? 4 kg )( 13 de 12 13 12 45 3 5
As figuras mostram que 2
3
 de 1
5
, ou seja, 32
3
1
5
, é o mesmo que 2
15
. Logo, 
3 5
2
3
1
5
2
15
.
Observe: 323
1
5 5 
5
2 132 1
3 533 5
2
15
Então, Anastácio deve plantar rosas em 2
15
 do terreno.
Outro exemplo: 2
3
3
4
3 (geometricamente).
0
0 1
1
1
3
1
4
2
4
3
4 0
1
1
4
2
4
3
4
2
3
1
6
12
3 5
2
3
3
4
2 3 3
3 3 4( )
1
3
2
3
2
3
3
4
Frações40
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 40 2/1/16 9:50 AM
Assim, podemos escrever:
Para multiplicar uma fração por outra, multiplica-se o numerador de uma pelo 
numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra.
Observação: Na multiplicação de frações, podemos fazer a simplificação depois ou 
antes de efetuar a operação.
3
4
8
15
4
10
2
5
1
3 5 5 5
24
60
6
6
2
2
:
:
:
:
ou
3 5
3
4
8
15
2
5
1
1
2
5
4
25
5
6
2
15
3 5 5
120
150
10
10
;
;
ou
3 5
4
25
5
6
2
15
2
5
1
3
Frações inversas
Inversa de uma fração diferente de zero é a fração que se obtém trocando entre si o 
numerador e o denominador da fração dada.
Por exemplo, a inversa de 3
4
 é 4
3
. E a inversa de 2
5
 é 5
2
.
Exercício 
 80. Determine o produto de cada fração pela sua inversa.
2
7 
4
5 
6
7 
2 1
3 
 Agora, responda: o que ocorreu com os resultados?
Todos são iguais a 1.
 Para construir:
 Exercício 80 (abaixo)
2
7
7
2
14
14
13 5 5
4
5
5
4
20
20
13 5 5
6
7
7
6
42
42
13 5 5
2 1
3
7
3
; 7
3
3
7
21
21
15 3 5 5
Isso que você descobriu vale sempre. Assim, podemos escrever:
O produto de uma fração pela sua inversa é igual a 1.
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações 41
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 41 2/1/16 9:50 AM
Exercícios 
 81. Use o processo prático e efetue as multiplicações. Nos itens e e f, simplifique antes e depois.
 a ) 3 55 3
10
 b ) 3 51
1
2
3
c ) 3 56 2
3
 
 d ) 3 51 15
2 3
4
 e ) 3 5
6
35
7
30
 f ) 3 3 54
7
3
2
7
6
 82. Em uma cidade, 3
4
 dos habitantes são mulheres e 1
5
 das mulheres se declaram loiras. As mulheres loiras representam que 
fração do total de habitantes da cidade? 
 83. Responda e justifique.
 a ) Qual é o inverso de 3
4
? 
 b ) Qual é o inverso de 3? 
 c ) Qual é o número que multiplicado por 3
7
 dá 1?
 d ) Como é o inverso de 9
25
 escrito na forma mista?
 Para construir:
 Exercícios 81 a 86 (p. 42 e 43)
3 5 5 55 3
10
15
10
3
2
1 1
2
3 5 3 5 51 1
2
3 3
2
3 9
2
4 1
2
3 5 56 2
3
12
3
4
3 5 3 5 5 51 1
5
2 3
4
6
5
11
4
66
20
33
10
3 3
10
6
35
7
30
42
1 050
7
175
1
25
ou
6
35
7
30
1
25
1
5
1
5
3 5 5 5
3 5
3 3 5 5
3 3 5
4
7
3
2
7
6
84
84
1 ou
4
7
3
2
7
6
1
21
1
1
1
1
2 1
1
5
de 3
4
1
5
3
4
3
20
5 3 5
4
3
1
3
, pois 3 3
1
.5
7
3
, pois 3
7
7
3
21
21
1.? 5 5
 
→
25
9 
→ 2 7
9
25 9
218 2
7
Frações42
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 42 2/1/16 9:50 AM
 84. Calcule o valor das expressões numéricas.
 a ) 1 3 55
9
1
3
2
3
 
b ) 1 3 5( )59 13 23 
 85. Pedrinho tinha R$ 60,00. Separou 4
5
 dessa quantia e gastou 2
3
 do que havia separado. Que fração do que tinha ele gastou? 
 86. De acordo com dados do site <www.censo2010.ibge.gov.br> (acesso em: 7 jan. 2015), no ano de 2010 a população de Minas 
Gerais correspondia a, aproximadamente, 1
10
 da população do Brasil. Por sua vez, a população da capital Belo Horizonte cor-
respondia a cerca de 1
12
 da população de Minas Gerais.
OCEANO
ATLÂNTICO
Trópico de Capricórnio
N
0 710 km
Belo Horizonte
DF
50º O
GO
PR
MS
MT
SP
MG
RJ
ES
BA
Estado de Minas Gerais - Brasil
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012.
Considerando essas informações, calcule e responda: a população de Belo Horizonte correspondia, em 2010, a que fração da 
população do Brasil? 
1 3 5 1 5
5
9
1
3
2
3
5
9
2
9
7
9
7
9
1 3 5 3 5( )59 13 23 89 23 1627
16
27
 5 3 52
3
de 4
5
2
3
4
5
8
15
Ele gastou 8
15
 do que tinha.
8
15
2
3
4
5
3( )
A
ll
m
a
p
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
5 3 5
1
12
de 1
10
1
12
1
10
1
120
A população de Belo Horizonte correspondia a 1
120
 da população do Brasil.
1
120
1
12
1
10
3( )
M
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T
E
M
Á
T
IC
A
Frações 43
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 43 2/1/16 9:51 AM
Divisão envolvendo frações
Você já estudou que podemos indicar o resultado de qualquer divisão de núme-
ros naturais por meio de uma fração, quando o divisor é diferente de zero.
Exemplos:
 a ) 9 ; 5 5 
9
5 b ) 20 ; 5 5 4 5 
4
1
 c ) 18 ; 40 5 18
40
9
20
5
Veremos agora divisões que têm fração em pelo menos um dos termos.
Divisão de fração por número natural
Ângela separou metade de uma pizza e repartiu-a igualmente entre seus três 
sobrinhos.
Observe os desenhos e veja como efetuar 12
: 3 para saber quanto ficou para 
cada um.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Metade da pizza: 1
2
.
Metade da pizza re-
partida em três partes 
iguais. Cada parte cor-
responde a 1
2
: 3.
1
2
: 3 é o mesmo 
que 1
6
 da pizza.
Pizza inteira.
Assim, 1
2
: 3 1
6
.5
Observe que a divisão 1
2
: 3 dá o mesmoresultado que a multiplicação 1
2
1
3
3 
(lembre-se de que 13( ) é o inverso de 3). Assim, temos:
1
2
1
6
1
2
1
3
1
6
: 3 5
3 5
1
2
1
2
1
3
: 3 5 3
Divisão de número natural por fração
Imagine que você quer encontrar o resultado da divisão 12 : 3. Uma pergunta que 
pode ser feita é: quantas vezes o 3 cabe em 12?
Nessa pergunta, você está usando a ideia de “medida” associada à divisão. Veja:
Cabe 4 vezes. Logo, 12 : 3 5 4.
Essa ideia da divisão será usada na divisão de número natural por fração.
Frações44
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 44 2/1/16 9:51 AM
Veja o exemplo: qual é o valor de 1 : 1
2
? Perguntamos: quantas metades ( )12 de 
um biscoito cabem em um (1) biscoito? 
1
2
1
2
1
2
 
Cabem duas metades. Assim, 51 : 1
2
2..
Observe que a divisão 1 : 1
2
 dá o mesmo resultado que a multiplicação 1 2
1
3 
)( 21 é o inverso de 12 . Assim, temos:



1 :
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1 :
1
2
1
2
1
5
3 5 5
5 3
Divisão de fração por fração
2
5
: 4
5
2
5
5
4
5 3
1
2
: 1
4
1
2
4
1
5 3
Qual é o resultado da divisão 1
2
: 1
4
?
Usando a ideia de “medida” da divisão, pode-
mos perguntar: quantas vezes 1
4
 de uma pizza 
cabe em 1
2
 dessa pizza?
1
4
 
1
4
1
4
1
2
Veja que 1
4
 de pizza cabe duas vezes em 1
2
 
da mesma pizza. Então, 1
2
: 1
4
2.5
Observe que:
1
2
: 1
4
25
1
2
4
1
4
2
23 5 5
( )41 é o inverso de 14
Outro exemplo:
2
5
: 4
5
Observe, nas figuras, que só a metade ( )12 
da parte azul ( )45 cabe na parte amarela ( )25 :
2
5
4
5
Logo, 2
5
: 4
5
1
2
.5
2
5
: 4
5
1
2
5
2
5
5
4
10
20
1
2
3 5 5
( )54 é o inverso de 45
Em uma divisão envolvendo fração com o divisor diferente de zero, multiplicamos o 
primeiro termo pelo inverso do segundo.
Examine mais estes exemplos:
 a ) 5 3 55 :
2
3
5 3
2
15
2 c) 
2
7
: 3 2
7
1
3
2
21
5 3 5
 b ) 5
6
: 3
7
5
6
7
3
35
18
5 3 5 d) 3
5
: 8
9
3
5
9
8
27
40
5 3 5
M
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Frações 45
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 45 2/1/16 9:51 AM
Exercícios 
 87. Use o processo prático para efetuar as seguintes divisões:
 a ) 3
8
2
5
5; 
 b ) 5;4 3
5
 
 c ) 1 5;2
3
5 
 d ) 5;1
4
3
2
 
e ) 5;2 1 3
4
 f ) 5;
3
8
9
2
 
g ) 5;3
4
3
h ) 5;5
6
1
2
 88. Mara separou 3
4
 de uma quantia e comprou 2 cadernos iguais. O preço de cada caderno corresponde a que fração da quantia 
total? 
5 ? 5;
3
4
2 3
4
1
2
3
8
O preço de cada caderno corresponde a 3
8
 da quantia total.
 89. Determine o valor das expressões numéricas.
 a ) )( )(1 1 5;25 15 14 24 
1 1 5 5
5 ? 5
; ;( ) ( )25 15 14 24 35 34
3
5
4
3
4
5
1
1
 Para construir:
 Exercícios 87 a 93 (p. 46 a 48)
5 ? 5;
3
8
2
5
3
8
5
2
15
16
5 ? 5 5;4 3
5
4
1
5
3
20
3
6 2
3
5 3 5;1 2
3
5
5
3
1
5
1
3
5 ? 5 5;
1
4
3
2
1
4
2
3
2
12
1
6
5 ? 5 5;2 1 3
4
2 4
7
8
7
1 1
7
5 ? 5 5;
3
8
9
2
3
8
2
9
6
72
1
12
5 ? 5;
3
4
3 3
4
1
3
1
4
5 ? 5 5 5;
5
6
1
2
5
6
2
1
10
6
5
3
1 2
3
Frações46
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 46 2/1/16 9:51 AM
 b ) ) )( (2 2 5;13 14 25 110 
2 2 5
5 2 2 5
5 5 ? 5
;
;
;
( )
( )( )
( )13 14 25 110
4
12
3
12
4
10
1
10
1
12
3
10
1
12
10
3
5
18
6
5
 c ) )) (( 3 2 5;27 14 34 15 
3 2 5
5 2 5 5
5 ? 5
;
; ;( )
( ) 27 14 34 15
1
14
15
20
4
20
1
14
11
20
1
14
20
11
10
77
1
2
7
10
 d ) ) )( (2 3 5;2 13 34 56 
2 3 5
5 2 3 ? 5
5 3 5
;( )
( )
( )




2 1
3
3
4
5
6
6
3
1
3
3
4
6
5
5
3
9
10
3
2
2
3
1
1
3
2
 90. Lembrando que o traço de fração significa uma divisão, calcule:
 a ) 5
5
6
2
3
 
5 5 ? 5 5;
5
6
2
3
5
6
2
3
5
6
3
2
5
4
1 1
4
2
1
M
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Frações 47
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 47 2/1/16 9:51 AM
b ) 5
1
5
1
9
 
5 5 ? 5 5;
1
5
1
9
1
5
1
9
1
5
9
1
9
5
1 4
5
c ) 5
3
1
2
 
5 5 ? 5;
3
1
2
3 1
2
3 2 6
 91. Quantas vezes 1
4
 de hora cabe em 2 horas? 
5;2 1
4
8
Cabe 8 vezes.
92. Em uma garrafa de água cabem 3
4
 de 1 litro. Quantos copos de 1
4
 de litro cabem nessa garrafa? 
5 ? 5 5;
3
4
1
4
3
4
4
1
12
4
3
Cabem 3 copos nessa garrafa.
 93. Cláudio recebe um salário de R$ 2 400,00. Ele gasta 1
3
 desse dinheiro com moradia e 1
4
 com alimentação. Com 1
5
 do que 
sobra, ele compra roupas e, com o restante, paga outras despesas.
 a ) Quanto Cláudio gasta com moradia? 
1
3
3 2 400,00 5 R$ 800,00
Frações48
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 48 2/1/16 9:51 AM
 b ) Quanto ele gasta com alimentação? 
1
4
3 2 400,00 5 R$ 600,00
 c ) E com roupas?
2 400,00 2 (800,00 1 600,00) 5 1 000,00 3 1
5
 5 R$ 200,00
 d ) E em outras despesas? 
2 400,00 2 (800,00 1 600,00 1 200,00) 5 R$ 800,00
 e ) Qual fração do salário representa o gasto de Cláudio com roupas? 
=
200
2400
1
12
Potenciação com fração na base
Já vimos que a potenciação é uma multiplicação com fatores iguais. Por exemplo: 
54 5 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 625.
Essa ideia vale também para as potências nas quais a base é uma fração. Nesse 
caso, devemos sempre nos lembrar de colocar a fração (base da potência) entre pa-
rênteses. Exemplos:
 a ) 2
3
3( ) 5 23 ? 23 ? 23 5 2333 5 827 b) 65 2( ) 5 65 ? 65 5 6522 5 3625
Assim, podemos escrever:
Para elevar uma fração a um dado expoente, devemos elevar o numerador e o deno-
minador a esse expoente.
As propriedades da potenciação estudadas nos números naturais continuam 
válidas para as frações, ou seja: 
• toda fração elevada ao expoente 1 dá como resultado ela mesma;
 2
5
1( ) 5 25 511 1( ) 5 511
• toda fração elevada ao expoente 0 dá como resultado o número 1.
 1
3
0( ) 5 1 2100 0( ) 5 1 MAT
E
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Frações 49
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Exercícios 
 94. Calcule o valor de cada potência.
 a ) )( 545 2 1625
 b ) )( 534 2 916
 c ) )( 515 0 1
 d ) )( 537 1 37
e ) )( 51 35 2 6425
 f ) )( 52 14 3 72964
g ) )( 55 23 2 2899
h ) )( 57 39 0 1
 Para construir:
 Exercícios 94 a 98 (p. 50 a 52)
Raiz quadrada de fração
Vimos que, para extrair a raiz quadrada exata de um número natural, precisamos 
encontrar o número natural que, elevado ao quadrado, resulte no primeiro número. Por 
exemplo:
121 5 11, pois 112 5 11 • 11 5 121
Observe agora a raiz quadrada de frações:
• 
9
16
 5 9
16
 5 3
4
, pois 3
4
2( ) 5 3422 5 916 ;
• 
1
4
 5 1
4
 5 1
2
, pois 1
2
2( ) 5 1222 5 14 .
Assim, podemos escrever:
Para extrair a raiz quadrada exata de uma fração, devemos extrair a raiz quadrada do 
numerador e do denominador.
Frações50
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 50 2/1/16 9:51 AM
 95. Extraia a raiz quadrada em cada item.
 a ) 54
9
 
2
3
 b ) 564
81
 
8
9
 c ) 5100
49
 
10
7
 d ) 5196
225
 
14
15
e ) 5400
900
 2030 5 
2
3
 f ) 51 28
36
 
4
3
g ) 510 74
25
 
18
5h ) 51 36
64
 
5
4
 96. Determine o valor das expressões numéricas.
 a ) 1
3
2( ) 1 )( 525 2 
 b ) 1
4
 1 2
5
2( ) 2 5120 
 c ) 5
4
1
3
2
2( ) : 527
 d ) 1 1
3
2
2( ) : )( 2 51 25 2
 
61
225 
 
9
25 
 847
288
 
 100
81
 
M
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M
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Frações 51
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Revendo as operações com frações
Agora que você já viu as operações com números na forma de fração, vamos 
trabalhar um pouco mais com elas.
Exercícios 
 99. Renata dividiu uma figura em 5 partes iguais e pintou 2
3
 de uma das partes. Que fração da figura ela pintou? 
 100. Na classe de Marcelo, 2
5
 dos alunos preferem ler romances, 4
15
 preferem ler livros de aventura e o restante dos alunos prefere 
revistas em quadrinhos. Qual grupo tem mais alunos: o que prefere livros de aventura ou o que prefere revistas em quadrinhos?
O que prefere revistas em quadrinhos.
 Para construir:
 Exercícios 99 a 105 (p. 52 a 54)
2
15
2
3
de 1
5
2
3
1
5
2
15
? 5( )→
 97. Agora, calcule o valor destas expressões numéricas.
 a ) 
1
2
5
3
2
2
3
4
3
3
4
 b ) 1 2 
1
2
5
3 2
5
6 1
5
 98. Considerando a ordem das operações e dos separadores (parênteses, colchetes e chaves), calcule o valor das expressões nu-
méricas abaixo.
 a ) 10 ? 2 9 31
100
3 2
5
3
2 3
1 2
22
1( ) { } ? 515 10
 b ) 13 9
25
1( ) ? 13 122 2( ) ( ) 1 ? )( 51 626 
 267 
12
29
 
1
18
Frações52
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 52 2/1/16 9:51 AM
 101. Calcule o valor destas expressões numéricas envolvendo frações. Não se esqueça da ordem em que as operações devem ser 
efetuadas.
 a ) 2 3 53
4
2
3
1
2
 b ) 5;3
10
8
15
 
 c ) 3 5;1 1
2
3
4
1
5
 
 d ) ) )( (2 534 122 3 
 102. Descubra o padrão e complete as sequências.
 a) 
5
16
3
8
1
16
1
8
3
16
1
4
7
16
1
2
9
16
5
8
11
16
3
4
 b) 
2
3
1
1
3
2 2
2
3
4 63
1
3
4
2
3
5
1
3
0
5
12
3
4
2
5
7
16
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Frações 53
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 103. (Saeb) Sara fez um bolo e o repartiu com seus quatro filhos. João comeu 3 pedaços, Pedro comeu 4, Marta comeu 5 e Jorge 
não comeu nenhum pedaço. Sabendo-se que o bolo foi dividido aproximadamente em 24 pedaços iguais, que parte do bolo 
foi consumida?
 a ) X 1
2
 b ) 1
3
 c ) 1
4
 d ) 1
24
 104. (Obmep) A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do 
carro no momento de partida e no momento de chegada de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina João gastou 
nessa viagem?
 a ) 10
 b ) 15
 c ) 18
 d ) X 25 
 e ) 30
 105. (Prova de Aferição do Ensino Básico – MEC –Adaptado) O esquema mostra a família do Tomás.
 A tabela seguinte apresenta as recomendações de alguns especialistas sobre o consumo diário de leite.
Idades
Quantidade de 
leite (em litros)
Dos 3 anos aos 9 anos 1
2
Dos 10 aos 20 anos
3
4
Dos 21 aos 55 anos 1
2
A partir dos 56 anos
3
4
 Que quantidade de leite consome a família do Tomás, num dia, se todos seguirem as indicações da tabela?
 a ) 2
 b ) X 3
 c ) 4
 d ) 5
 e ) 6
1 1 5 5
3
24
4
24
5
24
12
24
1
2( )
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2 5 5 5
3
4
1
4
2
4
1
2
; 1
2
de 50 25( )
1 1 1 1 5Avô: 3
4
L; pai: 1
2
L; mãe: 1
2
L; Tomás: 3
4
L; irmã: 1
2
L; 3
4
1
2
1
2
3
4
1
2
3( )
Frações54
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6 Porcentagem
São muitas as informações que recebemos dadas por meio de porcentagens.
Veja alguns exemplos:
• Nas pesquisas:
Comente com os alunos a importância da reciclagem tanto 
para o meio ambiente quanto para a economia (redução do 
uso de materiais e de energia).
[...] Estima-se que a produção de lixo no Brasil seja de 193 642 toneladas 
por dia. Entretanto, mais de 24 mil toneladas de lixo deixam de ser coletadas 
e são descartadas de forma irregular diariamente. A cobertura da coleta de 
lixo regular atinge 87,4% da população.
De acordo com o CEMPRE (Compromisso Empresarial para Reciclagem), 
27% dos resíduos recicláveis (fração seca do lixo urbano) que seriam enca-
minhados para lixões e aterros foram recuperados e retornaram para a cadeia 
produtiva em forma de matéria-prima em 2012. No caso específico das em-
balagens, o índice de recuperação foi de 65,3%.
CEMPRE divulga dados inéditos sobre a reciclagem de embalagens pós-consumo no Brasil. Disponível em: <envolverde.com.br/
noticias/cempre-divulga-dados-ineditos-reciclagem-embalagens-pos-consumo-brasil/>. Acesso em: 24 fev. 2015.
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Lixeiras próprias para separação de lixo.
• Nas propagandas:
Acesse o portal e leia o texto 
“Fazer pensar: um dos 
principais objetivos do ensino 
da Matemática”.Da
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Detalhe de propaganda
As porcentagens correspondem 
a frações de denominador 100 ou 
frações equivalentes a elas.
Um desconto de 70% significa que um produto que custa R$ 100,00 está 
sendo vendido com desconto de R$ 70,00, ou seja, por R$ 30,00 (100 2 70).
• Outros exemplos:
 a ) A porcentagem de água em nosso sangue é de cerca de 83% (83 em 100 ou 83
100
 
ou 83% ou oitenta e três por cento).
 Isso significa que, se tivéssemos 100 litros de sangue, 83 litros seriam de água.
 b ) Quando pagamos juros de 6% nas compras a prazo, significa que a cada R$ 100,00 
pagos haverá um acréscimo de R$ 6,00 (6 em 100 ou 6
100
 ou 6%).
 Você sabia?
A utilização de porcentagem acontece desde a época do Império Romano 
(27 a.C. a 476 d.C.).
O imperador Augusto (27 a.C. a 14 d.C.) impunha uma taxa de 
1
100
 sobre 
os negócios realizados em leilões.
O símbolo de porcentagem só apareceu muito mais tarde.
No século XV, os escribas italianos começaram a abreviar a expressão “por 
cento”. Algumas das abreviações foram: P100; p cento e pco.
Adaptado de: 
DUBY, Georges. 
Grand atlas 
historique. Paris: 
Larousse, 2006.
O Império Romano 
(27 a.C.-476 d.C.)
N
0 790 km
15º L
Mar Mediterrâneo
OCEANO
ATLÂNTICO
Mar Negro
Mar do
Norte
45º N
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Frações 55
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Exercícios 
 106. Represente as frações em forma de porcentagem. Escreva como se leem as porcentagens.
a ) 55
100
 5%; cinco por cento. 
b ) 520
100
 20%; vinte por cento.
c ) 
5
80
100
 80%; oitenta por cento. 
d ) 550
100
 50%; cinquenta por cento. 
 107. Escreva a fração correspondente de denominador 100.
 a ) 10% 5 
b ) 2% 5 
c ) 60% 5 
d ) 100% 5 
 108. Escreva a fração correspondente em sua forma mais simples.
 a ) 40% 5 
 b ) 25% 5 
 c ) 50% 5 
 d ) 20% 5 
 e ) 73% 5 
 109. Escreva na forma de porcentagem.
 a ) 54
5
 
80% 
 
 b ) 52
10
 
20% 
 c ) 51
4
 25% 
 d ) 53
25
 
12% 
 e ) 521
300
 7% 
 f ) 533
150
22% 
 Para construir:
 Exercícios 106 a 114 (p. 56 a 58)
10
100
2
100
60
100
100100
2
5
40
100
2
5
5( )
1
4
25
100
1
4
5( )
1
2
50
100
1
2
5( )
1
5
20
100
1
5
5( )
73
100
5 5
4
5
80
100
80%
5 5
2
10
20
100
20%
5 5
1
4
25
100
25%
5 5
3
25
12
100
12%
5 5
21
300
7
100
7%
5 5 5
33
150
11
50
22
100
22%
Frações56
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 110. Escreva a fração e a porcentagem que representam a parte pintada de cada figura.
 a ) 
 
 b ) 
 c ) 
 
 d ) 
 
 111. Atividade em dupla
Um de vocês associa uma porcentagem com a expressão que melhor a representa, considerando o mesmo total. O outro con-
fere e justifica a escolha.
49%
2%
98%
100%
50%
25%
51%
A metade da metade
A metade
Tudo
Quase tudo
Pouco
Pouco mais do que a metade
Pouco menos do que a metade
7
100
; 7%
70
100
; 70%
3
4
; 75%
 
1
2
; 50%
25%
50%
100%
98%
2%
51%
49%
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Frações 57
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 112. Desenhe três retângulos de 5 cm por 2 cm. No primeiro, pinte 50% da região retangular; no segundo, 10%; e no terceiro, 40%. 
Compare seus desenhos com os de seus colegas. 
 113. Complete com as porcentagens que estão faltando.
 a ) Rita gastou 30% do que tinha na compra de uma blusa e gastou 25% na compra de um livro. No total ela gastou 55 % do 
que tinha e ainda ficou com 45 %. 
 b ) Lauro pintou 25% de 40% de uma região plana. Então, podemos dizer que ele pintou 10 % dessa região plana. 
 c ) Em uma classe com 21 meninas e 14 meninos, as meninas representam 60 % da classe e os meninos 40 % da classe. 
 d ) Depois de um automóvel percorrer 73% de uma distância, ficaram faltando 27 % para completar a distância. 
 114. Responda com suas palavras: qual é o significado de 200%? E de 150%? Compare suas respostas com as dos colegas.
O dobro; uma vez e meia. 
 
Por exemplo: 
100% 2 55% 5 45%
→ →25% 1
4
; 40% 2
5
; 1
4
de 2
5
2
20
10
100
10%5 5 5
21 14 35; 21 em 35 21
35
3
5
60
100
60%; 100% 60% 40%1 5 5 5 5 5 2 5
 100% 2 73% 5 27%
Frações58
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Cálculo da porcentagem 
de um número
O 6o ano C está organizando uma excursão. Nela 
irão 80% dos alunos da classe. Se a classe tem 35 alunos, 
quantos alunos do 6o ano C participarão da excursão?
Para responder, precisamos calcular 80% de 35.
Já vimos que: 80% 5 5
80
100
4
5
.
Então, calcular 80% de 35 é o mesmo que calcular 4
5
 
de 35. Assim:
4
5
 de 35 5 28, pois 35 ; 5 5 7 e 4 3 7 5 28.
Logo, 80% de 35 5 28, ou seja, 28 alunos participarão 
da excursão.
Analise mais dois exemplos:
 a ) 45% de 60 5 ?
 
45% 45
100
9
20
5 5
 45% de 5 5
5 3 5
1 2444 3444
60 9
20
de 60 27
60 : 20 3; 9 3 27
 Então, 45% de 60 5 27.
 b ) 75% de R$ 168,00 5 ?
 
75% 75
100
3
4
5 5
 
3
4
de 168 126
168 : 4 42; 3 42 126
5
5 3 5
1 24444444 34444444
 Então, 75% de R$ 168,00 5 R$ 126,00.
Acompanhe esta outra situação:
Em um jogo de basquete, Nair fez 28 pontos, que correspondem a 40% dos 
pontos feitos por sua equipe. Quantos pontos fez a equipe de Nair?
Representamos essa situação assim:
40% de j 5 28.
Veja duas formas diferentes de resolução.
 40% 28
 10% 7
 100% 70
; 4 ; 4
3 103 10
ou
40% 5 5 5
40
100
4
10
2
5
40% de j 5 28 2
5
 de j 5 28
28 ; 2 5 14 e 5 3 14 5 70
Logo, a equipe de Nair fez 70 pontos.
Jogo de basquete de atletas com deficiência, 2014.
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Alunos caminhando em direção à escola, 2013.
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Frações 59
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Exercícios 
 115. Você sabia que a pele é o maior órgão do corpo humano e atinge 16% da massa corporal de uma pessoa? Então, quantos 
quilogramas de pele tem uma pessoa que pesa 50 quilogramas? Troque ideias com um colega. 
5 516% de 50 4
25
de 50 8
Uma pessoa que pesa 50 kg tem 8 kg de pele.
 116. Uma loja está vendendo uma bicicleta que custava R$ 180,00 com desconto de 5%. Por quanto ela está sendo vendida? 
 117. Uma loja de equipamentos de informática dá desconto de 10% nas compras à vista. Uma pessoa comprou um tablet que cus-
tava R$ 1 320,00, pagando à vista.
 a ) Qual foi o valor do desconto? 
 b ) Qual foi o valor pago pelo tablet, nessas condições? 
 118. Um jogo de videogame custa R$ 150,00 à vista. Se for vendido em três prestações, terá um acréscimo de 4%. Qual será o 
valor de cada prestação? 
5 54% de 150 1
25
de 150 6
150 1 6 5 156
156 ; 3 5 52
Cada prestação custa R$ 52,00.
R$ 171,00 5% de 180 1
20
de 180 9; 180 9 1715 5 2 5( )
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Bicicletas à venda
10% de 1 320 1
10
de 1 320 1325 5
1 320 2 132 5 1 188
 Para construir:
 Exercícios 115 a 121 (p. 60 a 63)
Frações60
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 119. Complete com o que falta.
 a ) 50% de 40 5 20 
 b ) 50% de 80 5 40 
 c ) 2
5
 de 30 5 12 
 d ) 2
5
 de 75 5 30 
 e ) 28% de 150 5 42 
 f ) 3% de 400 5 12 
 g ) Em fração irredutível: 
11
25 de 350 5 154 
 h ) Em porcentagem: 44% de 350 5 154 
1
2
40 20? 5( )
(2 ? 4 5 80)
2
5
30 12? 5( )
5
2
30 75? 5( )
28
100
150 42? 5( )
100
3
12 400? 5( )
154
350
11
25
5
154
350
44
100
5
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Frações 61
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 120. Em um jogo de basquete, Luci fez 21 pontos, correspondentes a 35% dos pontos de sua equipe. Descubra de duas formas 
diferentes quantos pontos fez a equipe de Luci. 
 121. Resolva.
 a ) Em uma classe de um curso de inglês, 4
9
 são meninos, e o número de meninas é 20. Quantos alunos há nessa classe? 
 b ) Um barco percorreu 120 km de um percurso e ainda faltam 100 km para completá-lo. Que fração desse percurso ele já percorreu?
; 7
35% 21
 ; 7
5% 3
3 20 100% 60 3 20
ou
35% de j 5 21
↓
5
35
100
7
20
21 ; 7 3 20 5 60
A equipe de Luci fez 60 pontos.
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Barco a vela
120 1 100 5 220
120 em 220 5→
120
220
6
11
Ele já percorreu 6
11
 do percurso.
Se necessário, dê a seguinte dica aos alunos: as 20 meninas correspondem a 
5
9 da classe.
→5
9
20 5
9
de j 5 21
;→1
9
4 (20 5) ou 20 ; 5 3 9 5 36
3→9
9
36 (9 4) Nessa classe há 36 alunos.
Frações62
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 c ) Na promoção de uma loja, está sendo dado um desconto de R$ 16,00 sobre um forno de micro-ondas que custa R$ 200,00. 
Qual é a porcentagem do desconto? 
 d ) José tinha R$ 40,00 e gastou 15% na compra de um lanche. Com quanto ainda ficou? 
 e ) Laura gastou 30% do que tinha com uma agenda e ainda ficou com R$ 21,00. Qual é a quantia que Laura tinha? 
 f ) Fausto gastou R$ 45,00 com uma jaqueta e ainda ficou com R$ 15,00. A quantia que sobrou corresponde a quanto por 
cento do que ele tinha?
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ck
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lo
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Jaqueta
16 em 200 5→ 16
200
8
100
 5 8%
O desconto é de 8%.
5 515% de 40
3
20
de 406
40 2 6 5 34
José ficou com R$ 34,00.
70% → 21
10% → 3
100% → 30
Laura tinha R$ 30,00.
45 1 15 5 60
15 em 60 5 5 5→ 15
60
5
20
25
100
25%
A quantia que sobrou corresponde a 25% da quantia que ele tinha.
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Cálculo mental de porcentagens
Determinadas porcentagens podem ser calculadas mentalmente.
Veja este exemplo:
Uma classe tem 40 alunos.
Então:
 a ) 100% da classe são 40 alunos (100% 5 total).
 b ) 50% da classe são 20 alunos (40 ; 2, pois 50% significa metade).
 c ) 25% da classe são 10 alunos (40 ; 4, pois 25% significa metade da metade, ou 
seja, a quarta parte).
 d ) 20% da classe são 8 alunos (40 ; 5, pois 20% significa a quinta parte).
 e ) 10% da classe são 4 alunos (40 ; 10, pois 10% significa a décima parte).
 f ) 70% da classe são 28 alunos (7 3 4, pois 70% significa 7 3 10%).
Uso da calculadora
É muito fácil calcular a porcentagem em uma calculadora.
Vamos calcular 35% de 460.
Teclamos 3460 35 e obtemos .
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Exercícios 
 122. Atividade em dupla
Em cada item, um de vocês calcula mentalmente e explica, o outro confere.
 a ) Quem tem R$ 60,00 e gasta 50% com material escolar gasta R$ 30,00 . 
 b ) Dos 80 eleitores inscritos, votaram 25%. Número de votantes: 20 . 
 c ) Desconto de 10% em uma saia que custa R$ 90,00 significa desconto de R$ 9,00 . 
 d ) Em um grupo de 30 pessoas, 10% do grupo são 3 pessoas e 90% são 27 pessoas.
 e ) 
 f ) 
Azul: 20 % da região retangular.
Laranja: 60 % da região retangular.
Azul e laranja juntas: 80 % da região retangular. 
 Para construir:
 Exercícios 122 a 129 (p. 64 a 66)
Parte pintada: 75 % do círculo.
Parte não pintada: 25 % do círculo.
Frações64
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 123. Arredondamentos e estimativas
Faça arredondamentos e marque apenas o valor mais adequado de cada item.
 a ) Desconto de 9% em R$ 298,00:
R$ 10,00
R$ 20,00
R$ 30,00 
R$ 40,00
 b ) 49% de uma população de 141 200 habitantes:
70 000 habitantes 
50 000 habitantes
80 000 habitantes
60 000 habitantes
 c ) 22% de um percurso de 503 km:
50 km
100 km
20 km
80 km
 d ) Preço de um produto que custava 82 reais e aumentou 
10%:
80 reais
81 reais
85 reais
90 reais 
 124. Um candidato recebeu 13 420 votos em uma eleição. Sua votação corres-
ponde a 55% dos votos válidos.
 a ) Quantos foram os votos válidos nessa eleição?
 b ) O candidato citado foi o vencedor da eleição? Justifique a resposta. 
Troque ideias com seus colegas. 
 125. Você sabe quais são os quatro maiores estados brasileiros em área, na ordem do maior para o menor? Confira sua estimativa 
usando as informações a seguir e descubra as áreas aproximadas dos estados, em quilômetros quadrados (km2). Você pode 
usar uma calculadora.
Pará: 75% do Amazonas Minas Gerais: 50% do Pará
Amazonas: 16 ? 105 km2
Mato Grosso: 3
2
 de Minas Gerais
Agora, escreva o nome dos quatro estados de acordo com a ordem decrescente de suas áreas.
Amazonas, Pará, Mato Grosso e Minas Gerais. 
X 10% de 300
50% de 140 000X
20% de 500X
82 1 8X
B
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Eleitor votando. São Paulo (SP), 2014.
55% 13 420; 5% 1 220; 100% 24 400
Sim, pois 55% representam mais do que a metade dos votos válidos.
1 200 000
1 600 000
900 000 
600 000 
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Frações 65
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Cristo Redentor, Rio de Janeiro (RJ), 2014.
 126. Use uma calculadora e descubra:
 a ) 80% de 1 340; 1 072
 b ) 32% de 1 400; 448
 c ) 135% de R$ 60,00. R$ 81,00
 127. Por que, no item c da atividade anterior, o resultado é maior do que R$ 60,00? Converse sobre isso com um colega.
Porque 135% é mais do que 100%. 
 128. De acordo com o Censo realizado pelo IBGE em 2010, a população total 
da região Sudeste era de aproximadamente oitenta milhões, trezentos e 
sessenta e quatro mil, quatrocentos e dez habitantes. Escreva esse nú-
mero usando símbolos.
80 364 410
Depois, complete a tabela abaixo com as porcentagens em relação a 
esse valor e as populações aproximadas de cada estado da região Su-
deste. Use calculadora.
População da região Sudeste em 2010 por estado
Fonte: IBGE. Disponível em: <www.ibge.gov.br/estadosat>. Acesso em: 20 nov. 2014.
Estado Porcentagem População
São Paulo 52% 41 262 199
Rio de Janeiro 20% 15 989 929
Minas Gerais 24% 19 597 330
Espírito Santo 4% 3 514 952
 129. Projeto em equipe: porcentagem no dia a dia
 a ) Pesquisem na classe as porcentagens de meninos, meninas, alunos que usam óculos, alunas com cabelos longos, 
alunos com olhos escuros, etc.
 b ) Façam outras pesquisas na classe e na escola dando os resultados em porcentagem.
 c ) Recortem de jornais e revistas porcentagens interessantes e façam um painel para expor à turma.
 Para aprimorar:
 Raciocínio lógico (abaixo)
Quantos quilogramas tem uma caixa se ela pesa 10 kg a mais do que a metade de sua massa? 20 kg
Raciocínio lógico
Frações66
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Tratamento da informação
Interpretação de gráfico de setor ou de pizza
 130. Uma pesquisa foi realizada no centro de uma cidade, com 480 pessoas. O 
pesquisador perguntava aos entrevistados qual gênero musical eles prefe-
riam: rock, música erudita, MPB, música sertaneja ou outros. O gráfico ao lado 
mostra o percentual de pessoas que responderam à pesquisa.
 a ) Qual é o gênero musical de maior preferência?
MPB (35%).
 b ) Quantas pessoas responderam que preferem música erudita?
96 pessoas (20% de 480).
 c ) Qual é o percentual de pessoas que preferem música sertaneja?
25%.
 d ) A quantidade de pessoas que preferem música sertaneja é igual à quan-
tidade de pessoas que preferem rock mais a quantidade de pessoas que 
preferem música erudita? Justifique sua resposta.
Sim, pois 5% preferem rock e 20% preferem música erudita; 5% 1 20% 5 25%.
 e ) Quantas pessoas responderam que preferem rock?
24 pessoas (5% de 480).
 131. O gráfico ao lado mostra as preferências por sucos dos 40 alunos do 6o ano A 
de uma escola.
 a ) Qual o percentual de alunos que preferem suco de uva?
5%.
 b ) Quantos alunos preferem suco de laranja?
24 alunos (60% de 40).
 c ) Quantos alunos preferem suco de limão?
10 alunos (25% de 40).
 d ) Qual o quociente do número de alunos que preferem suco de uva pelo 
número de alunos que preferem suco de goiaba? 
Dados fictícios.
Preferência de gêneros musicais
Rock
Outros
Música erudita
Música sertaneja
MPB
15%
20%
35%
5%
Legenda:
Dados fictícios.
Preferência de sabores de suco
Legenda:
Lim‹oLaranja UvaGoiaba
10%
25%
60%
)(12 2 : 4 24 12 .5 5
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Frações 67
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 132. Sueli foi ao supermercado comprar algumas hortaliças para seu restaurante. 
O gráfico a seguir mostra as quantidades que ela comprou, com frações.
Sabendo que, no total, Sueli comprou 12 kg de hortaliças, faça o que se pede: 
 a ) Determine a fração correspondente à quantidade de cebola e tomate 
juntos. 
 b ) Qual é a fração correspondente à quantidade de cenoura? 
 c ) Qual é a quantidade de tomate, em quilogramas, que Sueli comprou no 
supermercado? 
 d ) Sabendo que o quilogramade cebola custa R$ 3,00, quantos reais Sueli 
pagou na compra da cebola? 
11
12
2
3
1
4
1( )
1
12
1 11
12
2( )
8 kg 2
3
123( )
R$ 9,00 1
4
12 3 e 3 3 93 5 3 5( )
Dados fictícios.
Quantidade comprada de hortaliças
Legenda:
Cebola
Cenoura
Tomate
2
3
1
4
Frações68
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Outros contextos
 133. Pagando impostos: IPVA
Felipe tinha um carro ano 2013. No início do ano de 2014, 
seu valor era de R$ 30 000,00. Suponha que no estado 
onde Felipe mora, o IPVA (Imposto sobre a Propriedade de 
Veículos Automotores) em 2014 era de 3% do valor do car-
ro e podia ser pago de três formas:
1a) à vista, até dia 15 de janeiro de 2014, com desconto 
de 4%;
2a) à vista, até dia 15 de fevereiro de 2014, sem desconto;
3a) em três parcelas mensais de mesmo valor, sem des-
conto, pagas até os dias 15 de janeiro, 14 de fevereiro e 
14 de março de 2014.
Agora, faça o que se pede.
 a ) Calcule o valor a ser pago na primeira forma de pagamento. 
 b ) Calcule o valor de cada parcela na última forma de pagamento. 
 134. Distância entre cidades gaúchas
O mapa ao lado mostra a rodovia que liga três importantes cidades do Rio 
Grande do Sul, com as distâncias indicadas. Ademir, Laura e Raul, cada um 
com seu carro, estão transitando entre essas cidades por essa rodovia.
 a ) Ademir está indo de Caxias do Sul a Novo Hamburgo e já percorreu 
75% do percurso. Laura está indo de Porto Alegre a Novo Hamburgo e 
já percorreu 5
7
 do percurso. Quantos quilômetros Ademir e Laura es-
tão distantes um do outro nessa rodovia? 
Antes de realizar a atividade, comente com os alunos sobre o que é o IPVA. Explique que é um imposto estadual, 
cobrado anualmente. Mencione que esse imposto varia de acordo com as características do veículo e com as leis 
de cada estado ou do Distrito Federal.
Carro popular.
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R$ 864,00 (3% de 30 000 5 900; 4% de 900 5 36; 900 2 36 5 864)
R$ 300,00 (3% de 30 000 5 900; 900 ; 3 5 300)
Rio Grande do Sul
55¼ O
30¼ S
Caxias do Sul
Novo Hamburgo
76 km
42 km
Porto Alegre
PR
SC
URUGUAI
PARAGUAI
ARGENTINA
OCEANO
ATLåNTICO
N
0 180 km
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012.
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Distância de Ademir a Novo Hamburgo: 75% de 76 5 3
4
 de 76 5 57
76 2 57 5 19
Distância de Laura a Novo Hamburgo: 55
7
de 42 30
42 2 30 5 12
Distância entre Ademir e Laura: 19 1 12 5 31
Ademir e Laura estão distantes 31 km.
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Frações 69
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 b ) Raul está indo de Caxias do Sul a Porto Alegre e já percorreu 1
2
 do percurso total. Ele está entre Caxias do Sul e Novo 
Hamburgo ou entre Novo Hamburgo e Porto Alegre? A quantos quilômetros de Novo Hamburgo? 
 c ) Localize no esquema abaixo a posição de cada uma das pessoas nos pontos assinalados.
Caxias
do Sul
Porto
Alegre
Novo
Hamburgo
Ademir
Raul
Laura
 135. Outras situações-problema envolvendo porcentagem
 a ) Uma corrida de rua tem um percurso de 40 km. Outra corrida tem 
apenas 30% desse percurso. Quantos quilômetros tem a segunda 
corrida? 12 km (30% de 40 5 12)
 b ) Em uma cidade, o jornal custa 25% do preço de uma revista. Sa-
bendo que a revista custa R$ 12,00, qual é o preço do jornal? 
 c ) Uma cadela teve 8 filhotes, dos quais 75% eram fêmeas. Quantos 
filhotes machos essa cadela teve? 
76 1 42 5 118
5
1
2
de 118 59
59 , 76
Raul está entre Caxias do Sul e Novo Hamburgo. 
76 2 59 5 17
Ele está a 17 km de Novo Hamburgo.
Entre Caxias do Sul e Novo Hamburgo; a 17 km de Novo Hamburgo.
R$ 3,00 (25% de 12 5 3)
2 filhotes machos (25% de 8 5 2)
Marcelo Ferreira/CB/D.A Press
Corrida de rua. Brasília, DF, 2014.
Cadela amamentando filhotes.
Benn Mitchell/The Image Bank/Getty Images
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R$ 44,00 (10% de 50 5 5; 50 1 5 5 55; 20% de 55 5 11; 55 2 11 5 44)
 d ) Saulo tem um celular com capacidade de armazenar 1 200 números de telefone, e Édson tem um com 80% da capacidade 
do celular de Saulo. Qual é a capacidade de armazenamento do celular de Édson? 
 e ) Em 2010, o Brasil tinha aproximadamente 190 milhões de habitantes e cerca de 3% da população tinha um determinado 
tipo de sangue, o sangue AB. Calcule quantos brasileiros, aproximadamente, tinham sangue do tipo AB nesse ano. 
 f ) Em uma companhia de viagem, a passagem 
aérea de São Paulo (SP) para São Luís (MA) 
sofreu um aumento de 45% em julho de 2015, 
em relação a junho do mesmo ano. Se, em ju-
nho, o preço da passagem era de R$ 1 400,00, 
qual era o valor cobrado em julho? 
 g ) Estão cada vez mais comuns no Brasil os sites de compras coletivas. Veja como funciona: uma promoção de um determi-
nado produto ou serviço é colocada em um site com um alto desconto. As ofertas geralmente ficam disponíveis de um a 
três dias, mas só começam a valer quando alcançam um número mínimo de compradores. Do contrário, são canceladas. 
Acompanhe a seguinte situação:
Um produto que custava R$ 150,00 teve um desconto de 80% no site de compras coletivas A e de 90% no site B. Qual é o 
valor do produto no site A? E no site B? 
 h ) Um par de sandálias custava R$ 50,00 em uma loja da cidade. Em janeiro, houve um 
aumento de 10% no preço desse par de sandálias. Em fevereiro, a loja colocou em pro-
moção todos os produtos que vendia, oferecendo 20% de desconto para cada produto. 
Qual é o valor do par de sandálias em fevereiro?
960 números de telefone (80% de 1 200 5 960)
Aproximadamente 5,7 milhões de habitantes. (3% de 190 000 000 5 5 700 000)
(45% de 1 400 5 630; 1 400 1 630 5 2030)
R$ 2 030,00 
Site A: R$ 30,00 (20% de 150 5 30); site B: R$ 15,00 (10% de 150 5 15)
Vista aérea do centro histórico e terminal hidroviário no rio Anil. São Luís, MA, 2013.
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Par de sandálias
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Frações 71
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Praticando um pouco mais
 1. (Obmep) Veja na tabela o resultado da pesquisa feita em um bairro de uma grande cidade sobre os modos de ir ao trabalho.
Ônibus
Carro
A pé
Bicicleta
 5 500 entrevistados
Com base nessa tabela, qual é a alternativa correta?
 a ) Metade dos entrevistados vai a pé ao trabalho.
 b ) O meio de transporte mais utilizado pelos entrevistados para ir ao trabalho é a bicicleta.
 c ) 50% dos entrevistados vão ao trabalho de ônibus.
 d ) A maioria dos entrevistados vai ao trabalho de carro ou de ônibus.
 e ) 15% dos entrevistados vão ao trabalho de carro. 5 5 53 em 20 3
20
15
100
15%
 2. (OBM) Numa pesquisa sobre o grau de escolaridade, obtiveram-se os resultados expressos no gráfico abaixo.
10
0
20
30
40
50
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o
r
Que fração do total de entrevistados representa o total de pessoas que terminaram pelo menos o Ensino Fundamental? 1617
 a ) 1
17
 b ) 3
13
 c ) 5
16
 d ) 11
13
 e ) 16
17
X
Número de pessoas que terminaram o Ensino Fundamental: 30 1 20 1 50 1 20 1 40 5 160; total de entrevistados: 170; 160 em 170 = 
160170 5 
16
17 .X
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Frações72
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 3. (Obmep) Os alunos do sexto ano da Escola Municipal de Quixajuba fizeram uma prova com 5 questões. O gráfico mostra quan-
tos alunos acertaram o mesmo número de questões; por exemplo, 30 alunos acertaram exatamente 4 questões. Qual das 
afirmações a seguir é verdadeira?
10
0
20
30
40
50
60
70
Número de acertos
N
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n
o
s
0 1 2 3 4 5
 a ) Apenas 10% do total de alunos acertaram todas as questões.
 b ) A maioria dos alunos acertou mais de 2 questões.
 c ) Menos de 200 alunos fizeram a prova.
 d ) 40 alunos acertaram pelo menos 4 questões.
 e ) Exatamente 20% do total de alunos não resolveram nenhuma questão.
 4. (UFPB) Marquinhos trabalha em uma loja de informática e o seu salário é composto de uma parte fixa de R$ 400,00, acrescida 
de 5% sobre as vendas mensais por ele efetuadas. No mês em que o total de vendas de Marquinhos for R$ 40 000,00, seu 
salário será:
 a ) R$ 2 400,00. 
 b ) R$ 2 000,00.
 c ) R$ 1 440,00.
 d ) R$ 600,00.
 e ) R$ 400,00.
 5. (Unicamp-SP) Para repor o teor de sódio no corpo humano, o indivíduo deve ingerir aproximadamente 500 miligramas de sódio 
por dia. Considere que determinado refrigerante de 350 mililitros contém 35 miligramas de sódio. Ingerindo-se 1 500 mililitros 
desse refrigerante em um dia, qual é a porcentagem de sódio consumida em relação às necessidades diárias?
 a ) 45%
 b ) 60%
 c ) 15%
 d ) 30%
X
X 400 1 5% de 40 000 5 400 1 2 000 5 2 400
X M
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Frações 73
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Revisão cumulativa
 1. Durante um ano de competição, um tenista disputou 120 jogos e venceu 96 deles. Qual foi 
seu aproveitamento em porcentagem? 
 2. O salário de Alfredo passou de R$ 1 200,00 para R$ 1 296,00. Qual foi a porcen-
tagem do aumento?
 3. Somando 20 centenas com 10 dezenas e com 40 unidades, temos:
 a ) 20 140 unidades.
 b ) 2 140 unidades.
 c ) 2 040 unidades.
 d ) 21 040 unidades.
 4. Marque as três afirmações verdadeiras. 
 a ) Todo múltiplo de 6 é múltiplo de 3.
 b ) Todo divisor de 12 é divisor de 6.
 c ) Todo múltiplo de 10 é múltiplo de 5.
 d ) Todo divisor de 9 é divisor de 18.
 5. Em uma cidade com 45 000 habitantes, 60% da população correspondem a um número de habitantes:
 a ) menor do que 15 000.
 b ) entre 15 000 e 20 000.
 c ) entre 20 000 e 25 000.
 d ) maior do que 25 000. 
 6. Dos R$ 30,00 que ganhou em um dia de trabalho, Marcela deu 40% para seu irmão e ficou com:
 a ) R$ 12,00.
 b ) R$ 20,00.
 c ) R$ 18,00.
 d ) R$ 30,00.
 7. Em uma classe com 30 alunos, faltaram 6. O índice de comparecimento foi de:
 a ) 2
3
.
b ) 
3
4
.
 c ) 4
5
.
 d ) 5
6
.
 8. Em um grupo de 20 pessoas, 40% são homens, e 75% das mulheres são solteiras. O número de mulheres casadas é:
 a ) 3.
 b ) 6.
 c ) 4.
 d ) 8.
→96 em 120 96
120
16
20
80
100
80%5 5 5
1 296 1 200 96; 96 em 1 200
96
1 200
8
100
8%2 5 5 5 5
X
X
X
X
X 60% de 45 000 5 27 000
X
X
X
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Jogo de tênis
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 9. Qual dos quadriláteros não é paralelogramo?
 a ) 
 b ) 
 c ) 
 d ) 
 10. O relógio da igreja bate de hora em hora e a sirene da fábrica apita a cada 75 minutos. Se ambos tocarem juntos, depois de quan-
to tempo isso voltará a acontecer?
 a ) 6 horas
 b ) 5 horas
 c ) 3 horas
 d ) 4 horas
 11. Assinale o número cuja decomposição em fatores primos é 2 ? 3 ? 3 ? 7.
 a ) 126
 b ) 252
 c ) 84
 d ) 1 764
 12. Um feirante separou as laranjas que tinha em saquinhos com uma dúzia em cada um deles. Conseguiu completar 36 saquinhos 
e sobraram 6 laranjas. O número de laranjas que ele tinha era:
 a ) 418.
 b ) 428.
 c ) 438. 
 d ) 448.
 13. Assinale as três afirmações verdadeiras. 
 a ) (10 2 7) 2 1 Þ 10 2 (7 2 1)
 b ) 80 5 19
 c ) (10 ) 1 000 0003 3 5
 d ) 16 8
3
25( )
 14. Indique as expressões correspondentes, calcule seus valores e verifique se são iguais ou diferentes.
 a ) A raiz quadrada da soma de 144 e 81.
 b ) A soma da raiz quadrada de 144 e a raiz quadrada de 81.
X
X mmc(60, 75) 5 300; 300 min 5 5 h
X 2 3 9 3 7 5 126
X 36 3 12 1 6
X
X
X
144 81 225 151 5 5
144 81 12 9 211 5 1 5
As expressões têm valores diferentes (15 Þ 21). 
M
A
T
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A
Frações 75
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 Ponto de chegada
A Matemática nos textos
Retome com os alunos o texto da introdução (página 4) e a seção Você sabia?, que trata sobre o Papiro de Rhind (página 8). Se necessário, 
retome também o sistema de numeração egípcio.
B
a
n
c
o
 d
e
 I
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a
g
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A
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o
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rs
, 
In
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L
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n
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to
ck
A representação das frações egípcias
A origem das frações está relacionada à necessidade que 
os antigos egípcios tinham de realizar medidas. Eles começa-
ram usando frações unitárias (ou seja, aquelas que têm nume-
rador igual a 1), além das frações 2
3
 e 3
4
. Outras frações eram 
representadas como a soma de duas ou mais frações unitárias.
Exemplo: 3
10
1
5
1
10
5 15 1
1
5 1
5
5 1 .
Para escrever algumas frações unitárias, eles usavam o 
desenho de uma boca aberta para representar o 1 ( ) sobre 
outros símbolos.
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Algumas frações tinham símbolos especiais. Veja:
1
4
1
2
2
3
3
4
Trabalhando com o texto
 1. Explique com suas palavras a ideia principal do texto.
 2. Como podemos definir fração unitária? Dê exemplos. 
É a fração que tem numerador igual a 1, por exemplo, 
1
2
, 1
3
,
etc.
 3. Descubra qual fração pode ser representada pela soma das fra-
ções unitárias 16
1
2
.1
A origem dos números com vírgula
A representação dos números decimais sofreu muitas 
modificações desde que passou a ser usada por hindus e ára-
bes. Veja, a seguir, algumas das formas em que o número deci-
mal 12,634 era escrito.
No século XVI, o advogado francês François Viète (1540-
-1603), que estudava Matemática nas horas vagas, escrevia -o 
desta forma:
12 6
10
3
100
4
1 000
 ou 12 634
1 000
Simon Stevin (1548 -1620), contador, engenheiro e ma-
temático, apresentou em seu livro O décimo uma notação 
que, segundo ele, simplificava os cálculos. Sua representação 
para esse número era: 12(0) 6(1) 3(2) 4(3), na qual (1) indicava déci-
mos, (2) centésimos e (3) milésimos.
O uso da vírgula é, em geral, atribuído ao matemático italia-
no Giovanni Antonio Magini. Seu uso foi consolidado 20 anos de-
pois pelo matemático escocês John Napier. Ambos substituíram 
o (0) pela vírgula e omitiram os outros símbolos, ficando: 12,634.
Giovanni Antonio Magini 
(1555 -1617)
John Napier 
(1550 -1617)
Trabalhando com o texto
 1. Explique com suas palavras a ideia principal do texto. 
 2. Considere a representação de François Viète e responda: a que 
número decimal corresponde o número 1
101000
9
11 000000
?
0,019.
 3. Escreva o número 159,6573 na representação utilizada por Simon 
Stevin. 
Ilustração representando como 
poderiam ter sido feitosos 
registros de frações por alguns 
egípcios.
2
3
 ou 
159(0) 6(1) 5(2) 7(3) 3(4) .
76
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Verifique o que estudou
Depois de estudar os assuntos deste módulo, aplique 
seus conhecimentos respondendo às questões e realizando as 
atividades propostas:
 1. Desenhe uma figura e pinte parte dela. Depois, escreva uma fração 
que represente essa parte e explique o que indicam o seu nume-
rador e o seu denominador.
 2. Desenhe três figuras como a abaixo. Em uma delas, repre-
sente a fração 2
3
 e, nas outras, duas frações equivalentes a 
ela. Depois, compare os desenhos. 
 3. Um número misto corresponde a uma fração própria ou impró-
pria?
Imprópria.
 4. Reúna -se com um colega, inventem e resolvam um problema 
que envolva frações. 
 5. Elabore e resolva um problema que envolva porcentagem. 
Resposta pessoal.
Respostas pessoais.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
ATENÇÃO!
Retome os assuntos que você estudou neste módulo. Verifique em quais teve dificuldade e 
converse com o professor, buscando formas de reforçar seu aprendizado.
77
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Quadro de ideias
Uma publicação
Direção de conteúdo e 
inovação pedagógica: Mário Ghio Júnior
Direção: Tania Fontolan
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Gerência editorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Ronaldo Rocha (coord.), Cibeli Chibante Bueno 
e André Luiz Ramos de Oliveira (estag.)
Colaboração: Anderson Félix Nunes,
Elizangela Marques, Mariana Almeida 
Organização didática: Patrícia Montezano
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle 
Modesto, Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, 
Marina Saraiva, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Coordenação de produção: Fabiana Manna da Silva (coord.), 
Adjane Oliveira, Dandara Bessa
Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga
Edição de arte: Catherine Saori Ishihara
Diagramação: Karen Midori Fukunaga e Lourenzo Acunzo
Iconografia: Sílvio Kligin (superv.), Roberta Freire Lacerda 
(pesquisa), Cesar Wolf e Fernanda Crevin (tratamento de imagem)
Ilustrações: Casa de Tipos, Giz de Cera, Mauro Souza, 
Paulo Manzie e Suryara Bernardi
Licenças e autorizações: Patrícia Eiras
Cartografia: Eric Fuzii, Marcelo Seiji Hirata, Márcio 
Santos de Souza, Robson Rosendo da Rocha e Allmaps 
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Ilustração de capa: Roberto Weigand
Projeto gráfico de miolo: Andréa Dellamagna 
(coord. de criação)
Editoração eletrônica: Casa de Tipos, 
Dito e Feito Comunicação e JS Design Comunicação 
Visual (guia do professor)
 
Todos os direitos reservados por SOMOS Educação S.A.
Avenida das Nações Unidas, 7221 – Pinheiros
São Paulo – SP – CEP 05425-902
(0xx11) 4383-8000
© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Frações
Frações e porcentagens
Frações 
equivalentes
Operações 
com frações
Comparação 
de frações
Porcentagem
Probabilidade 
e comparação 
entre dois 
números 
naturais
Termos 
da fração
Frações 
próprias e 
impróprias
Números mistos
Simplificação 
e frações 
irredutíveis
Adição, 
subtração, 
multiplicação, 
divisão, 
potenciação
Numeradores e 
denominadores 
iguais e 
diferentes
Dante, Luiz Roberto
 Sistema de ensino ser : ensino fundamental II,
6º ano : caderno 3 : matemática : professor /
Luiz Roberto Dante. -- 1. ed. -- São Paulo :
Ática, 2016.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
16-00561 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
2015
ISBN 978 85 08 17904-6 (AL)
ISBN 978 85 08 17906-0 (PR)
1ª edição
1ª impressão
Impressão e acabamento
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Dominó de frações
Material complementar
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Ensino Fundamental – 6º- ano
Frações – 22 aulas
MATEMÁTICA
GUIA DO PROFESSOR
Luiz Roberto Dante
Livre-docente em Educação Matemática pela Universidade 
Estadual Paulista (Unesp) de Rio Claro, SP. Doutor em 
Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela Pontifícia 
Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). Mestre em 
Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). 
Pesquisador em Ensino e Aprendizagem da Matemática pela 
Unesp de Rio Claro, SP. Ex-professor da rede estadual dos 
Ensinos Fundamental e Médio de São Paulo. Autor de vários 
livros, entre os quais: Formulação e resolução de problemas 
de Matemática: teoria e prática; Didática da Matemática na 
pré-escola; Projeto Ápis: Natureza e Sociedade, Linguagem e 
Matemática (Educação Infantil – 3 volumes); Projeto Ápis 
Matemática (1ºº- ao 5ºº- anos); Projeto Voaz Matemática (Ensino 
Médio – volume único); Projeto Múltiplo – Matemática 
(Ensino Médio – 3 volumes).
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Frações
Frações e porcentagens
Aula 1 Páginas: 3 a 7
• TEMAS: “Ponto de partida”, “Introdução” e “Algumas ideias 
associadas à fração”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Ideia de fração como parte 
de um todo e representação de fração na forma percentual.
Objetivos
• Compreender fração como parte de um todo.
• Identificar uma fração apresentada na forma percentual.
Estratégias
Inicie a aula lendo o texto do Ponto de partida (pági-
na 3). Ele auxiliará na construção da ideia de fração como 
parte de um todo. Organize a turma em duplas para que fa-
çam as questões da seção. É importante orientá-los para 
que percebam que, ao relacionar a ideia de fração como par-
te de um todo, o todo esteja dividido em partes iguais. Não é 
possível se referir a um quarto de um objeto quando ele está 
dividido em partes distintas.
Prossiga a aula com a leitura do texto da página 4. Des-
taque a necessidade encontrada pelos egípcios em efetuar 
medições cada vez mais precisas, resultando no surgimento 
de outro tipo de número, as frações.
Em seguida, peça aos alunos que observem as manche-
tes da página 5, nas quais as frações são utilizadas para repre-
sentar parte da população total em diferentes contextos.
Na sequência, explique o conceito de porcentagem 
como uma forma muito utilizada na representação de fra-
ções cujo denominador seja igual a 100. Não é necessário 
tratar com profundidade o conceito de porcentagem neste 
momento, pois esse assunto será abordado com mais deta-
lhes ainda neste módulo.
Solicite aos alunos que façam as atividades 1 a 5 da se-
ção Exercícios (página 7).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Identifique qual das figuras representa a fração dada.
 a )
 
1
2
.
( ) ( ) ( )
Figuras 2 e 3
 b )
 
1
4
.
( ) ( ) ( )
Figura 1
 2. Com base na atividade 5 (página 7), como você faria para 
dividiros objetos apresentados em cada item para garan-
tir que todas as partes sejam iguais?
Espera-se que os alunos associem as divisões dos objetos a 
diferentes maneiras de efetuar medições, por exemplo, por 
peso, por comprimento, etc.
Aula 2 Página: 8
• TEMA: “Algumas ideias associadas à fração”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Números representados na 
forma fracionária.
 Plano de aulas sugerido
• Carga semanal de aulas: 5
• Número total de aulas do módulo: 22
2 Frações
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Objetivo
• Identificar números representados na forma fracionária.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, apresente a forma correta para se realizar 
a leitura de números na forma de fração. Para isso, utilize o 
conteúdo da página 8.
Após, organize os alunos em duplas e oriente-os a 
anotar no caderno duas frações e a forma como são lidas. 
Corrija-as na sequência, esclarecendo eventuais dúvidas.
Por fim, peça aos alunos que façam as atividades 6 e 7 
da seção Exercícios (página 8).
Para casa
Solicite aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Pesquise em livros ou na internet a utilização da palavra 
avos em frações com denominadores maiores do que 10.
 Uma sugestão de resposta pode ser consultada no site: 
<http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-2/se-
usa-terminacao-avos-fracoes-700443.shtml>. Acesso em: 
jan. 2015.
 2. Escreva separadamente em um pedaço de papel os se-
guintes números: 1 000, 199, 325, 3, 601, 725, 802, 5, 15, 
909. Faça cinco sorteios, formando cinco frações. O pri-
meiro número sorteado será o numerador da primeira fra-
ção; o segundo número, o denominador da primeira fra-
ção, e assim até formar as cinco frações. Anote as frações 
sorteadas e escreva por extenso a forma de leitura de 
cada uma delas.
Resposta pessoal.
Aula 3 Páginas: 9 e 10
• TEMA: “Algumas ideias associadas à fração”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Ideia de fração como razão 
de dois números naturais e probabilidade.
Objetivos
• Compreender a ideia de fração como razão de dois núme-
ros naturais.
• Conceituar probabilidade.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, apresente aos alunos a ideia de fração 
como comparação de dois números naturais. Utilize a situa-
ção-problema da página 9 para auxiliar a abordagem inicial 
desse tema.
Após, peça aos alunos que apresentem exemplos de 
situações envolvendo a comparação de números naturais 
que possam ser representadas por frações. Este pode ser 
um momento para avaliar a compreensão deles acerca das 
novas ideias associadas às frações. O objetivo principal des-
ta etapa de aprendizagem sobre probabilidade é possibili-
tá-los identificar situações envolvendo esse conceito.
Por fim, solicite aos alunos que façam as atividades 8 a 
12 da seção Exercícios (página 10).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Represente por meio de frações as situações descritas.
 a ) Em uma caixa existem três bolas com os números 1, 2 
e 3. Qual a probabilidade de se retirar a bola com o nú-
mero 1 ou 2?
Essa probabilidade é de 2 em 3, ou seja, 
2
3
.
 b ) Sobre uma mesa existem 40 cartões com faces nu-
meradas de 1 a 40 voltadas para baixo. Qual a probabi-
lidade de se retirar um cartão com o número menor 
que 21?
Essa probabilidade é de 20 em 40, ou seja,
 
20
40
1
2
5 .
 c ) A mãe de Patrícia vende dois tipos de doce. Ela acabou 
de organizar alguns doces em uma caixa: são 24 doces 
do tipo 1 e 12 doces do tipo 2. Represente a quantidade 
de doces do tipo 1 por meio de uma fração.
Do total de 36 doces, 24 são do tipo 1, ou seja,
 
24
36
2
3
5 .
 2. Registre uma situação do seu cotidiano que possa ser re-
presentada por meio de uma fração como comparação de 
dois números naturais.
Resposta pessoal.
Aula 4 Páginas: 11 e 12
• TEMA: “Algumas ideias associadas à fração”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Ideia de fração como quociente 
de dois números naturais.
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Frações
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Objetivo
• Compreender a ideia de fração como quociente de dois 
números naturais.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, utilize os exemplos da página 11 para 
apresentar aos alunos a ideia de fração como quociente de 
dois números.
É importante que eles percebam que o resultado de 
uma divisão de dois números naturais é um número que 
também pode ser representado em forma de fração. Por 
exemplo, podemos representar uma parte de uma pizza 
dividida em oito partes por meio do quociente 1 4 8 ou da 
fração
 
1
8
.
Por fim, organize a turma em duplas e solicite que fa-
çam as atividades 13 a 15 da seção Exercícios (página 12).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Quatro amigos compraram uma barra de chocolate, que 
foi dividida em quatro partes iguais. Represente a distri-
buição para cada um deles em forma de figura e escreva a 
fração e a parte equivalente.
1 4
1
4
4 5
 2. Maria comprou uma caixa com 12 latas de óleo para distri-
buir de forma igual entre seus quatro restaurantes. Re-
presente, na forma de figura, quociente e fração, a quanti-
dade de latas de óleo que cada restaurante receberá.
3 12
3
12
1
4
4 5 5
 3. Um cordão de 1 metro foi divido em dez partes iguais. 
Quanto mede cada parte em metro? Qual fração corres-
ponde a cada parte do cordão após sua divisão? Explique 
qual a relação entre a medida de cada parte do cordão e 
sua representação em fração.
1 4 10 5 0,1 m;
 
1
10
.
Espera-se que os alunos estabeleçam a relação entre fração 
e quociente entre dois números naturais.
Aula 5 Páginas: 12 e 13
• TEMA: “Algumas ideias associadas à fração”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Frações aparentes.
Objetivo
• Identificar frações aparentes.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, peça aos alunos que façam em sala as ati-
vidades da seção Oficina de Matemática (página 12). Lem-
bre-os de que na aula anterior a ideia de fração foi associada 
ao quociente de dois números naturais. Logo, ao definirmos 
uma fração como aparente, é importante compreender que 
nessas frações o quociente do numerador pelo denomina-
dor resulta em um número natural. Para isso, o numerador 
deve ser um múltiplo do denominador.
Ao trabalhar com frações aparentes os alunos po-
dem apresentar dificuldade em interpretá-las, pois nelas 
o denominador é menor do que o numerador. Nesse caso, 
é importante destacar que o denominador e o numerador 
continuam desempenhando a mesma função: indicar o 
número de partes iguais que um inteiro foi dividido e o nú-
mero de partes consideradas respectivamente. Sendo 
assim, uma fração com o numerador maior do que o deno-
minador indicará que ela representa mais do que um intei-
ro dividido em partes iguais. Para facilitar a compreensão 
dessa ideia, mostre aos alunos uma figura com mais de 
um objeto dividido em partes iguais, como os exemplos 
relacionados a seguir. Logo após, defina o denominador 
da fração e o numerador.
4 Frações
SER_EF2_Matematica6_M3_Guia_001_016.indd 4 2/12/16 11:44 AM
Professor Aluno
Forme uma fração que represente 
as partes pintadas da figura.
Em quantas partes cada retângulo 
está dividido?
4
Então 4 será o denominador da 
fração. Quantas partes estão pintadas 
ouem destaque nos retângulos?
16
Então 16 será o numerador da 
fração. Logo, a fração que representa as 
partes pintadas da figura é igual a
 
16
4
. 
Essa é uma fração aparente? Por quê?
Sim, pois 16 é múltiplo de 4. 
Sendo assim, 16 4 4 5 4, e 
4 é um número natural.
Por fim, solicite aos alunos que realizem as atividades 
16 a 18 da seção Exercícios (página 13).
Para casa
Peça aos alunos que façam as seguintes atividades:
 1. Crie três frações aparentes para cada número natural indi-
cado a seguir.
 a ) 5
Sugestão de resposta: 
10
2
,
20
4
,
30
6
.
 b ) 13
Sugestão de resposta: 
26
2
,
39
4
,
78
6
.
 c ) 7
Sugestão de resposta: 
14
2
,
28
4
,
42
6
.
 d ) 18
Sugestão de resposta:
 
36
2
,
72
4
,
108
6
.
 2. Associe as afirmações sobre frações.
(a) Fração aparente.
(b) Fração como quociente de dois números naturais.
(c ) Fração como comparação de dois números naturais.
(d) Fração como parte de um todo.
I. ( ) Das cinco canetas que tenho, três são azuis.
II. ( ) Minha mãe dividiu um bolo de chocolate em 12 pe-
daços iguais e só meu irmão comeu cinco!
III. ( ) Precisei dividir três chocolates entre quatro crian-
ças. O que fiz? Peguei cada chocolate e dividi em 
quatro pedaços iguais. Com isso, cada uma ficou 
com três pedaços iguais.
IV. ( ) Que interessante: ao dividir o numerador pelo de-
nominador dessas frações sempre obtenho um 
número natural!
I. c; II. d; III. b; IV. a.
Aula 6 Páginas: 13 a 15
• TEMA: “Algumas ideias associadas à fração”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Frações próprias e frações 
impróprias.
Objetivo
• Representar e classificar frações próprias ou frações 
impróprias.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, discuta a definição de frações próprias e 
impróprias. Para isso, utilize os quadros conceituais nas pá-
ginas 13 e 14.
É importante que os alunos observem que a classifica-
ção de uma fração como própria ou imprópria depende da 
comparação dos valores de seus numeradores e denomina-
dores. Para facilitar a percepção concreta das frações pró-
prias e impróprias, utilize folhas de papel recortadas em ti-
ras. Com isso, os alunos constatarão que as frações próprias 
serão sempre representadas em uma única tira de papel, 
enquanto as frações impróprias, em mais de uma tira e que 
cada tira completa representará um inteiro.
Dê exemplos por meio de figuras e peça aos alunos que os 
representem em forma de fração. Depois, faça o processo in-
verso e solicite que apresentem uma fração e representem-na 
em figuras. Saber representar frações próprias e impróprias em 
diferentes registros é um modo de fixar a aprendizagem.
Por fim, solicite aos alunos que façam as atividades 19 
a 25 da seção Exercícios (páginas 13 a 16).
5
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Frações
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Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Observe as sequencias a seguir, indique qual fração re-
presenta o primeiro e o segundo item e a figura e a fração 
do terceiro item:
 a ) 
u
u
51º-
u
u
52º-
u
u
53º-
1º- 5
2
5
2º- 5
4
5
3º- 5
3
5
 b ) 
u
u
51º-
u
u
52º-
u
u
53º-
1º- 5
3
7
2º- 5
6
7
3º- 5
9
14
 c ) 
u
u
51º-
u
u
52º-
u
u
53º-
1º- 5
3
6
2º- 5
6
6
3º- 5
9
12
 2. Dê um exemplo, por meio de uma figura, de uma fração 
aparente e de uma fração imprópria aparente:
Sugestão de resposta:
Fração aparente
Fração imprópria aparente
Aula 7 Páginas: 16 a 18
• TEMA: “Algumas ideias associadas à fração”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Número misto e sua 
transformação em fração e vice-versa.
Objetivos
• Identificar um número misto.
• Transformar um número misto em fração e vice-versa.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Com as atividades anteriores os alunos serão capazes 
de identificar e representar frações impróprias como núme-
ros mistos. É importante que eles reconheçam que um nú-
mero misto é uma forma de representar uma fração impró-
pria em que a parte inteira e a parte fracionária aparecem 
separadas. Muitas vezes é necessário converter um núme-
ro misto em uma fração para facilitar sua operação em cál-
culos numéricos e algébricos.
Mencione que existem diferentes procedimentos para 
converter um número misto em uma fração ou vice-versa. So-
licite aos alunos que observem esses exemplos na página 17.
Por fim, peça que façam as atividades 26 a 30 da seção 
Exercícios (páginas 17 e 18). Corrija-as coletivamente.
Para casa
Solicite aos alunos que realizem as seguintes atividades:
6 Frações
SER_EF2_Matematica6_M3_Guia_001_016.indd 6 2/12/16 11:44 AM
 1. Com base nas informações do boxe Você sabia? (página 
18), procure em sua casa duas embalagens de produtos 
de forma retangular ou quadrada. Indique sua medida em 
centímetros e, em seguida, converta para polegadas (se 
possível, na forma de número misto).
Espera-se que os alunos considerem a medida de 2,5 centí-
metros como referência para definir a parte inteira da medida 
em polegadas.
 2. Durante a aula, você aprendeu como transformar um nú-
mero misto em fração e vice-versa. Imagine que seja um 
professor de Matemática e escreva como explicaria para 
os alunos as duas maneiras para converter um número 
misto em fração e vice-versa.
Espera-se que os alunos expliquem com as próprias pala-
vras ambos os processos acerca da conversão de um núme-
ro composto por parte inteira e fracionária da forma de nú-
mero misto para fração e vice-versa.
Aula 8 Páginas: 19 a 21
• TEMA: “Algumas ideias associadas à fração”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Ideia de fração de um 
número e cálculo envolvendo fração de um número.
Objetivos
• Compreender e aplicar a ideia de fração de um número.
• Efetuar cálculos envolvendo fração de um número.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, defina fração de um número utilizando os 
exemplos da página 19. Empregue situações concretas para 
facilitar a compreensão desse conceito.
É importante destacar que calcular a fração de um 
número pode ser interpretado como dividi-lo em partes 
iguais. A quantidade de partes iguais é definida pelo deno-
minador da fração, considerando todas ou algumas dessas 
partes. As partes a serem consideradas são determinadas 
pelo numerador da fração, ou seja, se temos 24 maçãs e 
queremos calcular
 
3
4
dessa quantidade, o primeiro passo é 
determinar a quantidade de maçãs em cada parte. O deno-
minador da fração indicará em quantas partes iguais deve-
mos dividir o número total de maçãs que, nesse caso, é 
igual a 4. Logo, 24 4 4 5 6. Temos, assim, quatro grupos de 
maçãs com seis maçãs em cada um.
Agora, consideremos somente três partes. Esse nú-
mero é determinado pelo numerador da fração. Logo, temos 
que 6 3 3 5 18. Sendo assim, 
3
4
de 24 maçãs é igual a 18.
Após introduzir o conceito de fração de um número, 
apresente o procedimento para calcular esse valor. Mencio-
ne também a possibilidade de uso da calculadora, utilizando 
o conteúdo da página 19.
Por fim, solicite aos alunos que façam as atividades 31 
a 37 da seção Exercícios (páginas 20 e 21).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Imagine que você tem dez objetos iguais. Responda:
 a ) Divida esses objetos em cinco grupos. Quantos obje-
tos existemem cada grupo?
2
 b ) Quantos objetos existem em dois grupos?
4
 c ) Quantos objetos existem em três grupos?
6
 d ) Agora calcule 
1
5
de 10, 
2
5
de 10 e 
3
5
de 10.
2, 4 e 6
 e ) Explique com as próprias palavras qual a relação entre 
os itens a, b e c.
Espera-se que os alunos relacionem os três primeiros itens 
com uma situação prática da forma de se calcular a fração de 
um número.
 2. Explique em que poderá ser útil a informação do boxe 
Você sabia? (página 21).
Espera-se que os alunos reconheçam, por exemplo, que por 
meio dessa informação é possível determinar o número de 
arestas quando é fornecido o número de vértices de um 
prisma ou vice-versa.
Aula 9 Página: 22
• TEMA: “Algumas ideias associadas à fração”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Frações utilizadas no estudo 
de medida.
Objetivo
• Utilizar frações no estudo de medidas.
7
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações
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Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, comente que é comum, no dia a dia, o uso 
de frações de medidas. Um exemplo típico é dizermos
 
1
4
de pó de café em vez de 250 gramas. Isso porque
 
1
4
se re-
fere ao cálculo de
 
1
4
de 1 quilograma, ou seja,
 
1
4
de 1 000, 
ou 1 000 4 4 5 250.
Nesta etapa, é importante orientá-los a associar a 
ideia do uso de frações de um número para representar uma 
unidade de medida. Solicite que leiam o boxe Você sabia? 
(página 22) e que citem outros exemplos.
Por fim, peça que façam as atividades 38 a 41 da seção 
Exercícios (página 22). Corrija-as coletivamente.
Para casa
Solicite aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Suponha que você receba as informações relacionadas a 
seguir sobre a composição de lixo coletado em seu muni-
cípio. Sabendo que foi coletada, no total, 1 tonelada de lixo 
(1 tonelada equivale a 1 000 quilogramas), reescreva a ta-
bela a seguir utilizando frações.
Tipo de lixo coletado Peso (quilogramas)
Material orgânico 500 quilogramas
Papel e papelão 200 quilogramas
Vidro 50 quilogramas
Metal 150 quilogramas
Outros 100 quilogramas
Total 1 tonelada 5 1 000 quilogramas
Tipo de lixo coletado Peso (quilogramas)
Material orgânico 5
10
20
1
2
Papel e papelão 5
4
20
1
5
Vidro
1
20
Metal
3
20
Outros 5
2
20
1
10
Total 5
20
20
1
 2. Pesquise e complete a tabela a seguir.
Frações do quilômetro (km) Nome
 
1
10
de quilômetro Hectômetro
 
1
100
de quilômetro Decâmetro
 
1
1 000
de quilômetro Metro
 
1
10 000
de quilômetro Decímetro
 
1
100 000
de quilômetro Centímetro
 
1
1 000 000
de quilômetro Milímetro
Aula 10 Página: 23
• TEMA: “Frações equivalentes”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Frações equivalentes.
Objetivo
• Identificar frações equivalentes.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, utilize exemplos concretos para facilitar o 
reconhecimento de frações equivalentes. Peça aos alunos 
que dobrem uma tira de papel em cinco partes iguais e pin-
tem uma das partes. Após, solicite que representem, em 
forma de fração, a parte que foi pintada. Depois, peça que 
dobrem outra tira de papel com o mesmo tamanho em dez 
partes iguais e pintem duas dessas partes, representando 
as partes coloridas em forma de fração. Finalmente, peça 
que comparem o tamanho da área pintada da primeira tira 
com a da segunda. Dessa forma, é possível visualizar que as 
partes pintadas possuem o mesmo tamanho, ou seja, po-
de-se concluir que as frações
 
1
5
e
 
2
10
são equivalentes.
Se julgar necessário, utilize a calculadora para mos-
trar que a razão entre o numerador e o denominador de 
frações equivalentes apresenta sempre o mesmo núme-
ro. No caso do exemplo anterior:
 
1
5
1 5 0,25 4 5 , assim 
como
 
2
10
2 10 0,25 4 5 .
8 Frações
SER_EF2_Matematica6_M3_Guia_001_016.indd 8 2/12/16 11:44 AM
Por fim, solicite aos alunos que façam as atividades 42 
e 43 da seção Exercícios (página 23).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Represente cada grupo de frações a seguir por meio de 
uma figura e responda se são ou não equivalentes.
 a )
 
3
5
e
 
6
10
 b )
 
1
2
e 
3
4
 c )
 
5
7
e 
5
14
d ) 
1
3
e 
3
9
a)
5
3
5
5
6
10
São equivalentes.
b)
5
1
2
5
3
4
Não são equivalentes.
c)
5
5
7
5
5
14
Não são equivalentes.
d)
5
1
3
5
3
9
São equivalentes.
 2. Com base no vídeo disponível no link a seguir, crie uma si-
tuação similar à apresentada: <https://pt.khanacademy.
org/math/arithmetic/fractions/visualizing-equivalent-
fractions/v/equivalent-fraction-word-problem-example>. 
Acesso em: jan. 2016.
Resposta pessoal.
Aula 11 Páginas: 24 a 26
• TEMA: “Frações equivalentes”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Obtenção de fração 
equivalente a partir de uma fração dada e aplicação de 
processo prático para determinar frações equivalentes.
Objetivos
• Utilizar propriedade para obter uma fração equivalente a 
partir de uma fração dada.
• Aplicar o processo prático para determinar frações 
equivalentes.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, discuta com os alunos a forma de se obter 
frações equivalentes a partir de uma fração dada. Para isso, 
utilize o conteúdo da página 24. É importante que eles per-
cebam que ao multiplicarmos e/ou dividirmos o numerador 
e o denominador de uma fração por um mesmo número ob-
teremos uma fração equivalente.
Esclareça que, ao realizarmos esse procedimento, es-
tamos multiplicando e/ou dividindo essa fração por 1, ou 
seja, não modificamos a fração original e obtemos uma fra-
ção equivalente.
Após, questione sobre como podemos determinar se 
duas ou mais frações são ou não equivalentes. Organize a 
turma em grupos e solicite que discutam e socializem as 
respostas. Ao fim, sistematize o conteúdo utilizando a expli-
cação da página 25.
Solicite aos alunos que façam as atividades 44 a 50 
das seções Exercícios (páginas 24 a 26). Em sala ou em 
casa, peça que realizem a atividade da seção Desafio 
(página 26).
Para casa
Solicite aos alunos que façam as seguintes atividades:
 1. Complete de forma que as frações sejam equivalentes, 
anotando o procedimento que você utilizou.
9
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações
SER_EF2_Matematica6_M3_Guia_001_016.indd 9 2/12/16 11:44 AM
 a )
 
5 5
7
5 15
42
 b )
 
5 5
294
351
98 196
 c )
 
5 5
22
36 18
55
d ) 5 5
8
6
4
21
a) 5 5
7
5
21
15
42
30
b) 5 5
294
351
98
117
196
234
c) 5 5
22
36
11
18
55
90
d) 5 5
8
6
4
3
28
21
 2. Represente, por meio de uma ilustração, a solução da se-
ção Desafio (página 26).
Espera-se que os alunos associem o preço de um picolé à 
quantidade de palitos entregues e recebidas.
Aula 12 Páginas: 25 e 26
• TEMA: “Frações equivalentes”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Frações irredutíveis e mdc.
Objetivos
• Efetuar simplificação de frações.
• Obter frações irredutíveis.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, apresente aos alunos procedimentos para 
simplificar frações e obter frações irredutíveis. Para isso, uti-
lize o conteúdo das páginas 26 e 27.
É importante que os alunos percebamde forma con-
creta que após a simplificação de uma fração obtemos uma 
fração equivalente e de representação mais simples. Peça 
que representem as frações
 
1
2
e 
5
10
por meio de ilustra-
ções. Depois, questione-os sobre qual figura foi mais fácil 
desenhar.
Para conceituar fração irredutível, retome a ideia de que 
em uma fração tanto o numerador quanto o denominador são 
números inteiros. Logo, haverá um momento em que não será 
possível encontrar um número natural capaz de dividir tanto o 
numerador quanto o denominador de uma fração mantendo 
essa propriedade, ou seja, não será possível realizar a simplifi-
cação. Nesse caso, essa fração é classificada como irredutível.
Comente que é possível encontrar a fração irredutível por 
meio de divisões sucessivas. Mas pelo processo prático pode-
-se calculá-la de uma só vez. Para isso, é necessário encontrar 
o máximo divisor comum (mdc) entre o numerador e denomi-
nador da fração. Sendo necessário, revise o cálculo do mdc.
Para casa
Peça aos alunos que realizem a seguinte atividade:
Descreva como efetuar a simplificação da fração
 
3
6
8
.
5 5 53
6
8
30
8
15
4
3
3
4
.
Aula 13 Páginas: 27 a 29
• TEMA: “Frações equivalentes”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Frações equivalentes a uma 
fração dada.
Objetivo
• Determinar frações equivalentes a uma fração dada.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
eventuais dúvidas.
Em seguida, retome com os alunos a forma de encon-
trar uma fração irredutível a partir de uma fração dada. É im-
portante destacar que determinar a fração irredutível de 
uma fração dada é o primeiro passo para encontrar todas as 
frações equivalentes a essa fração.
Lembre a turma que, para determinar a fração irredutí-
vel de forma mais rápida, basta encontrar o máximo divisor 
comum (mdc) entre o numerador e o denominador da fração 
dada. Após obter a fração irredutível, deverão ser efetuadas 
multiplicações sucessivas do numerador e denominador 
dessa fração por números naturais a partir de 1, possibilitan-
do assim o cálculo de todas as frações equivalentes.
Por fim, solicite aos alunos que façam as atividades 51 a 55 da 
seção Exercícios (página 28) e também a seção Jogo (página 29).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as atividades seguintes:
 1. A partir das frações irredutíveis da atividade 51 (página 
28), encontre três frações equivalentes a elas.
Sugestões de respostas:
a) 3
4
3
4
,
6
8
,
9
12
→
b) 1
2
1
2
,
2
4
,
3
6
→
c) 16
25
16
25
,
32
50
,
48
75
→
d) 5
3
5
3
,
10
6
,
15
9
→
e) 1
5
1
5
,
2
10
,
3
15
→
 2. Justifique, por meio de exemplos, sua resposta à atividade 
54 (página 28).
Espera-se que os alunos associem a simplificação de uma 
fração com equivalência de frações.
10 Frações
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Aula 14 Página: 30
• TEMA: “Comparação de frações”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Comparação de frações e mmc.
Objetivo
• Efetuar comparação de frações com numeradores iguais, 
denominadores iguais e numeradores e denominado-
res diferentes.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Os alunos aprenderão nesta aula como comparar frações. 
Destaque que, ao compararmos dois números, eles podem ser 
iguais ou um deles pode ser maior ou menor do que o outro.
Quando os números estão representados em forma de 
fração, algumas vezes é necessário modificar as frações 
para compará-las, como é o caso das frações com numera-
dor e denominador diferentes.
A princípio, represente as frações a serem comparadas 
na forma de figuras, conforme conteúdo da página 30, em 
que são utilizados exemplos de frações na forma numérica e 
figurativa. Esse método pode facilitar a compreensão dos 
alunos acerca das regras apresentadas.
Ao comparar frações com numerador e denominador 
diferentes será necessário reduzi-las ao mesmo denomina-
dor. Nesse caso, poderá ser conveniente retomar o cálculo 
do mínimo múltiplo comum (mmc).
Por fim, organize a turma em duplas para que façam as 
atividades 56 a 65 das seções Exercícios (páginas 30 a 32).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Você aprendeu que uma fração está associada ao quo-
ciente de dois números. Com base nisso, compare as fra-
ções dos itens a seguir.
 a )
 
12
6
 e 
98
36
 b )
 
49
7
 e 
48
6
 c )
 
45
9
 e 
55
11
 d )
 
140
7
 e 
64
8
a)
 
5 4 5
12
6
12 6 2 e
 
5 4 5
108
36
108 36 3. 
 Logo:
 
,
12
6
108
36
.
b)
 
5 4 5
49
7
49 7 7 e
 
5 4 5
48
6
48 6 8. 
 Logo:
 
,
49
7
48
6
.
c)
 
5 4 5
45
9
45 9 5 e
 
5 4 5
55
11
55 11 5. 
 Logo:
 
5
45
9
55
11
.
d)
 
5 4 5
140
7
140 7 20 e
 
64
8
64 8 85 4 5 . 
 Logo:
 
.
140
7
64
8
.
 2. Explique com as próprias palavras por que
 
1
5
é menor do 
que
 
2
5
e
 
3
2
é maior do que
 
3
7
.
Espera-se que os alunos saibam explicitar os conheci-
mentos sobre comparação de fração, e não somente men-
cionar regras.
Aula 15 Páginas: 33 a 38
• TEMA: “Operações com frações”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Adição e subtração de 
frações com denominadores iguais e diferentes.
Objetivo
• Efetuar a operação de adição e subtração de frações com 
denominadores iguais e diferentes.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, explique aos alunos que eles estudarão for-
mas de efetuar operações envolvendo frações, iniciando com 
as operações de adição e subtração. Mencione que para reali-
zar essas operações será necessário obter o mínimo múltiplo 
comum (mmc) entre os denominadores das frações envolvi-
das nos cálculos. No entanto, quando os denominadores fo-
rem iguais, basta operar com os numeradores.
Utilize os exemplos das páginas 33 e 34 para iniciar a 
discussão sobre as operações de adição e subtração de fra-
ções. Sempre que possível associe as frações com repre-
sentações figurativas a fim de facilitar a compreensão dos 
procedimentos aritméticos envolvidos nas operações de 
adição e subtração de frações.
Por fim, solicite aos alunos que façam as atividades 66 
a 77 das seções Exercícios (páginas 33 e 35 a 38).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
11
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações
SER_EF2_Matematica6_M3_Guia_001_016.indd 11 2/12/16 11:44 AM
 1. Sabendo que, em determinado momento de uma competi-
ção cujo trajeto completo possui cinco voltas, o último colo-
cado percorreu
 
1
5
do percurso e o primeiro percorreu
 
3
5
, 
calcule a diferença entre o espaço percorrido pelo primeiro e 
o último colocado. Indique a resposta em número de voltas.
3
5
1
5
2
5
2 5 . O percurso completo é igual a cinco voltas,
 
2
5
de cinco voltas é igual a duas voltas. Logo, a diferença entre o 
primeiro e último colocado é igual a duas voltas.
 2. Assista ao vídeo “Adição e subtração de frações” (dis-
ponível em: <https://pt.khanacademy.org/math/pre-
algebra/fractions-pre-alg/fractions-unlike-denom-
pre-alg/v/adding-and-subtracting-fractions>. Acesso em: 
jan. 2016.) e explique como ele apresenta a soma
 
1
4
1
2
1 .
No vídeo,
 
1
2
é associado a
 
2
4
. Dessa forma, as frações são 
reduzidas ao mesmo denominador e na sequência é efetua-
da sua soma: 
1
4
1
2
1
4
24
3
4
.1 5 1 5
Aula 16 Páginas: 38 a 40
• TEMA: “Operações com frações”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Multiplicação de fração por um 
número natural.
Objetivo
• Efetuar a operação de multiplicação de fração por um nú-
mero natural.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, retome o conteúdo sobre adição de fra-
ções. Explique que é possível obter o mesmo resultado 
da multiplicação de uma fração por um número natural 
(por exemplo,
 
1
2
3
3
2
3 5 ) por meio da operação de soma 
( 12
1
2
1
2
3
2
1 1 5 ). Fazer essa comparação pode tornar 
menos abstrato o entendimento desse procedimento.
Solicite aos alunos que acompanhem os exemplos das 
páginas 38 e 39, que abordam a operação de multiplicação 
de uma fração por um número natural por meio da operação 
de adição.
Após uma breve introdução com alguns exemplos, 
peça aos alunos que enunciem um procedimento que possa 
facilitar essa operação. Espera-se que eles concluam que 
para multiplicar uma fração por um número natural basta 
multiplicar o numerador dessa fração pelo número natural e, 
em seguida, efetuar a simplificação do resultado.
Por fim, solicite aos alunos que façam as atividades 78 
e 79 da seção Exerc’cios (páginas 39 e 40).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Represente, por meio de uma figura e por uma operação 
de multiplicação, o cálculo de
 
1
3
e 4:
1
3
1
3
1
3
1
3
4
1
3
4
3
5 1 1 1 5
5 3 5
 2. Represente, por meio de uma multiplicação de uma fração 
por um número natural, o quanto de feijão restou para 
Marina após doar
 
1
3
de 12 quilogramas de feijão.
Resposta possível: 
2
3
12
24
3
8 quilogramas.3 5 5
Aula 17 Páginas: 40 a 43
• TEMA: “Operações com frações”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Multiplicação de fração por 
fração e de fração inversa.
Objetivos
• Efetuar a operação de multiplicação de fração por fração.
• Reconhecer e conceituar fração inversa.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Utilize o exemplo da página 40 para auxiliar na introdu-
ção e compreensão do procedimento sobre multiplicação de 
uma fração por outra.
Caso julgue conveniente, trabalhe de forma concreta a 
operação de multiplicação de fração por fração. Por exem-
plo, para o cálculo de
 
2
3
1
2
3 , oriente os alunos a pegar duas 
folhas de papel, reservar uma delas e recortar
2
3
da outra. 
Em seguida, peça que recortem
 
1
2 
da parte que foi recorta-
12 Frações
SER_EF2_Matematica6_M3_Guia_001_016.indd 12 2/12/16 11:44 AM
da e, por fim, que sobreponham à parte que foi recortada 
pela segunda vez sobre a folha reservada e indiquem quanto 
essa parte representa em forma de fração dessa folha.
Os alunos observarão que essa parte representa
 
1
3 
da 
folha reservada, que é exatamente o resultado do cálculo 
2
3
1
2
1
3
3 5 . Assim, é possível que verifiquem de forma 
concreta a representação de
 
1
2 
de
 
2
3
.
Peça que repitam o mesmo procedimento, mas dessa 
vez cortando primeiro
 
1
2
da folha e, em seguida,
 
2
3
da par-
te recortada. Eles verificarão que o mesmo resultado 
será obtido. Questione-os sobre o ocorrido e, então, lem-
bre-os da propriedade comutativa da multiplicação, ou seja, 
2
3
1
2
1
2
2
3
1
3
3 5 3 5 .
Em seguida, apresente a inversa de uma fração dife-
rente de zero. Chame a atenção dos alunos para que o pro-
duto de uma fração pela sua inversa sempre terá como re-
sultado o número 1.
Por fim, peça aos alunos que façam as atividades 80 a 
86 das seções Exercícios (páginas 41 a 43).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Atribua V (verdadeiro) ou F (falso) para as afirmações a 
seguir. Caso a afirmação seja falsa, justifique.
 a ) ( ) O produto de uma fração pela sua inversa é igual a 1.
 b ) ( ) Toda fração possui sua inversa.
 c ) ( ) Ao multiplicarmos uma fração A por uma fração B, 
sempre o resultado é maior do que A e B.
 d ) ( ) O resultado do produto de duas frações é obtido 
multiplicando-se os numeradores das frações e 
seus denominadores.
a) V
b) F.
 
0
2
não possui inversa.
c) F.
 
1
3
1
2
1
6
3 5 .
d) V
 2. Utilizando folhas de papel, represente a multiplicação de 
3
2
pelo seu inverso. O que você pode verificar?
1º- passo: Serão necessárias duas folhas. 
2º- passo: Recorte
 
2
3
da segunda folha. 
3º- passo: Represente
 
3
2
 da parte recortada
3
2
1
1
2
 5 1 .
4º- passo: Sobreponha à primeira folha. 
Assim, temos 1 inteiro.
Espera-se que os alunos verifiquem de forma concreta que 
o produto de uma fração pela sua inversa é igual a 1.
Aula 18 Páginas: 44 a 49
• TEMA: “Operações com frações”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Divisão de fração por um 
número natural e de fração por fração.
Objetivo
• Efetuar a operação de divisão de fração por um número 
natural e de fração por fração.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, explique que nesta aula será estudada a 
divisão de frações, incluindo a divisão de uma fração por um 
número natural e por outra fração. Utilize as informações 
das páginas 44 e 45 para explorar o tema. Enfatize que o 
procedimento para dividir uma fração por um número natu-
ral ou por uma fração é o mesmo. Dadas duas frações, a pri-
meira dividida pela segunda, basta multiplicar a primeira fra-
ção pelo inverso da segunda, lembrando que o inverso de um 
número natural é representado por
 
n
1
, em que Nn ∈ .
É importante que os alunos, além de aprenderem o pro-
cedimento para dividir uma fração nas situações menciona-
das, compreendam o que ocorre quando efetuamos essa 
operação. Dividir algo sempre remete à ideia de que o resulta-
do obtido será menor. No caso da divisão de frações isso nem 
sempre ocorre. Por exemplo, ao dividirmos 
1
2
1
4
4 obte-
mos 2. Esse fato pode ocasionar dúvidas, o que é comum 
quando da passagem de operar com números naturais para 
números racionais. Para que os alunos entendam como esse 
resultado foi obtido, basta apresentá-lo de outra maneira. 
Ao contrário de dizermos que procuramos o resultado de 
1
2
dividido por
 
1
4
, dizemos quantas vezes
 
1
4
cabe em
 
1
2
, o 
que resulta em 2. O mesmo raciocínio pode ser aplicado a 
números naturais. Por exemplo, ao dividirmos 4 por 2 obte-
2
2
15
1
2
13
M
A
T
E
M
Á
T
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A
Frações
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mos 2, pois 2 cabe 2 vezes em 4. Utilize ilustrações para fa-
cilitar a compreensão desse conceito.
Por fim, solicite aos alunos que façam as atividades 87 
a 93 da seção Exercícios (páginas 46 a 49).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Resolva as situações-problema a seguir.
 a ) Você precisa dividir
 
2
4
de uma pizza com dois amigos 
que acabaram de chegar a sua casa para uma visita. 
Quanto cada um receberá, dividindo-a em partes iguais?
2
4
2
2
4
1
2
1
4
4 5 3 5 . Cada amigo receberá 
1
4
da pizza.
 b ) Todos os dias, ao preparar o café da manhã, a mãe de 
Júlia o adoça com
 
3
4
de copo de açúcar. Sabendo que 
um saco de açúcar possui 13 copos, quantos dias du-
rará o saco de açúcar?
13
3
4
13
1
4
3
52
3
17
1
3
4 5 3 5 5 . O saco de açúcar durará 
17 dias.2. Verifique se as expressões aritméticas a seguir foram 
calculadas corretamente. Efetue a correção quando 
necessário.
a) 5
3
3
2
2
7
1
7



 +



2 4 5
10
6
9
6
2 1
7




+


2 4 5
1
6
3
7







4 5
1
6
3
7
3
42
1
14
3 5 5
a) Incorreta.
5
3
3
2
2
7
1
7
10
6
9
6
2 1
7
1
6
3
7
1
6
7
3
7
18



 +








+











2 4 5
2 4 5
4 5
3 5
b)
3
2
5
2
3
6
5
15
5
2
5
2
3
5
6
13
5
5
9
13
9
























2 3 4 5
2 3 3 5
3 5
b) Correta.
Aula 19 Páginas: 49 a 54
• TEMA: “Operações com frações”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Potenciação e raiz quadrada 
envolvendo frações.
Objetivos
• Efetuar a potenciação de uma fração.
• Extrair a raiz quadrada de uma fração.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, comente com a turma que nesta aula se-
rão estudados os temas potenciação e radiciação envolven-
do frações. Utilize as informações das páginas 49 e 50 para 
iniciar a apresentação dos assuntos.
Chame a atenção dos alunos para o fato de que as pro-
priedades da potenciação e radiciação já aprendidas conti-
nuam valendo para as frações. A única diferença é que tanto 
na potenciação quanto na radiciação deverão ser considera-
dos o numerador e o denominador.
Retome a decomposição de números em fatores pri-
mos. Relembrar esse procedimento é necessário para a ex-
tração da raiz quadrada. Coloque exemplos na lousa e peça 
aos alunos que os resolvam.
Solicite que façam as atividades 94 a 105 das seções 
Exercícios (páginas 50 a 54).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Crie um padrão utilizando potenciação de frações e oculte 
algumas delas para que alguém as descubra. Siga o exem-
plo da atividade 102 (página 53).
Resposta pessoal.
 2. Pesquise sobre as propriedades da potenciação e da radicia-
ção, anote-as no caderno, e dê um exemplo utilizando fra-
ções para ilustrar cada uma das propriedades pesquisadas.
Resposta pessoal.
Aula 20 Páginas: 55 a 58
• TEMA: “Porcentagem”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Ideia de porcentagem como 
fração de denominador igual a 100.
Objetivo
• Compreender porcentagem como uma fração de denomi-
nador igual a 100.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
14 Frações
SER_EF2_Matematica6_M3_Guia_001_016.indd 14 2/12/16 11:45 AM
Em seguida, utilize o conteúdo da página 55 para apre-
sentar o tema das porcentagens. Depois, peça aos alunos 
que leiam e discutam o texto sobre a reciclagem do lixo na 
página 55. Questione-os sobre qual é a porcentagem da po-
pulação brasileira que ainda não é beneficiada com a coleta 
de lixo e qual é a porcentagem de embalagens que ainda não 
são recuperadas, explorando assim a ideia de porcentagem 
como um todo. 
Se possível, monte uma tabela com as porcentagens 
que aparecem no texto e, em diferentes colunas, represente 
o número em forma de porcentagem e em forma de fração.
Por fim, solicite aos alunos que façam as atividades 106 
a 114 da seção Exercícios (páginas 56 a 58).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Efetue os cálculos a seguir apresentando o resultado em 
forma de porcentagem.
 a )
 
80%
1
5
2 5
80%
1
5
80% 20% 60%2 5 2 5
 b )
 
7
20
20%2 5
7
20
20% 35% 20% 15%2 5 2 5
 c )
 
100%
1
4
2 5
100%
1
4
100% 25% 75%2 5 2 5
 d )
 
3
20
85%1 5
3
20
85% 15% 85% 100%1 5 1 5
 2. Preencha a tabela a seguir indicando a quantidade de horas 
que você dedica a cada uma das atividades da tabela du-
rante um dia. Ao fim, calcule esse valor como porcentagem.
 Dica: A porcentagem é calculada dividindo as horas de-
dicadas pelo total de horas e multiplicando o resultado 
por 100. Utilize uma calculadora, se necessário.
Atividade
Horas 
dedicadas
Porcentagem 
(%)
Estudo e escola
Assistir à televisão
Jogar videogame
Computador (lazer)
Total
Resposta pessoal.
Aula 21 Páginas: 59 a 66
• TEMA: “Porcentagem de um número”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Cálculo da porcentagem de 
um número.
Objetivos
• Identificar as situações de uso da porcentagem.
• Calcular a porcentagem de um número.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, retome com os alunos a representação 
de uma porcentagem por meio de uma fração com deno-
minador igual a 100. A partir disso, relembre-os sobre o 
cálculo da fração de um número e faça a associação com o 
novo conhecimento a ser construído. Utilize as informa-
ções da página 59 para explorar o cálculo da porcentagem 
de um número.
Peça aos alunos que façam as atividades 115 a 121 da 
seção Exercícios (páginas 60 a 63).
Após, incentive-os a realizar o cálculo mental para agili-
zar o cálculo de porcentagens. Siga as orientações da página 
64 para auxiliá-los nessa tarefa. O uso da calculadora tam-
bém pode facilitar, algumas vezes, o cálculo de porcentagens.
Explique aos alunos que, em alguns casos, é necessá-
rio efetuar o arredondamento ou estimativa de valores cal-
culados a partir de porcentagens. Para exemplificar melhor, 
resolva com a turma a atividade 123 da página 65.
Por fim, peça aos alunos que façam as atividades 122 e 
124 a 129 da seção Exercícios (páginas 64 a 66). Em sala ou 
em casa, solicite que realizem a seção Raciocínio lógico (pá-
gina 66).
Para casa
Peça aos alunos que realizem as atividades seguintes:
 1. Pegue um cupom fiscal (de supermercado, por exemplo) e 
localize todas as informações referentes à cobrança de im-
postos que estejam representadas em forma de porcenta-
gem. A partir dessas informações, calcule o preço do im-
posto pago referente a dois produtos constantes no cupom.
Espera-se que os alunos saibam aplicar os conhecimentos 
construídos acerca do cálculo da porcentagem de um núme-
ro para cálculo de impostos.
15
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A
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E
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Á
T
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Frações
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 2. Pesquise qual o destino dos impostos que são pagos pela 
população brasileira.
Sugestão: “Para onde vai o imposto que pagamos?” (dispo-
nível em: <www.receita.fazenda.gov.br/EducaFiscal/texto
iconedefaultasp.htm>. Acesso em: jan. 2016).
Aula 22 Páginas: 67 a 78
• TEMAS: “Tratamento da informação”, “Outros contextos”, 
“Praticando um pouco mais”, “Revisão cumulativa”, “Ponto 
de chegada” e “Quadro de ideias”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Interpretação de dados a 
partir de um gráfico de setor ou de pizza, frações, 
porcentagens, tabelas de dados, raiz quadrada.
Objetivos
• Interpretar gráfico de setor ou de pizza.
• Retomar os estudos do módulo.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas.
Em seguida, retome a atividade 129 (página 66), relem-
brando os alunos dos passos executados para coleta e organi-
zação de dados. Nesta aula, eles aprenderão como interpretar 
dados já organizados em um gráfico de setor e de pizza.
As atividades da seção Tratamento da informação 
(páginas 67 e 68) têm como objetivo capacitar os alunos a 
interpretar um gráfico de setor ou de pizza. Resolva-as em 
conjunto com a turma, executando-as passo a passo e 
promovendo a discussão entreos alunos. A leitura e inter-
pretação de dados organizados em tabelas e gráficos é 
uma habilidade requerida em diversas áreas do conheci-
mento e é importante motivar os alunos a desenvolver 
esse conhecimento.
Oriente os alunos como construir um gráfico de setor. 
Utilize os conhecimentos já construídos sobre frações. Para 
isso, peça que reduzam a um mesmo denominador as fra-
ções que representam as partes do gráfico para facilitar a 
divisão em setores.
Solicite aos alunos que leiam os textos da seção Ponto 
de chegada (página 76) e façam as atividades na mesma 
seção (página 77). Peça também que realizem a leitura do 
mapa conceitual da seção Quadro de ideias (página 78) e 
verifiquem o aproveitamento das aulas por meio dos con-
ceitos estudados.
Para encerrar, solicite que citem o gênero musical fa-
vorito. Colete os dados e peça que anotem. A atividade, 
baseada nessas informações, será desenvolvida em casa, 
caso você julgue conveniente acrescentá-la.
Para casa
Peça aos alunos que façam as atividades das seções 
Outros contextos (páginas 69 a 71), Praticando um pouco 
mais (páginas 72 e 73) e Revisão cumulativa (páginas 74 e 
75). Se julgar necessário, acrescente as seguintes atividades:
 1. Crie um gráfico de setor utilizando as informações que fo-
ram coletadas sobre a preferência dos gêneros musicais 
em sala de aula.
Espera-se que os alunos saibam representar os dados em 
um gráfico de setor ou de pizza com base no que estudaram.
 2. Acesse o site “Crianças no Censo 2010” (disponível em: 
<http://7a12.ibge.gov.br/especiais/criancas-no-
censo-2010/primeira-pagina>. Acesso em: jan. 2016) e, 
em seguida, responda às questões.
 a ) A maior concentração de crianças de até 12 anos, em 
2010, está na região Norte e a menor nas regiões Sul e 
Sudeste. Qual sua opinião sobre esses dados?
 b ) Em 2010, qual a porcentagem de crianças que ainda 
não frequentavam a escola?
 c ) O que chamou mais sua atenção nos gráficos obser-
vados? As informações dos gráficos refletem o que 
você já imaginava?
Espera-se que, a partir da observação dos gráficos, os alu-
nos sejam capazes de refletir, interpretar e argumentar com 
base nas informações apresentadas.
Referências bibliográficas
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. 
Lisboa: Gradiva, 1998.
CARVALHO, João Bosco Pitombeira de. As propostas curriculares 
de Matemática. In: BARRETO, Elba Siqueira de Sá (Org.). Os currí-
culos do Ensino Fundamental para as escolas brasileiras. São Pau-
lo: Autores Associados/Fundação Carlos Chagas, 1998.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. 
Campinas: Papirus, 1997.
DANTE, Luiz Roberto. Formulação e resolução de problemas de 
Matemática: teoria e prática. São Paulo: Ática, 2010.
LOPES, Maria Laura Mouzinho (Coord.). Tratamento da informa-
ção: explorando dados estatísticos e noções de probabilidade a 
partir das séries iniciais. Rio de Janeiro: Ed. da UFRJ (Instituto de 
Matemática), Projeto Fundão, Spec/PADCT/Capes, 1997.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor 
Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
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