Matemática - 6º Ano - Caderno 03

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3
caderno
ano
6
Ensino 
Fundamental
MATEMÁTICA
PROFESSOR
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Frações
 Ponto de partida, 3
Frações e porcentagens, 4
1. Introdução, 4
2. Algumas ideias associadas à fração, 6
3. Frações equivalentes, 23
4. Comparação de frações, 30
5. Operações com frações, 33
6. Porcentagem, 55
 Ponto de chegada, 76
Matemática
Luiz Roberto Dante
2133239 (PR)
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 Ponto de partida
Sob a orientação do professor, converse com os colegas, observe as 
fases da Lua reproduzidas acima e responda:
1. Em qual desses dias houve lua cheia? 
2. Em quais desses dias esteve visível apenas metade do disco lunar, 
aspecto que corresponde ao quarto minguante ou ao quarto 
crescente? 
3. O oposto da lua cheia é a lua nova. Em que dia houve lua nova? 
4. Depois da lua nova, aparece uma pequena parte brilhante da Lua, 
que vai aumentando dia a dia até atingir a metade do lado visível 
da Lua. Nesse momento, se metade do lado visível está iluminado, 
por que essa fase é chamada de “quarto” crescente?
5. Entre as luas cheia e nova, ocorrem os quartos. Por que eles são 
chamados de crescente e minguante? 
MÓDULO
Frações 
A aparência da Lua depende da posição relativa entre a Terra, a 
Lua e o Sol, e vai mudando continuamente durante o movimento 
de translação da Lua ao redor da Terra. Somente quatro dessas 
aparências, chamadas de fases, recebem nomes especiais: lua 
nova, lua cheia, quarto minguante e quarto crescente.
Na lua nova, por exemplo, a Lua se apresenta no céu durante o 
dia, por isso não a vemos. Porém, na lua cheia, o lado visível da 
Lua está totalmente iluminado pelo Sol.
Veja alguns aspectos da Lua vista do Brasil em novembro e 
dezembro de 2014:
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22/11 26/11 29/11 1/12 6/12 10/12 14/12 16/12
Fases da Lua
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Frações e 
porcentagens
Frações e 
porcentagens
1 Introdução
As frações surgiram da necessidade de registrar as medidas de forma mais precisa.
Acompanhe o texto.
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Trecho do rio Nilo, 
Egito, 2013.
Antigamente, alguns agricultores egípcios tinham terras 
próximas do rio Nilo. Em determinado período do ano, o nível 
das águas do rio começava a subir, avançando sobre as mar-
gens. Quando isso ocorria, a água derrubava as cercas usadas 
para marcar os limites do terreno de cada agricultor, sendo 
necessário recalcular os limites desses terrenos. Ou seja, era 
necessário realizar novas medições.
Para isso, as pessoas encarregadas de medir esses limi-
tes usavam cordas, nas quais havia uma unidade de medida 
assinalada. Essas pessoas verificavam quantas vezes aque-
la unidade de medida cabia nos lados do terreno.
Porém, por mais adequada que fosse a unidade de medi-
da escolhida, dificilmente ela cabia um número inteiro de ve-
zes no que se pretendia medir. A medida obtida era algo 
como, por exemplo, 6 “pedaços de corda” mais meio 
“pedaço de corda”.
Foi por essa razão que os egípcios criaram um 
novo tipo de número: as frações.
Nicolas Thibaut/Photononstop/Ag•ncia France-Presse
4
 Objetivos:
• Relacionar diferentes ideias 
associadas às frações. 
• Comparar e operar com 
frações.
• Reconhecer o conceito de 
porcentagem e aplicá-lo
no dia a dia.
• Identificar o conceito de 
probabilidade e aplicá-lo.
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Examine agora duas manchetes em que aparecem frações.
Representação da quantidade de água no 
organismo do ser humano
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Cerca de 70% do 
nosso corpo é 
constituído de água.
Examine agora duas manchetes em que aparecem frações.
As frações também podem aparecer representadas na forma percentual 
(porcentagem). Nas informações seguintes, por exemplo.
Neste módulo vamos estudar as frações, retomando e ampliando seus conheci-
mentos com novas informações, entre elas as que envolvem porcentagens.
Especialista diz que 1
3
 da população mundial não tem acesso a medicamentos.
SAÚDE. Disponível em: <www2.camara.leg.br/camaranoticias/noticias/
SAUDE/465234-ESPECIALISTA-DIZ-QUE-13-DA-POPULACAO-MUNDIAL-
NAO-TEM-ACESSO-A-MEDICAMENTOS.html>. Acesso em: 24 fev. 2015.
Idosos serão 1
4
 da população no ano de 2060, aponta IBGE.
SOARES, Pedro. Cotidiano. A eleição e os analistas parciais. Disponível em: <www1.folha.uol.com.br/cotidiano/2013/08/
1333690-idosos-serao-14-da-populacao-no-ano-de-2060-aponta-o-ibge.shtml>. Acesso em: 24 fev. 2015.
Idosos em festa religiosa. Recife (PE), 2014.
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70% é o mesmo que 
70 em 100, ou seja, 
70
100
 ou 7
10
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Frações 5
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2 Algumas ideias 
associadas à fração
Fração como parte de uma figura ou objeto
Felipe dividiu uma folha de cartolina em 4 partes de mesmo tamanho e pintou 
uma delas de verde. 
Dizemos que a folha de cartolina é a unidade ou o todo ou o 
inteiro.
Representamos a parte pintada pela fração 1
4
.
1
4
O 1 é o numerador da fração. Indica o número de partes pintadas.
traço de fração 
O 4 é o denominador da fração. Indica o número de partes iguais 
em que a folha foi dividida.
Juntando a parte pintada com a não pintada, obtemos o inteiro (1). Também po-
demos representar esse inteiro pela fração 4
4
, ou seja, 1 inteiro 4
4
1.5 5
A fração que representa a 
parte da folha que não foi pintada é 
3
4
. 
O numerador dessa fração 
é o 3 e o denominador é o 4. Eles são 
chamados de termos da fra•‹o. 
 Bate-papo
Você já ouviu a expressão em uma fração de segundo? O que ela quer dizer? Discuta isso 
com um colega.
Em uma fração de segundo significa “em uma pequena parte do segundo”, ou seja, é um 
intervalo de tempo muito curto.
Peça aos alunos que 
recortem uma folha de 
papel sulfite em quatro 
partes iguais e mostrem 
as partes que 
representam 1
4
 e 3
4
 da 
folha.
Os alunos também podem 
recortar uma folha de 
papel sulfite em oito 
partes iguais e utilizar as 
tiras para explorar outras 
frações, como oitavos. O 
material pode ser utilizado 
como apoio ao longo 
deste capítulo para a 
exploração de outros 
conceitos, como frações 
equivalentes, comparação 
de frações ou adição e 
subtração de frações. 
Frações6
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Exercícios 
 1. Escreva a fração correspondente à parte pintada em cada figura em relação à figura toda.
a) b) c) d) e) 
 2. Desenhe quatro figuras e pinte, em cada uma delas, a parte representada pelas frações:
 a ) 3
4
 b ) 7
8
 c ) 1
6
 d ) 3
3
 
 3. Um automóvel saiu de A em direção a B no trajeto indicado na figura e já percorreu 3
5
 desse trajeto. Localize nela o ponto em 
que o automóvel se encontra. 
A B
 4. Pinte a parte indicada pela fração.
 a ) b ) c ) d ) 
 5. Responda ao que se pede observando as figuras ao lado de cada item.
 a ) Aproximadamente, que fração da 
tinta já foi usada? 
 b ) Aproximadamente, que fraçãodo 
bolo foi comida? Que fração restou? 
 c ) Aproximadamente, que fração da 
parede já foi pintada? Que fração 
ainda falta pintar? 
 d ) Aproximadamente, que fração da 
janela está coberta pelas cortinas? 
Que fração não está coberta? 
2
3
7
10
1
3
4
4
5
9
Sugestões de respostas: 
aqui
1
3 7
12
3
4
5
10
 
1
3
 
4
6
; 2
6
 
4
5
; 1
5
 
2
3
; 1
3
 Para construir:
 Exercícios 1 a 5 (abaixo)
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Leitura das frações
O que determina como se lê uma fração é o seu denominador. Veja como lemos 
os diferentes tipos de frações:
• Frações com denominadores de 2 a 9 
1
2
:
metade,
um meio
ou meio 
2
33
:: dois terços
 
3
44
:: três quartos
 
1
55
: um quinto
5
66
: cinco sextos
 
4
77
: quatro sétimos
 
5
88
:: cinco oitavos
 
2
99
:: dois nonos
• Frações com denominadores 10, 100 ou 1 000, chamadas de frações decimais
7
10
: sete décimos
 
3
100
: três centésimos
 
1
1 000
: um milésimo
• Outros denominadores
Com outros números no denominador, lemos o numerador e depois o denominador 
seguido da palavra avos.
1
12
: um doze avos 3
20
: três vinte avos 2
35
: dois trinta e cinco avos
 Você sabia?
As frações que têm o numerador 1 por exemplo, 1
2
, 1
3
, 1
5
, etc.)( são chamadas de
frações unitárias.
No Papiro de Rhind, um antigo documento egípcio, já apareciam as frações unitárias.
Já foram usadas muitas formas de indicar frações, mas o traço horizontal que separa
o numerador do denominador apareceu somente no século XIII.
O Papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes
(cerca de 1650 a.C.) é uma das maiores 
fontes de conhecimento sobre a matemática dos egípcios.
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Exercícios 
 6. Escreva como se lê cada fração abaixo.
 a ) 1
7
: 
 b ) 9
10
: 
 c ) 4
27
: 
 d ) 77
10 000
: 
 e ) 15
16
: 
 f ) 8
8
: 
 7. Escreva as frações correspondentes a:
 a ) cinco sextos: b ) treze trinta avos: c ) nove centésimos: d ) quatro quartos: 
Um sétimo.
Nove décimos.
Quatro vinte e sete avos.
Setenta e sete décimos de milésimo.
Quinze dezesseis avos.
Oito oitavos.
5
6
13
30
9
100
4
4
Avos 
quer dizer:
‘‘divisão em partes 
iguais’’.
Um doze avos 
representa uma
das 12 partes iguais 
em que a unidade 
foi dividida.
 Para construir:
 Exercícios 6 e 7 (abaixo)
Frações8
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Fração como comparação 
de dois números naturais
João vende balões. Ele tem 7 balões; 3 deles são vermelhos. Podemos 
também dizer que 3 em 7 dos balões de João são vermelhos, ou seja, 
três sétimos dos balões são vermelhos.
3
7
número de balões vermelhos
número total de balões
A fração 
3
7 expressa uma comparação dos números naturais 3 e 7.
Veja outros dois exemplos:
1o) Quando lançamos uma moeda, há duas possibilidades de resultado:
• pode sair cara: • pode sair coroa:
Face “cara” de 
uma moeda ou
Face “coroa” de 
uma moeda
Por isso, dizemos que a chance ou a probabilidade de sair cara é 1
2
 (1 em 2).
Observe que, nesse caso, também estamos usando a fração para expressar uma 
comparação de dois números naturais.
2o) Quando lançamos um dado, há seis possibilidades quanto à face que ficará voltada 
para cima:
 A probabilidade de sair o número 5 é de 1 em 6, ou seja, 1
6
.
 A probabilidade de sair um número ímpar é de 3 em 6 ou 3
6
1
2
5 .
Essa ideia de fração está associada à 
de razão. Por exemplo, cinco em oito, 
dois em três, quatro em sete, etc. é o 
mesmo que falar na razão de cinco 
para oito, na razão de dois para três, 
na razão de quatro para sete, etc.
Dados
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As imagens desta página 
não estão representadas 
em proporção.
Balões
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Exercícios 
 8. Observe a figura dos balões de João na página anterior e escreva as frações que representam:
 a ) os balões azuis: 
 b ) os balões que não são vermelhos: 
 9. Na equipe de Alzira há 3 meninos e 2 meninas. Escreva as frações que indicam os meninos e as meninas em relação ao 
total de alunos da equipe. 
Meninos: 
3
5 (3 em 5); meninas:
 2
5 (2 em 5).
 10. Escreva a fração que representa as figuras pintadas em cada grupo de figuras geométricas.
 a ) 
 b ) 
 c ) 
 d ) 
 11. A fração é 2
5
. Invente um conjunto de elementos e identifique nele a parte correspondente a essa fração. 
 12. Atividade em dupla 
Troque ideias com um colega e anote as conclusões a que chegaram.
 a ) Quantas faces tem um dado? 
 
 b ) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair a face 4?
 
 c ) Qual é a probabilidade de sair uma face com número par de pontos? 
 
 d ) Qual é a probabilidade de sair uma face com número de pontos maior do que 1? 
 
2
7 (2 em 7)
4
7 (4 em 7)
2
3 
9
10 
 
5
12
3
6 
Os alunos devem representar 5 elementos e destacar 2 elementos entre eles.
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DadoDado
6 faces.
1 em 6 ou 
1
6 .
 .3
6
 .5
6
 Para construir:
 Exercícios 8 a 12 (abaixo)
Frações10
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Fração como quociente 
de dois números naturais
Acompanhe a seguinte situação:
 
Da mesma forma, pintar 8
4
 significa pintar 2 inteiros, ou seja, 8
4
2.5
ou 2 inteiros
8
4
Como 8 : 4 também é igual a 2, temos 8
4
 5 8 ; 4 5 2.
Veja estas outras situações:
1a) André (A), Catarina (C) e Solange (S) cortaram 
uma pizza em 3 pedaços aproximadamente 
iguais. Que parte caberá a cada um?
 Pela figura, vemos a pizza dividida em três par-
tes aproximadamente iguais; e a parte que fi-
cará para cada um é aproximadamente 1
3
 (um 
terço).
 Indicamos essa situação por 1 ; 3 5 1
3
.
2a) Imagine duas folhas de papel repartidas igualmente entre 5 pessoas: Amanda 
(A), Breno (B), Carolina (C), Diego (D) e Edna (E).
 
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
 
ou
 
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
 Indicamos a parte que cabe a cada pessoa assim:
 2 ; 5 5 2
5
2 folhas 2
5
 (dois quintos) de folha para cada pessoa
 5 pessoas
 Então, cada pessoa receberá 2
5
 de folha.
E se eu efetuo a divisão 4 ; 4, 
também obtenho 1, ou seja:
4
4
 5 4 ; 4 5 1.
Se eu divido uma região 
quadrada em 4 partes iguais e 
pinto as 4 partes, eu estou 
pintando a figura toda (1).
Pizza
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Chame a atenção dos alunos para o fato de 
que, nesta situação, a unidade, o inteiro, são 
as duas folhas.
Frações 11
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Exercícios 
 13. Como repartir igualmente 3 folhasde papel sulfite entre 4 crianças? Faça o desenho e indique a divisão correspondente a essa situação. 
 14. Escreva a divisão ou a fração correspondente ao que é dado:
 a ) 3
4
5 b ) 5
8
2
 c ) 1 ; 6 5 d ) 10 ; 3 5 
 15. Número natural e fração
Observe as frações a seguir. Elas representam números naturais.
3
3
1,5 porque 3 ; 3 5 1 
20
4
 ou 15
3
 ou 35
7
 5 5 20
2
 ou 30
3
 ou 50
5
 5 10
Agora, com base nos exemplos acima, complete:
 a ) a fração com numerador 12 que representa o número 4:
 b ) a fração com denominador 12 que representa o número 4:
 c ) 18
3
 5 2 5 2 5 
 
A A
A D
 
B B
B D
 
C C
C D
 
3 ; 4 5 
3
4
3 ; 4 8 ; 2 5 4
1
6
10
3
12
3
48
12
6
6
3
12
6
Frações aparentes
Atividade em dupla
Peguem algumas folhas de papel sulfite e dobrem-nas para representar a fração 
6
2
. Depois, respondam:
 a ) Quantas folhas (unidades) vocês utilizaram? 
3 folhas.
 b ) Qual é a divisão que relaciona a fração 
6
2
 e o número de unidades? 
 c ) Dizemos que 
6
2
 é uma fração aparente. Por que será que esse tipo de fração é chamado de aparente? 
6
2
 5 6 : 2 5 3 unidades.
Espera-se que os alunos concluam que só na aparência esses números são fracionários, pois, na realidade, representam números naturais.
Frações aparentes são frações que representam números naturais.
Oficina de Matemática
 Para construir:
 Exercícios 13 a 15 (abaixo)
 Para aprimorar:
 Oficina de Matemática (abaixo)
Frações12
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Exercícios 
 16. O professor fez a pergunta ao lado
Somente um dos alunos respondeu corretamente. 
Quem acertou? Marque a resposta correta.
 Felipe : “São sempre iguais”.
 Cármen : “O numerador é sempre divisor do denominador”.
X Angélica : “O numerador é sempre múltiplo do denominador”.
 17. Que número natural as frações aparentes 0
3
 e 0
10
 representam? 
 18. Localize as frações aparentes entre as frações a seguir. Indique quantas unidades cada uma delas representa.
 a ) X 9
3
 
 b ) 2
8
 c ) X 6
6
 
 d ) 4
3
 e ) X 14
7
 f ) X 30
5
0 5 5 5 5 )( 03 0 : 3 0; 010 0 : 10 0
5 3 5 1 5 2
5 6
Que relação existe entre o 
numerador e o denominador 
nas frações aparentes?
 Para construir:
 Exercícios 16 a 18 (abaixo)
 Para construir:
 Exercícios 19 a 25 (p. 13 a 16)
Frações próprias e frações impróprias
Acompanhe as atividades a seguir e veja esses dois tipos de fração.
Estimule os alunos a utilizar folhas de papel sulfite recortadas em tiras para representar frações 
próprias e impróprias, levando-os a perceber concretamente a diferença entre elas.
Exercícios 
 19. Observe a figura ao lado, na qual o círculo representa a unidade.
Responda às perguntas.
 a ) Que fração da figura representa a parte colorida? 
 b ) Qual é o denominador dessa fração? 
4.
 c ) Qual é o numerador dessa fração? 
3.
 d ) Qual é menor: o numerador ou o denominador? 
O numerador.
Frações próprias são aquelas de valor maior do que zero e menor do que 1 inteiro. Nelas o numerador é diferente 
de zero e é menor que o denominador.
Por exemplo, a fração 3
4
 é própria.
 .3
4
Frações 13
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 20. Agora, examine a figura abaixo, na qual cada círculo representa uma unidade.
Responda às perguntas.
 a ) Em quantas partes cada uma das unidades foi dividida? 
4 partes.
 b ) Quantas partes das duas figuras juntas foram marcadas? 
5 partes.
 c ) Que fração do círculo representa as partes marcadas? 
 d ) Qual é o denominador dessa fração? 
4.
 e ) Qual é o numerador dessa fração? 
5.
 f ) Qual é maior: o numerador ou o denominador? 
O numerador.
Frações impróprias são aquelas que valem zero, 1 inteiro ou mais do que 1 inteiro. Nelas o numerador é zero ou 
então é igual ou maior do que o denominador.
Por exemplo, a fração 5
4
 é imprópria não aparente, pois vale mais do que um inteiro, e a fração 8
4
 é impró-
pria aparente, pois 8
4
 5 2 e 2 é um número inteiro. 
 21. Classifique as frações 6
2
6
7
7
6
9
9
1
8
11
2
, , , , , , 3
9
12
3
, e 22
5
 em próprias ou impróprias.
 .5
4
6
7
, 1
8
e 3
9
 são frações próprias, pois os numeradores são menores do que os denominadores. 7
6
, 11
2
, 22
5
, 6
2
, 9
9
e 12
3
são frações impróprias, 
pois os numeradores são maiores que os denomina dores ou iguais a eles. Eles representam os seguintes números: 7
6
1 1
6
; 11
2
5 1
2
; 22
5
4 2
5
;5 5 5 
6
2
3; 9
9
1 e 4.5 5 512
3
Frações próprias: 
1
8
, 
3
9
,
6
7
; frações impróprias: 
6
2
, 
7
6
, 
9
9
, 11
2
, 12
3
 e 
22
5
.
Frações14
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 14 2/1/16 9:31 AM
 22. Considere como unidade um círculo determinado por uma moeda. Desenhe e pinte o correspondente a cada item. Identifique 
quais são frações próprias, quais são impróprias e, destas, quais são aparentes.
 a ) 
3
4
:
 b ) 4
2
:
 c ) 1 1
2
:
 d ) 
6
2
:
 e ) 1
3
:
 f ) 
5
4
: 
 23. Escreva um exemplo de fração própria, outro de fração imprópria (não aparente) e outro de fração imprópria aparente.
Própria.
Imprópria aparente.
Imprópria.
Imprópria aparente.
Própria.
Imprópria.
Respostas pessoais.
Por exemplo: própria: 1
5
, 3
7
, 3
9
, etc.; imprópria não aparente: 6
5
, 5
3
, 3
2
, etc.; imprópria aparente: 54
4
1, 5 510
5
2, 16
4
4, etc.
Frações 15
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 15 2/1/16 9:31 AM
 24. Considere uma região retangular como unidade. 
I. II. III. 
 a ) Que fração representa as partes pintadas em cada um desses três itens? Escreva acima.
 b ) Qual fração é própria? Qual fração é imprópria não aparente? Qual fração é imprópria aparente?
Própria: 
2
3 ; imprópria não aparente: 
4
3 ; imprópria aparente: 
3
3 .
 c ) Qual dessas frações representa um número menor do que 1? E maior do que 1?
Menor do que 1: 
2
3 ; maior do que 1:
 4
3 .
 25. Atividade em dupla
Uma fração própria sempre representa um número menor do que 1? Converse com seu colega, façam desenhos e tirem suas 
conclusões.
2
3
3
3
4
3
Números mistos
Tiago está medindo um pedaço de barbante com seu palmo. Seu palmo cabe uma 
vez e meia no pedaço de barbante.
1 vez e meia ou 1 12 vez.
1 1
2 lê-se: um inteiro e um meio.
Esse é um número misto, ou seja, é formado por um número natural (que é o 1) e uma 
fração que é 1
2
.( )
Note que 1 12 pode ser representado por 
3
2 : 
1
2
1
2
1 unidade
3 vezes a metade
1
2
1
2
Estimule os alunos a utilizar 
folhas de papel sulfite recortadas 
em tiras para representar 
números mistos.
Menino medindo pedaço de barbante com o palmo.
S
Ž
rg
io
 D
o
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 J
r.
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Frações16
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 16 2/1/16 9:31 AM
Transformação de fração em 
número misto e vice-versa
Transformação de fração em
número misto
9
5
1a maneira
5 15 1 5 1 5
9
5
5
5 1
5
5 1
5
5 1
5
5 1
4
5
15 115 1 4
5
1 4
5
2a maneira (processo prático)
9 5 9
5
1 4
5
5
25 1
4
Transformação de número
misto em fração
3 2
7
1a maneira
5 1 5 15 1 53 2
7
35 135 1 2
7
21
5 1
21
5 1
7
5 1
7
5 1
2
7
23
7
2a maneira (processo prático)3 2
7
 3 3 7 1 2 5 23
 
53 2
7
23
7
Exercícios 
 26. Transforme, quando possível, cada uma das frações em número misto.
 a ) 510
7
 b ) 57
6
 c ) 35
9
5 d ) 55
7
 
 27. Transforme cada número misto em fração.
 a ) 51
4
9
 b ) 52
1
3
 c ) 51 1
4
 d ) 53 2
11
 
 28. Observe a reta numerada e os pontos assinalados com letras maiúsculas:
10
D G B F J A E H CI
2 3 4 5
Associe cada fração, número misto ou número natural à letra correspondente.
13
3
 
1
3
 
6
3
 
1
2
 
4
 
1 1
4
 
2 1
3
 
8
3
 
3 1
2
 
3
2
1 3
7
10 7
27 1
3
1 1
6
7 6
26 1
1
3 8
9
35 9
227 3
8
Não é possível.
13
9
7
3
5
4
35
11
C D F G H B J A E I
 Para construir:
 Exercícios 26 a 30 (p. 17 e 18)
Frações 17
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 17 2/1/16 9:31 AM
 30. Observe as réguas representadas ao lado: uma está graduada em centí-
metros e a outra, em polegadas. Nas medidas em polegadas, é comum o 
uso de valores como meia polegada, um quarto de polegada ou um oitavo 
de polegada.
Veja, por exemplo, as medidas dos parafusos, em polegadas.
O primeiro parafuso tem 1 1
4
 de polegada.
 a ) Escreva a medida de comprimento dos outros parafusos.
 b ) Desenhe um objeto cujo comprimento tenha duas polegadas e 
meia, ou seja, 2 1
2
 de polegada. Resposta pessoal (aproximadamente 
6 cm e 2 mm).
1 2 3 4 50 6
1 20 1
4
1
2
3
4
 29. Cálculo mental
Já vimos que 7
3
7 : 35 
7 3
1 2
Se 7 ; 3 dá 2 e sobra 1, então 73
22 1
3
.5
Verificação: 2 3 3 1 1 5 7
Se 2 3 3 1 1 5 7, então 2 1
3
7
3
.5
Reúna-se com alguns colegas e façam mentalmente as transformações abaixo. Em cada item, um de vocês calcula o que foi 
pedido e justifica a resposta. Os outros conferem.
Transforme:
 a ) 7
5
 para a forma mista; b ) 5 3
4
 para fração; c ) 2 1
7
 para fração. 
1
2
5
23
4
15
7
1
3
4
 de polegada
1
2
 polegada
 Você sabia?
A polegada é uma unidade de medida de comprimento usada nos países de língua inglesa, mas que às vezes também é utilizada no Brasil.
Ela corresponde a aproximadamente 2 centímetros e meio. Indicamos 1 polegada como 1”.
20’’
K
a
ra
m
 M
ir
i/
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/
G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
TV de 20 polegadas Cano de 2 polegadas Chave de boca de 1 polegada
2’’
SŽrgio Dotta Jr./
Arquivo da editora
1’’
SŽ
rg
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 D
ot
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 J
r./
Ar
qu
iv
o 
da
 e
di
to
ra
As imagens desta página não estão 
representadas em proporção.
Frações18
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 18 2/1/16 9:31 AM
Fração de um número
Francisca tem uma dúzia de bananas (12 bananas) e vai usar 1
3
 delas 
para fazer um bolo. Quantas bananas ela vai usar?
Nessa situação, queremos saber quanto é 13 de 12. 
Pelo que já foi visto de fração, devemos dividir as 12 bananas em
3 grupos com a mesma quantidade de bananas, ou seja, fazer 12 ; 3.
Como cada grupo tem 4 bananas, pois 12 : 3 5 4, podemos escrever:
1
3 de 12 5 4, pois 12 ; 3 5 4. 
Se Francisca usou 1
3
 das 12 bananas, sobraram 2
3
 das 12 bananas. Quantas 
bananas sobraram?
1
3
 de 12 5 4 (12 ; 3) e 2
3
 de 12 5 2 3 1
3
de 12( ) 5 2 3 4 5 8 
Então, Francisca usou 4 bananas 1
3
de 12( ) e restaram 8 bananas 23 de 12 .( )
Veja outros exemplos.
 a ) 3
7
 de 28 5 ? 
28 ; 7 5 4
3 3 4 5 12
 3
7
 de 28 5 12 c ) 2
5
 de 40 5 16
 b ) 4
9
 de 45 5 ? 
45 ; 9 5 5
4 3 5 5 20
 4
9
 de 45 5 20 d ) 1
8
 de 184 5 23
Usando a calculadora
Vamos calcular frações de números usando uma calculadora.
Veja, por exemplo, o cálculo de 415 de 1 245: 4 3
51
 
245 15 4
digite tecle digite digitetecle tecle aparece
no visor
Logo, 4
15
 de 1 245 5 332.
Cálculo envolvendo frações de um número
Muitas vezes o número que queremos determinar é o todo. Veja como podemos 
resolver uma situação como essa.
Em uma corrida de Fórmula 1, somente 15 carros completaram todas as voltas, e 
esse número equivale a 3
4
 dos carros que iniciaram a corrida. Quantos carros havia no 
início da corrida?
Observe:
• 
3
4
 dos carros 15 carros
• 
1
4
 dos carros 15 : 3 5 carros
• 
4
4
 dos carros 4 3 5 20 carros 
Processo prático
3
4
 de ? 5 15
15 ; 3 5 5 e 4 3 5 5 20
Logo, havia 20 carros no início da corrida.
4
 Comente com os alunos que essa sequência de operações
 (divisão e depois multiplicação) pode ser feita sem o uso da tecla de memória.
Sergio/Shutterstock/Glow Images
Dúzia de bananas
1
3
1
3
1
3
12 bananas
M
a
u
ro
 S
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A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Frações 19
M
A
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E
M
Á
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A
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Exercícios 
 31. Se Lúcia tem 12 ovos e vai usar 5
6
 deles para fazer quindins, quantos ovos ela vai usar? Faça desenhos para ilustrar. 
 32. Cálculo mental
Atividade em equipe
Calculem mentalmente. Em cada item, um aluno relata e os demais conferem.
 a ) 3
8
 de 40 5 
 b ) 1
5
 de 100 5 
 c ) 3
10
 de 90 5 
 d ) 1
2
 de 7 000 5 
 
 e ) 5
6
 de 42 reais 5
f ) 5
4
5
de 500 
 g ) 2
3
 de 27 5 
 h ) 7
11
 de 99 5 
 33. Use uma calculadora e determine a medida aproximada do diâmetro da Lua, em quilômetros, sabendo que:
• a medida aproximada do diâmetro da Terra é 12 760 quilômetros;
• a medida aproximada do diâmetro da Lua é 311
 da medida do diâmetro da Terra.
 34. Calcule quantos carros iniciaram uma corrida de Fórmula Indy, sabendo que os 12 carros que completaram todas as voltas
representam 2
3
 dos que iniciaram a corrida. 
5
6
10 ovos
 15
 20
 27
 3 500
 35 reais
 400
 18
63
Aproximadamente 3 480 quilômetros (12 760 ; 11 3 3).
18 carros 2
3
de ? 12 ; 12 : 2 6 e 3 6 185 5 3 5( )
Lua vista da Terra
Terra vista do espaço
Diâmetro: linha vermelha
Godrick/Shutterstock/
Glow Images
P
a
u
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P
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c
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tt
/S
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u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
As imagens desta página 
não estão representadas 
em proporção.
 Para construir:
 Exercícios 31 a 37 (p. 20 e 21)
Frações20
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 20 2/1/16 9:31 AM
 35. O tanque de gasolina de um carro tem capacidade para 60 litros.
O marcador de combustível está indicando 3
4
.
Calcule mentalmente: quantos litros de gasolina há nesse tanque? 
 36. Considere os sólidos geométricos: 
 a ) Em qual deles o número de vértices é igual a 3
5
 do número de arestas? 
 
 b ) Determine nos outros dois sólidos qual é a fração correspondente à mesma relação entre vértices e arestas. 
 Você sabia?
Em todos os prismas, o número de vértices é igual a 2
3
 do número de arestas.
 37. Constate a informação anterior no paralelepípedo e no prisma de base pentagonal.
No paralelepípedo, que é um prisma, temos 12 arestas e 8 vértices. Conferindo: 
2
3 de 12 5 8. No prisma de base pentagonal, temos 15 arestas e 10 vértices.
Conferindo: 
2
3 de 15 5 10.
Marcador do nível 
de combustível de 
um automóvel
F
a
b
io
 Y
o
s
h
ih
it
o
 M
a
ts
u
u
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/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
3
4
de 60 ?; 60 4 15 e 3 15 455 5 3 5;
Há no tanque 45 litros.
V 5 5, A 5 8
prisma de 
base triangular
B
pirâmide de 
base pentagonal
C
pirâmide de 
base quadrada
A
V 5 6, A 5 9
V 5 6, A 5 10O C, pois 
6
10
3
5
5
 ou 
6 3
5
5
 de 10.
A B: 5
8
; : 6
9
2
3
5
 2
3
 de 12 5 8 e 2
3
 de 15 5 10
Frações 21
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 21 2/1/16 9:31 AM
Frações e medidas
As frações são bastante utilizadas no estudo de medida. Por exemplo, a fração 
de um comprimento, de uma parte do ano, do dia ou da hora.
Veja os exemplos:
• Uma hora corresponde a 60 minutos (1 h 5 60 min). Então: 
1
5
 de hora são 12 minutos 1
5
de 60 125( )
3
4
 de hora são 45 minutos 3
4
de 60 455( )
• 1100
 do real é 1 centavo (R$ 0,01)
• 1
1 000
 do litro é 1 mililitro (1 mL)
S
m
it
/S
h
u
tt
e
s
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o
ck
/G
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w
 I
m
a
g
e
s
Relógio analógico 
indicando 2 h 15 min.
 Comente com os alunos que, em inglês, falamos “a quarter past two” passou 1
4
das 2( ) para indicar 
que são duas horas e quinze minutos.
 Você sabia?
A divisão do dia e da noite em doze 
partes cada período é uma 
contribuição dos antigos egípcios.
Cada parte representava 1
12
do tempo decorrido entre o nascer
e o pôr do sol ou entre o pôr do sol e 
o seu nascer.
Exercícios 
 38. Quantos minutos correspondem a:
 a ) 1
4
 de hora? 
 b ) 2
3
 de hora? 
 c ) 
4
5
 de hora? 
 d ) 1 1
2
 hora? 
 39. Quanto é:
 a ) 1
2
 de 1 quilômetro? 
 b ) 1
4
 de 1 quilograma? 
 c ) 1
2
 de 1 hora? 
 d ) 1
100
 de 1 metro? 
 40. Complete.
 a ) 3
7
 da semana são 3 dias. 
 b ) 2
3
 do ano são 8 meses. 
 c ) 1
5
 do real são 20 centavos. 
 d ) 3
4
 de tonelada são 750 quilogramas. 
 41. Que fração de R$ 100,00 corresponde a R$ 25,00?
15 minutos. 48 minutos.
40 minutos. 90 minutos.
500 metros.
250 gramas.
30 minutos.
1 centímetro.
3
7
de 7
2
3
de 12
1
5
de 100
3
4
de 1 000
1
4
de 100 255
 Para construir:
 Exercícios 38 a 41 (abaixo)
Frações22
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 22 2/1/16 9:31 AM
3 Frações equivalentes
Vina comprou dois queijos iguais para fazer pão de queijo.
As netas vão ajudá-la.
• Emília cortou um queijo 
em 4 partes iguais e 
separou .2
4
2
4
• Sofia cortou o outro 
queijo em 8 partes iguais 
e separou 4
8
.
4
8
Olhando as figuras, você pode observar que a parte correspondente a 2
4
 é a 
mesma que corresponde a 4
8
. Dizemos, então, que 2
4
 e 4
8
 são frações equiva lentes e 
indicamos assim: 2
4
4
8
5 .
Frações equivalentes têm o mesmo valor em relação à mesma unidade 
(equivalente: igual valor).
Il
u
s
tr
a
•
›
e
s
: 
M
a
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 S
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A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Exercícios 
 42. Observe os quadros abaixo.
Pedro gastou 2
10
 de 30 reais.
6 reais 
Cláudio gastou 16 de 30 reais.5 reais 
Laura gastou 3
15
 de 30 reais.
6 reais
Calcule quanto cada um gastou e depois responda: dessas três frações, quais são equivalentes? 
 43. Observe os quatro segmentos de reta abaixo, todos indicando o intervalo de 0 a 1. Nos pontos assinalados, escreva as frações 
correspondentes. Depois, ligue com tracejados os pontos que correspondem às frações equivalentes.
Por fim, escreva as frações equivalentes que foram ligadas pelos tracejados.
2
10
 e 3
15
1
3
2
6
; 1
2
2
4
3
6
; 2
3
4
6
; 2
2
3
3
4
4
6
6
5 5 5 5 5 5 5
 
 
0 ou 1
2
2
0 ou 1
3
3
0 ou 1
4
4
0 ou 1
6
6
1
2
1
3
2
3
3
4
2
4
1
4
1
6
5
6
4
6
3
6
2
6
 Para construir:
 Exercícios 42 e 43 (abaixo)
Frações 23
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 23 2/1/16 9:31 AM
Uma propriedade importante 
que permite obter uma fração 
equivalente a uma fração dada
Observe o que acontece com as frações equivalentes:
5
3
32
4
4
82
2
;
;
5 55 5
3
31
2
2
5 5
2
5 5
4
3
62
2
2 332 3
2 332 3
5
5
10
1
2: 5
: 5
5
3
32
10
3
15: 2 3
: 2 3
Exercícios 
 44. Verifique se as frações são equivalentes:
 a ) 3
5
 e 15
25
 b ) 21
36
 e 7
12
 c ) 2
3
 e 12
13
 
 
Sim, pois 
3
5
15
255
5
5
3
3
.
 
Sim, pois 
;;
;;21
36
7
123
3
5 .
 Não.
 45. Escreva uma fração de denominador 20 que seja equivalente a .2
4
 
 46. Escreva uma fração de numerador 10 que seja equivalente a .5
4
 
 
 .10
20
 .10
8
Esses casos mostram
o que podemos fazer para 
obter uma fração equivalente 
a uma fração dada.
Dividir ou multiplicar o 
numerador e o denominador 
pelo mesmo número, diferente 
de zero.
Ou fazer as 
duas coisas.
 Para construir:
 Exercícios 44 a 46 (abaixo)
Frações24
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Processo prático para determinar frações equivalentes
Vamos, por exemplo, procurar uma fração equivalente a 5
12
 cujo denominador 
seja 348, usando a calculadora.
5
12 348
5
j
Efetuamos 348 ; 12 5 29 para descobrir que 12 multiplicado 
por 29 resulta 348.
Depois, multiplicamos 5 por 29 (5 3 29 5 145) para descobrir 
o numerador da fração procurada.
Logo, 5
12
145
348
.5
Outro exemplo:
Agora, procuramos uma fração equivalente a 64
112
 cujo numerador seja 4.
64
112
4
5
j
Dividimos 64 por 4 (64 ; 4 5 16) para descobrir que 64 foi 
dividido por 16 para resultar 4.
Agora, dividimos 112 por 16 (112 ; 16 5 7) para descobrir o 
denominador da fração procurada.
Logo, 64
112
4
7
.5
Exercícios 
 47. Faça o que se pede.
 a ) Complete com o que está faltando.
5
3
4
21
 
5
18
20 10
 
5 55 5
6
9
2
5 5
2
5 5
15
 
5
14
10 35
 b ) Complete com 5 ou Þ:
18
12
3
2
 
1
5
3
10
 
4
10
6
15
 
3
20
6
10
 48. Determine o termo que falta para que as frações sejam equivalentes. Use a calculadora, se necessário.
 a ) 53
8 96
 b ) 57
12
98 c ) 512
63 21
 d ) 59
8 272
 
28
9
3
10 49
5
3
3
3
4
21
28
7
7
5
18
20
9
10
: 2
: 2
5 5
3
3
6
9
2
3
10
15
: 3
: 3
5
5
5
3
3
14
10
49
35
: 2 7
: 2 7
5 Þ 5 Þ
5
18
12
3
2
: 6
: 6
3
3
±
1
5
3
10
3
2
5
3
3
;
;
4
10
6
15
2 3
2 3
3
±
3
20
6
10
2
: 2
36
168
4 306
 Para construir:
 Exercícios 47 a 50 (p. 25 e 26)
96 ; 8 3 3 5 36
Então, 3
8
36
96
.5
98 ; 7 3 12 5 168
Então, 7
12
98
168
.5
63 ; 21 5 3
12 ; 3 5 4
272 ; 8 3 9 5 306
Frações 25
M
A
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M
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A
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Em certo verão, uma sorveteria realizou uma promoção que previa a troca de 10 palitos de picolé de fruta por outro picolé de 
fruta. Nessa promoção, um palito corresponde a que fração do preço do picolé?
Ao trocar 10 palitos por um picolé, a pessoa recupera um palito. Logo, cada picolé equivale a 9 palitos ou cada palito corresponde a 
1
9
 do picolé.
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
 49. Descubra quais são as duas frações, ambas de denominador 20: a primeira equivalente a 1
4
 e a segunda equivalente a 3
10
. 
 50. Escreva frações de denominador 30, cada uma equivalente a uma das seguintes frações:
1
2
 
2
3
 
5
6
 
4
10
 
3
5
5
20
e 6
20
1
4
5
20
; 3
10
6
20
5
5
2
2
5 53
3
3
3( )
15
30
20
30
25
30
12
30
18
30
Desafio
Simplificação de frações e frações irredutíveis
Leia as informações que aparecem no texto deste jornal.
Com base nelas é possível deduzir que as frações 7
8
 e 
63 000
72 000
 são equivalentes.
Isso pode ser feito 
dividindo-se os termos da 
fração por um mesmo número diferente 
de zero até chegar a 
7
8
:
63 000
72 000
63
72
7
8
.
: 1 000
: 1 000
: 9
: 9
5 5
A torcida 
ocupa 
7
8
 
dos 
lugares.
No jogo do B
rasil, a torcid
a 
ocupou 63
 000 lugare
s dos 
72 000 lug
ares do es
t‡dio.
Dados fictícios.
Paulo 
Manzi
/Arqui
vo da 
editor
a
A fração 
7
8
 é bem mais 
simples que 
63 000
72 000
.
Por isso dizemos que, 
simplificando 
63 000
72 000
, 
obtemos 
7
8
.
Frações26
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 26 2/1/16 9:32 AM
Veja alguns exemplos de simplificação de fração:
5
10
14
5
72
2
:
:
 
5 55 5
12
30
6
5 5
6
5 5
15
2
5
:
: 2
2
: 3
: 3
 
:
:
:
:100
125
20
25
4
55
5
5
5
5 55 5
20
5 5
 
:
:7
21
1
37
7
5
 
:
:
:
:
:
:24
40
12
20
6
10
3
52
2
2
2
2
2
5 55 5
12
5 5 5
A fração 4
9
 não pode ser simplificada porque não podemos dividir 4 e 9 pelo mesmo número 
e obter uma fração mais simples do que ela. Nesse caso, dizemos que 4
9
 é uma fração irredutível.
Veja outro exemplo:
Felipe, Cármen e Jorge simplificaram a fração 12
18
 de formas diferentes, mas todos chegaram à mesma fração irredutível.
5 5
12
18
6
9
2
3: 2
: 2
: 3
: 3
5 5
12
18
4
6
2
3: 3
: 3
: 2
: 2
5
12
18
2
3: 6
: 6
Para chegar à fração irredutível dividindo uma vez só, como Jorge fez, é preciso dividir numerador e denominador 
pelo maior número possível, ou seja, pelo mdc(12, 18) 5 6.
Quando dividimos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo 
número natural, diferente de 0 e diferente de 1, dizemos que foi feita a simplificação da 
fração, pois a fração obtida é equivalente a ela, porém mais simples.
Determinação de todas as 
frações equivalentes a uma fração dada
Examine cuidadosamente os 
exemplos a seguir e você mesmo 
descobrirá. No primeiro exemplo, 
a fração já é irredutível; no 
segundo, não.
Veja agora como podemos descobrir todas as frações 
equivalentes a uma fração dada.
 Estimule os alunos a concluir que:
• se a fração dada for irredutível, multiplicamos o seu numerador 
e o seu denominador por 1, 2, 3, 4, 5, ...;
• se a fração dada não for irredutível, simplificamos e depois 
usamos esse processo.
 Para aprimorar:
 Jogo (p. 29)
Frações equivalentes a 1
2
:
1
2 
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
, ,
4
, , , ,
8
, , , ...
3 1
3 2
3 3
3 1
3 2
3 3
Frações equivalentes a 12
15
:
12
15 
12
15
4
5: 3
: 3
→ →→ →→ →5→ →12→ →
15
→ →4→ →
5
→ →
 
4
5
8
10
12
15
16
20
20
25
24
30
, ,
10
, , , , ,
20
, , ,
25
, , , ,, ...
3 1
3 2
3 3
3 1
3 2
3 3
Frações 27
M
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T
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M
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Exercícios 
 51. Simplifique as frações até chegar a uma fração irredutível.
 a ) 521
28
 b ) 516
32
 c ) 516
25
 d ) 510
6
 e ) 59
45
 
 52. Sabendo que o 6o ano B tem 14 meninos e 21 meninas, determine, por meio de uma fração irredutível:
 a ) que fração da classe os meninos representam; 
 b ) que fração da classe as meninas representam. 
 53. Um caminhoneiro já percorreu 200 km e ainda faltam 40 km para completar um percurso. Responda utilizando frações irredutíveis.
 a ) Que fração do percurso ele já percorreu?
 b ) Que fração do percurso falta completar?
 54. Quando simplificamos uma fração, seu valor aumenta, diminui ou permanece o mesmo?
 55. Descubra o valor que falta (nos itens c e e escreva uma fração irredutível).
 a ) 5
8
 de 160 5
 b ) 3
8
 de 5 120
 c ) de 300 5 15
 d ) 2
7
 de R$ 350,00 5
 e ) de R$ 60,00 5 R$ 36,00
 f ) 4
5
 de 5 R$ 200,00
3
4
1
2
irredutível 5
3
1
5
14 1 21 5 35
14 em 35 5 14
35
2
5
5
2
5
21 em 35 5 21
35
3
5
5
3
5
200 1 40 5 240; percorreu 200 em 240 → 200
240
20
24
5
6
5 5
Ele já percorreu 5
6
 do percurso.
40 em 240 → 40
240
1
5
6
Falta completar 1
6
 do percurso.
Permanece o mesmo, embora a fração seja escrita na forma mais simples.
100 (160 ; 8 3 5)
320 (120 ; 3 3 8)
1
20
15 em 300 15
300
1
20
5 5( )
R$ 100,00 (350 ; 7 3 2)
3
5
36 em 60 36
60
3
5
5 5( )
R$ 250,00 (200 ; 4 3 5)
 Para construir:
 Exercícios 51 a 55 (abaixo)
Frações28
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Jogo
Dominó de frações
Você já jogou dominó de frações? Neste jogo você aplicará o conceito de frações equivalentes. Preste atenção às orien-
tações e bom jogo!
Orientações:
O primeiro passo é recortar as peças do jogo que estão no Material com-
plementar, no final do módulo.
Número de participantes: 2 ou 4.
Como jogar:
Este jogo segue praticamente as mesmas regras do dominó comum.
Distribua igualmente as 28 peças entre os jogadores. Se 2 alu-
nos jogarem, cada um deles ficará com 14 peças; e se forem 4 alunos, 
cada um deles receberá 7 peças. É necessário decidir quem come-
çará a jogar.
O primeiro jogador escolhe uma peça e a coloca sobre a mesa. O 
próximo jogador deve buscar nas suas peças uma fração que seja equi-
valente a uma das frações da peça colocada sobre a mesa. Se encontrar, 
deve encostar as extremidades das peças que possuem frações equi-
valentes. Veja um exemplo em que o primeiro jogador colocou a peça 
a seguir: 2 8 1 4
Observe que, nesse caso, 5
20
 é equivalente a 1
4
 e também a 2
8
. Assim, tanto faz a posição em que o segundo jogador 
coloca sua peça em relação à peça do primeiro jogador.
No entanto, se o segundo jogador não possuir nenhuma peça que tenha uma fração equivalente a uma das duas frações 
da peça do primeiro jogador, ele passa a vez para o próximo jogador; no caso de duplas, a jogada volta para o primeiro jogador.
Depois que há mais de uma peça sobre a mesa, os jogadores devem colocar uma fração equivalente a qualquer uma das 
extremidades do conjunto de peças. No exemplo acima, eles terão de buscar uma fração equivalente a 2
8
 ou a 10
15
, para a pri-
meira opção; e a 1
4
 ou a 10
15
 para a segunda opção.
Ganha quem encaixar primeiro, no jogo da mesa, todas as peças que recebeu no início da partida.
10
25
200
300
18
24
6
24
6
30
10
40
12
30
25
100
10
50
30
40
20
50
75
100
40
100
20
100
4
16
5
15
12
16
6
18
4
20
10
30
8
20
4
12
5
20
10
15
15
20
12
18
5
25
20
30
3
9
3
6
6
9
4
8
3
12
5
10
9
12
6
12
3
15
10
20
6
15
50
100
8
12
100
300
2
4
1
2
2
6
1
3
4
6
2
3
2
8
1
4
6
8
3
4
2
10
1
5
4
10
2
5
Opções de jogada
ou
Il
u
s
tr
a
•
›
e
s
: 
C
a
s
a
 d
e
 t
ip
o
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
5 2
0
1
0
1
52 8 1 4
5 2
0
1
0
1
5
2814
Frações 29
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4 Comparação de frações
Comparar duas frações de uma mesma unidade é dizer qual é a maior, qual é a 
menor ou se são equivalentes (valores iguais).
Numeradores iguais
Observe algumas frações de uma mesma unidade que têm numeradores iguais.
1
2
1
3
1
4
1
5
 Para construir:
 Exercício 56 (abaixo)
Exercício 
 56. Responda:
 a) Das frações acima, qual é a maior? E a menor? 
 b) Se os numeradores são iguais, por exemplo, 2
3
 e 2
5
, qual é a fração maior?
 c) Reúna-se com um colega e comparem estas outras duplas de frações: 1
2
 com 1
7
e depois 5
3
 com 5
4
. Concluam qual é a 
maior e qual é a menor.
 
Quando duas frações têm numeradores iguais, a menor delas 
é a que tem maior denominador.
1
2
; 1
5
.
2
3
2
5
.
 (a de menor denominador).
Espera-se que os alunos respondam que 1
2
1
7
. e 5
3
5
4
..
Denominadores iguais
Examine algumas frações de uma mesma unidade que têm denominadores iguais.
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
Frações30
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 Para construir:
 Exercício 57 (abaixo)
Exercício 
 57. Responda.
 a) Das frações anteriores, qual é a maior? E a menor? 
 b) Se os denominadores são iguais, por exemplo, 2
5
 e 3
5
, qual é a maior? 
 c) Reúna-se com um colega e comparem estas outras duplas de frações: 3
8
 com 1
8
 e depois 2
9
com 4
9
. Concluam qual é a 
maior e qual é a menor.
 
Quando duas frações têm denominadores iguais, a menor 
delas é a que tem menor numerador.
5
5
1; 1
5
.5
3
5
2
5 (a de maior numerador).
.
Espera-se que os alunos respondam que 3
8
1
8
. e 2
9
4
9
.,
Numeradores e denominadores diferentes
Acompanhe esta situação:
Sílvio e Lúcio estão participando de uma corrida de bicicleta. Sílvio já percorreu 
3
4
 do trajeto, e Lúcio já percorreu 7
10
 do trajeto. Qual dos dois está na frente?
Para responder, vamos comparar 3
4
 e 7
10
 e descobrir qual das duas frações é 
maior. Para isso, devemos reduzi-las ao mesmo denominador.
Faremos esse procedimento de duas maneiras diferentes.
Como 3
4
7
10
,. então Sílvio está na frente de Lúcio.
 
Para comparar duas frações com numeradores e denominadores 
diferentes, devemos inicialmente reduzi-las ao mesmo denominador.
Depois, fazemos a comparação usando as duas frações obtidas.
Usando o mmc
Encontramos diretamente as frações equivalentes a 
3
4
 e 7
10
 usando o mmc dos denominadores:
mmc(4, 10) 5 20
5
3
4
15
20
 20 ; 4 3 3 5 15 57
10
14
20
 20 ; 10 3 7 5 14
Como . ,15
20
14
20
 então . .3
4
7
10
Usando frações equivalentes
Escrevemos as frações equivalentes a 3
4
 e 7
10
 
até encontrarmos duas com denominadores iguais:
3
4
 3
4
, ,6
8
,9
12
,12
16
15
20
, , , ...18
24
, ,
24
, ,
7
10
 ,7
10
14
20
, , ...21
30
, ,
30
, ,
Como . ,15
20
14
20
 então . .3
4
7
10
Frações 31
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Exercícios 
 58. Registre em cada item a maior fração de uma mesma unidade.
 a ) 4
7
 ou 2
7
 5 b ) 35
100
 ou 47
100
 5 c ) 11
13
 ou 7
13
 5
 59. Escreva em cada item a menor fração de uma mesma unidade.
 a ) 2
3
 ou 3
4
 5 b ) 7
8
 ou 5
6
 5 c ) 
5
6
ou 3
5
 5 
 60. Compare as frações da mesma unidade, colocando entre elas os sinais ., , ou 5.
 a ) 7
8
 . 17
20
35
40
34
40
.( )
 b ) 4
7
 , 3
5
20
35
21
35
,( )
c ) 23
15
 . 7
5
 d ) 6
9
 5 4
6
 
 61. Escreva em ordem crescente as frações de uma mesma unidade.
 a ) , ,2
5
3
4
1
10
 b ) , , ,2
3
4
5
1
4
1
2
 62. Pedro leu 4
7
 das páginas de um livro e Laura leu 2
3
 das páginas do mesmo livro. Qual dos dois leu mais? 
 63. No escritório do 5o andar do edifício de uma empresa, há 30 funcionários, dos quais 13 são homens. No escritório do 4o 
andar, há 35 funcionários, dos quais 15 são homens. Sorteando um funcionário em cada andar, em qual deles a chance de 
sair homem é maior?
 64. Caio e Beto colecionam o mesmo tipo de álbum de figurinhas. Caio já colou 2
3
 do total de figurinhas do álbum e Beto já colou 
3
4
. Quem colou mais figurinhas no seu álbum? 
 65. Carla e Mirela foram colher flores no jardim. De todas as flores colhidas, Carla colheu 3
5
 delas, enquanto Mirela colheu 4
10
 
delas. Quem colheu mais flores? 
4
7 
47
100 
11
13
2
3
2
3
ou 3
4
8
12
9
12
→ , Então, 2
3
.
5
6
5
6
ou 7
8
20
24
21
24
→ , Então, 5
6
.
 
3
5
3
5
ou 5
6
18
30
25
30
→ , Então, 3
5
.
 
23
15
21
15
.( ) 1218 12185( )
 
1
10
2
5
3
4
, ,
 
1
4
1
2
2
3
4
5
, , ,
Pedro: 4
7
 e Laura: 2
3
. mmc(3, 7) 5 21 →12
21
e 14
21
2
3
4
7
. 
Logo, Laura leu mais.
3
4
2
3
, pois 9
12
8
12
.. .
Beto colou mais figurinhas no seu álbum.
Carla 4
10
3
5
, pois 4
10
6
10
., ,( )
 
5o andar: homens → 13 em 30 ou 13
30
4o andar: homens → 15 em 35 ou 15
35
mmc(30, 35) 5 210
13
30
e 15
35
91
210
e 90
210
13
30
15
35
→ → .
A chance de sair homem é maior no 5o andar, pois 13
30
15
35
..
 Para construir:
 Exercícios 58 a 65 (abaixo)
Frações32
SER_EF2_Matematica6_M3_C1_001_032.indd 32 2/1/16 9:32 AM
5 Operações com frações
Vamos recordar, ampliar e aprofundar os conhecimentos sobre as operações com 
frações que você estudou nos anos anteriores.
Adição e subtração de frações
 66. Um ônibus de viagem percorreu 3
10
 de uma distância de manhã e 4
10
 à tarde. Nos dois períodos, ele percorreu que 
fração dessa distância? Observe o diagrama e complete o que falta.
?
3
10
4
10
 
3
10
4
10
1 5
 
7
10
Nos dois períodos, o ônibus percorreu 7
10
 da distância.
E se o ônibus percorresse 2
7
 de manhã e 3
7
 à tarde, nos dois períodos juntos, ele percorreria que fração da distância? 
Complete.
2
7
3
7 2
7
3
7
1 5
5
7
Reúna-se com um colega e respondam: quando as frações têm o mesmo denominador, o que fazemos para adicioná-las?
 67. Dois ônibus de viagem (A e B) percorreram 3
7
 e 5
7
 de uma distância, respectivamente. Qual deles fez o percurso maior? 
Quanto a mais do que o outro? Complete com o que falta.
?
A:
3
7
B:
5
7
5
7
3
7
e 5
7
3
7
. 2 5
 
2
7
 
O ônibus B percorreu 2
7
 da distância a mais do que o A.
E se o ônibus A percorresse 3
5
 e o ônibus B percorresse 2
5
 de uma distância, quanto o ônibus A percorreria a mais do 
que o B? Complete.
A:
3
5
B:
2
5
52
3
5
2
5
 
1
5
Reúna-se com um colega e respondam: quando as frações têm o mesmo denominador, o que fazemos para subtrair a 
menor da maior?
Resposta esperada: Conservamos o denominador e subtraímos os numeradores. 
Adição e subtração de frações com denominadores iguais
Exercícios 
 Para construir:
 Exercícios 66 e 67 (abaixo)
Na adição (ou subtração) de duas frações de uma mesma unidade que tenham o 
mesmo denominador, conservamos o denominador e adicionamos (ou subtraímos) os 
numeradores. M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações 33
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 33 2/1/16 9:50 AM
Adição e subtração de frações com 
denominadores diferentes
Acompanhe as situações a seguir.
1a) Pelamanhã, uma balsa percorreu 2
3
 de uma distância e à tarde, .1
4
 Que fração da 
distância ela percorreu nos dois períodos?
1 5
2
3
1
4
?
 Para fazer essa adição, precisamos reduzir as frações ao mesmo denominador. 
Podemos fazer isso de duas maneiras:
 Usando frações equivalentes
 Escrevemos as frações equivalentes a 2
3
 e 1
4
 até encontrarmos duas com deno-
minadores iguais.
 2
3
 ,2
3
 ,4
6
 ,6
9
 8
12
,..., 10
15
 1
4
 ,1
4
 ,2
8
 3
12
,, 4
16
 ,...5
20
 Assim:
 2
3
 1 1
4
 5 8
12
 1 3
12
 5 11
12
 Usando o mmc
 Encontramos diretamente as frações equivalentes 
a 2
3
 e 1
4
 usando o mmc dos denominadores: 
mmc(3, 4) 5 12.
 Nos dois períodos juntos, a balsa percorreu 11
12
 da distância.
2a) Uma balsa já percorreu 3
4
 de uma distância. Quanto ela ainda precisa percorrer 
para completar 5
6
 dessa distância?
2 5
5
6
3
4
?
 Para efetuar essa subtração, precisamos reduzir as frações ao mesmo denominador.
 Usando frações equivalentes
 5
6
 ,5
6
10
12
, ,15
18
,20
24
,...25
30
 3
4
 ,3
4
6
8
, 9
12
, ,12
16
15
20
,...
 Assim:
 5
6
 2 3
4
 5 10
12
 2 9
12
 5 1
12
 Usando o mmc
 Encontramos diretamente as frações equivalentes 
a 5
6
 e 3
4
 usando o mmc dos denominadores: 
mmc(6, 4) 5 12.
 Para completar 5
6
 da distância, a balsa ainda precisa percorrer 1
12
 dessa distância.
Assim, podemos escrever:
Na adição (ou subtração) de duas frações de uma mesma unidade que têm denomi-
nadores diferentes, determinamos as frações equivalentes às frações dadas e que te-
nham o mesmo denominador. Em seguida, adicionamos (ou subtraímos) essas frações.
12 ; 3 5 4
4 3 2 5 8
2
3
1
4
8
12
3
12
1 5 1 5
11
12
12 : 4 5 3
3 3 1 5 3
12 : 6 5 2
2 3 5 5 10
12 : 4 5 3
3 3 3 5 9
2 5 2 5
5
6
3
4
10
12
9
12
1
12
Frações34
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 34 2/1/16 9:50 AM
Exercícios 
 68. Escreva com suas palavras como se adicionam ou se subtraem duas frações com denominadores iguais. Faça o mesmo para 
frações que tenham denominadores diferentes.
Resposta pessoal.
 69. Efetue as adições e subtrações a seguir.
 a ) 4
7
2
7
1 5 
 b ) 8
5
3
5
2 5 
 c ) 3
10
1
4
1 5
 d ) 4
5
2
3
2 5 
 e ) 5
8
1
4
2 5 
f ) 1
1
4
2 1
6
1 5 
g ) 1
3
10
8
9
2 5 
h ) 1 5
3
25
2
5
 
i ) )(1 2 534 45 310 
j ) 2 2 55
8
3
8
1
8
 70. Atividade em equipe
 Podemos afirmar que 1
2
1
2
1 é igual a 1?
 Troquem ideias e elaborem uma justificativa para a resposta. 
 Para construir:
 Exercícios 68 a 77 (p. 35 a 38)
1 5
4
7
2
7
6
7
2 5 5
8
5
3
5
5
5
1
1 5 1 5
3
10
1
4
6
20
5
20
11
20
2 5 2 5
4
5
2
3
12
15
10
15
2
15
2 5 2 5
5
8
1
4
5
8
2
8
3
8
1 5 1 5 1 5 51 1
4
2 1
6
5
4
13
6
15
12
26
12
41
12
3 5
12
2 5 2 5 2 51 3
10
8
9
13
10
8
9
117
90
80
90
37
90
1 5 1 5
3
25
2
5
3
25
10
25
13
25
1 2 5 1 2 5
5 1 5 1 5 5 5
5
( ) ( )34 45 310 34 810 310
3
4
5
10
15
20
10
20
25
20
5
4
1 1
4
2 2 5
5
8
3
8
1
8
1
8
1 5 5( )Sim 12 12 22 1 .
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações 35
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 35 2/1/16 9:50 AM
 71. As duas vasilhas são iguais e estão com suco de hortelã. Aproximadamente quanto a segunda tem a mais do que a primeira? 
2
3
3
4
C
a
s
a
 d
e
 T
ip
o
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 72. Três automóveis estão indo da cidade A para a cidade B. Observe quanto do percurso cada um já completou.
1
4
1
2
5
6
A B
Agora, determine:
 a ) a diferença entre o percurso do automóvel azul e o do verde. 
 b ) a diferença entre o percurso do automóvel vermelho e o do verde. 
 c ) a diferença entre o percurso do automóvel vermelho e o do azul.
 73. Roberta iniciou uma viagem com 5
6
 do tanque abastecido e gastou durante essa viagem o equivalente a 2
3
 do tanque. O com-
bustível que sobrou equivale a que fração do tanque? 
Primeira vasilha: 2
3
Segunda vasilha: 3
4
2 5 2 5
3
4
2
3
9
12
8
12
1
12
A segunda vasilha tem 1
12
 a mais que a primeira vasilha.
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
1
2
1
4
2
4
1
4
1
4
2 5 2 5
5
6
1
4
10
12
3
12
7
12
2 5 2 5
5
6
1
2
10
12
6
12
4
12
1
3
2 5 2 5 5
2 5 2 5
5
6
2
3
5
6
4
6
1
6
O combustível que sobrou equivale a 1
6
 do tanque.
Frações36
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 36 2/1/16 9:50 AM
 74. Examine a figura abaixo e indique a fração correspondente:
1
4
1
6
?
1
3
1
9
 a ) aos setores verde e vermelho juntos. 
 b ) ao que o setor azul vale a mais do que o laranja. 
 c ) ao que o setor vermelho vale a menos do que o azul. 
 d ) ao setor amarelo. 
 75. Qual é o valor da expressão 1
2
1
4
1
8
?2 2 
1 5 1 5
1
4
1
6
3
12
2
12
5
12
2 5 2 5
1
3
1
9
3
9
1
9
2
9
2 5 2 5
1
3
1
6
2
6
1
6
1
6
2 5 2 51
31
36
36
36
31
36
5
36
1 1 1 5
5 1 1 1 5
1
3
1
4
1
6
1
9
12
36
9
36
6
36
4
36
31
36
O valor da expressão é 1
8
.
2 2 5 2 2 5
1
2
1
4
1
8
4
8
2
8
1
8
1
8
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações 37
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 37 2/1/16 9:50 AM
Multiplicação envolvendo frações
Número natural vezes fração
Neste caso basta usar a ideia da multiplicação relacionada à adição de parcelas 
iguais : 3 3 2 5 2 1 2 1 2 5 6. Veja o exemplo.
Um bolo foi dividido, aproximadamente, em 8 partes iguais. Lígia comeu 3 peda-
ços dele. Que parte do bolo Lígia comeu?
3 5 1 1 5
1 244 344
3 1
8
1
8
1
8
1
8
3
8
,
3 vezes
 ou seja, 3 5
3
53 1
8
3 1
8
3
8
.
Assim, Lígia comeu aproximadamente 3
8
 do bolo.Bolo dividido em 8 partes 
aproximadamente iguais.
Fabio Yoshihito Matsuura/Arquivo da editora
 76. Gilberto plantou 1
4
 de sua horta com tomates, 1
5
 com cenouras e o restante com alface. Que parte da horta foi plantada 
com alface?
 77. Rosa gasta 1
3
 do seu salário para pagar a prestação da sua casa, que é de 400 reais. Quanto lhe resta para outras despesas? 
1 5 1 5
1
4
1
5
5
20
4
20
9
20
2 5 2 51
9
20
20
20
9
20
11
20
Foi plantada 
11
20 da horta de verduras.
F
o
to
s
: 
c
e
n
o
u
ra
 –
 O
li
n
ch
u
k
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j/
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Alface, tomate e cenoura.
2 5
3
3
1
3
2
3
→1
3
400 reais
→2
3
800 reais
Restam para Rosa 800 reais para outras despesas.
Frações38
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 38 2/1/16 9:50 AM
Exercícios 
 78. Efetue as multiplicações.
 a ) 3 52 1
7
 b ) 3 51
5
4 
c ) 3 53 2
5
d ) 3 53
8
2
e ) 3 55 3
4
f ) 3 54
5
5
g ) 3 54 2
3
h ) 3 51 2
3
5 
 Para construir:
 Exercícios 78 e 79 (p. 39 e 40)
? 5 1 5
?
52 17
1
7
1
7
2 1
7
2
7
3 5 3 5
1
5
4 4 1
5
4
5
3 5
3
5 53 2
5
3 2
5
6
5
1 1
5
3 5 3 5 5
3
8
2 2 3
8
6
8
3
4
3 5
3
5 55 3
4
5 3
4
15
4
3 3
4
3 5 3 5 5
4
5
5 5 4
5
20
5
4
? 5
?
5 54 2
3
4 2
3
8
3
2 2
3
3 5 3 5 3 5 51 2
3
5 5
3
5 5 5
3
25
3
8 1
3
Fração vezes número natural
Cristina comprou duas latas de goiabada e resolveu guardar aproximadamente 
1
3 dos doces, ou seja, 
1
3
 de duas goiabadas )( 313 de 2 ou 13 2 .
Ela fez assim:
 
e viu que 1
3
23 é o mesmo que 32 1
3
.
Logo: 3 5 3 5 1 51
3
2 2 1
3
1
3
1
3
2
3
.
Observe que, nesse caso, usamos a propriedade comutativa: 3 5 31
3
2 2 1
3
.
Veja outros exemplos:
 a ) 33
7
2 b ) 4
9
53
 
3
7
2 2 3
7
3
7
3
7
6
7
3 5 3 5 1 5
 
3 5 3 5
3
5 5
4
9
5 5 4
9
5 4
9
20
9
2 2
9
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações 39
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 39 2/1/16 9:50 AM
Fração vezes fração
Anastácio tem um terreno. Ele quer usar 1
5
 desse terreno para plantar flores e 
quer que 2
3
 da parte com flores tenham rosas. Que parte do terreno deverá ser plan-
tada com rosas?
Devemos calcular 2
3
 de 1
5
 do terreno, ou seja, 2
3
1
5
.3
Usando figuras fica fácil. Veja:
Terreno do terreno
1
5 de
2
3
do terreno
1
5
3
2
3 )(
1
5
do terreno
2
15
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
O dobro de 5 é 2 3 5.
2
3
 de 
1
5
 é 
2
3
1
5
.3
 79. Marina tem 12 kg de feijão. Ela quer doar para uma campanha de arrecadação de alimentos a terça parte desse feijão. Quantos 
quilogramas Marina vai doar? 4 kg )( 13 de 12 13 12 45 3 5
As figuras mostram que 2
3
 de 1
5
, ou seja, 32
3
1
5
, é o mesmo que 2
15
. Logo, 
3 5
2
3
1
5
2
15
.
Observe: 323
1
5 5 
5
2 132 1
3 533 5
2
15
Então, Anastácio deve plantar rosas em 2
15
 do terreno.
Outro exemplo: 2
3
3
4
3 (geometricamente).
0
0 1
1
1
3
1
4
2
4
3
4 0
1
1
4
2
4
3
4
2
3
1
6
12
3 5
2
3
3
4
2 3 3
3 3 4( )
1
3
2
3
2
3
3
4
Frações40
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 40 2/1/16 9:50 AM
Assim, podemos escrever:
Para multiplicar uma fração por outra, multiplica-se o numerador de uma pelo 
numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra.
Observação: Na multiplicação de frações, podemos fazer a simplificação depois ou 
antes de efetuar a operação.
3
4
8
15
4
10
2
5
1
3 5 5 5
24
60
6
6
2
2
:
:
:
:
ou
3 5
3
4
8
15
2
5
1
1
2
5
4
25
5
6
2
15
3 5 5
120
150
10
10
;
;
ou
3 5
4
25
5
6
2
15
2
5
1
3
Frações inversas
Inversa de uma fração diferente de zero é a fração que se obtém trocando entre si o 
numerador e o denominador da fração dada.
Por exemplo, a inversa de 3
4
 é 4
3
. E a inversa de 2
5
 é 5
2
.
Exercício 
 80. Determine o produto de cada fração pela sua inversa.
2
7 
4
5 
6
7 
2 1
3 
 Agora, responda: o que ocorreu com os resultados?
Todos são iguais a 1.
 Para construir:
 Exercício 80 (abaixo)
2
7
7
2
14
14
13 5 5
4
5
5
4
20
20
13 5 5
6
7
7
6
42
42
13 5 5
2 1
3
7
3
; 7
3
3
7
21
21
15 3 5 5
Isso que você descobriu vale sempre. Assim, podemos escrever:
O produto de uma fração pela sua inversa é igual a 1.
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Frações 41
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 41 2/1/16 9:50 AM
Exercícios 
 81. Use o processo prático e efetue as multiplicações. Nos itens e e f, simplifique antes e depois.
 a ) 3 55 3
10
 b ) 3 51
1
2
3
c ) 3 56 2
3
 
 d ) 3 51 15
2 3
4
 e ) 3 5
6
35
7
30
 f ) 3 3 54
7
3
2
7
6
 82. Em uma cidade, 3
4
 dos habitantes são mulheres e 1
5
 das mulheres se declaram loiras. As mulheres loiras representam que 
fração do total de habitantes da cidade? 
 83. Responda e justifique.
 a ) Qual é o inverso de 3
4
? 
 b ) Qual é o inverso de 3? 
 c ) Qual é o número que multiplicado por 3
7
 dá 1?
 d ) Como é o inverso de 9
25
 escrito na forma mista?
 Para construir:
 Exercícios 81 a 86 (p. 42 e 43)
3 5 5 55 3
10
15
10
3
2
1 1
2
3 5 3 5 51 1
2
3 3
2
3 9
2
4 1
2
3 5 56 2
3
12
3
4
3 5 3 5 5 51 1
5
2 3
4
6
5
11
4
66
20
33
10
3 3
10
6
35
7
30
42
1 050
7
175
1
25
ou
6
35
7
30
1
25
1
5
1
5
3 5 5 5
3 5
3 3 5 5
3 3 5
4
7
3
2
7
6
84
84
1 ou
4
7
3
2
7
6
1
21
1
1
1
1
2 1
1
5
de 3
4
1
5
3
4
3
20
5 3 5
4
3
1
3
, pois 3 3
1
.5
7
3
, pois 3
7
7
3
21
21
1.? 5 5
 
→
25
9 
→ 2 7
9
25 9
218 2
7
Frações42
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 42 2/1/16 9:50 AM
 84. Calcule o valor das expressões numéricas.
 a ) 1 3 55
9
1
3
2
3
 
b ) 1 3 5( )59 13 23 
 85. Pedrinho tinha R$ 60,00. Separou 4
5
 dessa quantia e gastou 2
3
 do que havia separado. Que fração do que tinha ele gastou? 
 86. De acordo com dados do site <www.censo2010.ibge.gov.br> (acesso em: 7 jan. 2015), no ano de 2010 a população de Minas 
Gerais correspondia a, aproximadamente, 1
10
 da população do Brasil. Por sua vez, a população da capital Belo Horizonte cor-
respondia a cerca de 1
12
 da população de Minas Gerais.
OCEANO
ATLÂNTICO
Trópico de Capricórnio
N
0 710 km
Belo Horizonte
DF
50º O
GO
PR
MS
MT
SP
MG
RJ
ES
BA
Estado de Minas Gerais - Brasil
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012.
Considerando essas informações, calcule e responda: a população de Belo Horizonte correspondia, em 2010, a que fração da 
população do Brasil? 
1 3 5 1 5
5
9
1
3
2
3
5
9
2
9
7
9
7
9
1 3 5 3 5( )59 13 23 89 23 1627
16
27
 5 3 52
3
de 4
5
2
3
4
5
8
15
Ele gastou 8
15
 do que tinha.
8
15
2
3
4
5
3( )
A
ll
m
a
p
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
5 3 5
1
12
de 1
10
1
12
1
10
1
120
A população de Belo Horizonte correspondia a 1
120
 da população do Brasil.
1
120
1
12
1
10
3( )
M
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T
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M
Á
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Frações 43
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 43 2/1/16 9:51 AM
Divisão envolvendo frações
Você já estudou que podemos indicar o resultado de qualquer divisão de núme-
ros naturais por meio de uma fração, quando o divisor é diferente de zero.
Exemplos:
 a ) 9 ; 5 5 
9
5 b ) 20 ; 5 5 4 5 
4
1
 c ) 18 ; 40 5 18
40
9
20
5
Veremos agora divisões que têm fração em pelo menos um dos termos.
Divisão de fração por número natural
Ângela separou metade de uma pizza e repartiu-a igualmente entre seus três 
sobrinhos.
Observe os desenhos e veja como efetuar 12
: 3 para saber quanto ficou para 
cada um.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Metade da pizza: 1
2
.
Metade da pizza re-
partida em três partes 
iguais. Cada parte cor-
responde a 1
2
: 3.
1
2
: 3 é o mesmo 
que 1
6
 da pizza.
Pizza inteira.
Assim, 1
2
: 3 1
6
.5
Observe que a divisão 1
2
: 3 dá o mesmoresultado que a multiplicação 1
2
1
3
3 
(lembre-se de que 13( ) é o inverso de 3). Assim, temos:
1
2
1
6
1
2
1
3
1
6
: 3 5
3 5
1
2
1
2
1
3
: 3 5 3
Divisão de número natural por fração
Imagine que você quer encontrar o resultado da divisão 12 : 3. Uma pergunta que 
pode ser feita é: quantas vezes o 3 cabe em 12?
Nessa pergunta, você está usando a ideia de “medida” associada à divisão. Veja:
Cabe 4 vezes. Logo, 12 : 3 5 4.
Essa ideia da divisão será usada na divisão de número natural por fração.
Frações44
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 44 2/1/16 9:51 AM
Veja o exemplo: qual é o valor de 1 : 1
2
? Perguntamos: quantas metades ( )12 de 
um biscoito cabem em um (1) biscoito? 
1
2
1
2
1
2
 
Cabem duas metades. Assim, 51 : 1
2
2..
Observe que a divisão 1 : 1
2
 dá o mesmo resultado que a multiplicação 1 2
1
3 
)( 21 é o inverso de 12 . Assim, temos:



1 :
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1 :
1
2
1
2
1
5
3 5 5
5 3
Divisão de fração por fração
2
5
: 4
5
2
5
5
4
5 3
1
2
: 1
4
1
2
4
1
5 3
Qual é o resultado da divisão 1
2
: 1
4
?
Usando a ideia de “medida” da divisão, pode-
mos perguntar: quantas vezes 1
4
 de uma pizza 
cabe em 1
2
 dessa pizza?
1
4
 
1
4
1
4
1
2
Veja que 1
4
 de pizza cabe duas vezes em 1
2
 
da mesma pizza. Então, 1
2
: 1
4
2.5
Observe que:
1
2
: 1
4
25
1
2
4
1
4
2
23 5 5
( )41 é o inverso de 14
Outro exemplo:
2
5
: 4
5
Observe, nas figuras, que só a metade ( )12 
da parte azul ( )45 cabe na parte amarela ( )25 :
2
5
4
5
Logo, 2
5
: 4
5
1
2
.5
2
5
: 4
5
1
2
5
2
5
5
4
10
20
1
2
3 5 5
( )54 é o inverso de 45
Em uma divisão envolvendo fração com o divisor diferente de zero, multiplicamos o 
primeiro termo pelo inverso do segundo.
Examine mais estes exemplos:
 a ) 5 3 55 :
2
3
5 3
2
15
2 c) 
2
7
: 3 2
7
1
3
2
21
5 3 5
 b ) 5
6
: 3
7
5
6
7
3
35
18
5 3 5 d) 3
5
: 8
9
3
5
9
8
27
40
5 3 5
M
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Frações 45
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Exercícios 
 87. Use o processo prático para efetuar as seguintes divisões:
 a ) 3
8
2
5
5; 
 b ) 5;4 3
5
 
 c ) 1 5;2
3
5 
 d ) 5;1
4
3
2
 
e ) 5;2 1 3
4
 f ) 5;
3
8
9
2
 
g ) 5;3
4
3
h ) 5;5
6
1
2
 88. Mara separou 3
4
 de uma quantia e comprou 2 cadernos iguais. O preço de cada caderno corresponde a que fração da quantia 
total? 
5 ? 5;
3
4
2 3
4
1
2
3
8
O preço de cada caderno corresponde a 3
8
 da quantia total.
 89. Determine o valor das expressões numéricas.
 a ) )( )(1 1 5;25 15 14 24 
1 1 5 5
5 ? 5
; ;( ) ( )25 15 14 24 35 34
3
5
4
3
4
5
1
1
 Para construir:
 Exercícios 87 a 93 (p. 46 a 48)
5 ? 5;
3
8
2
5
3
8
5
2
15
16
5 ? 5 5;4 3
5
4
1
5
3
20
3
6 2
3
5 3 5;1 2
3
5
5
3
1
5
1
3
5 ? 5 5;
1
4
3
2
1
4
2
3
2
12
1
6
5 ? 5 5;2 1 3
4
2 4
7
8
7
1 1
7
5 ? 5 5;
3
8
9
2
3
8
2
9
6
72
1
12
5 ? 5;
3
4
3 3
4
1
3
1
4
5 ? 5 5 5;
5
6
1
2
5
6
2
1
10
6
5
3
1 2
3
Frações46
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 46 2/1/16 9:51 AM
 b ) ) )( (2 2 5;13 14 25 110 
2 2 5
5 2 2 5
5 5 ? 5
;
;
;
( )
( )( )
( )13 14 25 110
4
12
3
12
4
10
1
10
1
12
3
10
1
12
10
3
5
18
6
5
 c ) )) (( 3 2 5;27 14 34 15 
3 2 5
5 2 5 5
5 ? 5
;
; ;( )
( ) 27 14 34 15
1
14
15
20
4
20
1
14
11
20
1
14
20
11
10
77
1
2
7
10
 d ) ) )( (2 3 5;2 13 34 56 
2 3 5
5 2 3 ? 5
5 3 5
;( )
( )
( )




2 1
3
3
4
5
6
6
3
1
3
3
4
6
5
5
3
9
10
3
2
2
3
1
1
3
2
 90. Lembrando que o traço de fração significa uma divisão, calcule:
 a ) 5
5
6
2
3
 
5 5 ? 5 5;
5
6
2
3
5
6
2
3
5
6
3
2
5
4
1 1
4
2
1
M
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E
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A
Frações 47
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 47 2/1/16 9:51 AM
b ) 5
1
5
1
9
 
5 5 ? 5 5;
1
5
1
9
1
5
1
9
1
5
9
1
9
5
1 4
5
c ) 5
3
1
2
 
5 5 ? 5;
3
1
2
3 1
2
3 2 6
 91. Quantas vezes 1
4
 de hora cabe em 2 horas? 
5;2 1
4
8
Cabe 8 vezes.
92. Em uma garrafa de água cabem 3
4
 de 1 litro. Quantos copos de 1
4
 de litro cabem nessa garrafa? 
5 ? 5 5;
3
4
1
4
3
4
4
1
12
4
3
Cabem 3 copos nessa garrafa.
 93. Cláudio recebe um salário de R$ 2 400,00. Ele gasta 1
3
 desse dinheiro com moradia e 1
4
 com alimentação. Com 1
5
 do que 
sobra, ele compra roupas e, com o restante, paga outras despesas.
 a ) Quanto Cláudio gasta com moradia? 
1
3
3 2 400,00 5 R$ 800,00
Frações48
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 48 2/1/16 9:51 AM
 b ) Quanto ele gasta com alimentação? 
1
4
3 2 400,00 5 R$ 600,00
 c ) E com roupas?
2 400,00 2 (800,00 1 600,00) 5 1 000,00 3 1
5
 5 R$ 200,00
 d ) E em outras despesas? 
2 400,00 2 (800,00 1 600,00 1 200,00) 5 R$ 800,00
 e ) Qual fração do salário representa o gasto de Cláudio com roupas? 
=
200
2400
1
12
Potenciação com fração na base
Já vimos que a potenciação é uma multiplicação com fatores iguais. Por exemplo: 
54 5 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 625.
Essa ideia vale também para as potências nas quais a base é uma fração. Nesse 
caso, devemos sempre nos lembrar de colocar a fração (base da potência) entre pa-
rênteses. Exemplos:
 a ) 2
3
3( ) 5 23 ? 23 ? 23 5 2333 5 827 b) 65 2( ) 5 65 ? 65 5 6522 5 3625
Assim, podemos escrever:
Para elevar uma fração a um dado expoente, devemos elevar o numerador e o deno-
minador a esse expoente.
As propriedades da potenciação estudadas nos números naturais continuam 
válidas para as frações, ou seja: 
• toda fração elevada ao expoente 1 dá como resultado ela mesma;
 2
5
1( ) 5 25 511 1( ) 5 511
• toda fração elevada ao expoente 0 dá como resultado o número 1.
 1
3
0( ) 5 1 2100 0( ) 5 1 MAT
E
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Frações 49
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Exercícios 
 94. Calcule o valor de cada potência.
 a ) )( 545 2 1625
 b ) )( 534 2 916
 c ) )( 515 0 1
 d ) )( 537 1 37
e ) )( 51 35 2 6425
 f ) )( 52 14 3 72964
g ) )( 55 23 2 2899
h ) )( 57 39 0 1
 Para construir:
 Exercícios 94 a 98 (p. 50 a 52)
Raiz quadrada de fração
Vimos que, para extrair a raiz quadrada exata de um número natural, precisamos 
encontrar o número natural que, elevado ao quadrado, resulte no primeiro número. Por 
exemplo:
121 5 11, pois 112 5 11 • 11 5 121
Observe agora a raiz quadrada de frações:
• 
9
16
 5 9
16
 5 3
4
, pois 3
4
2( ) 5 3422 5 916 ;
• 
1
4
 5 1
4
 5 1
2
, pois 1
2
2( ) 5 1222 5 14 .
Assim, podemos escrever:
Para extrair a raiz quadrada exata de uma fração, devemos extrair a raiz quadrada do 
numerador e do denominador.
Frações50
SER_EF2_Matematica6_M3_C2_033_080.indd 50 2/1/16 9:51 AM
 95. Extraia a raiz quadrada em cada item.
 a ) 54
9
 
2
3
 b ) 564
81
 
8
9
 c ) 5100
49
 
10
7
 d ) 5196
225
 
14
15
e ) 5400
900
 2030 5 
2
3
 f ) 51 28
36
 
4
3
g ) 510 74
25
 
18
5