Mudanças de coordenadas

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Mudança de Coordenadas 
 
Definição 1 Seja T ⊂ R n um aberto. Diz-se que uma função g: T → Rn e uma Mudança de 
Coordenadas em T se verificar as seguintes condições: 
i. g é de classe C¹. 
ii. g é injectiva. 
iii. A derivada de g é injectiva, ou seja, det Dg (t) 6= 0; ∀t ∈ T 
 
Exemplo 1.1 Coordenadas Polares (r, θ) em R2: 
As coordenadas polares (r, θ) são definidas por 
 
X= r cosθ 
Y= r senθ 
 
De acordo com a figura designa a distância de cada ponto de coordenadas 
(X, y) a origem e θ é o ângulo formado entre o semieixo positivo x e o vector (x, y). 
 
Figura 1: Coordenadas Polares (r, θ) em R2 
 
Seja g (r, θ) = (r cosθ, r senθ) = (x, y). Então, g é de classe C1 em R2 e a derivada é injectiva 
em R2 \ {(0,0)}. De facto temos 
 
 
 
Dado que as funções trigonométricas são periódicas, a função g não é injectiva em R2 \ 
{(0,0)}. Mas se definirmos 
T = {(r, θ) ∈ R2: r > 0; 0 < θ < 2π} 
 
Então, a função g: T → R2 ´e uma mudança de coordenadas. A função g transforma T no 
conjunto 
G (T) = R2 \ {(x, y): y = 0; x ≥ 0} 
 
Dado que x2 + y2 = r2, para cada r fixo em T obtemos, em (x, y), uma circunferência de raio 
r e centro na origem tal como se representa na figura 2. 
x 
y 
0 
( x,y ) 
θ 
r 
 
 
Figura 2: 
 
Por outro lado, para cada θ fixo em T obtemos, em (x, y) um segmento de reta tal como se 
mostra na figura 2. Portanto, ao círculo centrado na origem e de raio R e do qual se retire o 
semieixo positivo x corresponde, nas coordenadas polares (r, θ), o retângulo ]0, R[×]0,2π[ 
tal como se apresenta na figura 2. 
 
Exemplo 1.2 Coordenadas Cilíndricas (ρ, θ, z) em R3: 
As coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z) são definidas por 
X = ρcosθ y = ρsenθ z = z 
 
 De acordo com a figura 3, ρ = x2 + y2 designa a distância de cada ponto de coordenadas 
(X, y, z) ao eixo z, θ e o ângulo formados entre o semieixo positivo x e o vector (x, y, 0). 
 
Figura 3: Coordenadas Cilíndricas (ρ, θ, z) em R3 
Seja 
T = {(ρ, θ, z) ∈ R3: ρ > 0; 0 < θ < 2π; z ∈ R} 
 
Então a função g: T → R3 definida por 
G (ρ, θ, z) = (ρcosθ, ρsenθ, z) é de classe C1, injectiva e a respectiva derivada é injectiva 
porque 
x 
y 
0 
0 
θ 
θ 
θ 
r 
r r 
R 
R 
2 π 
x 
y 
z 
0 
θ 
ρ 
( x,y,z ) 
( x,y, 0) 
 
 
Portanto a função g: T → R3 é uma mudança de coordenadas. 
 
Figura 4: 
 
Facilmente se verifica que ao cilindro com eixo z, de raio R e altura h e do qual se retire o 
plano {x ≥ 0; y = 0} corresponde, em coordenadas cilíndricas, o paralelepípedo ]0, 
R[×]0,2π[×]0, h[ tal como se mostra na figura 4. 
 
Exemplo 1.3 Coordenadas Esféricas (r, θ, φ) em R3: 
As coordenadas esféricas (r, θ, φ) são definidas por 
x = rsenφcosθ 
y = rsenφsenθ 
z = rcosφ 
 
 De acordo com a figura 5, r = x2 + y2 + z2 designa a distância de cada ponto de coordenadas 
(X, y, z) a origem, θ é o ângulo formados entre o semieixo positivo x e o vector (x, y,0) e φ 
designa 
O ângulo entre o semieixo positivo z o vector (x, y, z). 
Seja 
T = {(r, θ, φ) ∈ R3: r > 0; 0 < θ < 2π; 0 < φ < π} 
 
Então a função g: T → R3 definida por 
G (r, θ, φ) = (r rsenφcosθ, r rsenφsenθ, r cosφ) é de classe C1, injectiva e a respectiva 
derivada é injectiva porque 
 
 
 
Portanto, a função g: T → R3 é uma mudança de coordenadas. 
Assim, a` bola centrada na origem, de raio R e da qual se retire o plano {x ≥ 0; y = 0} 
corresponde o paralelepípedo [0, R[×]0,2π[×]0, π[ tal como se representa na figura 6. 
x 
y 
z 
z 
0 
θ 
ρ 
h 
h 
X 
T 
R 
R 
2 π 
 
 
Figura 5: Coordenadas Esféricas (r, θ, φ) em R3 
 
Figura 6: 
 
Exemplo 1.4 Transformação Linear de Coordenadas em Rn: 
Seja g: Rn → Rn uma transformação linear e seja A a matriz que a representa, ou seja g (v) = 
Av; v ∈ Rn. Tendo em conta que uma transformação linear é de classe C1 e que a respectiva 
derivada é representada pela matriz A, então g é uma mudança de coordenadas em Rn desde 
que se verifique a condição 
Det A ≠0 
 
Referência 
 
Revista Ensino e Informação. Mudança de Variáveis: Mudança de Coordenadas 
e sua Aplicação no Cálculo de Integrais. Disponível 
em:https://www.ensinoeinformacao.com/analise-matematica-mudanca-de-coordenada. 
Acesso em: 25 de maio. 2020. 
x 
y 
0 
θ 
z 
r φ 
( x,y,z ) 
( x,y, 0) 
x 
y 0 
0 
θ 
z 
r 
φ 
π 
2 π 
X 
T 
R 
https://www.ensinoeinformacao.com/analise-matematica-mudanca-de-coordenada