PROVA DE CALCULO (1)

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· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um dos métodos mais robustos para resolução de equações é o método de Newton, uma vez que ele exige um grande conhecimento das derivadas da função. Assim, utilizando o método de Newton para a função  , e sabendo que a raiz  . Assinale a alternativa que indica qual o valor de  .
 
	
	
	
	
		
	
	Resposta Correta:
	 
-1,0298665.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função , podemos verificar, por meio da tabela seguir, que .
 
	
	
	
	
	
	0
	-1,4
	-1,0600657
	2,97089946
	 
	1
	-1,0431836
	-0,0362392
	2,72802289
	0,35681642
	2
	-1,0298995
	-8,952E-05
	2,7144945
	0,01328407
	3
	-1,0298665
	-5,6E-10
	2,71446054
	3,2978E-05
	
	
	
· Pergunta 2
0 em 1 pontos
	
	
	
	Durante a fase de resolução de um problema físico, temos que aplicar duas etapas: o isolamento das raízes e a aplicação de um método de refinamento das raízes. Dessa forma, pensando na etapa do isolamento das raízes, podemos afirmar, a partir do método gráfico, que a função  tem uma raiz contida no intervalo:
 
Assinale a alternativa correta:
 
 
	
	
	
	
		
	
	Resposta Correta:
	 
.
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois, ao aplicarmos o método gráfico, percebemos que a interseção ocorre no interior do intervalo [1,6;2,0]. Perceba que, para as funções e e fazendo o x variar a cada 0,4 unidades, chegamos ao resultado informado.
	
	
	
· Pergunta 3
0 em 1 pontos
	
	
	
	Antes de aplicarmos o método da bisseção para determinação das raízes de uma equação, devemos calcular o número mínimo de iterações e, com isso, checar a viabilidade do método. Em vista disso, para calcular a raiz da função   , pelo método da bisseção, com uma tolerância   , no intervalo [0,5;0,9], são necessárias, no mínimo:
 
Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Correta:
	 
5 iterações.
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Esta alternativa está incorreta, pois apresenta um valor diferente de 5 iterações, pois, ao utilizarmos a fórmula , encontramos , isto é, n=5, uma vez que o número de iterações sempre será um número inteiro. Para auxiliar nos cálculos, o aluno também pode construir a seguinte tabela:
 
	a
	b
	tolerância
	n
	0,5
	0,9
	0,01
	4,32192809
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Quando desejamos determinar a raiz de uma função com precisão elevada, podemos utilizar o método de Newton. Sendo assim, considere a função   e uma tolerância  . Utilizando o método de Newton, calcule qual o número mínimo de iterações necessárias para encontrar uma raiz   pertencente ao intervalo [2,7;3,3]. Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
3.
	Resposta Correta:
	 
3.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função , percebemos que o número mínimo de iterações é igual a 3, conforme tabela a seguir:
 
	
	
	
	
	
	0
	3,3
	1,60892373
	6,52810763
	 
	1
	3,05353903
	0,06096316
	6,03339181
	0,24646097
	2
	3,04343474
	0,00010247
	6,01310873
	0,01010429
	3
	3,0434177
	2,9149E-10
	6,01307452
	1,7042E-05
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Vamos considerar um problema físico de estática: uma plataforma está fixada em uma janela de madeira por meio de uma dobradiça, em que momento é calculado por  ,    é o  ângulo da plataforma com a horizontal e k é uma constante positiva. A plataforma é feita de material homogêneo, seu peso é P e sua largura é l. Modelando o problema, podemos mostrar que  com  . A partir do método de Newton, com uma tolerância   e o menor número possível de iterações, determine o valor de  para l=1 m, P=400 N, k=50 Nm/rad, sabendo que o sistema está em equilíbrio. Assinale a alternativa que corresponde ao valor correto de  .
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função , determinamos que  satisfaz a tolerância desejada, conforme a tabela a seguir:
	
	
	
	
	
	0
	1,57079633
	1,57079633
	5
	 
	1
	1,25663706
	0,02056908
	4,80422607
	0,31415927
	2
	1,25235561
	1,1379E-05
	4,79889904
	0,00428146
	3
	1,25235323
	3,5203E-12
	4,79889607
	2,3711E-06
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por:
Suponha que sejam conhecidos   e  . Usando o método da iteração linear, calcule o número mínimo de iterações necessárias para determinar a raiz da equação dada, com uma tolerância  . Para isso, isole a raiz num intervalo   de comprimento 1, ou seja,  (   e   naturais) e  .  Assinale a alternativa correta.
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico . São Paulo: Pearson, 2006.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
6.
	Resposta Correta:
	 
6.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função  e , encontramos 6 iterações, no mínimo, para a tolerância , conforme a tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	0
	 
	1
	0,6
	0,6
	2
	0,76939274
	0,169392742
	3
	0,80870975
	0,039317004
	4
	0,81701908
	0,008309337
	5
	0,81873268
	0,001713599
	6
	0,8190842
	0,000351514
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Franco  (2013) Uma aproximação para a velocidade em função do tempo de um paraquedista em queda livre na atmosfera é dada pela equação:
em que   é a aceleração da gravidade (9,8  ),   é a massa do paraquedista (75 kg),   é o coeficiente de arrasto (13,4  ) e   é o tempo (em  ) a partir do início da queda. Suponha que o paraquedista salte de uma altura de 3500 metros. Sabe-se que o espaço percorrido por ele entre os instantes de tempo   e   é dado por:
 ,
A partir da regra dos trapézios composta, com 6 pontos distintos, desconsiderando a fórmula do erro de truncamento, calcule o espaço percorrido pelo paraquedista entre os instantes   e  .
Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 373.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
19,71 metros
	Resposta Correta:
	 
19,71 metros
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos obtidos através da lei da função, podemos calcular o valor de  metros .
 
	
	
	
	0
	2
	16,48049477
	1
	2,2
	17,82738402
	2
	2,4
	19,12699418
	3
	2,6
	20,38098486
	4
	2,8
	21,59095741
	5
	3
	22,75845698
	
	
	
· Pergunta 8
0 em 1 pontos
	
	
	
	Leia o excerto a seguir:
“Em geral, os números não são representados de forma exata nos computadores. Isto nos leva ao chamado erro de arredondamento. Quando resolvemos problemas com técnicas numéricas, estamos sujeitos a este e outros tipos de erros [...]”.
 
TIPOS de erros. REMAT : Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Disponível em: https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/rdneadm-tipos_de_erros.html . Acesso em: 11 dez. 2019.
Considerando o excerto apresentado, sobre erros, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Erros de arredondamento ocorrem devido à precisão finita dos computadores.
II. Erros de truncamento surgem quando aproximamos um conceito matemático formado por infinitas parcelas por um processo contendo apenas um número finito de parcelas.
III. A propagação de erros não ocorre devido ao acúmulo dos erros de arredondamento e truncamento ao longo de várias operações matemáticas.
IV. Nos computadores atuais, também temos a ocorrência do overflow.
 
Está correto o que se afirma em:
	
	
	
	
		Resposta Correta:
	 
I, II e IV, apenas.
 
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois a afirmativa III é falsa, a propagação de erros ocorre justamente devido ao acúmulo doserros de arredondamento e truncamento ao longo de várias operações matemáticas.
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	Franco (2013) a seção reta de um veleiro está mostrada na Figura abaixo:
Fonte: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 376.
 
 
 A força que o vento exerce sobre o mastro (devido às velas) varia conforme a altura   (em metros) a partir do convés. Medidas experimentais constataram que a força resultante exercida sobre o mastro (em  ) é dada pela equação:
 ,       
Usando a regra dos trapézios composta, com 8 trapézios, desconsiderando a fórmula do erro de truncamento, calcule essa força resultante.
 
Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
1,67 kN
	Resposta Correta:
	 
1,67 kN
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 8 trapézios, temos
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de  kN.
 
	
	
	
	0
	0
	0
	1
	1,25
	0,185428758
	2
	2,5
	0,233281023
	3
	3,75
	0,228564461
	4
	5
	0,204377467
	5
	6,25
	0,174698047
	6
	7,5
	0,14551967
	7
	8,75
	0,119256628
	8
	10
	0,096668059
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	De determinada função real  , conhecemos as imagens para apenas dois valores de   e desejamos calcular uma aproximação para um terceiro valor de  . Suponha que os pontos conhecidos sejam   e  . Usando interpolação linear, calcule uma aproximação para  .
 
Sendo assim, assinale a opção que corresponde à alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Correta:
	 
10,8924.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, aplicando a interpolação linear para os dois pontos fornecidos, encontramos  e  e, consequentemente, o polinômio interpolador é igual a . Portanto, a aproximação desejada é igual a .