Calculo_Diferencial

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Análise Matemática I, março de 2020 
Cálculo Diferencial 
 
Definição da derivada: A derivada da função 
)(xfy 
em relação a x é o limite para o qual tende a razão 
do crescimento da função e o crescimento da variável independente quando este tende para zero. 
Notações empregues: dx
dy
xfy x  )(
,,
 
Dada a função 
)(xfy 
, o acréscimo da variável independente 
x
 é 
xx 
na variável dependente 
teremos 
)(xfy 
e 
)( xxfyy 
. 
Pode-se calcular o acréscimo 
y
da função 
y
: 
)()( xfxxfy 
 
Forma-se o quociente do acréscimo da função e da variável independente: x
xfxxf
x
y




 )()(
 
Calcule-se limite da fracção quando 
0x :
x
y
x
xfxxf
xf





 lim
)()(
lim)(
, esta chama-se 
derivada de y=f (x) em relação a x 
Exemplo 1: Calcule a derivada de 
2
xy  (1) num ponto qualquer x (2) bo ponto x=2 
Resolução: 
1. 222 )(2)( xxxxxxy  Forma-se o quociente 
x
y


: xx
x
xxx
x
y






2
)(2
2
 
Passando ao limite quando 
0x
 teremos 
xxx
x
y
2)2lim(lim 


assim xy 2, 
 
2. Para x=3 
63.2
,
3

x
y 
 
Funções deriváveis 
Definição: Se o x
xfxxf
x
y




 )()(
limlim 00 quando 0x existe dir-se-á que a função é 
derivável para 
0
xx  . 
Teorema: Se a função )(xfy  é derivável no ponto 0xx  , ela é contínua neste ponto. 
Se )(lim
,
xf
x
y



 quando 0x então 


)(
,
xf
x
y
sendo que  é uma grandeza que tende 
para zero quando 0x 
 
Nota: Nos pontos de descontinuidade uma função não pode ter derivada 
 
 
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Derivada das funções elementares 
Derivada da função 
Nnxy
n
 , 
Para calcular a derivada desta função recorre-se às seguintes operações: 
1. 
Dar o acréscimo x à variável x, calcular o valor correspondenteda função: )( xxfyy 
 
2. 
Calcular o crescimento correspondente da função: ),()( xfxxfy 
 
3. 
Formar a razão entre o crescimento da função e o acréscimo da variável: 
x
xfxxf
x
y




 )()(
 
4. 
Calcular o limite desta razão quando 
x
xfxxf
x
y
yx






)()(
limlim:0
,
 
Teorema: A derivada da função 
 nxxfy
n
,)( é igual a eixn n .,. 1 se ,nxy  então 1,  nnxy
 
Demonstração 
1. Se x sofre acréscimo 
,x então: nnn xxxyxxyy  )()(
 
2. 
Desenvolver y usando a fórmula de binómio de Newton: 
nnn
xxx
nn
xnxy )(...)(
2.1
)1( 211




 
3. 
Calcular o quociente :
x
y

 121
)(...
2.1
)1( 




 nnn
xxx
nn
nx
x
y
 
4. 
Achar o limite do quociente quando 0x : 
1121
)(...
2.1
)1(
limlim











 nnnn
nxxxx
nn
nx
x
y
 
Logo 
1, 

n
nxy cqd
 
Exemplos: 
4
3xy  , 314, 123.4 xxy  
 
Derivadas das funções 
xysenxy cos 
Teorema 1: A derivada do senx é cosx i.e. se 
xysenxy cos,
,
 
Demonstração: 
1. Introduzir o acréscimo em x e y: )( xxsenyy  
2. 
Calcular y :





 







 





 

2
cos
2
2
2
cos
2
2)(
x
x
x
sen
xxxxxx
sensenxxxseny
 
 
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3. Achar o quociente x
y


: 




 










 





2
cos
2
22
cos
2
2
x
x
x
x
sen
x
x
x
x
sen
x
y
 
4. 
Achar o limite quando 0x 










 

















2
coslim
2
2limlim
, x
x
x
x
sen
x
y
y e isto resulta 
em afirmar que x
x
x
x
x
sen
cos
2
coslim1
2
2lim 










 













 logo a derivada de senx é cosx
 
Teorema 2: A derivada do cosx é -senx i.e. se 
senxyxy 
,
,cos 
Demonstração: 
1. Introduzir o acréscimo em x e y: )cos( xxyy  
2. 
Calcular y :





 







 





 

22
2
22
2cos)cos(
x
xsen
x
sen
xxx
sen
xxx
senxxxy
 
3. Achar o quociente x
y


: 




 






2
2
2 xxsen
x
x
sen
x
y
 
4. 
Achar o limite quando 0x 










 

















2
lim
2
2limlim
, x
xsen
x
x
sen
x
y
y e isto resulta 
em afirmar que senx
x
xsen
x
x
sen











 














2
lim1
2
2lim , logo a derivada de cosx é -
senx.
 
Derivada duma constante 
Teorema 1: A derivada duma constante é igual a zero. 
 
 
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Demonstração: 
1. y=C , C=Constante 
2. 
Considere-se  0 xx : Cxxfyy  )( 
 
3. Consequentemente 
: 0)()(  xfxxfy
 
4. 
Achar razão entre o crescimento da função e o crescimento da variável independente 0


x
y
 
Logo o limite quando 0x 0lim
,




x
y
y 
Derivada dum produto duma constante por um função 
Teorema 2: Pode-se separar um factor constante de debaixo do sinal de derivação, i.e. se
,tan),(. teconsCxfCy  )(
,,
xCfy 
. 
Derivada duma soma finita de funções 
Teorema 3: A derivada da soma de um número finito de funções deriváveis é igual à soma das derivadas 
destas funções. 
Por exemplo 
)()()( xwxvxuy 
, 
)()()(
,,,,
xwxvxuy 
 
Demonstração 
  ),()( wwvvuuyy  wvuy  ,,,
São acréscimos de y, u, v, w, 
wvuy 
e x
w
x
v
x
u
x
y











 e quando 
0x
x
w
x
v
x
u
x
y
y











 limlimlimlim
,
ou
)()()(
,,,,
xwxvxuy 
 
xxsenxxxfsenxxxf cos15)()3()(3)(
4,,5,5

 
Derivada do produto de funções 
Teorema 4: A derivada do produto de duas funções deriváveis é igual ao produto da derivada da primeira 
função pela segunda mais o produto da primeira função pela derivada da segunda, i.e. se
uvy 
 então 
,,,
uvvuy 
 
Demonstração 
 
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uvy 
 Então 
  vvuuyy 
 
   vuvuvuuvvuvuvuuvuvvvuuy  ..
 
x
v
u
x
v
uv
x
u
x
y











 
Assim a derivada é o limite do quociente quando 
0x
 
x
v
u
x
v
u
x
u
v
x
y
y











 limlimlimlimlim
, ,








 ,,,
lim0lim)(lim)(lim v
x
v
uxv
x
v
xu
x
u
em resultado ficamos com 
,,,
uvvuy 
 
 
Derivada duma fracção 
Teorema 5: A derivada duma fracção é uma fracção cujo denominador é igual ao quadrado do 
denominador da fracçãoconsiderada e o numerador é igual à diferença do produto do denominador pela 
derivada do numerador e do produto do numerador pela derivada do denominador, i.e. dado 
2
,,
,
,
v
uvvu
y
v
u
y


 
 
Demonstração 
vv
uu
yy



,  vvv
vuuv
v
u
vv
uu
y






, 
   vvv
u
x
v
v
x
u
vvv
x
vuuv
x
y













 
A derivada será o limite desta razão quando 
0x
:    vvv
x
v
u
x
u
v
vvv
x
vuuv
x
y













lim
limlim
limlim
o 
que se resume em 2
,,
,
v
uvvu
y


 
 
Derivada duma função composta 
),(xfy 
 Função composta tal que 
),(uFy  ),(xu 
ou ainda 
  xFy 
 
 
Texto de apoio Página 6 
 
Teorema: Se a função 
 xu 
tem uma derivada 
 xu
x
,, 
no ponto x e a função 
 uFy 
tem uma 
derivada 
 uFy
u
,,

para o valor correspondente de u, então, no ponto considerado x a função composta 
  xFy 
tem igualmente uma derivada igual a 
  )(,,, xuFy
ux

ou simplesmente 
,,,
xux
uyy  . 
Em termos simples: A derivada duma função composta é igual ao produto da derivada desta função em 
relação à variável intermerdiária u pela derivada em relação a x da variável intermerdiária.
 
Demonstração 
Seja 
 xu  e ),(uFy  considerando os acréscimos tem-se )( xxuu   , 
)( uuFyy  .Se 0x tem-se que 00  yu e por hipótese .
,
lim uy
u
y



quando 
0u . Esta relação e de acordo com a definição de limite, para 0u temos que ,
, 


uy
u
yonde 0 quando 0u . A igualdade 


uy
u
y , pode ser escrita na forma uuyy u  
,
divida-se esta igualdade por x e ter-se-á 
x
u
x
u
y
x
y
u








, por hipótese, quando 0x
0limlim
,



xu
x
u
e voltando a igualdade 
x
u
x
u
y
x
y
u








, ter-se-á xux uyy
,,,
.
 
 
Exemplos: 
1.Achar a derivada da função
2
xusenuy 
, 
xuuuy
u
2.cos
,,,

então 
)cos(2
2,
xxy
x

 
2. Achar a derivada da função 
 52 32  xxy
 
Solução: Seja 
32
25
 xxuuy de acordo com a fórmula
  424,2,5, )32)(1(10)22(532)(  xxxxuxxuy xu 
 
Função implícita e sua derivada 
Imagine-se uma situação em que as variáveis x, y estão ligadas entre si por uma equação 
0),( yxF
 
(1). Caso partamos da equação (1) para definir 
)(xfy 
 este f (x) é uma função implícita definida pela 
equação (1). Por exemplo a equação 
0
222
 ayx
(2) define implicitamente as funções 
elementares: 
22
xay 
(3) e 
22
xay 
(4) tal que estas funções tornam verdadeira a igualdade (2) fazendo 
  022222  axax
pois, resulta em 
0)(
2222
 axax
. Da igualdade (2) foi possível 
 
Texto de apoio Página 7 
 
obter ou definir funções explícitas (3) e (4), mas nem sempre é possível exprimir uma implícita em 
funções explícitas. Por exemplo: 
1. 
0
26
 xyy
 
2. 
0
4
1
 senyxy
 
3. 
03
33
 axyyx
 
 
Tomemos a igualdade (2) e derivemo-la assumindo que y é função de x e seguimos a regra da derivação 
composta: 
022
,
 xyyx o que é igual a y
x
y x 
,
. Caso tivéssemos usado a expressão explícita 
22
xay 
a derivada seria 22
,
xa
x
y


o mesmo resultado assumido que 
22
xay 
 
Derive-se a implícita 
0
26
 xyy
em relação a x: 
026
,,5
 xyyy xx donde 16
2
5
,


y
x
y
x 
 
Função inversa e sua derivada 
Teorema: Se a função 
)(xfy 
admite uma função inversa 
)( yx 
em que a derivada 
)(
,
y
num 
ponto dado y é diferente de zero, então 
)(xfy 
possui no ponto correspondente x uma derivada 
)(
,
xf
igual a )(
1
,
y i.e. )(
1
)(
,
,
y
xf


 
Demonstração 
Partamos da condição da existência da inversa 
)( yx 
 e derivamos esta igualdade como função 
implícita em x: x
yy
,,
)(1 
donde )(
1
,
,
y
y x


onde 
)(
,,
xfy x  então resulta na fórmula 
)(
1
)(
,
,
y
xf


 
 
 
Texto de apoio Página 8 
 
 
Funções trigonométricas inversas e suas derivadas 
1. A função 
arcsenxy 
é inversa de 
senyx 
 
Teorema1: A derivada da função 
arcsenx é 
2
1
1
x
 isto é se arcsenxy  então 
2
,
1
1
x
y

 
Demonstração: Em virtude de senyx  tem-se: yx y cos
,
 
De acordo com a regra dea derivação duma função inversa 
yx
y
y
x
cos
11
,
,
 e sabe-se que 
22
11cos xyseny  logo 
2
,
1
1
x
y x

 
Nota:Antes da raiz toma-se o sinal + porque a 
função 
arcsenxy  toma seus valores sobre o 
segmento 
22

 y por consequência 0cos y 
Exemplo 1. )( xearcseny  
)1(
).(
)(1
1
2
,
2
,
x
x
x
x
x
e
e
e
e
y



 
Exemplo 2 
2
1







x
arcseny
 
1
11
2
1
1
1
11
2
2
,
2
,










xxx
arcsen
x
x
x
arcseny
 
2. A função 
xy arccos
 
yx arccos ,esta função está definida no intervalo  y . A função yx cos é 
decrescente sobre o segmento  y0 e tem uma inversa assim designada xy arccos e 
esta função definida sobre o segmento 11  x e os valores desta função preenchem o 
intervalo 0 y 
Teorema 2: A derivada da função xy arccos é 
2
1
1
x
 isto é se xy arccos , então 
2
,
1
1
x
y

 
Demonstração: Em virtude de yx cos tem-se: senyx y 
, 
 
Texto de apoio Página 9 
 
De acordo com a regra dea derivação duma função inversa 
ysenyx
y
y
x
2,
,
cos1
111


e sabe-se que ,cos xy  logo 
2
,
1
1
x
y x

 
Exemplo: )arccos(tgxy  
xxtg
tgx
xtg
y
22
,
2
,
cos
1
1
1
)(
1
1




 
 
3. A função arctgxy  , 
Seja a função tgyx  definida para todo o y menos para os valores tais que 
   ....2,1,0
2
12  kky

. tgyx  crescente no intervalo 
22

 y e neste intervalo 
admite uma função inversa designada por arctgxy  
Em x a função está definida no intervalo 
 x e neste intervalo os valores da função 
preenchem o intervalo 
22

 y . 
Teorema: A derivada da função arctgx é 
2
1
1
x
i.e. se ,arctgxy  então, 
2
,
1
1
x
y

 
Demonstração: Segundo a igualdade tgyx  
y
x y
2
,
cos
1
 então y
x
y
y
x
2
,
,
cos
1
 mas 
,
1
1
sec
1
cos
22
2
ytgy
y

 como xtgy  obtém-se 
2
,
1
1
x
y

 
 
4. A função arcctgxy  , 
Seja a função ctgyx  definida para to o y excepto ky  ,...)2,1,0( k .No intervalo 
 y0 a função ctgyx  é decrescente e tem a sua inversa arcctgxy  . Esta função é 
definida no intervalo  x e os seus valores pertencem ao intervalo 0 y . 
Teorema: A derivada da função arcctgx é ,
1
1
2
x
 isto é se arcctgxy  então 
2
,
1
1
x
y

 
Demonstração: Deduz-se de ctgyx  : 
ysen
x y
2
, 1
 por consequência 
yctgyec
yseny x
22
2,
1
1
cos
1

 e é sabido que xctgy  então 
2
,
1
1
x
y

 
 
 
Texto de apoio Página 10 
 
Derivada duma função paramétrica 
Seja y uma função de x dada pelas equações paramétricas: 
 
 




ty
tx


 
Ttt 
0 
 (1) 
Assuma-se que estas são deriváveis e que a função 
 tx  admite inversa  xt  também derivável, 
pode-se assim considerar a função  xfy  dada pela paramétrica como uma função composta: 
 ,ty   xt  , onde t é variável intermerdiária.Usando a regra de derivação das funçõs compostas 
tem-se  xttyy xtxtx ,,,,, )(  . (2) 
Daqui recorre-se ao teorema da derivação das funções inversas  
 t
x
t
x
,
, 1

  . Esta expressão pode ser 
colocada na igualdade (2) 
 
 
  t
t
x
t
txtx
x
y
y
t
t
t
ttyy
,
,
,
,
,
,
,,,, 1
)( 



 
Exemplo: A função de y de x é dada pelas equações paramétricas 
 
 




taseny
tax cos
 
  t0
. Calcular dx
dy
: 1) para t arbitrário, 2) para 4

t
 
Resolução 
1) 
 
 
ctgt
asent
ta
ta
asent
y x 


cos
cos
,
,
,
 
2) 
  1
44
,



 ctgy
tx 
 
Texto de apoio Página 11 
 
Função hiperbólica e e sua derivada 
Função hiperbólica 
As combinações da funções exponenciais como 
 xx ee 
2
1
e 
 xx ee 
2
1
originam novas funções 
designadas de hiperbólicas: 












2
cosh
2
xx
xx
ee
x
ee
senhx
. A primeira função denomina-se seno hiperbólico e a 
segunda cosseno hiperbólico. Também define-se tangente e cotangente hiperbólico, resultante das 
relações seno e cosseno hiperbólicos 

















xx
xx
xx
xx
ee
ee
senhx
x
ctghx
ee
ee
x
senhx
tghx
cosh
cosh
 
Identidades análogas as verificadas nas funções trigonométricas: 
1cosh
22
 xsenhx
 
  )()(coshcoshcosh bsenhasenhbaba 
 
  )(coshcosh)( basenhbasenhbasenh 
 
 
Derivada da função hiperbólica
 














 








 



senhx
eeee
x
x
eeee
senhx
xxxx
xxxx
22
)(cosh
cosh
22
)(
,
,
,
 









xsenh
ctghx
x
tghx
2
,
2
,
1
)(
cosh
1
)(
 
 
Aplicação de diferencial em cálculos aproximados 
)(xfy 
é derivável sobre o segmento [a,b] e a derivada desta função no ponto x de [a,b] é dada pela 
relação 
)(lim
,
xf
x
y



quando 
0x
. Quando 
0x
o quociente x
y


tende para um determinado 
)(
,
xf que difere duma quantidade infinitamente pequena: 


)(
,
xf
x
y
onde 
0
quando 
0x
. Multiplique-se a igualdade 



)(
,
xf
x
y
por 
x
e tem-se 
xxxfy  )(,
. Visto que 
0)(
,
xf
, o produto 
xxf )(
,
é uma quantidade infinitamente pequena de ordem superiora 
x
já que 
 
Texto de apoio Página 12 
 
0limlim 




x
x
. Assim o crescimento
y
 da função y compõe-se de duas partes 
0)(
,
xf
é a parte 
principal do crescimento e é função linear de 
.x
 
Diferencial: Chama-se diferencial o produto 
xxf )(
,
e designa-se pela notação 
dy
 ou 
)(xdf
:
xxfdy  )(
,
 
Calculemos o diferencial da função 
xy 
isto resulta em 
1
,,
 xy
que resulta em 
xdxxdxdy 
. 
Ora a expressão 
xxxfy  )(,
pode ser escrita na forma 
xdyy  
e frequentemente 
escreve-se 
dyy 
e de forma explícita é 
xxfxfxxf  )()()(
,
. 
Exemplo Encontrar o diferencial 
dy
e o crescimento 
y
da função 
2
xy 
 
1) para valores arbitrários de x 2) Se 
1.020  xx
 
1) 
222
2)( xxxxxxy 
, 
xxxxdy  2)(
,2
 e nota-se que 
dyy 
 
2) Se 
1.020  xx
 
  01,41,01,0202 2 y
e 
00,41,0202 dy . 
O erro cometido substituindo y por dy é de uma centésima, 0,01 que em muitos casos pode ser 
desprezível. 
 
Teoremas relativos às funções deriváveis 
1. Teorema de Rolle – Se a função f(x) é contínua no segmento [a,b], derivável em qualquer ponto 
interior do segmento e se anula nas extremidades deste segmento, [f(a)=f(b)=0], então, existe pelo 
menos um ponto intermediário x=c, a<c<b, em que a derivada f´(c)=0. 
 
Demonstração 
Caso f seja uma função constante em [a, b], então para todo o c de [a, b] f (́c)=0. 
Caso f seja uma função contínua e não constante sobre [a, b] então ela admite um máximo ou um mínimo 
diferente de f(a) e de f(b). O valor é atingido para x=c logo f´(c)=0. 
Exemplo 
23)(
2
 xxxf sobre o segmento  2,1 
Resolução 
1. f(x) é contínua e derivável sobre o segmento considerado. 
2. f(1)=f(2)=0 
3. 2
3
c0=3-2c=f´(c) 3-2x=f´(x) 
. Claramente 
  2
2
3
12,1
2
3

 
 
 
Texto de apoio Página 13 
 
2. Teorema dos crescimentos finitos (Teorema de Lagrange) 
Se a função f(x) é contínua sobre o segmento [a, b], derivável em qualquer ponto interior deste segmento, 
existe, então, pelo menos um ponto c, 
bca 
 tal que 
ab
afbf
cfabcfafbf



)()(
)())(()()(
,,
 
Demonstração (Fig por introduzir) 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a figura acima nota-se que a equação da secante que passa pelos pontos A e B é 
  )(
)()(
afax
ab
afbf
y 








 
Seja g(x) função dada pela diferença entre as funções f(x) e y tal 
  )(
)()(
)()()( afax
ab
afbf
xfyxfxg 








 
Calcule-se g(a) e g(b): 
  0)(
)()(
)()( 







 afaa
ab
afbf
afag
 
    0)()()()()(
)()(
)()( 







 afafbfbfafab
ab
afbf
bfbg
portanto tem-se 
g(a)=g(b)=0. A função f(x) é derivável g(x) é também derivável e a derivada é: 









ab
afbf
xfxg
)()(
)()(
,,
. 
 
Texto de apoio Página 14 
 
Uma vez que g(x) é contínua sobre o segmento [a, b], derivável em ]a, b[ e verifica a condição g(a)=g(b)=0 
pode-se aplicar o Teorema de Rolle, admitindo existir c pertencente a intervalo ]a, b[tal que a derivada no 
ponto se anula: 
ab
afbf
xf



)()(
)(
,
 cqd. 
Exemplo: Verificar o teorema de Lagrange para a função 
1072)(
2
 xxxf
definida sobre o 
segmento 
 5,2
. 
Resolução 
1. A função é contínua no segmento dado e derivável no intervalo ]a, b[ 
2. 
 5,2
2
7
4
14
7
3
425
74
25
)2()5(
)(
)()(
)(
,,








 cc
ff
cf
ab
afbf
xf
 
 
3. Teorema de Cauchy (relações dos crescimentos de duas funções) 
Sejam 
)(xf e )(x
 duas funções contínuas sobre o segmento [a, b] e deriváveis em ]a, b[ e seja 
)(x
tal que  baxx ,0)(,  , existe, então um ponto x=c no interior de [a, b], a<c<b, tal que 
)(
)(
)()(
)()(
,
,
c
cf
ab
afbf




 
Demonstração 
Considere-se a função  )()(
)()(
)()(
)()()( ax
ab
afbf
afxfxh 









 . Uma vez que )(xf e )(x 
são contínuas em [a, b] e deriváveis em ]a, b[, )(xh é também contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[. 
Sua derivada é:
   
   
 xg
ab
afbf
xfxh
,,,
)()( 









 
Calcule-se 
)(ah e )(bh
 
   
   
   
     0)( 







 aa
ab
afbf
afafah 
 
   
   
   
             0)( 







 afbfafbfab
ab
afbf
afbfbh 

 
 
Texto de apoio Página 15 
 
Tem-se   0)(  bhah e pode-se aplicar o Teorema de Rolle à função h, logo existe um ponto c do 
intervalo ]a, b[ em que a derivada de h se anula ou seja:  
   
   
  0,, 







 c
ab
afbf
cf 

ou ainda 
)(
)(
)()(
)()(
,
,
c
cf
ab
afbf




 
4. Teorema (Regra de L´Hôspital) 
Sejam f(x) e g(x) duas funções que satisfazem as condições do teorema da Cauchy sobre um certo 
segmento [a, b] e anulando-se no ponto x=a, i.e f(a)=g(a)=0. 
Se além disso o limite do quociente )(
)(
,
,
xg
xf
existe quando ax então 
)(
)(
lim
xg
xf
existe e é 
)(
)(
lim
xg
xf
=
)(
)(
lim
,
,
xg
xf
 
Aplicabilidade da regra de L´Hôspital 
Indeterminação do tipo: 
1. 0
0
)(
)(
lim 
xg
xf
 quando ax
 
2. 


)(
)(
lim
xg
xf
 quando ax
 
3. 


)(
)(
lim
xg
xf
quando x
 
Fórmula de Taylor 
Dada a função y=f(x), assumamos que tenha derivadas até ordem (n+1) inclusive na vizinhança do ponto 
x=a. Nosso objectivo é procurar um polinómio y=Pn(x) de grau não superior a n , tal que o valor no ponto 
x=a é igual ao valor da função f(x) neste ponto. Os valores no ponto x=a das derivadas sucessivas até a 
ordem n são iguais aos valores neste ponto das derivadas correspondentes da função f(x) 
Pn(a)=f(a), P´n(a)=f´(a), P´´n(a)=f´´(a), ......, P(n)n(a)=f(n)(a). (1) 
Esperemos que este polinómio seja próximo da função f(x). Justamente, pode-se procurar os valores dos 
coeficientes indeterminados de Ci, desenvolvendo segundo as potências inteiras de (x-a): 
     n
nn
axCaxCaxCCxP  ....)(
2
210 (2) 
Entremos no processo de determinação dos coeficintes C1, C2, C3,...., Cn de maneiras que sejam válidas as 
igualdades 
Pn(a)=f(a) 
 
Texto de apoio Página 16 
 
P´n(a)=f´(a) 
P´´n(a)=f´´(a), ......, P(n)n(a)=f(n)(a). 
Para o efeito calculemos também as derivadas de Pn(x): 
    12
321
,
....)(32)(


n
nn
axnCaxCaxCCxP
 (3) 
  2
32
,,
)1(....)(62)(


n
nn
axCnnaxCCxP
 
.......................................................................... 
nn
n
CnnxP 1.2)....1()( 
 
Vamos para as igualdades (2) e (3) substituir x por a e teremos: 
0
)( Caf 
, 1
,
)( Caf 
, 2
,,
.1.2)( Caf 
,...., 
  ,.1.2...2)1()()(
n
n
Cnnnaf 
 donde se pode extrair 
os coeficientes C: 
),(
0
afC  ),(
,
1
afC  ),(
2.1
1 ,,
2
afC  ),(
3.2.1
1 ,,,
3
afC 
….., 
)(
...3.2.1
1 )(
af
n
C
n
n  
Encontrados os coeficientes indeterminados vamos a igualdade (2) substituir os C: 
 
   
)(
....3.2.1
....)(
2.1
)(
1
)(
)(,,
2
,
af
n
ax
af
ax
af
ax
afxP
n
n
n






 
No princípio assumimos que y=f(x) deriva-se até ordem n+1 e Pn(x) deriva-se até ordem n então existirá 
uma diferença entre a função e o polinómio designada de Rn(x) tal que: 
    )()()()( xRxPxfxPxfxR
nnnn

 e de forma mais explícita: 
 
     
 
  axaf
n
ax
af
n
ax
af
ax
af
ax
afxf
n
n
n
n












)1(
1
)(,,
2
,
!1
)(
!
....)(
!2
)(
1
)(
esta cham-se fórmula de Taylor. Caso a=0 a tem-se: 
 
 
)(
!1
)0(
!
....)0(
!2
)0(
1
0)(
)1(
1
)(,,
2
,
xf
n
x
f
n
x
f
x
f
x
fxf
n
n
n
n




onde 
10  
e estamos 
perante um caso particular da fórmula de Taylor donhecida por fórmula de Maclaurin. 
Estudo da variação das funções 
Crescimento e decrescimento de funções 
Teorema: Se a funçã f(x) derivável sobre o segmento [a, b] é crescente sobre este segmento então a sua 
derivada é nãonegativa sobre este segmento, i.e 
0)(
,
xf
. 
),()( xfxxf 
para 
0x
 
),()( xfxxf 
para 
0x
 contudo 
0
)()(



x
xfxxf
então quando 
0x
0
)()(
lim 


x
xfxxf
 
 
Texto de apoio Página 17 
 
Se f(x) é decrescente sobre [a, b] então 
0)(
,
xf
sobre este segmento. Se 
0)(
,
xf
em [a, b] então f(x) 
é decrescente sobre este segmento. 
Máximo e mínimo de funções 
Os máximos e mínimos duma função são os extremos dessa função 
Condição necessáia para existência de extremo 
Proposição 1- Se a função derivável y=f(x) tem um máximo no ponto x=x1 então a sua derivada anula-se 
nesse ponto i.e. 
0)(
,
xf
. 
Condições suficientes para existência de de extremo 
Proposição 2 – Seja y=f(x) uma função contínua num intervalo contendo o ponto crítico x1 e derivável em 
qualquer ponto desse intervalo (excepto talvez no ponto x1). Se a derivada muda de sinal positivo para 
negativo quando passa pelo ponto crítico a função tem um máximo para x=x1. Se a derivada muda de sinal 
negativo para positivo quando passa pelo ponto crítico a função tem um mínimo para x=x1. 
Procedimento a seguir para o estudo dos extremos com o auxílio da primeira derivada 
1. Calcula-se a primeira derivada 
2. Procura-se os valores críticos da variável independente x 
3. Estudar o sinal da derivada à esquerda e à direita do ponto crítico 
4. Calcular o valor da função para cada valor crítico da variável independente. 
Sinal da derivada Natureza do ponto crítico 
x<x1 x=x1 x>x1 
+ idadedescontinuxf  0)(, 
- Máximo 
- idadedescontinuxf  0)(, 
+ Mínimo 
+ idadedescontinuxf  0)(, 
+ Nem máximo nem mínimo, função crescente 
- idadedescontinuxf  0)(,
 
- Nem máximo nem mínimo, função decrescente 
Exemplo 1: Estudar a variação da função 
132
3
)(
2
3
 xx
x
xf 
Resolução: 
 1) derivada de f é 34)( 2,  xxxf 
 2) Raízes da primeira derivada: 0342  xx são x=1 ou x=3. A derivada é contínua em todo o domínio 
pois, não há outro ponto crítico 
3) Estudar os valores críticos: 
Primeiro x=1   31)(,  xxxf 
 para x<1, tem-se que    0)(, xf e 
 para x>1, tem-se que    0)(, xf 
 
Texto de apoio Página 18 
 
A mudança de sinal no ponto critico passa de positivo para negativo logo a função admite um máximo no 
ponto x=1 dado por 
3
7
)1( f 
Segundo x=3   31)(,  xxxf 
 para x<3, tem-se que    0)(, xf e 
 para x>3, tem-se que    0)(, xf 
A mudança de sinal no ponto critico passa de negativo para positivo logo a função admite um mínimo 
ponto x=3 dado por 1)3( f . 
Estudo de máximo e mínimo com auxílio da segunda derivada 
Proposição – Seja 
0)(
,
xf , então f(x) tem um máximo no ponto x=x1 se 
0)(
,,
xf e um mínimo 
se 0)(
,,
xf 
0)(
,
xf
 
)(
1
,,
xf
 
Natureza do ponto crítico 
0 - Máximo 
0 + Mínimo 
0 0 Não determinado 
 
Exemplo: Determinar os máximos e mínimos da função 
xsenxxf 2cos2)(  
Resolução: 
A função f(x) é periódica e o período é 
2
, bastará estudar o comportamento no segmento 
 2,0
 
1) Primeira derivada: 
   senxxxsenxxxsenxxf 21cos2coscos222cos2)(, 
 
2) 
Raízes da primeira derivada:   021cos2  senxx 
2
3
,
6
5
,
2
,
6
4321

 xxxx
 
3) Segunda derivada: 
xsenxxf 2cos42)(
,,

 
4) 
Natureza de cada ponto crítico:
 
i. 
03
2
1
.4
2
1
2)
6
(
,,


f consequentemente a função tem um máximo no ponto 
6
1

x
tal que 2
3
2
1
2
1
.2
6





 
f
 
ii. 
021.41.2)
2
(
,,


f consequentemente a função tem um mínimo no ponto 
2
2

x
tal que 
111.2
2





 
f
 
 
Texto de apoio Página 19 
 
iii. 032
1
.4
2
1
.2)
6
5
(
,,


f consequentemente a função tem um máximo no ponto 
6
5
3

x tal que 2
3
2
1
2
1
.2
6
5





 
f
 por fim 
iv. 
    061.41.2)
2
3
(
,,


f consequentemente a função tem um mínimo no ponto 
2
3
4

x tal que
  311.2
2
3





 
f
 
Convexidade e concavidade das curvas – pontos de inflexão 
Definição 1: Diz-se que uma curva tem a convexidade voltada para baixo no intervalo (a, b) se todos 
os pontos da curva se encontram por baixo da tangente em qualquer um dos pontos nesse intervalo. 
Definição 2: Diz-se que uma curva tem a convexidade voltada para cima no intervalo (a, b) se todos os 
pontos da curva se encontram por cima da tangente em qualquer um dos pontos nesse intervalo 
 
Teorema 1: Se a segunda derivada da função f(x) é negativa em qualquer ponto do intervalo (a,b) i.e., se 
,0)(
,,
xf
a curva 
)(xfy 
tem , então a sua convexidade para baixo (a curva é convexa)neste 
intervalo. 
Teorema 1,: Se a segunda derivada da função f(x) é positiva em qualquer ponto do intervalo (a,b) i.e., se 
,0)(
,,
xf
a curva 
)(xfy 
tem , então a sua convexidade para cima (a curva é côncava) neste 
intervalo. 
 
Exemplos 
1. Determinar os intervalos de convexidade e de concavidade de 
2
2 xy 
 
Solução: A segunda derivada é
02
,,
y
portanto a curva é sempre convexa. 
2. Determinar os intervalos de convexidade e de concavidade de 
x
ey 
. 
Solução : A segunda derivada de 
x
ey 
é 
0
,,

x
ey
a curva é sempre côncava. 
 
 
Texto de apoio Página 20 
 
Assímptotas 
Definição: Uma recta A chama-se assímptota duma curva se a distância 

dum ponto variável M da curva 
a esta recta tende para zero, quando M tende para infinito. 
Distinguem-se: 
i) Assímptotas paralelas ao eixo Oy ou verticais ao eixo Ox 
ii) Assímptota oblíquas ao eixo Oy 
Esquema geral do estudo das funções 
1. Domínio da função 
2. Pontos de descontinuidade da função 
3. Paridade e periodicidade 
4. Intervalos de monotonia da função 
5. Pontos críticos bem como os valores máximos e mínimos da função 
6. Os domínios de convexidade e de concavidade do gráfico 
7. Assímptotas do gráfico da função 
Notas 
 Se a função for par basta construir o gráfico para os números positivos pois este é simétrico 
em relação ao eixo das ordenadas. 
 Se a função for ímpar basta construir o gráfico para os números positivos pois, o gráfico é 
simétrico em relação à origem. 
Fonte: N. Piskounov,(1983) Cálculo Diferencial e Integral vol I 
B. Demidovitch, (1978) Editora MIR, Problemas e Exercicios de Análise Matemática