Máximos e Mínimos Método de Lagrange

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MATEMÁTICA III 
1º Sem/2020 
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B - Máximos e Mínimos Condicionados 
 
 
 
 
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1 – MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE 
LAGRANGE 
 
O método de Multiplicadores de Lagrange também pode ser 
usado para calcular pontos de máximo ou mínimo de uma 
função de duas variáveis 𝑧 = 𝒇(𝒙, 𝒚) que depende de uma 
outra função 𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝑐. 
 
 
Procedimento: 
 
1° passo: montar a função de Lagrange (ou Lagrangeano) 
 
 𝑳(𝒙, 𝒚) = 𝒇(𝒙, 𝒚) − 𝝀[𝒈(𝒙, 𝒚) − 𝒄] 
 
 ou 
 
𝑳(𝒙, 𝒚) = 𝒇(𝒙, 𝒚) + 𝝀[𝒄 − 𝒈(𝒙, 𝒚)] 
 
Onde 𝝀 é chamado de Multiplicador de Lagrange 
 
 
2° passo: Calcular as condições de Primeira ordem: 
 
𝟏)𝑳𝒙 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙
− 𝝀 ∙
𝝏𝒈
𝝏𝒙
= 𝟎 
 
𝟐)𝑳𝒚 =
𝝏𝒇
𝝏𝒚
− 𝝀 ∙
𝝏𝒈
𝝏𝒚
= 𝟎 
 
𝟑)𝑳𝝀 = −[𝒈(𝒙, 𝒚) − 𝒄] = 𝟎 ⟹ 𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝒄 
 
 
 
3° passo: Resolver o sistema para achar pc. 
 
Isolando 𝝀 em (1) e (2) temos: 
 
𝟏)𝝀 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙
𝝏𝒈
𝝏𝒙
 𝟐)𝝀 =
𝝏𝒇
𝝏𝒚
𝝏𝒈
𝝏𝒚
 
 
Fazendo (1) = (2) temos 
 
𝝏𝒇
𝝏𝒙
𝝏𝒈
𝝏𝒙
=
𝝏𝒇
𝝏𝒚
𝝏𝒈
𝝏𝒚
 𝒐𝒖 
𝒁𝒙
𝑮𝒙
=
𝒁𝒚
𝑮𝒚
 (𝒂) 
 
Dessa forma, todos os candidatos a pontos de máximo ou 
mínimo devem atender a condição (a). 
Para acabar a resolução do sistema, basta isolar uma variável 
em (a) e substituir na equação (3). 
Observe que a condição (a) pode ser escrita como: 
 
𝒁𝒙
𝒁𝒚
=
𝑮𝒙
𝑮𝒚
 
 
Assim a solução ótima ocorre onde a inclinação da função 
objetivo (
𝒁𝒙
𝒁𝒚
) é igual a inclinação da função restrição (
𝑮𝒙
𝑮𝒚
). 
Graficamente temos: 
 
 
4° passo: Calcular as condições de Segunda, usando o Hes-
siano Orlado (�̅�): 
 
�̅� = |
𝟎 𝒈𝒙 𝒈𝒚
𝒈𝒙 𝑳𝒙𝒙 𝑳𝒙𝒚
𝒈𝒚 𝑳𝒚𝒙 𝑳𝒚𝒚
| 
 
Onde cada derivada é calculada no ponto crítico. 
 
Temos que: 
 
• 𝑺𝒆 �̅� > 𝟎 ⇒ 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐 
• 𝑺𝒆 �̅� < 𝟎 ⇒ 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐 
 
Obs.: a Regra de Sarrus pode ser usada para o cálculo de um 
determinante 3 x 3: 
 
Suponha: 
 
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| 
 
Copiamos as duas primeiras colunas para o lado direito: 
 
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
 
 
Executamos multiplicações com elementos da diagonal prin-
cipal e da diagonal secundária. 
 
 
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Assim o determinante será a soma dos seis resultados. 
 
 
Exemplos – Calcule os pontos de máximo ou mínimo das 
funções condicionadas abaixo: 
 
𝟏)𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚 𝒔𝒖𝒋𝒆𝒊𝒕𝒂 à 𝒙 + 𝒚 = 𝟔 
 
Resolução: 
 
1° passo: montar a função de Lagrange (ou Lagrangeano) 
 
𝐿 = 𝑥𝑦 − 𝜆(𝑥 + 𝑦 − 6) 
 
2° passo: Calcular as condições de Primeira ordem e resol-
ver o sistema: 
 
1) 𝐿𝑥 = 𝑦 − 𝜆 = 0 ⇒ 𝜆 = 𝑦 
 
2) 𝐿𝑦 = 𝑥 − 𝜆 = 0 ⇒ 𝜆 = 𝑥 
 
3) 𝐿𝜆 = 𝑥 + 𝑦 = 6 
 
Fazendo (1) = (2) temos: 
 
𝑦 = 𝑥 (𝑎) 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡. (𝑎) 𝑒𝑚 (3) 
 
𝑥 + 𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 = 3 ⇒ (3,3)é 𝑝𝑐 
 
3° passo: Calcular o Hessiano Orlado 
 
𝐻 = |
0 𝑔𝑥 𝑔𝑦
𝑔𝑥 𝐿𝑥𝑥 𝐿𝑥𝑦
𝑔𝑦 𝐿𝑦𝑥 𝐿𝑦𝑦
| = |
0 1 1
1 0 1
1 1 0
| = 2 > 0 
 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 (3,3) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐 
 
𝟐)𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒙𝒚 𝒔𝒖𝒋𝒆𝒊𝒕𝒂 à 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟐 
 
𝐿 = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦 − 𝜆(2𝑥 + 4𝑦 = 12) 
 
1) 𝐿𝑥 = 2𝑥 − 𝑦 − 2𝜆 = 0 ⇒ 𝜆 =
2𝑥 − 𝑦
2
 
 
2) 𝐿𝑦 = 2𝑦 − 𝑥 − 4𝜆 = 0 ⇒ 𝜆 =
2𝑦 − 𝑥
4
 
 
3) 𝐿𝜆 = 2𝑥 + 4𝑦 = 12 
 
Fazendo (1) = (2) temos: 
 
2𝑥 − 𝑦
2
=
2𝑦 − 𝑥
4
 ⇒ 8𝑥 − 4𝑦 = 4𝑦 − 2𝑥 
 
⇒ 𝑥 =
4𝑦
5
 (𝑎) 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡. (𝑎) 𝑒𝑚 (3) 
 
 
2 (
4𝑦
5
 ) + 4𝑦 = 12 ⇒
8𝑦
5
+ 4𝑦 = 12 ⇒ 8𝑦 + 20𝑦 = 60 
 
⇒ 𝑦 =
60
28
=
15
7
 ⇒ 𝑥 =
4
5
∙
15
7
=
12
7
 
 
⇒ (
12
7
,
15
7
) é 𝑝𝑐 
 
𝐻 = |
0 𝑔𝑥 𝑔𝑦
𝑔𝑥 𝐿𝑥𝑥 𝐿𝑥𝑦
𝑔𝑦 𝐿𝑦𝑥 𝐿𝑦𝑦
| = |
0 2 4
2 2 −1
4 −1 2
| = −56 < 0 
 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 (
12
7
,
15
7
) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐 
 
𝟑) Maximize a função de Utilidade 𝑼(𝑸𝟏, 𝑸𝟐) = 𝒙
𝟏
𝟐 ∙ 𝒚
𝟏
𝟐 
sujeita a restrição orçamentária 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟎𝟎 
 
𝐿 = 𝒙
𝟏
𝟐 ∙ 𝒚
𝟏
𝟐 − 𝜆(2𝑥 + 2𝑦 − 100) 
 
1) 𝐿𝑥 =
1
2
𝑥−1 2⁄ 𝑦1 2⁄ − 2𝜆 = 0 ⇒ 2𝜆 =
𝑦1 2⁄
2𝑥1 2⁄
 
 
⇒ 𝜆 =
𝑦1 2⁄
4𝑥1 2⁄
 
 
2) 𝐿𝑦 =
1
2
𝑦−1 2⁄ 𝑥1 2⁄ − 2𝜆 = 0 ⇒ 2𝜆 =
𝑥1 2⁄
2𝑦1 2⁄
 
 
⇒ 𝜆 =
𝑥1 2⁄
4𝑦1 2⁄
 
 
 
3) 𝐿𝜆 = 2𝑥 + 2𝑦 = 100 
 
Fazendo (1) = (2) temos: 
 
𝑦1 2⁄
4𝑥1 2⁄
=
𝑥1 2⁄
4𝑦1 2⁄
⇒ 𝑦 = 𝑥 (𝑎) 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡. (𝑎) 𝑒𝑚 (3) 
 
2𝑥 + 2𝑥 = 100 ⇒ 𝑥 = 25 ⇒ 𝑦 = 25 
 
⇒ (𝟐𝟓, 𝟐𝟓)é 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐 
 
 
2 – EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Calcule os pontos de máximo ou mínimo das funções con-
dicionadas abaixo: 
 
 
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1)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦 𝑠. 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 4 
 
2)𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥2 + 6𝑦2 − 𝑥𝑦 𝑠. 𝑎 𝑥 + 2𝑦 = 24 
 
3) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 12𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 𝑥2 𝑠. 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 16 
 
4) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥1
2 + 𝑥2
2 𝑠. 𝑎 𝑥1 + 4𝑥2 = 2 
 
5) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 + 4𝑦2 − 𝑥𝑦 𝑠. 𝑎 2𝑥 + 𝑦 = 21 
 
6) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥𝑦 𝑠. 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 8 
 
7)𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 + 5𝑦2 − 6𝑦 𝑠. 𝑎 𝑥 + 2𝑦 = 18 
 
8) Minimize a função de Custo C(L,K) abaixo sujeita a 
função de produção CES. 
𝐶(𝐿, 𝐾) = 10𝐿 + 1𝐾 
𝐶𝐸𝑆: (𝐿1 2⁄ + 𝐾1 2⁄ )
2
= 121.000 
 
9) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 𝑠. 𝑎 𝑥2 + 𝑦2 = 1 
 
10) Maximize a função de Utilidade abaixo sujeita a 
restrição orçamentária. 
 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 2𝑦 + 8 𝑠. 𝑎 3√𝑥
3
∙ √𝑦
3 = 12 
 
 
RESPOSTAS 
 
 
1)(2,2)é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 
 
2)(6,9) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 
 
3)(9,7) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 
 
4) (
2
17
,
8
17
) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 
 
5) (
17
2
, 4) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 
 
6)(5,3) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 
 
7)(4,7) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 
 
8)(1.000; 100.000) 
 
9) (
√2
2
,
−√2
2
) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 
(
−√2
2
,
+√2
2
) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 
(
−√2
2
,
−√2
2
) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 
(
√2
2
,
√2
2
) é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 
 
10)(4,16) é 𝑎 𝑐𝑒𝑠𝑡𝑎 ó𝑡𝑖𝑚𝑎